CC BY
26
И. М. Ландман
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЧАСТОТАМИ, БЛИЗКИМИ К ТОЧКЕ СГУЩЕНИЯ
1. Введение
При рассмотрении задачи об асимптотическом интегрировании уравнений колебаний вращающейся тонкой цилиндрической оболочки используется разработанный А. Л. Гольденвейзером, В.Б.Лидским и П. Е. Товстиком [1] метод, который на определенном этапе приводит к необходимости нахождения корней характеристического уравнения, содержащего параметры. В случае, когда эти параметры являются малыми (большими) процесс нахождения приближенных значений корней с помощью средств вычислительной геометрии [2] может быть приведен к так называемому методу многоугольника Ньютона [3], являющемуся обобщением метода диаграммы Ньютона [4] на случай произвольного числа параметров. В результате применения этого метода исходное характеристическое уравнения распадается на ряд уравнений меньших степеней (укороченные уравнения), из которых определяются главные члены в выражениях для корней.
В процессе решения этой задачи (см. [1, 3, 5]) было замечено, что для цилиндрической оболочки в областях, в которых параметр частоты собственных колебаний А имеет порядок единицы, укороченные уравнения содержат множитель А2 -1 при старших степенях переменной, т. е. все построения верны для случая, когда параметр А имеет порядок единицы (А ~ 1), но не близок к единице (А « 1). Последний случай требует особого рассмотрения. В данной статье описан метод решения, найдены асимптотические портреты (термин введен Б. Н. Квасниковым в [6]), построены, а в некоторых случаях и упрощены, уравнения для нахождения собственных частот для осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся и невращающихся тонких цилиндрических оболочек для указанной области собственных частот.
2. Описание задачи и метода решения
Уравнения свободных малых колебаний вращающихся изотропных тонких цилиндрических оболочек в безразмерном виде получены в [1] и [5]. Для дальнейшего исследования будет удобнее использовать уравнения в перемещениях (u, v, w), где в качестве неизвестных выступают перемещения срединной поверхности оболочки. Асимптотическое решение исходного уравнения будем искать в экспоненциальной форме (например, u = uo expp s). В первом приближении это приводит к характеристическому уравнению относительно p вида
N
Pn (p; А, m, ^, И) pki^aiАвmYiHEia
(1)
© И. М. Ландман, 2007
где коэффициенты aij равны
ап = _р2 + ггЩ^ ^ Л2 + (! _ ^ П2 (то2 _ р^2) ;
а12 = (1+^)тр, а21 = _(1±^Р;
(222 = —^~y~^P2 + w2 — (l — г/2) Л2 + (1 — г/2) П2 (т2 — Рир2) , ai3 = vp, аз1 = —vp,
аз2 = a23 = m — 2 (1 — v2) (ПА — пгП2) ,
азз = 1 — (1 — v2) А2 + (1 — v2) П2 (m2 — Pvp2)
и коэффициенты bj равны
bii = bi2 = bi3 = &21 = Ьз1 = 0,
b22 = m2 — 2 (1 — v) p2,
b23 = Ьз2 = m3 — (2 — v) mp2,
Ьзз = p4 — 2p2m2 + m4.
Назовем основным случаем тот, в котором граничные условия таковы, что отсутствует начальное осевое усилие (P = 0), а особым — тот, в котором такие усилия есть (P = 1). Уравнение (1) содержит несколько параметров, главный из которых, ц — относительная толщина оболочки, является малым параметром, А — частота колебаний, m — число волн в окружном направлении, П —относительная угловая скорость вращения, v — коэффициент Пуассона. Назовем изображающими точками точки M® = {k®, a®, в®, Y®, в пространстве {k, a, в, Y, £1, каждой из которых приписан «вес» а®, с которым данный член входит в полиномиальное уравнение (3). В работе [3] подробно описан разработанный обобщенный метод диаграммы Ньютона, который основывается на методе асимптотического интегрирования [1] и дает возможность упростить уравнения типа (1) для произвольного набора параметров с помощью символьных вычислений.
С помощью указанного метода можно получить разбиение пространства параметров (p, ^, А, m, П) различной структуры корней характеристического уравнения с помощью средств вычислительной геометрии, а также построить укороченные уравнения. В данной статье рассматриваются колебания вращающихся цилиндрических оболочек с безразмерным параметром собственной частоты А, близким к 1 для различных значений остальных параметров (числа волн в окружном направлении, скорости вращения оболочки и типа граничных условий).
3. Исследование поведения решения в окрестности А2 = 1 в случае осесимметричных колебаний невращающейся оболочки
Рассмотрим сначала случай осесимметричных колебаний m = 0, для которого система уравнений, описывающих колебания, расщепляется на две. Рассмотрим систему [7], описывающую продольно-поперечные колебания, для которой характеристическое уравнение имеет следующий вид:
P(p; ^, А) = (1 — v2) А2 — (1 — v2)2 А4 + (1 — v2) (1 — A2) p2 +
+ (1 — v2) М4АУ + M4p6 = 0. (2)
Проведем исследования поведения собственных частот в окрестности точки А2 = 1, т. е. будем считать, что А2 = 1+А, где А — новый малый параметр. Тогда характеристическое
уравнение (2) в новых переменных принимает следующий вид:
Р(р; м, Л) = (1 - V2) ^1 + - (1 - V2)2 ^1 + - (1 - V2) Ар2+
+ (1 - V2) м4 (1 + Л) р4 + М4Р6 = 0. (3)
Используя в дальнейшем способ, описанный в [3], находим критическую точку с помощью построения выпуклой оболочки в пространстве (р, м,Л). Так как параметр Л — малый (т. е. Л ~ , где к > 0), то нам нужна лишь часть найденной выпуклой обо-
лочки, которая в данном случае состоит лишь из одной грани. Эта грань определяет критическую точку к = 4/3 и разделяет область (рис. 1) на две подобласти 0 < к < 4/3 и к > 4/3.
П I
4/3
Рис. 1. Асимптотический портрет для случая т = 0 и ^ = 0.
Рассмотрим отдельно два случая: к = 4/3 и 0 <к< 4/3. Для случая критической точки (к = 4/3) укороченное характеристическое уравнение выглядит следующим образом: ( ) ( )
Р(р; м, Л) = (1 - V2) V2 - (1 - V2) р2Л + м4р6 = 0. (4)
Теперь построим спектр собственных значений краевой задачи в окрестности точки
2=
1 для свободных осесимметричных колебаний тонкой круговой цилиндрической оболочки с жестко закрепленными краями. Точка Л2 = 1 — это точка сгущения частот безмоментной оболочки. Положим Л2 = 1 + м4/3£. Вначале найдем корни укороченного уравнения (4), сделав следующие замены: м* = М4/(1 - V2), р = М- 2/3V1/3д и £ = £1 V4/3. Тогда относительно новой переменной д, укороченное уравнение (4) будет иметь следующий вид:
д6 - £1д2 + 1 = 0. (5)
Левая часть уравнения (5) раскладывается на множители, один из которых позволяет найти пару чисто мнимых корней ±хг, причем £1 = (х6 - 1)/х2. Остальные корни находятся из уравнения, определенного вторым множителем д4 - х2д2 + 1/х2 = 0. Подставляя общее решение и собственные вектора (ио, Шо)т = (V, р^) в граничные условия жесткого закрепления и(з) = ш(з) = Ш(з) = 0 при 5 = 0, 5 = £, после преобразований получаем уравнение [7] для определения неизвестной х:
tg (М*-2/3И/зЬх) = 2(ж3~41а)з^+2-, (6)
через которую параметр Л выражается формулой
А2 = 1 + ^/3И/3^^. (7)
Теперь рассмотрим случай 0 < к < 4/3. Полученные укороченные уравнения для новых переменных Л таковы:
(1 - V2) V2 - (1 - V2) Лр2 = 0, (8)
(1 - V2) Ар2 + м4р6 = 0.
(9)
Подставляя решения укороченных уравнений (8) и (9) и собственные вектора (в данном случае для обеих серии корней они одинаковые и (и0, ш0)т = ) ) в граничные усло-
вия жесткого закрепления, получаем частотный определитель. Величины Л могут быть получены численно из условия равенства нулю этого определителя. Однако, это уравнение можно попробовать упростить, пренебрегая экспоненциально малыми членами, т. е. членами на левом краю 5 = 0, у которых ^ (р) > 0 и членами на правом краю 5 = Ь, у которых ^ (р) < 0. После проведенного упрощения и громоздких преобразований получаем приближенное уравнение для определения неизвестного параметра Л:
в случае неосесимметричных колебаний невращающейся оболочки
Проведем исследования поведения собственных частот в окрестности точки 2 = 1 аналогичным образом для случая неосесимметричных колебаний (т = 0) невращаю-щихся цилиндрических оболочек (О = 0). В этом случае для получения главных членов корней характеристического уравнения анализируется уравнение, в котором полином X! Рп (р; Л, т, м) не зависит от О. Предположим что т = т0м-Т и Л = Л0мк, где т0 ~ 1 и А0 ~ 1. Таким образом, получаем критическую точку {к, т} = {4/3, 0}. Способом, описанным в [1], можно найти соответствующие критические сегменты и нанести их на координатное пространство, получаем асимптотический портрет (рис. 2) Заметим, что
все члены характеристического уравнения (3) после подстановки выражения для нового параметра Л зависят от четырех параметров: малых м (0 < м ^ 1) иЛ(0 <Л ^ 1) и положительного т (т > 0).
Детальное построение спектра собственных значений Л в окрестности точки Л2 = 1 для свободных неосесимметричных колебаний тонкой круговой цилиндрической оболочки с жестко закрепленными краями можно найти в [1]. Отметим здесь только случай критической точки {к, т} = {4/3, 0}, в котором укороченные уравнения выглядят следующим образом:
(10)
4. Исследование поведения решения в окрестности Л 2 = 1
г
1
О
4/3 2 к
Рис. 2. Асимптотический портрет для случая т = 0 и ^ = 0.
(1 — V2) V2р2 + 2 (1 — V2) т2р2 — (1 — V2) р4Л + м4р8 = 0, 2v2 (1 + V) — т2 (—2 — 2v + V2) — т4 + р2V2 + 2т2р2 = 0.
Найдем корни первого укороченного уравнения (11), сделав следующие замены: = ^4/(1 — V2), р = 2/3 (2т2 + ^2)1/6 д и г = (2ш2 + ^2)4/3. Тогда относитель-
но новой переменной д второе укороченное уравнение (11) будет иметь вид (5). Собственные вектора для первой серии корней (11) имеют вид (ио, «о, и>о)т = ^/р*, т(2 + v)/p2,1), а для второй серии корней они содержат в себе очень громоздкие выражения. Подставляя решения (11) и собственные вектора в граничные условия жесткого закрепления и(в) = и>(в) = ад'(в) = «(в) = 0 при в = 0, в = Ь, после преобразований получаем следующее уравнение для определения неизвестной х:
Ч („Г2'3 (2т2 + ^)1/6 1*) = 2(13~41]^6 + 2х3, (12)
через которую параметр Л выражается формулой
6
А2 = 1+/4/3(2т2 + г,2)2/3^^. (13)
Для жестко закрепленной цилиндрической оболочки с параметрами Ь =3, V = 0.3, т = 3 сравним величины параметра частоты собственных колебаний, полученные численным и асимптотическим методами, при изменении параметра относительной толщины оболочки у«. Решения представлены в табл. 1, из которой можно заметить, что с ростом параметра относительной толщины оболочки ц увеличивается параметр частоты собственных колебаний , а также увеличивается ошибка его нахождения.
Таблица 1
Л (числ.) Л (асимпт.) Ошибка (в % )
0.03 0.980 0.987 0.7
0.05 1.049 1.032 1.7
0.1 2.151 1.426 33.7
0.2 3.777 2.168 42.6
5. Исследование поведения решения в окрестности Л2 = 1
в случае осесимметричных колебаний вращающейся оболочки
В основном и особых случаях характеристический полином У~] Рп ^р; А, ^, П^ в новых переменных не зависит от т. Положим А = Ао^к и где Ао ~ 1 и П = Поя-е, где По ~ 1. Применяя процедуру, описанную в предыдущем пункте, получаем критические точки {к, е} = {4/3,0} и {к, е} = {4/3,4/3} для основного и особого случаев соответственно, а также соответствующие критические плоскости и критические сегменты. После нанесения их на координатное пространство, получаем асимптотические портреты (рис. 3)
Заметим, что в работе рассматриваются только начальные состояния равновесия с малыми деформациями, описываемые линейной теорией, в которой деформации много меньше 1. Поскольку начальные деформации пропорциональны П2, получаем следующее ограничение на П: 0 <е< то. В зависимости от направления вращения По может быть либо положительным, либо отрицательным, а ограничения на остальные параметры здесь также верны.
Из рис. 3 видно, что в основном случае параметр вращения не влияет на частоту колебаний А в главных членах. В особом случае, когда граничные условия таковы, что вращение оболочки создает начальное осевое усилие, параметр вращения входит
Рис. 3. Асимптотические портреты для основного и особого случаев при т = 0 и ^ = 0.
Рис. 4. Асимптотические портреты для основного и особого случаев при т = 0 и ^ = 0.
в укороченные уравнения и, следовательно, уже в первый член асимптотического разложения для Л. К примеру, укороченные уравнения на критическом сегменте т = к таковы:
(1 — V)2 V (1 + V) р6О2 + (1 — V) р8= 0,
(1 — V)2 V2 (1 + V) р2 + 2(1 — V)2 V2 (1 + V)2 = 0,
(1 — V)2 V2 (1 + V) р2 + (1 — VУ V (1 + V) р6О2 — (1 — V) 2 (1 + V) р4Л = 0.
(14)
6. Исследование поведения решения в окрестности Л2 = 1
в случае неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки
Приведем также результаты, полученные с помощью уже рассмотренного алгоритма, для общего случая неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек. Предположим, что т = т0уГТ, Л = Лои О = О0, где т0 ~ 1, Л0 ~ 1 и О0 ~ 1. Тогда критическими точками будут {к, т, е} = {{4/3, 0, 2/3}, {4/3, 2/3, 0}} и {к, т, е} = {{4/3, 0, 4/3}} для основного и особого случаев соответственно. Построив критические точки, плоскости и сегменты в координатном пространстве {к, т, е}, получаем асимптотические портреты (рис. 4)
Заметим, что та часть асимптотического портрета (см. рис. 4), которая видна из (0,0, +то), соответствует случаю невращаюшейся оболочки (е ^ 0) (рис. 2), а те части асимптотических портретов (см. рис. 4), которые видны из (0, —то, 0), соответствуют основному и особому случаям неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки (m ^ 0) (см. рис. 3).
Заметим, что в отличии от осесимметричных колебаний (см. п. 5) влияние вращения на частоту колебаний проявляется и в особом, и в основном случаях.
Summary
I. M. Landman. On the rotating cylindrical shell vibrating with the frequencies close to the accumulation point.
Vibrations of the rotating and non-rotating thin cylindrical shell with the natural frequencies close to the accumulation point are considered. In construction of the asymptotic solution the generalized Newton’s method is applied for the analysis of the characteristic equations. The algorithm is realized with the tools of computational geometry in “Mathematica 5.2”.
Литература
1. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. С. 384.
2. Preparata F. R., Hong S. J. Convex hulls of finite sets of points in two and three dimensions // Commun. ACM. Vol. 20. 1977. P. 87-93.
3. Haseganu E.M., Landman I.M., Smirnov A. L. Asymptotic integration of free vibration equations of cylindrical shells by means of symbolic computation // Advances in Mechanics of Solids. World Scientific Publishing Co Ltd., 2006. P. 85-104.
4. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, Физматлит, 1998. C. 179-185.
5. Смирнов А. Л., Товстик П. Е. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. C. 280-290.
6. Квасников Б. Н. Интегрирование уравнений тонких упругих оболочек с быстро и медленно меняющимися коэффициентами // Прикладная механика. Вып. 8. Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Л.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1990. C. 163-172.
7. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в примерах и задачах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. С. 276.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
