CC BY
8Статья публикуется по приглашению редакции
Асимптотические формулы для частот осесимметричных колебаний оболочки вращения.
Асланян А.Г.(1), Лидский В.Б. (2)
(1)-Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (2)-Московский физико-технический институт
Рассматриваются осесимметричные колебания тонкой упругой оболочки вращения, которые описываются системой уравнений (см.[1,с. 104-136]) - и' + аи + а2 и + а3 и' + а4 и = Яп
± И 2(и(у) + Ь1 ит + Ь2 и" + Ь3 и') + схи + с2 и + с3 и = Яи
(1)
Здесь дифференцирование ведется по длине дуги меридиана оболочки (¿1 < ^ < 52); п(5), и(5) - компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности (п(5) - перемещение вдоль меридиана, и(5) - по нормали); Я -спектральный параметр, отличающийся постоянным множителем от квадрата собственной частоты О, И - толщина оболочки (малый параметр).
Функции а(5), Ь(5), с}- (5) определяются геометрией оболочки; их явный
вид можно найти, например, в [1, с. 136].
Дифференциальный оператор, порожденный левой частью системы (1), формально самосопряжен. На каждой граничной параллели 5 = 51 и 5 = 52 ставятся три условия, каждое из которых совпадает с одним из условий жесткого закрепления, либо свободного края. Подробности см . [1].
Эти граничные условия имеют физический смысл и естественным образом возникают при вариации квадратичного функционала задачи. В дальнейшем эти условия обозначаются для простоты через (у,к), у,к=1,2. Например, (1,1,1) - условия жесткого защемления, (2,2,2) - условия свободного края и т. д.
Так возникают 64 самосопряженные краевые задачи, порожденные системой (1), каждая из которых имеет отрицательный дискретный спектр, а соответствующие собственные функции (с.ф.) образуют ортонормированный базис [1]. Оператор, порожденной системы (1) и одним из вариантов указанных граничных условий, обозначим через 1к. Численное определение собственных значений с.з. и с.ф. оператора 1И является не простой задачей, особенно при малых значениях толщины оболочки И. Дело в том, что спектр оператора 1к
образует неоднородное множество со сложной структурой, при этом с уменьшением толщины оболочки И плотность распределения частот возрастает.
Выделяют три области изменения спектрального параметра Я, в каждой из которых структура спектра может быть описана (см. [1]): [0,а1) - область 1;
[а1, ] - область 11; (Д - область 111. Здесь [а1, ] - отрезок значений функций
^(5)=(1 -а2У-2(5),< 5 < ^2, (2)
о - коэффициент Пуассона, У2 (5) - один из главных радиусов кривизны оболочки (он равен расстоянию по нормали от точки срединной поверхности до оси вращения).
В области 1 с.з., как правило, расположены редко и слабо зависят от к. Однако, могут иметь место и крайние случаи: в указанной области с.з. могут отсутствовать вовсе или их (при малых к) может быть достаточно много [2]. Это определяется геометрией оболочки и свойствами безмоментной задачи, в которую вырождается оператор ¡к при к ^+0 (подробности см. [1,3]). Безмоментная задача проще, чем исходная моментная: порядок системы на четыре меньше и отсутствует малый параметр при старшей производной. Отметим, что безмоментный оператор 10 также является самосопряженным (см. [1]).
В области 1 вырождение моментной задачи в безмоментную регулярно в смысле М.И. Вишика - Л.А. Люстерника (см. [4]). Это позволяет написать асимптотические формулы для Х^ (к), в которых главные члены суть с.з.
безмоментной задачи.
Сложнее устроен спектр в областях 11 и 111. Так, 11 - зона непрерывного спектра безмоментного оператора 10. В ней при малых к наблюдается наивысшая концентрация частот моментной задачи, соответствующих преимущественно изгибным (квазипоперечным) колебаниям (см. [1, с. 107]). Зона 111 содержит бесконечно много с. з. Они отвечают как квазипоперечным, так и квазитангенциальным колебаниям. Последние слабо реагируют на уменьшение к, в то время как «квазипоперечные» с.з. с уменьшением к движутся налево пропорционально к1 2, заполняя в пределе зону 11 (см. [1, с. 107]). Разумеется, вырождение оператора ¡к в зонах 11 и 111 не регулярно. Тем не менее при фиксированном Х > Д удается для функции распределения моментной задачи
п (Х)= £1 (3)
0<Х^ <Х
найти асимптотически точную оценку. Введем следующее обозначение
о(5, Х) = | V Х-ф1 (|(4)
Пусть Л - число удовлетворяющее при фиксированном Х неравенствам Л > Х, Л > 7, где
1 -о2
4 = ^РТ^ > 5 < 5 2 , (5)
В (5 )
В(5) - расстояние от меридиана до оси вращения. Рассмотрим по аналогии с [6] функцию а(5,Х) - характеристический определитель оператора ¡0, рассматриваемого на отрезке [, 5], 51 < 5 < 52.
Обозначим через р0 (Л) - число 5- нулей а( Х) на интервале (, 52), а через р1 (Х, Л), число ¿-нулей а(52,1) на интервале (Х, Л).
Для оператора ¡к определим числа т и V согласно табл.1. В первом столбце и в первой строке таблицы указан тип граничных условий в точках ^ = 51 и ^ = s2 соответственно. В каждой клетке таблицы слева дано число т , справа V. Таблица симметрична относительно граничных условий в точках
5 = 5 и 5 = 52
Таблица 1 .
(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,2,2) (2,2,2)
(1,1,1) -0.5, 0
(1,1,2) -0.25,0 0, 0
(1,2,1) 0.25, 0 0.5, 0 0, 1
(2,1,1) -0.5, 0 -0.25,0 0.25, 0 -0.5, 0
(2,2,1) 0.25, 0 0.5, 0 0, 1 0.25, 0 0, 2
(2,1,2) -0.25,0 0, 0 0.5, 0 -0.25,0 0.5, 1 0, 1
(1,2,2) 0.5, 0 -0.25,0 0.25, 0 0.75, 0 0.25, 1 -0.25,0 -0.5, 2
(2,2,2) 0.5, 0 -0.25,0 0.25, 0 0.5, 1 -0.75,2 -0.25,0 -0.5, 2 0.5, 3
Ниже через [х] и {х} обозначены целая и дробная части х. Справедлива следующая Теорема 1. Пусть в1 + £<Я<Я0,£> 0
Пусть
|а( 2, Я}>£ (6)
Пусть Я и [ всюду таковы, что £<{т + 5(2,Я)/[п}< 1 — £. Тогда существует такое [0, что при всех 0 < [ < [0 справедлива формула
п
(Я)
т +—— 2, Я)
[П
+ Р0 (Л)-Р1 (Я, Л)+у (7)
Здесь [4 = к2 /12 - малый параметр, а фазовая поправка т и целое число У,0 <У < 3, определяются путем решения безмоментной задачи на малом отрезке (см. табл. 1 ).
Впервые асимптотическая формула (7) была получена в [5] при условиях жесткого защемления торцов. Впоследствии формула была обобщена на некоторые типы граничных условий [6] .
Как и в цитированных работах, при выводе формулы для пк (Я) существенно используется осцилляционная теорема, основанная на том, что при сужении отрезка [, 5 2 ] с.з. задачи, расположенные праве некоторого фиксированного у (см. (5)) возрастают. Последнее утверждение при произвольных граничных условиях требует специального рассмотрения.
Литература.
1. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.; Наука, 1979.
2. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Асимптотические формулы для частот нижней серии в теории оболочек вращения.//Изв. АН Фрм. ССз. Сер. Матем. 1971, Т. 6, №2-3, стр. 113-130.
3. Асланян А.Г. Связь моментной задачи с безмоментной в теории колебаний тонких упругих оболочек. //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1 977, №5, стр. 118-124.
4. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. //Успехи матем. Наук. 1957, т. 12, вып. 5(77), стр. 3-122.
5. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Формула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения. //Дифференц. Ур-ия. 1977, т. 13, № 8, стр. 1355-1365.
6. Асланян А. Г. Формулы для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения при различных граничных условиях. //Функц. анализ и его прлож. 1978, т. 12, вып. 3, стр. 61-63.
7. Асланян А.А., Асланян А.Г., Лидский В.Б. Асимптотические формулы для частот осесимметричных колебаний оболочки вращения. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998, т. 38, №2, стр. 298-309
