CC BY
23
УДК 519.872
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОГО MAP-ПОТОКА
А.Н. Моисеев, А.А. Назаров
Томский государственный университет E-mail: alexander-moiseev@mail.ru; anazarov@fpmk.tsu.ru
Представлено исследование MAP-потока, имеющего высокие условные интенсивности наступления событий. Показано, что в асимптотике (в условии неограниченного роста интенсивности) число событий, наступивших в таком потоке за фиксированный интервал времени, является нормальным. Получены характеристики этого распределения.
Ключевые слова:
Марковский поток событий, асимптотический анализ. Key words:
Markovian arrival process, asymptotical analysis.
Применение специальных видов потоков событий в моделях массового обслуживания [1] позволяет сделать эти модели более адекватными реальным процессам в телекоммуникационных системах. В настоящей работе представлено исследование так называемого MAP-потока (Markovian Arrival Process) [2] в условии неограниченного роста его интенсивности. Результаты аналогичных исследований для MAP и прочих видов специальных потоков в других предельных условиях представлены в [3-5].
Итак, рассмотрим MAP-поток [6]. Пусть управляющая этим потоком цепь Маркова имеет K состояний, переходы между состояниями определяются матрицей инфинитезимальных характеристик NQ {Nqvk}vj=i,K, где скаляр N имеет смысл большой величины (в теоретическом исследовании предполагается, что N^ro). При этом матрица Q обладает свойством
4w =-Х 4v*.
k фу
или в матричном виде:
QE = 0, (1)
где E - единичный вектор-столбец, а 0 - нулевой вектор-столбец. Вероятность наступления события в потоке при переходе управляющей цепи Маркова из состояния ув состояние k равна dvk (foy). Величины dw будем полагать равными нулю. Эти вероятности запишем в виде матрицы D={dvk}vk=i,K.
Пусть условная интенсивность рассматриваемого потока событий в каждом из состояний управляющей цепи равна NAk, k=1,K. Введем обозначение для матрицы условных интенсивностей:
N Л = diag{ NAj,..., NAK}.
В связи с тем, что в эту матрицу, а также матрицу инфинитезимальных характеристик NQ, входит большой по величине параметр N, данный вид потока будем называть высокоинтенсивным марковским потоком событий или HIMAP-потоком (от High Intensive Markovian Arrival Process).
Обозначим через m(t) число событий, наступивших в рассматриваемом потоке за интервал времени длительности t, а через k(t) - состояние упра-
вляющей цепи Маркова в момент времени /. Рассмотрим двумерный случайный процесс {т(/),£(/)}. Введем обозначение:
Р(т, к, ?) = Р {т(?) = т, к (?) = к}.
Применяя формулу полной вероятности, для этого распределения можно записать следующее:
Р(т, к, ? + А?) = = Р(т, к, ?) • (1 - NАкА?) • (1 + М^кк А?) +
+Р(т -1, к, ?) NAk А? + ^ Р( т, V, ?) N51 (1 - ) А? +
уфк
+Х Р(т -1 V?) А? + о( А?)
уфк
или
Р(т, к, ? + А?) - Р (т, к, ?) = = [-Р(т, к, ?) + Р(т -1, к, ?)^ Ак А? +
К
+ Х Р(т,1 ?)(1 - 4к ) А? +
1 = 1
К
+Х Р (т - 1,1 ?) Щук^к А? + о(А?),
1=1
откуда при А/1—>0 получаем уравнение Колмогорова
— дР(т к, ?) = [-Р(т, к, ?) + Р(т -1, к, ?)] N Ак +
N д?
К
+Х[Р^ V 0(1 - V + Р(т -1, V 0<,к].
1=1
Домножим это уравнение справа и слева на величину ёш, где 7=^-1, а и - некоторая переменная, и просуммируем по т= 0,о>. Тогда, введя обозначение
от
Н (и, к, ?) = £ е7“тР (т, к, ?),
т=0
для этой функции получим:
— ЭН(“ к, ?) = Н(и, к, ?)Ак (е7'“ -1) +
N 5? к
+£Н (и, к, ?)[ <к (е-7'и-1) +1] V. (2)
1 = 1
Обозначим вектор-строку
Ы(и,/)=№Д)/))...Д(иД/)})
тогда в матричном виде (2) перепишется следующим образом:
—5Н(М = н(и, ?)Л(е7и -1) +
N 5?
+Н(и, ?)[А(е-7и -1) +О ] =
= Н(и, ?)[О + (Л + А)(е7“ -1)], (3)
где матрица A={qvA}v,í=й.
Обозначим B=Л+A, тогда (3) перепишется в виде
— 5Н(и ?) = Н (и, ?)[О + В(е7и -1)].
N д?
В этом уравнении выполним замену Н (и, ?) = Н 2(и, ?)е7и№А?,
где
А = RBE, (4)
а R - вектор-строка стационарного распределения вероятностей состояний управляющей потоком цепи Маркова, для него справедливо:
[ИО = 0,
ИЕ = 1. (5)
В результате получаем уравнение относительно функции Щи,/):
1 5Н 2(и, ?) д7-иуА,
N dt
e7" At + JmAH2(m, t )7A =
= H 2(m, t )[Q + B(eJu - 1)]e7uN A
или
1 дН 2(и ?) = Н 2 (и, ? )[О + В(е7и -1) - 7иА1], (6)
N 5?
где I - единичная матрица порядка К.
Это уравнение решим при N—от методом асимптотического анализа [6], обозначив е2 = — и вы-
N
полнив замены и=ш и H2(и,t)=F(w,t,е). Уравнение (6) перепишется в виде:
, 5Е(^, ?,е)
5t
■ = F(w, t, £ )[Q + B(eJSW -1) - Je wA I]. (7)
Докажем следующее утверждение.
Теорема. Предельное при e-^0 значение F(w,t) решения F(w,t,e) уравнения (7) имеет вид
F(w, t) = R exp j JL(a + k) t J,
где
k = 2f (B -AI )E, (8)
а вектор-строка f определяется уравнением
R (B -AI) + fQ = 0. (9)
Доказательство выполним в три этапа.
Этап 1. Положим в (7) e-^0, получим:
F(w, t )Q = 0.
А так как имеет место свойство (5) вектора R, векторную функцию F можно представить в виде F(w, t) = R Ф^, t), (10)
где Ф^,Р) - некоторая скалярная функция.
Этап 2. Решение уравнения (7) будем искать в виде разложения
і,є) = Ф(^, і)[ К + уєМ] + 0(є2), (11)
где f - некоторый вектор (вектор-строка), O(є2) -вектор-строка из бесконечно малых величин порядка є2. Подставляя это выражение в (7) и используя разложение е'є"'=1+є;+0(є2), получим:
5Ф(^, і) =
£ [R + Jewf]-
5t
= Ф( і)[ Я + уєМ][д + ує^Б -уєиАІ] + 0(є2).
Отсюда, приведя подобные, сократив обе части на jєw, при є-^0 получаем уравнение относительно неизвестного вектора £
Я (Б -АІ) + гд = 0.
Этап 3. Просуммируем компоненты левой и правой частей уравнения (7). Для этого умножим справа обе части этого уравнения на единичный вектор E длины К.
, 5Е(^, і, є)
5t
-E =
= F(w, t, e)[Q + B(e7ew -1) - JewAI]E. Используя в этом уравнении разложение
eJew = 1 + Jew + (є) + O(e3)
и учитывая (1), получаем:
e 5F(w, t, e)
e
St
E =
= F (w, t, e)
Jew(B -AI) + (7'ew) B
E + O(e3).
Подставим сюда (11):
e.SOC^O re = ф(w,t)x
5t
JewR(B -AI) + (7'ew) RB +
Е + 0(е3).
+(уе^)2 f (В -А1)
С учетом (4) и (5), приводя подобные и сокращая на е2, получаем:
дФ(^ ?) = Ф(^, ? )[А + 2 Г(В - А1) Е] + 0(е).
5? 2
Переходя к пределу при е—0, получим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Ф(м;,/):
5Ф(^, ?) (7^)2
—(-^ = 7Ца + к)Ф( ^ ?),
5? 2
где величина к определяется выражением (8). Решение этого уравнения с учетом начального условия Ф^,0)=1, которое получается из условия
ГЯк при т = 0,
0 при т > 0,
P(m, k ,0) =
(k=1,K) имеет вид
Ф(^, t) = exp j((A + к) t
Отсюда в силу (10) имеем:
F(w, t) = R exp j (jW)-(A + к) t j,
что и требовалось доказать.
Замечание. Решением неоднородной системы уравнений (9), вообще говоря, является семейство векторов вида
f = f + CR, (12)
где f - частное решение неоднородной системы, а CR - общее решение однородной системы fQ=0 в силу первого равенства (5) (здесь C - произвольная константа). Однако нетрудно убедиться, что при подстановке любого из решений (12) выражение (8) для величины к дает одно и то же значение.
Вернемся к функции H(u,t). Получаем, что при достаточно больших значениях N
Ы(и, t) * Rexp j juNAt + N(X + K)t|.
Таким образом, характеристическая функция h(u,t)=H(u,t)E процесса m(t) - числа событий, наступивших в высокоинтенсивном MAP-потоке, в указанных условиях имеет вид характеристической функции гауссовского распределения, то есть распределение вероятностей числа событий в HIMAP-потоке, наступивших за время t, можно аппроксимировать нормальным распределением с математическим ожиданием NXt и дисперсией N(X+K)t. Это подтверждается также исследованиями, выполненными средствами имитационного моделирования.
Аналогичные результаты получены и для других типов высокоинтенсивных потоков (например, рекуррентного [7]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 4-е, испр. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. -400 с.
2. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal of Appl. Prob. - 1979. - V. 16. - P. 764-779.
3. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа N-го порядка // Вестник ТГУ. Серия «Информатика. Кибернетика. Математика». - 2006. -№ 293. - С. 110-115.
4. Назаров А.А., Горбатенко А.Е. Асимптотический анализ системы MMP/M/1/ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего потока // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315. - № 5. - С. 187-190.
5. Назаров А.А., Семенова И.А. Асимптотический анализ систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и полумарковским входящим потоком // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 5. -С. 12-17.
6. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.
7. Moiseev A., Nazarov A. Investigation of High Intensive General Flow // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI’2012): Proc. of the IV International Conference. - Baku, Azerbaijan, September 12-14, 2012. - P. 161-163.
Поступила 14.12.2012 г.
