CC BY
82
2011
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика
№ 3(16)
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 519.872
И.Л. Лапатин, А.А. Назаров
ХАРАКТЕРИСТИКИ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ПУАССОНОВСКИХ ВХОДЯЩИХ ПОТОКАХ1
В работе рассматриваются марковские системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Исследуется выходящий поток и число занятых приборов при выполнении асимптотических условий на характеристики входящего потока.
Ключевые слова: простейший поток, MMP-поток, MAP-поток, выходящий поток.
В работах по теории массового обслуживания в качестве модели входящего потока часто используется простейший поток [1]. Это касается как фундаментальных работ, которые послужили базой построения теории, так и современных. В 1955 году А.Я. Хинчин [2] сформулировал три условия, при выполнении которых случайный поток однородных событий является простейшим, именно: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.
Популярность этого потока долгое время объяснялась тем, что он вполне удовлетворительно описывал многие реальные потоки, а также простотой его исследования. В то же время было замечено, что простейший поток появляется и в качестве предельного для некоторых последовательностей потоков. В связи с этим, в середине ХХ века появился ряд работ, посвященных анализу сходимости суммы большого числа независимых потоков малой интенсивности к простейшему потоку. Среди них следует отметить работы Пальма [3], Реньи [4], Г.А. Осо-скова [5], Б.И. Григелиониса [6] и А.Я. Хинчина. Вопрос о скорости сходимости таких предельных сумм к потокам Пуассона рассматривался в работах [7,8].
В то же самое время, Реньи (в упомянутой выше работе) показал, что простейший поток может получаться не только в результате суммирования бесконечно малых независимых потоков. Он рассматривал произвольный поток восстановления и применял к нему операцию прореживания (с некоторой вероятностью каждое событие убиралось из рассматриваемого потока). Реньи доказал, что при многократном повторении этой операции и соответствующей нормировке времени рассматриваемый поток сходится к простейшему.
В качестве существенного обобщения простейших потоков для более адекватного описания реальных потоков была предложена модель MAP (Markovian Arri-
1 Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 4761.
val Process). Его понятие впервые было введено М. Ньютсом [9], а затем уточнено Д. Лукантони в работе [10], которая также содержит первые исследования основных характеристик MAP-потоков. В русскоязычной литературе определения таких потоков даны в книгах Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [1], А.Н. Дудина, В.И. Клименок [11], А.А. Назарова, С.П. Моисеевой [12].
Широко используемым частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков (Markov Modulated Poisson Process). В работе [13] формулируется предельное условие, при выполнении которого последовательность MMP-потоков сходится к простейшему. Аналогичное условие формулируется и для случая общего MAP-потока.
Таким образом, в этих условиях система MAP|M|œ (MMP|M|œ) становится близкой к M|M|œ, для которой П. Берком еще в 1956 году было показано [14], что выходящий поток является простейшим, а стационарное распределение вероятностей числа занятых приборов является пуассоновским. Поэтому естественным было бы предположить, что характеристики системы MAP|M|œ (MMP|M|œ) в рассматриваемых асимптотических условиях на входящие потоки совпадают с характеристиками системы M|M|œ. В данной работе предлагается доказательство этого предположения.
1. Исследование системы MAP|M|œ
Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает MAP-поток заявок, заданный матрицей инфи-нитезимальных характеристик Q управляющей цепи Маркова k(t), набором условных интенсивностей Xk (k=1,...,K) и набором вероятностей dkv (k, v=1,...,K). Заявка, пришедшая в систему, занимает любой из свободных приборов, на котором обслуживается в течение случайного времени. Распределение времени обслуживания поступающих заявок является экспоненциальным с параметром ц.
Если использовать символику, предложенную Д. Кендаллом [15], то рассматриваемая система с экспоненциальным временем обслуживания будет обозначаться MAP | M |œ.
Будем исследовать выходящий поток системы MAP | M |œ, который описывается случайным процессом m(t) (число заявок, закончивших обслуживание в системе за некоторое время t) и процессом i(t) (число занятых приборов в системе в момент времени t).
При непуассоновском входящем потоке двумерный процесс {i(t),m(t)} не является марковским, так как интенсивность поступления заявок в систему (то есть увеличение значения процесса i(t)) зависит от состояния управляющей цепи Маркова k(t). Поэтому, добавляя этот процесс в рассмотрение, получим трехмерную цепь Маркова {k(t),i(t),m(t)}. Такой метод носит название «внешнего» марковизи-рования [16]. Для значений распределения вероятностей
P (k, i, m, t ) = P{k (t ) = k, i (t ) = i, m(t ) = m} можно записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова dP(k, i, m, t) .
-----------= Xk {P(k, i -1, m, t) - P(k, i, m, t)} +
dt
+ц{(i +1)P(k, i +1, m -1, t) - iP(k, i, m, t)} +
+X{P(v,i, m, t) • (1 - dVk) + P(v,i -1, m, t)d^ }дЛ.
V
Обозначив функции
Н (к, х, и, ґ) = ^ е]хі ^ е]итР(к, і, т, ґ),
і m
где ] = л/-1 - мнимая единица, и принимая во внимание, что
і m
для функций H (k, х, u, t) получим систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
где Н(х,и,0={Н(0,х,и/),Н(1,х,и/),...}, Q - матрица инфинитезимальных характеристик qvk, В - матрица с элементами А* на главной диагонали и элементами вне главной диагонали.
Систему дифференциальных уравнений (1), записанную в матричном виде, будем называть дифференциально-матричным уравнением. Отметим, что получить аналитическое решение этого уравнения не удается. В данной работе предлагается решать это уравнение методом асимптотического анализа.
2. Условие предельно частых изменений состояний ММР-потока
Сначала рассмотрим характеристики системы ММР|М|®. Напомним, что ММР-поток - это МАР-поток, у которого все вероятности равны нулю, то есть
матрица В становится диагональной матрицей Л с условными интенсивностями А* на главной диагонали. Поэтому уравнение, определяющее характеристики системы ММР|М|®, имеет следующий вид:
Будем рассматривать систему ММР|М|® в условии предельно частых изменений состояний входящего потока. Зафиксируем некоторую матрицу инфинитези-
и матрицу Л. Затем, полагая, что £ некоторая положительная величина, в уравнении (2) сделаем следующие замены:
Сначала найдем асимптотическое приближение характеристической функции числа занятых приборов системы ММР|М|® в условии предельно частых измене-
+К(е^х - іКк^к + Чук}Н (V х иґ)-
V
Полученную систему запишем в матричном виде:
(1)
дН (х и ґ) + ]^{е]ие-]х -1) дН (х и ґ) = Н (х, и, ґ) { + {е]х - 1)Л}. (2)
дґ дх 1 ’
мальных характеристик 2(1), которая определяет управляющую цепь Маркова к(ґ)
Q = Б• Q(1), Н(х,и,^ ^(х,и,t,Б).
Тогда для вектор-функций _Р(х,и,^£) можно записать
^(х, и,ґ, Б) { • 0(1) + (е]х - 1)л}. (3)
ний состояний входящего потока. Для этого в уравнении (2) положим u=0 и перейдем к стационарному режиму
j—e~j -1) = F(X S) S • Ö(1) + (ßJX -1)^}. (4)
Здесь F (x, S) = lim F (x,0, t, S). t
Теорема 1. Сумма компонентов предельного, при S , значения вектор-строки F(x) решения F(x,S) уравнения (4) имеет вид
F(x)E = exp j(ejx -1) —j, (5)
где E - единичный вектор-столбец, величина к определяется равенством к = ЯЛЕ и имеет смысл интенсивности входящего потока, а Я - вектор стационарного распределения вероятностей состояний входящего потока.
Доказательство. Поделив левую и правую части уравнения (4) на S и устремив S к бесконечности, получим систему
F (x)Q(1) = 0,
которая совпадает по виду с системой для стационарного распределения вероятностей состояний управляющей цепи Маркова. Поэтому ее решение имеет вид
F(x) = Я -Ф(x), (6)
где Я - вектор стационарного распределения состояний управляющей цепи Маркова k(t), а Ф^) - некоторая скалярная функция. Для определения вида этой
функции в уравнение (4) подставим выражение (6). Умножим справа полученное уравнение на вектор-стобец Е соответствующей размерности, устремим S к бесконечности и получим равенство
j>(e“jx -1) = Ф(x)(ejx -1)ЯЛЕ .
dx
Учитывая, что ЯЛЕ=к, найдем решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
Ф(x) = exp j(ejx -1) — откуда, в силу равенства (6), получим
F(x) = Я • exp j (ejx -1)—
l —J
С учетом условия нормировки ЯЕ=1, функция F(x)E удовлетворяет равенству (6). Теорема доказана.
Теорема 1 показывает, что стационарное распределение вероятностей числа занятых приборов системы MMP|M|® в условии предельно частых изменений состояний входящего потока является пуассоновским с параметром к/д.
Теорема 2. Сумма компонентов предельного, при S , значения вектор-строки F(x,u,t) решения F(x,u,t,S) уравнения (2) имеет вид
F(х, u, t)E = exp |(е;х -1)— + (e]u - 1)Kt|, (7)
где E - единичный вектор-столбец, величина к имеет смысл интенсивности входящего потока.
Доказательство. Поделив левую и правую части уравнения (3) на S и устремив S к бесконечности, получим систему
F (х, u, t )Q(1) = 0,
которая совпадает по виду с системой для стационарного распределения вероятностей состояний управляющей цепи Маркова. Поэтому ее решение представляется в виде
F(х,u, t) = R -Ф(х, u, t), (8)
где R - вектор стационарного распределения состояний управляющей цепи Маркова k(t), а Ф(х^,^ - некоторая скалярная функция. Для определения вида этой функции в уравнение (3) подставим выражение (8). Умножая справа полученное уравнение на вектор-стобец E соответствующей размерности и устремив S к бесконечности, получим равенство
дФ(х,u,t) + j—(e>ue-“ -1)дФ(х,",t) =ф(х,u.П(е'х - 1)K. (9)
dt дх
С учетом условия нормировки RE=1 и (8) получаем
F(х,u, t)E = Ф(х,u, t).
Нетрудно показать, что выражение (7) является решением уравнения (9). Теорема доказана.
Доказанная теорема говорит о том, что при предельно частых изменениях состояний входящего потока (то есть когда средние времена пребывания управляющей цепи Маркова в каждом состоянии стремятся к нулю) число заявок, закончивших обслуживания в системе MMP|M|®, имеет распределение Пуассона с параметром к, причем число заявок в системе в момент времени t и число событий в выходящем потоке к моменту времени t стохастически независимы.
3. Условие предельно частых изменений состояний MAP-потока и согласованного интенсивного прореживания
Теперь рассмотрим аналогичную задачу для системы с входящим MAP-потоком. Зафиксируем некоторую матрицу инфинитезимальных характеристик Q(1), которая определяет управляющую цепь Маркова k(t), матрицу D(1) вероятностей наступления событий в потоке при переходе управляющей цепи из одного состояния в другое и матрицу Л. Затем, полагая, что S некоторая положительная величина, в уравнении (1) сделаем следующие замены:
Q = S• Q(1), D = S D(1), H(х,u,t) = F(х,u,t,S).
Тогда для вектор-функций F^u^S) можно записать
dF (^ u, t, S) + j—(eJue-Iх - !) dF (X u, t, S) = f (х, u, t, S) (S • Q(1) + {е]х -1)5}. (10) dt дх 1 ’
Теорема 3. Сумма компонентов предельного, при S , значения вектор-строки F^ut) решения F^u^S) уравнения (10) имеет вид
F(х, u, t)E = exp \^e}jc -1)— + (ej - 1)Ktj, (11)
где E - единичный вектор-столбец, величина к определяется равенством к = RBE и имеет смысл интенсивности входящего MAP-потока.
Доказательство теоремы 3 повторяет рассуждения доказательства теоремы 2. Теорема 3 говорит о том, что при предельно частых изменениях состояний входящего потока и согласованного интенсивного прореживания число заявок, закончивших обслуживания в системе MAP|M|®, имеет распределение Пуассона с параметром к^, а число заявок в системе в произвольный момент времени также имеет распределение Пуассона с параметром к/д. При этом число заявок в системе в момент времени t и число событий в выходящем потоке к моменту времени t стохастически независимы. Под согласованным интенсивным прореживанием понимается такой факт, что рост значений инфинитезимальных характеристик и уменьшение вероятностей наступления событий при переходе управляющей цепи из одного состояния в другое происходит пропорционально одному и тому же параметру S.
Заключение
В данной работе были рассмотрены марковские системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Сформулированы и доказаны три теоремы, которые говорят о том, что при выполнении предельных условий на параметры входящего потока число заявок, закончивших обслуживания в системе MAP|M|® (MMP|M|®), имеет распределение Пуассона с параметром к1, а число заявок в системе в произвольный момент времени также имеет распределение Пуассона с параметром к/д. Для MMP-потока это условие предельно частых изменений состояний входящего потока, а для MAP-потока - условие предельно частых изменений состояний потока и согласованного интенсивного прореживания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. 400 с.
2. Хинчин А.Я. Математические методы теории массового обслуживания // Тр. Мат. ин-та им В.А. Стеклова АН СССР. 1955. Т. 49. С. 1-123.
3. Palm. C. Intensitatsschwankungen in Fernsprechverkehr // Ericson Technics. 1943. V. 44. No. 1. P. 1-189.
4. Яenyi A. Poisson-folyamat egy jemllemzese // Тр. Мат. ин-та АН Венгрии. 1956. V. 1. No. 4. P. 519-527.
5. Ососков Г.А. Одна предельная теорема для потоков однородных событий // Теория вероятностей и ее применение. 1956. Т. 1. № 2. С. 274-282.
6. Григелионис Б.И. Уточнение многомерной предельной теоремы о сходимости к закону Пуассона // Литов. мат. сб. 1962. Т. 2. № 2. С. 143-148.
7. Григелионис Б.И. О точности приближения композиции процессов восстановления пу-ассоновским процессом // Литов. мат. сб. 1962. Т. 2. № 2. С. 135-143.
8. Погожев И.Б. Оценка отклонения потока отказов в аппаратуре многофазового использования от пуассоновского потока // Кибернетику - на службу коммунизму. Т. 2. М.: Энергия, 1964. С. 228-245.
9. NeutsM.F. A versatile Markovian arrival process // J. Appl. Prob. 1979. V. 16. P. 764-779.
10. Lucantoni D. New results for the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.
11. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: БГУ, 2000. 175 с.
12. Назаров А.А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 109 с.
13. Лапатин И.Л., Назаров А.А. Асимптотически пуассоновские MAP-потоки // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 4(13). С. 72-78.
14. Burke P.J. The Output of Queueing Systems // Operations Research. 1956. V. 4. P. 699-704.
15. Kendall D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain // Ann. Math. Statist. 1953. V. 24. P. 338-354.
16. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания: пер. с нем. / под ред. Г.П. Климова. М.: Радио и связь, 1981.
Назаров Анатолий Андреевич Лапатин Иван Леонидович Томский государственный университет
E-mail: [email protected], [email protected] Поступила в редакцию 27 мая 2011 г.
