Прецессии неуравновешенного ротора, нецентрально укрепленного в упругих опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3; 534.1

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

О. В. Федчун, А. Л. Смирнов

ВОЗМУЩЕНИЯ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК

1. Введение

Известно, что анализ задач колебаний и устойчивости упругих систем предполагает решение граничных задач. При этом частоты колебаний или критические нагрузки являются корнями характеристического уравнения. Найти аналитические выражения для значений корней возможно лишь для узкого круга задач. Однако в случае, когда коэффициенты характеристического уравнения зависят от больших и/или малых параметров, возникает возможность асимптотического нахождения корней. Использование метода возмущений в случае, когда исходная граничная задача сводится к стандартной или обобщенной задаче на собственные значения (задача о самосопряженном возмущении) является стандартным приемом. В статье рассмотрен случай, когда исходная задача сводится к задаче на собственные значения для пучка операторов (несамосопряженное возмущение). Математические аспекты решения таких задач впервые рассматривались М. В. Келдышем, опубликовавшим в [5] результаты своих исследований по спектральной теории несамосопряженных операторов, где впервые рассматривался широкий класс операторов в гильбертовом пространстве, полиномиально зависящих от спектральных параметров (пучки Келдыша). Исследованию линейных несамосопряженных операторов посвящено исследование [4]. К такого вида задачам приводит, например, анализ колебаний вращающихся упругих тел. Методы возмущений к решению некоторых задач в случае матриц и несамосопряженных дифференциальных операторов применялись в [2], а для исследования колебаний вращающихся оболочек в [6] и [7]. Если рассматриваются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, а переменные разделяются, то задача сводится к исследованию поведения собственных чисел пучка матриц. Применению метода возмущений для такого рода задач посвящена данная статья.

2. Случай простых собственных корней

Начнем с рассмотрения стандартной задачи на собственные значения. Рассматриваем задачу вида

^

Аи = Хи, А = Ак^к. (1)

к=0

Здесь А — матрица размера [п х п], и — собственный вектор размера [п х 1], X — собственное число, а ¡л — малый параметр, то есть л ^ 1. Рассматривается случай, когда матрица Ао симметрична. Представляя собственные вектора и числа матрицы А в виде рядов по малому параметру ¡

и = ^ и к ¡к, х = ^ Хк ¡к, (2)

к=0 к=0

подставим их в (1) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ¡ , получим

© О. В. Федчун, А. Л. Смирнов, 2006

систему уравнении

k-i

(Ас - Ао I )и к = в - А—и 8) + (Ак и о - Лк и о), к = 0,1,... . (3)

8=1

При к = 0 получаем спектр АО и собственные векторы и£ невозмущенной задачи. Пусть все собственные числа невозмущенной задачи простые, а ортонормированные собственные векторы е^ невозмущенной задачи образуют базис, в котором мы представляем вектора в виде

п

и к = Е ез, г = 1,...,п. (4)

3=1

Очевидно, что

ВОз = ¿ц, г,з = 1,...,п (5)

где ¿з — символ Кронекера.

Подставляя (4) в (3), получаем

п п к-1

5>0 - АОБ^ = ££ В^Ак^е! - Лк-е) + Аке< - Лке<,

1 = 1 1 = 1 8 = 1

г = 1,...,п, к = 1, 2,... (6)

При выводе (6) использовалось равенство

Лоез = А0е3. (7)

Используя свойство ортогональности собственных векторов невозмущенной задачи е^, полагаем ] = г и получаем формулу для определения коэффициентов :

Щз = ... 1 ... ( X) ( ) ~(Аке^е\ '../ I.....

(А0- А0Н 8=Л 1=1 ) )

(8)

Коэффициенты Бгкг для к =1, 2,... не определены. Мы можем положить

=0 при к =1, 2,... (9)

Это означает, что поправку к собственному вектору ег мы ищем в подпространстве ортогональном этому вектору. Теперь, полагая ] = г, получим формулу для А\:

К = DSi Ak-sei )ei + (Akei )ei, i = 1,...,n k = 1, 2,.... (10)

s=1 l=i

Используя полученные формулы, можно последовательно определить сколь угодно много поправок к собственным числам и векторам.

3. Обобщенная задача на собственные значения

Аналогичный прием используется для решения обобщенной задачи на собственные значения вида

AU = XBU, (11)

где

ж

кк

л = £ Ак¡к, в = £ Вк¡к (12)

к=1 к=1

в случае, когда матрицы А0 и В0 симметричны.

Собственные числа и вектора также ищутся в виде рядов по малому параметру. Собственные вектора е^ невозмущенной задачи обладают следующими свойствами:

(А0 е{)е^ = Х0, (Во е{)е^ = 6^.

Пользуясь тем же алгоритмом и учитывая указанные свойства, получим формулы для ^ и Хк.

4. Спектр пучка операторов

Теперь перейдем к задаче о несамосопряженном возмущении (спектр пучка операторов). Рассматривается задача вида

Аи = В(Х)и, (13)

где матрицы А и В представляются в виде

ж N ж

А =]Т Аклк, В = ]Т ВХ\ В1 = ]Т В^к ¡к. (14)

к=0 г=1 к=0

Решение, как и прежде, ищется в виде разложения по малому параметру ¡ . Нас интересует частный случай данной задачи, а именно

А = А0 + А2р2 В = ВггрХ + IX2. (15)

Задачи такого вида возникают при исследовании свободных колебаний вращающихся тел. В этом случае член А0 связан с упругой энергией невращающегося тела, А2 —с энергией начальных напряжений и центробежных сил и В1,1 — с энергией сил инерции Кориолиса. При этом и — вектор перемещений, Х — параметр собственной частоты, ¡1 — параметр угловой скорости вращения. Для удобства индексации переобозначим В1,1 = А1 . На этот раз, представляя собственные вектора и числа матрицы А в виде (2), подставляя (2) в (13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ¡ , получим

к-1 / к-8 \ (А0 - (Х0)2 I )и к |Хк-е-1 Аги е — А2ик-2 +^ Х1 Хк-е-1 и Л , к = 0,1,...

8 = 0 \ 1 = 0 )

(16)

При к = 0 задача на собственные значения имеет вид

Аи0 = (Х0)2 и0. (17)

Спектр состоит из п пар частот вида +Х0, — Х0, каждой из которых соответствует собственный вектор и0. Будем рассматривать случай, когда все собственные числа Х0 просты и отличны от нуля. Тогда собственные вектора образуют ортогональный базис,

элементы которого после нормирования обозначим е^. Представив вектора в виде (4) и подставив в (16), получаем

^ I (Х0 )2 — (Х0)^ Б1з е3

3 = 1 4 1

п к-1 / к-е \

= ЕЕ Хк-е-Аез — Бк-2,3А2ез + ^ХХк^Б3еЛ . (18)

3=1 8=0 \ 1=0 )

Умножив равенство (18) на ер и положив р = г, получим выражение для определения поправки к частоте Х1к:

п /к-1 /к-е-1

Хк = Е Е Е -ХБ (Вк-е-ге1) е+

1 = 1 V е=1 V г=0

+ (Ак-еех) е^ — ^ Хг (В-е^ е1 + (Аке¿) е^ ,

к =1, 2,..., г = 1,...,п, а при р = г получаем поправки к собственному вектору ик:

п /к-1 / к-е

= 1^^Е Е (Вк-.-^е,-

Х0 — Х0 1 = 1 \ е=1 \ г=0

— (Ак-еех) е^ + ^ Хг (В) ез — (Аке^ е^ ,

к =1, 2,..., г,з = 1,...,п.

Как и ранее, используем свойства

Б0,з = 6з, =0.

А теперь выпишем первые поправки к частоте и собственному вектору:

и [Ме^ ,

Х1 =----, г = 1,. .., п,

Х

= —:-^-(АлеЛег, п = 1,..., п, гф1,

10 (Ад)2 — (Хд)2 ' " ^ ' ' '

л<= 1 /^(ХЬ)2(А1е,)ез(А1ез)е, ((А1е,)е,)2 2 (Аё)2 - (А&)2 4 1 ^

г = 1,...,п г = з,

_ (ло) у^ (А1в»)в;(А1в;)е3- (А2е^е

2Э ~~ (\Г\2 ( \г\2 2-^1

2

(19)

(Х0)2 — (Х0)2 ^ (Х0)2 — (Х0)2 Х)2 — (Х0)2 3)2 + (Х0

(ло) + (ло) ¡^ = 1 г^з, 1^1.

2 ((Х0)2 — (Х0)2)

Можно заметить, что первые поправки для частот из пары ±Л® одинаковы, а поправки к соответствующему собственному вектору отличаются знаком. Для второй поправки ситуация обратная:

Лг± = ±Л0 + ¡Л\ ± ц2Л2 ■■■ , и = и) ± ¡и\ + ¡2и\ ±■■■ . (20)

Возмущение в указанной задаче приводит к расщеплению собственных частот и векторов и к их сдвигу. При этом ответственными за расщепления оказываются нечетные члены разложения.

Уместен вопрос, при каких условиях на матрицу Ах в указанной задаче происходит только сдвиг частот. При произвольном п достаточным условием оказывается следующее ограничение на коэффициенты матрицы Ах:

Ъгз ац =0 и Ъгз = Ъ^, = 1,...,п. (21)

При п = 3 укажем конфигурацию матриц А и Ах, при которой также не происходит расщепление спектра:

( х 0 х \ /0 х 0 \

А = I 0 х 0 I , Ах = I х 0 х I , (22)

х 0 х 0 х 0

где х отмечены ненулевые члены. Отметим, что для осесимметричных колебаний (д = 0) вращающихся оболочек вращения нечетные коэффициенты равны нулю и вращение вызывает только сдвиг частот без расщепления. Что же касается собственных векторов, то их расщепление происходит во всех случаях, кроме тех, когда базисы матриц А и Ах совпадают.

5. Колебания вращающейся оболочки

Рассмотрим уравнение колебаний вращающейся оболочки, имеющее структуру

(Ао - ¡ЛАг + ^2А2 - Л21 )и = 0, (23)

где

/ а Ъ с \ / 0 0 0 \ / д2 0 0 \

= I Ъ а е I , А1 = I 0 0 2 I , А2 = I 0 д2 2д I ,

\с е / / \ 0 2 0 у \0 2qq2/

2 , 1 ~ V 2 , 1 + V

а = Р Н--—д , Ь =

с=ир, ¿=Щ^р2+ д2+ к4{2р2{1-1у) + д2)7

е = д + Н4((2 - и)р2д + д3), / = 1 + НА(р2 + д2)2,

д = т/2, р = (кп)/Ь, т и к — соответственно число волн в окружном и осевом направлении, Ь и Н — соответственно относительная длина и толщина оболочки, V = 0.3 — модуль Юнга материала оболочки.

Для того, чтобы определить частоту Л следет знать Ло и Ц). В общем случае формулы для Ло и и о достаточно громоздки и содержат параметры р, V, Н, д.

Рассмотрим колебания тонкой оболочки средней длины при V = 0.3, с числом волн по параллели т = 3 и с одной волной в осевом направлении (к = 1). Колебания с таким числом волн представляют особый интерес, поскольку при таких к собственные частоты будут минимальны [3].

По рис. 1-2 можно проследить, как происходит расщепление собственных частот и увидеть насколько незначительные погрешности дает асимптотический метод при учете двух первых членов при малых значениях На рисунках изображены модули значений Л трех частот для фиксированного числа волн т. Точным значениям соответствуют сплошные линии, штриховые линии — п-членным приближениям.

Рис. 2.

Решение невозмущенной задачи представленно в табл. 1.

Таблица 1

Ао и о(^)

±0.258669 ±1.1917 ±2.0077 {0.1645, -0.545619, 0.82173} {0.883854, -0.288293, -0.36836} {0.437883, 0.786885, 0.434823}

Собственные векторы, ортогональные для невозмущенной задачи, теряют ортогональность для ненулевых Например, условие ортогональности для уравнения (23) при условии, что Ао симметрична, имеет вид

/л^А^з + (X + х )и = 0.

В табл. 2 и в табл. 3 представлены для сравнения результаты, полученные аналитически и по асимптотическим формулам.

Таблица 2

двучленное трехчленное

Ао А(/_4 = 0.1) приближение приближение

Л^1 -2.0077 -2.0928 -2.09237 -2.09287

-1.1917 -1.22322 -1.22369 -1.22329

Л1 -0.258669 -0.175606 -0.175811 -0.175812

л? 0.258669 0.355142 0.355151 0.35525

1.1917 1.181153 1.18122 1.18162

2.0077 1.95495 1.9555 1.955

Таблица 3

точное решение трехчленное приближение

и* и2 и1 1Т\ 1Т\ и\ {0.385106, 0.782076, 0.489949} {0.900799, -0.253573, -0.352507} {0.162971, -0.551193, 0.818307} {0.165342, -0.541879, 0.824033} {0.870054, -0.319636, -0.375285} {0.483193, 0.790688, 0.375948} {0.385051, 0.7821, 0.489955} {0.900845, -0.253537, -0.352423} {0.162974, -0.551208, 0.818296} {0.165346, -0.541889, 0.824025} {0.8701, -0.319598, -0.37521} {0.483193, 0.790718, 0.375965}

Заметим, что ряды (20) являются сходящимися лишь в некоторой окрестности нуля. Это продемонстировано на рис. 3.

1 Я I

2

1.75 1.5 1.25 1

0.75 0.5 0.25 '

Рис. 3.

На графике изображены трех, четырех, девяти и десятичленные приближения первой собственной частоты и точное решение (сплошная линия). Видно, что в окрестности некоторой точки приближения резко удаляются от точного решения.

Область сходимости ряда, то есть область применимости метода возмущений, исследована в [6]. Эта область существенно зависит от показателя изменяемости решения.

Низкочастотные колебания цилиндрических оболочек — это квазипоперечные колебания промежуточной изменяемости. Для таких колебаний метод возмущения применим при условии

р<£-1/2, £ ~ Н-1'4,

то есть в рассматриваемом случае при р < 0.4. Действительно, одно из собственных чисел задачи (23) при р = 0.37 обращается в 0.

Summary

0. V. Fedchun, A. L. Smirnov. The perturbation of the spectrum of natural frequencies of shell vibrations.

The algorithm of construction of the eigenvalues and eigenvectors for the perturbed matrices are considered. The non-self-adjoint perturbation is typical for the free vibrations spectra of rotating solids. The algorithm realized in "Mathematica 5.0" permits to construct the arbitrary number of terms in series for eigenvalues and eigenmodes. As an example spectrum of vibrations of rotating cylindrical shell with initial strains due to centrifugal force and Coriolis forces is considered.

Литература

1. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. Ижевск: Динамика и стахостическая механика, 2005.

2. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, №3. С. 3-80.

3. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979.

4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М: Наука, 1965.

5. Келдыш М. В. О собственных числах и собственных векторах некоторых классов несамосопряженных уравнений // Доклады АН СССР. 1950. Т. 77. №1. С. 11-14.

6. Смирнов А. Л., Товстик П. Е. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения // Современные проблемы механики и авиации. 1984. C. 280-290.

7. Smirnov A. L. Free vibrations of the rotating shells of revolution. The Transactions of the ASME // Journal of Applied Mechanics. 1989. Vol.56. N2. P. 423-429.

Статья поступила в редакцию 3 ноября 2005 г.