Устойчивость и низкочастотные колебания тонких оболочек с полностью или частично отрицательной гауссовой кривизной Текст научной статьи по специальности «Физика»

УСТОЙЧИВОСТЬ И НИЗКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК С ПОЛНОСТЬЮ ИЛИ ЧАСТИЧНО ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНОЙ

М. Б. Петров

Университет Свазиленда (University of Swaziland),

Dr. sci., профессор, mbpetrov@uniswacc.uniswa.sz

1. Более пятидесяти лет назад было замечено [1, 2], что оболочки отрицательной гауссовой кривизны обладают рядом особенностей. Например, вогнутые оболочки при тех же самых граничных условиях имеют более низкие частоты и теряют устойчивость ранее, чем выпуклые. Кроме того, при неосесимметричных колебаниях или после потери устойчивости вмятины обычно покрывают всю вогнутую часть оболочки.

Оболочка вращения имеет отрицательную гауссову кривизну, если Ri R2 < 0, где Ri и R2 —радиусы кривизны. Низшая часть спектра таких оболочек (устойчивость и колебания) была исследована П. Е. Товстиком [3, 4] и его учениками Т. В. Лийвой [5] и М. Б. Петровым [6]. Ссылки на другие публикации этих авторов имеются в обзоре [7].

Что касается оболочек вращения частично отрицательной и частично положительной гауссовой кривизны, то асимптотические ряды, используемые в [5], не годятся вблизи точки, где кривизна меняет знак. Эта точка является точкой поворота. При переходе через нее решения дифференциального уравнения существенно меняют свой характер. Р. Е. Лангер [8] показал, что асимптотические разложения решений в окрестности точек поворота не выражаются через элементарные функции. Равномерные асимптотические разложения при наличии точек поворота могут быть получены с помощью специальных эталонных функций, имеющих те же самые качественные особенности, как и решения уравнения. Рассматривая тороидальную оболочку, кривизна которой R-1 меняет знак, Лангер выразил асимптотические интегралы через функции Бесселя порядка 1/3. В работе [9] для этой и аналогичных задач в качестве эталонных функций использованы функции Эйри.

2. Рассмотрим двумерный вариант теории [3, 4, 7] оболочек:

3

'У ' + Lij) Uj + Fi =0, i = 1, 2, 3, (1)

j=1

где функции Uj («1,0:2) —проекции смещения; Nij(01,«2) и Lij(01,0:2) —линейные дифференциальные операторы, 01 и «2 —ортогональные криволинейные координаты на срединной поверхности, Fi — проекции нагрузки, ц > 0 — малый геометрический параметр,

4 _ Ь2

М " 12Д2(1 — V2)'

Здесь h — толщина оболочки, которая предполагается малой по сравнению с характерным размером R, v — коэффициент Пуассона. Подробная информация об операторах Nij и Lij имеется, например, в [3, 4, 7].

© М. Б. Петров, 2011

Функции ^ пропорциональны собственному значению Л. В задаче об устойчивости начального безмоментного напряженного состояния, характеризуемого усилиями Т0, Т20 и Б(0), эти функции имеют вид

где С(«1 ,«2) —линейный оператор, зависящий от коэффициентов Ламе и начальных усилий [7].

В случае колебаний

где р — плотность, Е — модуль Юнга, ш — собственная частота.

Для оболочек вращения удобно в качестве криволинейных координат взять длину дуги меридиана в и угол в окружном направлении у>. После разделения переменных

Система (2) имеет восьмой порядок, поэтому необходимо задать по четыре граничных условия на каждом краю оболочки:

где В1 и В2 — линейные дифференциальные операторы.

3. Рассмотрим низшую часть спектра. Удобно разделить интегралы системы (2) на две группы. Первая группа состоит из четырех интегралов краевого эффекта с показателем изменяемости, равным 1, то есть ¿У/йв = ^-1У. Асимптотические ряды и их ведущие члены приведены в [4, 7]. Пусть х — любая из координат вектора У. Тогда

Что касается остальных четырех интегралов, описывающих главное напряженное состояние, то их асимптотические представления определяются геометрией оболочки и граничными условиями.

Если граничные условия исключают изгиб [3], то есть деформацию оболочки без растяжения, сжатия и сдвига, то порядок первого собственного значения (критической нагрузки или низшей частоты) зависит от знака гауссовой кривизны к = (Д1Д2)-1:

Для оболочек отрицательной гауссовой кривизны четыре главных интеграла системы (2) были построены в [5]:

= ^2 = 0, ^ = ЛС (аі,«2)из,

= -Лпі, Л = рД2^2Е 1,

«,(в,^) = «,(в)егт^,

получаем следующую систему:

^(в, т, Л)У = 0,

где ^ — линейный дифференциальный оператор [3, 4, 7], Ут = (м1,м2,из).

(2)

Вк(У(вк)) =0, к = 1, 2,

где АП + 1/Д2 = 0, п = 1, 2, 3,4.

Л ~ М4/3, т ~ ^ 2/3, &>г к < 0,

Л ~ ^2, т ~ М-1/2, їог к = 0, Д-1 = 0.

(3)

п = 5, 6, 7, 8,

(4)

где 95 = 96 = ir, 97 = 98 = -ir,

r

|Й2/В2Й1|1/2.

Здесь В — расстояние между точкой на срединной поверхности и осью симметрии, 7(х) —показатель интенсивности.

Асимптотический анализ влияния тангенциальных граничных условий на критическую нагрузку и низшую частоту был проведен в [3-5]. Влияние на критическую нагрузку нетангенциальных граничных условий и локальных начальных неправильностей исследовано в [6].

Если граничные условия допускают изгиб оболочки, то наименьшее собственное значение уменьшается. При колебаниях со сверхнизкими частотами система уравнений (1) имеет два безмоментных и два изгибных интеграла. Безмоментные интегралы являются решениями безмоментных уравнений, которые получаются из (1) при ^ = 0.

Изгибные интегралы описывают деформацию срединной поверхности, при которой тангенциальные деформации равны нулю [10-12].

4. Интересная ситуация возникает в том случае, когда оболочка имеет частично отрицательную и частично положительную гауссову кривизну:

Из (4) следует, что ^б(в*) = ^(в*), и, следовательно, в* является точкой поворота для системы (2).

Если искать низшую часть спектра, то, учитывая оценки (3), следует предположить, что центральная часть оболочки вогнута. В работах [9, 13] четыре основных интеграла были представлены в следующем виде:

путем подстановки (5) и (6) в (2) и приравнивания коэффициентов при и mpdU/dn,

p = 0,1, 2,...

В [14] были исследованы сверхнизкие частоты колебаний оболочек знакопеременной гауссовой кривизны. В частности, показано, что если один край оболочки закреплен, а другой свободен, то низшая частота и соответствующее ей число волн, m, будут меньше, чем для выпуклой оболочки с теми же самыми граничными условиями.

Литература

1. Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S. Theory of plates and shells. McGraw-Hill. Inc., 1959. 580 p.

Д2 > 0, R-1(s*)=0, (R-1(s*))' < 0.

а x(k) — формальный асимптотический ряд,

1=0

Функция £(s), коэффициенты x(k,1)(s) и показатели интенсивности Yk(x) находятся

2. Алумяэ Н. А. Определение критического давления оболочек, очерченных по однополостному гиперболоиду // Прикл. мат. и мех. Т. 20. №2. 1956. С. 397-408.

3. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

4. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

5. Лийва Т. В., Товстик П. Е. Об устойчивости в линейном приближении оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны // Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение, 1970. С. 231-238.

6. Петров М. Б. О чувствительности жестко заделаннной оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны к осесимметричному несовершенству вблизи края // Прикладная механика. Вып. 3. Изд. ЛГУ, 1977. С. 76-87.

7. Bauer S. M., Filippov S. B., Smirnov A. L., Tovstik P. E. Asymptotic methods in mechanics with application to thin shells and plates, Asymptotic methods in Mechanics (A. L. Smirnov and R. Vaillancourt, eds), S R M Proceedings and Lecture Notes. Vol. 3, A M S, Providence, R.I., 1993. P. 3-140.

8. Langer R. E. On the asymptotic solutions of ordinary differential equation // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 33. 1931. P. 23-64.

9. Петров М. Б., Товстик П. Е. Низкочастотные колебаниях оболочек вращения знакопеременной кривизны // Труды XII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ереван, 1980. С. 181-124.

10. Ross E. W. (Jr). On inextensional vibrations of thin shells // Trans. ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. Vol. 35. 1968. P. 516-523.

11. Петров М. Б. Приложение вариационного метода к устойчивости тонких упругих оболочек // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. №13. 1978. С. 44-146.

12. Петров М. Б. Исследование потери устойчивости оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны по формам чистого изгиба // Прикладная механика. Вып. 4. Изд. ЛГУ, 1979. С. 211-224.

13. Товстик П. Е. О колебаниях и устойчивости оболочек вращения, имеющих участки положительной и отрицательной гауссовой кривизны // Прикладная механика. Вып. 6. Изд. ЛГУ, 1984. С. 145-152.

14. Петров М. Б. Интегралы уравнений сверхнизкочастотных колебаний оболочек вращения знакопеременной гауссовой кривизны // Прикладная механика. Вып. 6. Изд. ЛГУ, 1984. С. 161-168.

Статья поступила в редакцию 6 октября 2010 г.