CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 511. 344 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-139-168
Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми
3. X. Рахмонов, Ф. 3. Рахмонов
Рахмонов Зарулло Хусенович — доктор физико-математических наук, профессор, академик HAH Таджикистана; Институт математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected], [email protected],
Рахмонов Фируз Заруллоевич — кандидат физико-математических наук, Институт математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: [email protected]
Аннотация
При п ^ 3 получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального N в виде суммы г = 2" + 1 слагаемых, каждое из которых
является п-ой степенью натуральных чисел х^ г = 1,г, удовлетворяющих условиям
2
|ж" - PiN| < Н, Н > N в(п, г) =
(г + 1)(п2 — п)'
где ..., — положительные фиксированные числа и + ... + = 1. Этот результат является усилением теоремы Е. М. Райта.
Ключевые слова: проблема Варинга, почти пропорциональные слагаемые, короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля, малая окрестность центров больших дуг.
Библиография: 30 названий. Для цитирования:
3. X. Рахмонов, Ф. 3. Рахмонов. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Чебышёвский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 139-168.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 511. 344 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-139-168
Asymptotic formula in the Waring's problem with almost
proportional summands
Z. Kh. Rakhmonov, F. Z. Rakhmonov
Rakhmonov Zarullo Khusenovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, academician of the NAS of Tajikistan; A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected],, [email protected]
Rakhmonov Firuz Zarulloevich — candidate of physical and mathematical sciences, A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: [email protected]
Abstract
For n > 3, an asymptotic formula is derived for the number of representations of a sufficiently large natural number N cis ci sum of r = 2" + 1 summands, each of which is an n-th power of natural numbers Xi, i = 1, r, satisfying the conditions
|ж" - ¡лiN| < H, H > N
i-в
n,r ) + £
6(n, r) =
2
(r + 1)(n2 — n)'
where ..., are positive fixed numbers, and + ... + = 1. This result strengthens the theorem of E.M. Wright.
Keywords: Waring problem, almost proportional summands, short exponential sum of G. Weyl, small neighborhood of centers of major arcs.
Bibliography: 30 titles. For citation:
Z. Kh. Rakhmonov, F. Z. Rakhmonov, 2024. "Asymptotic formula in the Waring's problem with almost proportional summands" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 139-168.
1. Введение
Проблему Варинга с почти пропорциональными слагаемыми впервые исследовал М. Е. Райт [1, 2]. Для количества представлений достаточно большого числа N в виде
ж? + ж? + ... + х™ = N,
(1)
-1 +
где Х1,Х2,... ,хг — натуральные числа и
К - ^ | < N1-в, г = 1, 2,...,г, ц.1 + ^2 + ... + = 1,
где ц,1,..., ц,г — положительные фиксированные чиела, а число в = 9(п, г) определяется из соотношения
1 i (г — 2га)(2га-1 + 1) г — (п — 2)2га-1 — 4 г — 2"-1
и(п, г) = — mm --г---,---,---
V > п У(пг + п — 2'П — з)2га-1 + г г + 2га-1 — 4 пг — 2га-1 + п — 1/
он нашёл асимптотическую формулу при
г ^ г(п) = (п — 2)2га-1 + 5. Отсюда, в частности для п = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при г = (п — 2)2га-1 + 5, имеем
(2)
(3)
n 3 4 5 6 7 8 9 10
r(n) = (n — 2)2ra-1 + 5 9 21 53 133 325 773 1797 4101
9(n, r) 1 51 1 100 1 325 1 966 1 2695 1 6279 1 18441 1 46090
Таблица 1
В 2010 г. Дерк Деймон [3] пользуясь теоремой о среднем И. М. Виноградова и процедурой «биномиального спуска», при г ^ гп, где
Г2 = 9, гз = 19, Г4 = 49, Г5 = 113, г6 = 243, г7 = 417, г8 = 675, г9 = 1083,
г10 = 1773,
тп — 2
5п\ 29п2 7п 2
-In п +--In In п +--In In In n + Cn
3 30 3
+ 1,
n > 10,
С — абсолютная постоянная, доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения (1), при выполнении условий
X - У < X] < X + У, 1 < 2 < г, X =
( 7 )
, У = у/ХУп, Уп = (1п X)
Гп-1
где У2 - функция от X, стремящаяся к бесконечности вместе с X, (см. также [4, 5]).
Заметим, что теорема М. Райта об асимптотической формуле в проблеме Варинга с почти
пропорциональными слагаемыми при
Уг
то есть при
N
N
1-в
--N< х< < \ — + N1
превращается в теорему об асимптотической формуле в проблеме Варинга с почти равными слагаемыми с параметрами 9 = в(п,г) и г = г(п), которые определяются в формулах (2) и (3). Эта асимптотическая формула в сильнее теоремы Дерка Деймона в смысле количества слагаемых при п = 3, 4, 5, 6, 7.
Воспользовавшись поведением коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида
Т(а; х,у) = ^ е(атп),
х—у<т^х
в больших дугах [6, 7] в сочетании с нетривиальными оценками этих сумм в малых дугах [8], были доказаны асимптотические формулы для количества решений в следующих аддитивных задачах с почти равными слагаемыми:
• в проблеме Варинга с почти равными слагаемыми для п = 3, 4, 5 [9, 10, 11, 7], то есть
(5)
(—т
\2п + 1)
^ Н,
г = 1,..., 2п + 1,
Н > N « -в(п)+е
при
9(3) = —, в(4) = —, в(5) = —. 30' 108' 340
в обобщении [12, 6, 13] тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде
Р1 + Р2 + тп = Ы, при п = 2, 3, 4, в простых числах р1, р2 и натурального т, с условиями
Pi -
N
3
^ Н, г = 1,2,
П N
тп - —
3
^ Н,
Н > N1-в(п)
соответственно при
0(2) = 4, С2 = 2; 9(3) = 6, с3 = 3; 9(4) = 1, с4 = у.
В этой работе доказано, что теорема Е. М. Райта об асимптотической формуле в обобщении проблемы Варинга с почти пропорциональными слагаемыми имеет место при условии
9(п, г) =
2
(г + 1)(п2 — п)'
г = 2п + 1.
(5)
1
г
Г
Г
Теорема 1. Пусть N ^ достаточно большое натуральное число, п ^ 3 — натуральное число, г = 2п + 1 Д1,..., дг — положительные фиксированные числа, удовлетворяющие условию
Д1 + ... + дг = 1,
Зп,г ) — число решений диофантова уравнения (1) с условиями
\х? — | < Н,
г = 1,...,г
в(п, г) =
2
( г + 1)(п2 — п)'
Тогда при Н ^ N 1—е(п,г)+£ справедлива, асимптотическая формула,:
(в)
А,(N, Н) = 212(п^) Пд
-1 +1
п'
S(N)
Н
г-1
+ о
i=1
п&) '
где 7(п, г) — абсолютная постоянная, которая определяется соотношением
„г-1
7(п, г) =-
— 1 (г — 2)
-1 + г(г-1)
2!
(Г — 4) —
Г-1_ г(г-1)(г-2) (г — б)
г-1
+
2Г (г — 1)!
) - особый ряд, сумма, которого превосходит, некоторое положительное постоянное, а постоянное под знаком О зависит, от, чисел д1,... ,дг. Отсюда, в частности, имеем
п 3 4 5 6 7
г = 2п + 1 9 17 33 64 129
в(п, г) 1 30 1 108 1 340 1 990 1 2730
Таблица 2
8
257
1
7224
9
513
18504
10
1025
46170
Из теоремы 1 следует асимптотическая формула в обобщении проблемы Варинга с почти равными слагаемыми.
Следствие 1. Пусть N — достаточно большое натуральное число, п ^ 3 — натуральное число, г = 2п + 1 ,]п>г (^ Н) — число решений диофантова уравнения (1) с условиями
хп- N
•А/«
г Г
< Н,
= 1, . . . ,
( п, ) =
2
(г + 1)(п2 — п)
Тогда при Н ^ N 1—е(п,г)+£ справедлива, асимптотическая формула,:
^(п, Г) S(N) Н-г +О í НГ-1
зп,г n н ) =
п'
N
Г— — п
)
\N г~ п
Заметим, что теорема 1 является усилением теоремы Е. М. Райта, а из формулы (4) и таблицы 2 следует также, что следствие 1 сильнее теоремы Дерка Деймона в смысле количества слагаемых при п = 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10.
Доказательство теоремы 1 проводится круговым методом Харди-Литтлвуда-Рамануджана
п = 3
работе [14]. Основными утверждениями, позволившими получить новые значения (5) для параметров в(п, г) и г, являются:
• асимптотическая формула для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида Т(а;х, у) в малой окрестности центра больших дуг (следствие 2 теоремы 2 );
—
Nг—п
1
1
• нетривиальная оценка сумм Т(а; х, у) в больших дугах за исключением малой окрестности их центров (следствие 3 теоремы 2);
• нетривиальная оценка сумм Т(а; х,у) в малых дугах (лемма 1);
• теорема 3 о среднем значении коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида Т(а; х,у).
Р. Вон [15] изучая суммы Г.Вейля вида Т(а, х) в больших дугах, воспользовавшись оценкой Хуа Ло-кена для полных тригонометрических сумм вида
акп ++ Ьк
вь(а,д) = У ]е[---), 5(а,д) = Бо(а,д),
^Ц [акп + Ък\ £
(лемма 3), методом Ван дер Корпута доказал:
Т(а,х) = ^ е(атп) = ^ЬА Г е (Мп) М + О (д1 + (1 + хп1\\) ^ .
При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем д, то есть при выполнении условия
ик 1
2пдхп~1' он также доказал:
х Б(а, д)
Т (а,х) = хЬ(а,(1) е (Мп) М + О (д 2 +£). (7)
д ,)о
<П<Г»'>1 /'Г)1 \ I гт>п 1\ с" _
2д
Теорема 2. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у, тогда при {п|А|жп 1} ^ имеет место формула
Т(а; х, у) = (X; х,у) + 0 [д2 ) ,
а при {п|А|жп 1} > —- имеет место оценка
-
1__1 _ 1 _ 1 1 _ п__1
|Т( а,х, y)| ^ д « 1пд + шт(уд « ,\ 2х 2д «).
Следствие 2. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у, |А| ^ 2тХ™-1 > тогда имеет место соотношение
Т(а; х, у) = У-Б(а, д)7(X; х, у) + 0(д1+),
г0,5 - - у 0,5 2
-у(\;х, у) = ! , е (А (х — У- + уМ.
Следствие 3. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у, 2пд^п-1 < ^ 1, тогда имеет место оценка
1 / 1 Т(а;х, у) ^д « 1п д + шт ( уд « ,х«)
Следствие 2 является обобщением формулы (7) для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида Т(а;х,у). Частный случай теоремы 2 при п = 3 ранее был доказан в [6] и является уточнением теоремы 1 работы [7]. Доказательство теоремы 2 проводится методом оценки специальных тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона [16] и оценки Хуа Ло-кена для полных тригонометрических сумм Зь(а, д) (лемма 3).
Теорема 3. Пусть х иу — натуральные числа, у[х < у ^ х(1пх) 1, тогда имеет место оценка
'V С х„/2" /0
Эта теорема является обобщением теоремы Хуа Ло-кена ([17], лемма 2.5) о среднем значении тригонометрической суммы Т(а,х), то есть оценки
Г1
/ |Т(а;х,у)\2" йа « у2"-к+£, 1 < к < п. 0
г 1
/ |Т(а, х)|2" «х 0
2"-к+£, 1 < к <п.
Обозначения. N > N0 - натуральное число, е — произвольное положительное число, не превосходящее 0.00001 ^ = lпN.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. [8]. Пусть х ^ х0 > 0 У0 < У ^ 0,01х; т(К) — функция делит,елей, а вещественное число,
1
< "о , (а, Я) = 1,
а
а--
2
тогда справедлива оценка,
_1
|Т( а;х,у)\ < 2у (4п\(1 + 1 + тах 1 т(йЛ
V \Ч У Уп / ь<у«-1 )
Эта оценка нетривиальна при д ^ 22га-14п!т(уп-1), то есть при д ^ у£.
Лемма 2. [16]. Пусть ¡(и) — действительная функция, ¡'"(и) > 0 в интервале [а, Ь\, а, г] произвольные числа, с условиями а ^ /'(а) ^ ¡'(Ъ) ^ [ и 0 < г] < 1. Тогда,
Г ь
^ е( I(п)) = ^ / е(/(и) - йи)^и + О(^-1 + 1п([ -а + 2)),
, ,____ I „ ¿а,
I е( ] (и) — пи)аи + о(г 1 где постоянная в знаке О является абсолютной.
Лемма 3. [18]. Пусть ( а, д) = 1, д — натуральное число, Ъ - произвольное целое число,
0.00001
вь(а, д) = ¿е « +(Ь, д).
К=1 - «
Лемма 4. [19]. Пусть действительная функция ¡'(и), и монотонная функция д(и) удовлетворяют условиям: /'(и) — монотонна, | f '(и)| ^ т1 > 0 и |д(и)| ^ М. Тогда справедлива оценка:
[ь М
д(и)е($(и))йи « —.
Уа
Лемма 5. [19]. Пусть ( а, д) = 1, д — натуральное число. Тогда, имеем,
акп \ _, ^ 1
п ,
£ < (т)
Б(а, д) = — )«Я
п
Лемма 6. [19]. Пусть при а ^ и ^ Ь вещественная функция ¡'(и) имеет производную п - го порядка (п > 1), причём при некотором А> 0 выполняется неравенство А ^ |и;)|. Тогда справедлива оценка
ь
J е( f(u))du ^ min( b — а, 6пА «).
Лемма 7. . ([20] стр. 174 ). При m > 0 и натуральном г имеет место формула
оо
í sinr mt ■ктт-1 ( „л г
-dt =
у( — ^ — 2)-1 +
о
Г 2r(r —1)!\ 1!
+lfcJ)(Г — 4)г-i — Ф — 1)(г — 2) ^ — 6)Г_i +
-)
3. Доказательство теоремы 2 о поведении коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в больших дугах
Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим
inkn \ 9-1 1 9-1
Т(а;х, е(-+ ХтП) Е 1 = -Y.Tb(X';x, v)Sb(a, Q), (8)
х-у<т<х ^ ^ ' k=0 ^ b=0
к=т mod q
где
ЩХ;х, у)= ^ ef\mn - —) , Т(Х;х, у)=То(Х;х, у).
х- у< т< х
Далее не ограничивая общности будем читать, что Х ^ 0. Случай Х ^ 0, сводится к случаю Х ^ 0, если формуле (8) придадим форму
- 9-1 - 9-1
Т (а; х, у) = - ^2Tq-b (-Х;х, y)Sg-b (q -a, q) = - ^Tb (-Х; х, у) Sb(q -a, q). 1 b=0 ^ b=0
Имея в виду, что пХхп-1 - {пХхп-1} - целое число, представим Ть(Х;х, у) в виде
ЩХ;х,у) = £ е (fb(m)),
х-у<т^х
т
fb( т) = Хтп - (пХхп-1 - {пХхп-1 })т - у.
Находим производную первого и второго порядка функции fb(m):
f(m) = пХ(тп-1 - хп-1) + {пХхп-1} - ^, Щ(т) = п(п - 1)Хтп-2 ^ 0.
Следовательно функция fb(т), т £ (х - у, х] является неубывающей, поэтому при любом Ь, b = 0,1,... ,q - 1 имеет место неравенство
й(х - У) < й(т) < fb(х). (9)
Оценивая Д(х) сверху, имеем:
К(х) = {п\хп-1} — - < 1 — -. (10)
д д
Для оценки снизу /¿(х — у) воспользовавшись неравенством
п— 1
W = ^2(—1)к°п-1хп-1-кук > 0, п ^ 3, 3х ^ (п — 3)у, (11)
к=2
„п-2„
а также условиями |Л| < — и т ^ 2п(п — 1)хга 2у, имеем
й(х — у) = — пЛ (хга-1 — (х — у)га-1) + {пЛхга-1} Ъ
= —п(п — 1)Лхга-2у + пЛW + {пЛхга-1} — - ^
,, „ 2 Ь п(п — 1)хп-2у Ь 1
^ —п(п — 1)Лх 2у — ^------- — - ^ — 1 + —.
д дт д 2д
Отсюда, из (10) и (9), получим
— 1 + 1 < Ц(т) < ! _ 1.
С учётом этого неравенства, применяя к сумме Ть(Л; х, у) формулу суммирования Пуассона (лемма 2), при а = —1, [ = 1, ц = 0, 5, получим
1
Ть(Л;х, у)= ^ 4(к) + О(1), (12)
¡■X
1ь(к) = е(/ь(и, к))йи, ¡ь(и,к) = Д(и) — ки.
■) х-у
Функция
Ц,(и, к) = пЛ(ига-1 — хга-1) + {пЛхга-1} — ^ — к
на отрезке и € [х — у,х\ является неубывающей функцией, поэтому имеет место неравенство
(х — у,к) < й(и,к) (х,к).
Воспользовавшись формулой (11), а также условиями |Л| < 1 и т ^ 2п(п — 1)хга-2у, эту неравенство представим в виде
{п Лх11-1} —Ь~ — к — г] < Ц (и, к) < {пЛхп-1} —Ь~ — к, (13)
г] = п(п — 1)Лхп-2у — пЛW < п(п — 1)Лхга-2у < п(п — 1)хП ^ ^ А..
Далее, подставляя (12) при Ь = 0 в (8), найдём
Т(а; х, у) = ^^Т0(Л; х, у) + Т(к) + Я, (14)
^ И=-1
1 д-1 1 д-1
Г (к) = - £ 4(ВД(а, <?), Я « ^^ь^а, д)1 =1 =1
Пользуясь леммой 3 при 6 = 0, Ъе оцепим остаточный член 'К,-.
. д-1 д—1
К <- £ ^(а, д^« д-2+6 £(Ь, д) = д-1 +6 ^с! £ 1
^ ь=1 ь=1 % ЫМя-1
(ь ,д )=й
= д-1
£ < д1+6т(д) « д2 +£. (15)
Оценим сверху суммы Т(1) и Т(—1). Полагая к = 1 в (13), получим
/ь(и, 1) < {пХхп-1} — ^ — 1 < — ^ < 0, и оценивая интеграл |Iь(1)| п0 величине первой производной (лемма 4), имеем
| Ы^ =
е(Iь(и, 1))йи
Х У
«-ь.
Воспользовавшись этой оценкой, а затем леммой 3 при 5 = 0, Ъе, имеем
-1 -1 -1
Т(1) = 1 £ 1ь(1)3ь(а, д) « £ ^^ « д2 + £ М « д1+. (16)
=1 =1 =1
Полагая к = —1 в (13), имеем
Гь(и, —1) > {п Ххп-1} + ^—Ч > ^.
2
Интеграл 1(—1, Ь) также оценим по величине первой производной (лемма 4). Имеем
| Н—^ =
е( Ми, —1))йи
IХ-У
«
-
Отсюда, поступая аналогично случаю оценки Т(1), получим
Т(—1) = £ 1ь(—1^ь(а, а « £ ^^ « д2 + £ ^ « д1 +*. (17)
=1 =1 - =1
Подставляя оценки Т(1), Т(—1) ш К соответственно из (16), (17) и (15) в правую часть (14),
получим
Т(а; х, у) = ^^То(Х; х, у) + Т(0) + О (д2 +£) . (18)
50 (а, д), ч
Теперь воспользовавшись этим соотношением отдельно докажем первую и вторую утвержде-
1 и {пХхп-1} > -1.
_ I ^ТТ£ШГТЯГ1\ <Г Т ( (II I I ТТСТ "-Л'ЛГХГ^Л П Г\ тт
2д-
ния теоремы, то есть соответственно в случаях {пХхп ^ ^ щ и {пХхп 1} >
1. Случай {п Ххп-1} ^ Оценим Т(0). Для этого, пол агая к = 0 в (13), имеем
п 1 1 - 2
/ь(и, 0) < {пХхп-1} — - <-<--< 0.
' { } д 2д 2д
ь(0)
ма 4), найдём
11ьт =
/ е(Iь(и, 0))йи Х- У
« V
Х
Х
Поступая аналогично случаю оценки Т(1), получим
Г(0) = ^ Ь^вь^ д) « ^ « ^^ (М « ^+е
=1 =1 =1
Подставляя эту оценку в правую часть (18), а также имея в виду что
50 (а, д) = в (а, д) Т (Л; х, у) = Т0 (Л; х, у),
получим первое утверждение теоремы.
2. Случай {пЛхп-1} > Применяя к сумме То(Л;х, у) в соотношении (18) формулу (12),
а затем переходя к оценкам и воспользовавшись оценкой вь(а, д) « д1-п (лемма 5), находим Т(а; х, у) = ^ £ 10(к) + О(1) ^ + Г(0) + О [д2+) =
= ^М) (/0(—1) + /0(1)) + £1ь(0)8ь(а,9) + О (91+) « У Ь=0 1
« д-п (/0(—1) + к(1) + Я(0)) + д2+, (19)
д-1
^(0) = Е ^(0). (2°)
=0
= 0 к = —1
/0 (и, —1) > {п Лхп-1} + 1 — V > 1 — ^ > 1,
и воспользовавшись этим неравенством, оценивая интеграл /с)(—1) по величине первой производной (лемма 4), найдём
| м—1)| =
е( /0 (и, —1))(^и
'х-у
« 1. (21)
Интеграл /0(1) оценим по величине производного второго порядка (лемма 6). Для этого пользуясь неравенством /0'(и, 1) ^ п(п — 1)Л(х — у)п-2 » Лхп-2, найдём
| /0(1)| =
/ е( ¡0(и, 1))(1и
'х-у
« т1п (у, Л-2х1-. (22)
Оценим теперь сумму ^.(0). Определим натуральное число г соотношением
Т* V +1- 1
— < {пЛхга-1} <-, 1 ^г^ 2д — 1.
2д 1 } 2д ' 4
Отсюда, из неравенства (13) при к = 0 и условия ц ^ щ, найдём
/1 г — 2Ъ — 1
Л (и, 0) > {п Лхп-1} — - — V > -, (23)
2
Ц(и, 0) < {п Лха-1} — -< Г — 2 +1. (24)
2
х
х
Пусть г = 2 р - чётно е (1 * р * д — 1). Отрезок суммирования 0 * 6 * д — 1 в сумме К(0) разобьём на следующие три множества:
0 О* р— 1, Ь = р, р + 1 О* д — 1,
соответственно в первом из которых правая часть неравенства (23) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (24) меньше нуля, то есть
Л(и,0) > ^Е^ > ^ 0 ^ р— 1
ли 0) < ъ—^т1 * в—т • р + 1 " —1
ь(0)
водной, найдём
Х
¡■х
h(0) = е( fb(u, 0))du , Ь = р.
J x—y
Х- У | р — |
В случае Ь = р, пользуясь соотношением
/;(и, )=п(п — 1)Х(х — у)п-2 » Ххп-2,
оценивая интеграл 1р(0) по величине производной второго порядка (лемма 6), найдём
|ГрЩ « шт (у, Х-2Х1-^ .
Подставляя найденные оценки для 1ь(0) в (20), получим
д-1 д-1
Щ0) = £ 1Ь(0) + 1Р(0) « £ + min [у, Х-2х1-?) «
Ь=0 Ь=0
Ь=Р Ь=р
^ ging + min (у, Х-2х1-.
Пусть теперь г = 2 р + 1 - нечётное (0 ^ р ^ д — 1). Отрезок суммирования 0 д — 1в
сумме R разобьём на следующие три множества:
0 О^р — 1, Ъ = р,р + 1, р + 2 д — 1,
соответственно в первом из которых правая часть неравенства (23) больше нуля, а в третьем — правая часть неравенства (24) меньше нуля, то есть
„,,.20 — 2Ь — 1 о — Ь
fb(u,0) > > 0 О^Р — 1
„,,.20 + 1 — 2b + 1 р — Ь
fb (и, 0) < ^-—-< , р + 2 д — 1.
Следовательно,
h(0)= f е(/ь(и, 0))du ^г-Цг, Ь = р — 1, Ъ = р. Jx-y \Р — Щ
В случае b = р — 1 ми b = р, поступая аналогично предыдущей оценке 1Р(0), найдём
\ 1Ь(0)\ < min (у, Х-2х1-.
Подставляя найденные оценки для 1ъ(0) в (20), получим
<7-1 д-1
|р -Ь1
^(0)= Е 4(0)+ /р-1(0) + 1Р(0) « ^ + ш1п(у, Х- V-1) «
Ъ=0 6=0
Ъ=Р-1,Р Ъ=р-1,р
_1 1_'
О •
« (?1пд + Шт^у,Х IX1
Подставляя оценки для /о(—1) и /о(1) соответственно из формул (21) и (22) и оценку для ^(0), в (19), получим второе утверждение теоремы.
4. Доказательство теоремы 3 о среднем значении короткой тригонометрической суммы Т(а; х,у)
Лемма 8. Пусть Ак означает к-ое применение разностного оператора, так что для любой функции действительного переменного /(-и)
А1(/(и); К) = /(и + К) — /(и),
А к+1( / (и); Кь..., Кк+1) = А1(А к ( /(и); Кь ..., ^); Кк+1). (25)
Тогда, при к = 1,... ,п — 1 имеет место соотношение
А к (ип; Кк1,.. ., Кк) = К ... К^к (и; Кь..., К;),
где дк = дк(и; К1,..., Кк) является формой п — к-го порядка, с целым,и коэффициентами, имеющей относительно и степень п — к и старший коэффициент п(п — 1)... (п — к + 1), то есть
п! г,
Ыи; К1,...,Нк) = — и™-к + ....
Доказательство. Применяя формулу (25), найдём
п
А1(ип; К1) = (и + К1)п — ип = ^ СП1 К^-\
=1
А2(ип; К1,К2) = А1 (А1(ип; К1); К2) = А^ К1ип-^
п п п п-
= £ С*1 (и + К2)п-г1 — ^ С^К?ип-1 = £ спСгп2-г 1К122Уп-г1-г2.
¿1 = 1 ¿1 = 1 ¿1 = 1 ¿2 = 1
Последовательно применяя формулу (25), легко можно показать, при к = 1, 2,... ,п — 1, что имеет место
п-1-...-гк-1
А к (ип; К ,...,Кк ) = ^СЩ К1... £ С- 1-...-к_1 Кк:ьа~1.
¿1 = 1 ч = 1
Из этой формулы следует, что имеет место формула
А к (ип; Кк1,.. ., Кк) = К... ккдк (и; Кь..., Кк),
где 5к = дк(и; К1,..., Кк) является формой п — к-го порядка с целыми коэффициентами, име-и п — к п( п — 1) . . . ( п — к + 1)
п!
дк(и; К1,...,Нк) = п —' ип-к + ....
Лемма 9. Пусть f = ¡(т) - многочлен степени п, х и у — целые положительные числа, у < х,
Т(/;х, у)= £ е(/(т)),
х-у<т*х
тогда при к = 1,... ,п — 1 имеет место
|Т( ¡;х, у)^ < (2у)--к-1 £ ... £ Т,
\Ь-г\<У \нк\<У
Т к =
£ е(А к ( /(т); к1,...,кк))
те 1к (х,у;к!,...,кк)
где интервалы 1к (х, у; к-\_,... ,к к) определяются соотношениями: 11(х, у; к1) = (х — у,х] П (х — у — к1,х — к\],
1к (х, у; к1,..., кк) = I к-1 (х, у; кь ..., к к-1) П 1к-1 (х — кк, у; къ..., кк-1).
т.е. интервал 1к-1(х — кк, у; к1,... ,кк-1) получается из 1к-1(х, у; к1,...,кк-1) сдвигом, на, —к к
к
При к = 1 имеем
Щ!^, у)? = £ £ е(/(т + к) — /(т)) =
х-у<т*х х—у—т<h*х—т
= Е Е е(А1(¡(т); к)) * £ Ть
\Ц<уте11(х,уЬ) Щ<у
Предположим, что утверждение леммы выполняется при к, 1 * к * п — 2, то есть
|Т( ¡(т);х, у)- < (2у)2к-к-1 £ £ ... £ Тк.
\^\<у ^2\<у \^\<у
Возводя обе части этого неравенства в квадрат, затем последовательно применяя к суммам к1 , . . . , к к
|Т( /(т);х, уГ+1 * (2у)2к+1-(к+1)-1 £ ... £ Тк. (26)
\^\<у \hjfc\<у
Из эквивалентности соотношений т1 е 1к(х, у; к1,..., кк) и т1 — т е 1к(х — т, у; к1,..., кк),
имеем
Т к = £ е(А к(/(т1); къ...,к к) — А к (/(т); ки...,кк)).
те 1к (х,у-М,...^к) т\-те 1к (х-т,у^1,...^к)
Обозначая разность т1—т через кк+ъ затем сделав сумму по кк+1 внешней, воспользовавшись эквивалентностью соотношений кк+1 е 1к(х — т, у; к1,..., кк) и т е 1к(х — кк+1, у; к1,..., кк) и соотношением (25), имеем
Тк = Е Е е(Ак+1(} (т); къ...,кк+1)) =
\^+1\<у те 1к (х:,у;^,...^к)
те 1к(х-^+1,у-^1,...^к)
= Е Е е(А к+1( ¡(т); к1,... ,кк+1)) * £ Т к+1.
^к+1\<уте 1к+1(х,уМ,...^к+1) \^+1\<у
Подставляя правую часть последнего неравенства в (26), получим утверждение леммы.
Доказательство теоремы 3. Воспользуемся методом математической индукции по к. При к = 1 воспользовавшись тем, что при х — у < т\, т2 ^ х диофантовы уравнения т% = тП и т\ = т2 эквивалентны, имеем
У |Т( а;х, у)12(1а = ^ / е(а(т% — т%))(1а = ^ 1 < у. Пусть теперь утверждение теоремы имеет место при 2 ^ к ^п — 1, то есть
Г |Т(а; х, у)12кйа < у2к-к+. (27)
0
В лемме 9, полагая /(т) = атп, имеем
|Т (а; х, У)12к < (2У)2к-к-х £ ... £
1М<У |Нк |<У
Е е(аА к(тп; Нх,...,Нк))
те 1к
Воспользовавшись леммой 8, находим
Ак ( тп; Нх,...,Нк) = Н... Нкдк (т; Нь..., Нк),
где дк = 5к( т; Нх,..., Н к) является формой п — к-го порядка с целыми коэффициентами, имеющей относительно т степень п — к и старший коэффициент п(п — 1) ... (п — к + 1), то есть
п' ,
дк( т; Нь..., Нк) = (п — к); т + ....
Отсюда и из условий х — у < т ^ х, |Н| < у, г = 1,... ,к, у/х < у ^ х(1пх)-1 следует, что существует хо, такое что при х > хо, выполняется неравенство
дк(т;Нх,...,Нк) > 0. (28)
(Н)
Нх. ..Нкдк (т; Нх, ...,Нк) = Н, относительно переменных т и Нх.. .Нк, |Н| < у, т € /к, найдём
|Т(а; х, у)|2к < (2у)2к-к-х £ г(Н)е(аН), (29)
н
Заметим, что, если Н = 0, то г(Н) ^ Тк+х(Н) ^ Н£. Из неравенства (28) следует, что уравнение
Нх. ..Нкдк (т; Нь ...,Нк) = 0
имеет только решение вида (0, Н2,..., Нк, т), (Нх, 0, Н3,..., Нк, т), ..., (Нх,..., Нк-х, 0, т), для количества которых справедлива оценка
г(0) О ^ ... £ ^ 1 ^к(2у)к-х11к| < к2к-1ук.
|н2 |<у 1Нк1<Уте 13
С другой стороны,
|Т( а; х, у)12к = ^р(Н)(—аН), (30)
н
р(0) = [ (а;х, у^^а * у2к-к+£. 0
р(к)
вЧ + ... + вп — — ... — % = к, х — у < и,..., , и *х, и = 2к. В равенстве (30), полагая а = 0, находим
р(к) = ^ (0;х, у)^ *у2к. (31)
h
Пользуясь предположением индукции, то есть соотношением (27), имеем
Г1 ок
^(а;х, у)2
0
Умножая (29) и (30), интегрируя по а, а затем воспользовавшись значениями г(0), р(0), оценкой г(к) « к£ и соотношением (31), найдём
Г1 С1
/ ^ (а;х, у^'+^а * (2у)2к-к-1 У^г(к)е(ак)У] р(к')е(—акг)(1а = ]о ]о h h'
= (2у)2к-к-1 | г(0)р(0) + £ г(к) р(к) I * \ h=0
* (2у)2к-к-1 ( г(0) р(0) +шаХг(к)Т,р(к) | «
V ь=о )
« У2к-к-1 (ук • У2к-к+£ + у£ • у2") « у2к+1-к-1+£.
5. Доказательство теоремы 1
Не ограничивая общности, будем считать, что
2
Н = М 1-0 (п,г )+е, ^ Г) = _____, ^1 * ... . (32)
Пользуясь обозначениями
Мк = (ткМ + Н) *, Нк = (ГкМ + Н) * — (ткМ — Н) *,
т = 2(п — 1)п М?-2^ жт = 1,
число решений диофантова уравнения (1) при выполнении условий (6) представим в виде
/1-х г
е(—аЮП Е е(атп)йа =
'х к=1 \т"-цкМ\*Н
/1-х г
е(—аМ)Ц (Т(а; Мк, Нк) + 0к) ¿а, "х к=1
гДе || равен 1, если Мк — Нк — целое число, и 0 в противном случае. Верхняя граница Мк и длина Нк суммы Т(а; Мк, Нк) относительно параметров М и Н выражаются через следующие асимптотические формулы
Мк = i ^ + том) 1 = «Мi {1 + ° (Н)) , <33'
Нк = ^ ((1 + — (1 — £)*) = ^ Н (£)) . -
При V = 1, 2,... ,г и 1 ^ % \ < ... < % V ^т, вводя обозначение
0 = 0 (г 1,..., г „ ) = {1, 2,..., г} \ [г ъ..., г и } и воспользовавшись тождеством
П (т(а; Мк, Нк) + вк) = П Т(а; М, Нк) + к=х к=
+ Е Е IIт(^ ,Нъ) П 0к + П*к,
v=1 КЛ 1<...<г„^ ке9и к=
представим (М, Н), в виде
Т(а; М, Нк)йа + Е^г-(М, Н), (35)
Еп,г(М,Н) = Е Е П °к е(—аМ)Цт(а;Щ,Щ)йа.
В сумме Дх(М, Н), переходя к оценкам, и пользуясь тем, что среднее геометрическое неотри-
число к, которое однозначно определяется соотношением 2к < 2к+х, помня, что г — 1 = 2п,
имеем
Еп,г(М,Н) ^Е Е / П|Т(а;Мг, ,Н.)|¿а <
г_х т( \ п_х 2к+1_х , . , .
< £ ^ = '« + £ £ ^ + <36>
к= v=2к
V .х
Т(и) = Е Е/ |Т(а;Мг, ,Н, )ра.
Кг 1<...<V3=х 0
При 2 ^ г/ ^ г — 1 оценим сверху /(г/). Пользуясь тривиальной оценкой суммы |Т(а; , Нij)| и теоремой 3, имеем
V г-х
| V-2к тт , 12к
/(г/) < Е Етах |Т(а;Мь.,НЧ)|" 2 / |Т(а;М.,НЧ)|2 йа <
Кг 1<...<V^
< Е ЕнГ _2к -н )|2к_к+ < Е Енгк+е
Кг 1<...<IV<г ]=х К» 1<...<V3 = х
Подставляя эту оценку в правую часть (36), и воспользовавшись тривиальной оценкой 3(1), а затем пользуясь неравенством Нк « НМ«-1, которое следует из (34), найдём
п-12к+1-1 V
Яп,г(М,Н) « £ Нч + £ £ £ £ Н гк++
1* 1*г к=1 V=2k 1*г 1< ...<*г 3=1
-1
+ £ Нг. | Г-1-п+£ « Г НМ п-1 +
1*г 1<...<гг-1*г ] = 1
п-12к+1 -1 , , ,
/ 1 -к+£ / 1 \ г-1-п+е
^ ^ С> (НМ"+Сгг-1(г — 1)(НМп«
к=1 !=2к
1 л пА / 1 л\2к+1-1-к+е / 1 лг-1-п+Е
«нм п-1 + ХдНМ п-М + (нм п-М «
. 1 п—1 \ п-£
Н у-1-п+Е Нг-1 М + ™2(—-£)£
« '
мг-м н
Отсюда, имея в виду, что
1 п — 1 .
1 — ^ + -че * 1 — в(п) + 0, 5е,
п2 п2(п — е)
находим
Епг(М,Н)) « ( М1-Т+£Т £ М-05(п-) .
" Мг-ъ у Н ) мг-п^
Отсюда и из (35) имеем
/1-х Г / Нг-1 \
е(—аМ) [] Т(а; Мк, Нк)йа + 0[ -—^ . -х к=1 \М «
(37)
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ж, 1 — ж] представимо в виде
а 1
а = - + \, (а, д) = 1, 1 *д* т, |А| *—. (38)
Легко видеть, что в этом представлении 0 * а * д — 1, причём а = 0 лишь при д = 1. Через М обозначим те а, для которых в представлении (38) выполняется условие д * Нг%-1. Через т обозначим оставшиеся а. Множество М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьём множество М на множества М1 и М2:
д-1
а а
М1 = У У Ш1(а, V), ш1(а, Ч) =
1*д*Нг%-1 а=0 (а, д)=1
--Щ *а * - +Лд
1 % М =М \ щ = • ,1 = ШЖГ1 * ""■ <39>
Обозначая через 3(М1) 3(М2) и 3(т) соответственно интегралы по множествам Мл, М2 и т
/ Нг-1 Ч
3п,г(М, Н) = 3М) + 3(М2) + 3(т) + о( ЛТГ_ г . (40)
В последней формуле первый член, то есть ■(Мх) доставляет главный член асимптотической формулы для .]п%г(М, Н), а ■(М2) и ■(т) входят в его остаточный член.
5.1. Вычисление интеграла 3(Мх)
По определению интеграла ■ (Мх) имеем:
<?_1
i Пт( ......
■ (Мх)= Е Е / Пт(^ + А;М,Н^е а + (41)
(а,= = 1 И^«
Для суммы Т ^а + А; Мк, Н^ выполняются оба условия следствия 2 теоремы 2. Действительно, ввиду соотношений (33), (34) и (32) имеет место неравенство
т =2(п — Юп^Нх = (1 + 0 (Н)] >
>
^ 0+°®) 4(п — 1)Н (1+° (Н)) =2(п — 1)п*Г»Нк,
(42)
1 1
а из соотношений |А| Щ =-—т и -^ ^-следует, что
2пдМп 1 2пдМп 1 2дN2 1
1
<-
2п д 1
к = 1 , . . . ,
^^ + А, Мк, нЛ = 7(А; Мк, Нк) + Е, Е « д^+е.
к к к к
к = 1, 2, . . . ,
г_1
П(«к + 6)^ак + ьг + Е ГЬк,
к=1 к=1 v=1 К» 1<...< V <г-к=1
Нкв(а, д)
при ак =-7(А; М, Нк) и о = Е, получим
а + А,М ,Нк ^ = ^(а,д)
П Т (а + А, Мк, Н^ = ^^ II Нк7(А; Мк, Нк) + Ег+ к 1 ) дГ к х
+ Е е _" Е II НЦ(М) 7 (А;М,к ,Нгк).
V= 1 К»1<...< ¿V ^гк=1
1 п_1
Пользуясь соотношениями Е « д2 +£, и (а,д)| « д(лемма 5), последние два слагаемые оценим сверху:
П т(а + А, Мк, Нк) — П Нк7(А; Мк, Нк) «
к=1 ' д к=1
х
« Е д(2 +£)(Гп Е П Нгк |7(А; Кк, Нгк) | + д05+«.
v=1 Кг 1 <...< ¿V ^гк=1
Отсюда и из формулы (41) находим
г д-1 -г(а ,) / а — \ 3(М1) = П Нг Е А(г, -^О11 е (--) + Я^) + Я2(М), (43)
г=1 д*Нг 1 а=0 ^ \ У /
(а, д)=1
А ( Г, д) = I (Х;Мк ,Нк)е(—\М)й\,
к=1
г-1 г V
Я1(М1) « £ £ ^ £ / ПНг, Ь^Мг^Нг^Х, (44)
!=1 д*Нг %-1 1*г 1<...< * Г\х* к=1
а(и)^\ + £у + 1 — ( 2 + I +£у,
Я2(М1) « £ д0,5г+г^(д) • 2щ = £ <р(д)д0,5-1+".
д*НГ&-1 Г д*Нг&-1
5.2. Оценка К2(Ш1)
Воспользовавшись формулами (34) и (33), имеем
1 / и \ 0,Ъг + 1+г£ / и \ 0,5г+1+г£
Я2М«М- (!) «— -ЫЬ)
()
г-1 I ЛТ1-±
МГ- п %0,5г+1+г£ у Н
Отсюда имея в виду, что
1
1 — - < 1 — в(п), -— 2 — ге> 2, п 2
а также пользуясь соотношением Н = М1 д(п,г')+е, находим
нг-1 I — 1-0(п)+е\ 2 2 ге „г-1
ЪМ) « -Д- М ' М-< Г-2-ге) «^-. (45)
5.3. Оценка К1(Ш1)
Оценим сначала тригонометрический интеграл
г-0,5 / тт
Нг
7(Х;Мгк ,Нгк)= 1_о5е(Лк (и))(1и, ¡гк (и) = \^Мгк — ^ + Щки^ .
Воспользовавшись соотношениями (33) и (34), при г = 1,... ,п, находим
Ы^), Нк=^ЫН)У ™
Пользуясь этими соотношениями оценим снизу /¡^(и). Имеем
Н
п 1
/ Н \п-1
Шк (и))| = П^Щ, ( — — + Нгки) > П^Щ, (Мг, — Щк )п-1 =
= n|\|Мпk-1Нik(-1 — Н^) п 1 = 2т (1 + о(Н)) > ^Н.
Отсюда и из леммы 4, найдём
|7( А;МЧ,щк)| < т1п(г, -ан). (47)
Подставляя эту оценку в правую часть (44), получим
Е(М)«Е Е да(и) Е /Л|< ПН^к тшЛ*)^ =
„-1 „^и СЮ-Л ^ "'|Л|<Па и-л \ |А|Н/
V=1 д<Нг%-1 1<г 1 <...<ь<г ^ |Л<" к=1
Г_ 1 V
а(1>)
Е дст(гУ) Е Пн,, (48)
V=1 д<Нг %-1 1< 1<...< IV <гк=1
1(и)= Г" тт (1, —Г— ) ¿А.
у' л V а^;
0
9-1
Воспользовавшись условием д < Нг% , а затем и соотношением (46), находим
Н = Н > Н % = Н % = % > %
Щ = 2пдМп"1 > 2пНгКГ1 = 2п ■ 2Н (1 + ° (Н)) = 4 (1 + ° (Н)) > "5,
то есть Н_х < щ. При ^ > 2, разбивая отрезок интегрирования в интеграле 1(и) на отрезки [0,Н_х] и [Н_х, щ], имеем
™=Г-+Н- с. АА = 1 (1+г—г (1—& п < (¿Тн ■
Д1) = /
0
1 П" йА 1 1п(Г]аН) % йА + — / = — +--< —.
В случае ^ = 1 аналогично получим
гН-1
й А + , , ^
Н УН-1 АН Н Н
Воспользовавшись соотношениями (34) и (32), найдём
ПН,к=п (г+° (Н2))«( мНх
к=1 к=1 х_п V // Vм п
( )
к =
« £ £ ^ (£ g"(V)«
v=1 1< % 1<...< IV <г ЧМ п д<Нг %-1
^^ Н Н \
«1=Сг« )
V=1
Н -1
------^
„ о „ с
% п _ 2
(Мг)
М_ п \ Н
Отсюда, имея в виду, что
1 Л, ч г 3 1
1 — < 1 — в(п), ------е > 1,
п п 2 п
и пользуясь соотношением
Н = N 1_в(п,г )+е)
находим
Е (Мх) «
Н
_1
М
1--^
„ О „ с
Н
_1
( N 1_ в(п>г )+Л
М
г 3 1 _ --—---£
п 2 п
п _ 2 _ 1 _ е/П
п 2 п М п
-£( г — 3_1_ \
ь(п 2 п ь)
«
М
-£( г — 3_1_ £)
ь(п 2 п ь) =
Н
Г _ 1
М
г _ п С/>Г -1
(49)
г
г
5.4. Вычисление интеграла А (г, д)
Имеем
г г 1
А(г, д) = П 7(А; М, Н)е(—АМ)йА, ]д = ып-1.
■цЛ<" к=х 2пдМ
Разбивая интервал интегрирования на интервалы |А| < ] и г] < |А| < щ, где число ] определяется в формуле (39), и обозначая интегралы по этим интервалам соответственно через Ах(г, д) и А ( г, д), получим
А(г, д) = Ах(г, д) + А2(г, д). (50)
] = 2пНг1 = 4 Н (1 + ° (Н)) < Я. (51)
А1 ( , )
А(г, д), а А2(г, д) входит в его остаточный член. Найдем сначала асимптотическую формулу для Ах(г, д). Пользуясь соотношением = ДкМ + Н, формулами (46) и (51), имеем
г NN п п , 1 ч
1 п 1
Л(и) = А (м + Як (и — Г))п = АЩ + АрСгпМп~гНк (и — ГУ =
Н2 п 2 М1 Н 1 Н
= +2НАи+° (^1а|) +АЕсп(и — 2) (Г+ЧН))
Н2 Н%
= ДкМА + 2НАи + Ез(М, Н), Ез(М, Н) « —] « —.
Отсюда имея в виду, что е( Ез(М, Н)) = 1 + °(НМ_), найдём
/Н % \
е( ¡к(и))=е(ркМА)е(2НиА) + °( — ) .
Следовательно
7(А;М,Нк) = е(^МА) ^НИХ + Е4(МН), Е4(М,Н) « Н^-
к = 1, 2, . . . ,
Г Г Г_1 V
П(ак + 6) = Пак + Ьг + Е П*к,
к=1 к=1 v=1 1< г 1<...< ¿V <гк=1
а затем, воспользовавшись условием + + ■ ■ ■ + = 1, имеем
П jn(\] Nk, Нк) = П íе (pkNX) ^^ + MN, НЛ
и— 1 1—1 ^ '
]-e(NX) +R5(N, Н),
к=1 к=1
sinr (2кНХ)
где
(2кнл)г
RB(N,H) = R4(N, Н) + £ R4— (N, Н) £ f] е (^^Л) ^П^ННХг =
v=1 1<í!<...<ívк=1
= R\(N, Н) + £ ^нН? R4-(N,Н) Е 4xN Е^) «
и=1 ( ) 1^h<...<ív ^r \ к=1 )
| 8т(2ттНХ)\и /HLY^ НLr | sin^K^)r-1 НL ^^ |2кЛНV N ) ^ Nr + \2ттЛН\r-1 ' N '
Отсюда, из определения интеграла Ai(k, q) и (51), находим
' sinr (2кНЛ) ч (2кНЛ) 1 /• sinr t
q) = i, t,( ^ + r5(n н )) *-Л" >ёЛ =
dt + Rn(N, Н) + R7(N,Н),
кН Jq V
[ нгLr „ 2нг-1Lr+1 1 нгLr+8 1
MN,H) « / лТт dX. < --- ^ 7 ■ —— «
_\Л\Nr Nr Н L7 Nr Н L7'
тт, НL Г sinr-1 (2кНЛ) L Г2жН^ sinr-1t , 1
R7(n,н> « ^ L, dJxy-! ^ = L i -ñ--dt« EL7.
Заменив интеграл по t близким к нему несобственным интегралом, независящим от 2кНr¡, а также воспользовавшись при г = 1 формулой (46), получим
1 r™ sinr t í 1 Ч
'",5) = КН i —'" + r'(n,h) + 0\hl7) ,
/ т\ г тт\ 1 Í™ sinrt1 1 1 1
Rs(N, Н) = ^ ——dt ^ — ■ ^Т^ГГ-г
кН J2ttH, tr кН (2кНr)r Hrr1rr
_ 1 (2п N^n-1Hr 4r 1 / 2HV 1 = H+1 V L ) < H+lLr vVy < hLr'
Пользуясь для вычисления несобственного интеграла леммой 7 при т = 1, имеем
*1(r, q) = 7(НТ ■ (52)
7(п, г) =
rr-1 - 1 (г - 2)r-1 + (г - 4)r-1 - r(r-]¡fr-2) (r - 6)r-1 +
Fir-Í).
Теперь оцепим сверху интеграл а2(г, д). Воспользовавшись оценкой (47), затем соотношением (51), имеем
а2(г, д) < 2р ^ -7(А;М,Нк)|йА < 2 р т1п ( 1, а^) йА =
'п к=1
[щ 2 / _J.___
H J„ = (г - i)H VТ1 - Т1
<
2
(г - l)Hvrj
ГгпГ— 1
(
4H (l + O (f))^ « 1
)
1
( г - 1)H \ L Из этой оценки и формулы (52) ввиду (50), находим
AM) = ^ + O f 1
H L
1
H
(н l -1)
(53)
5.5. Вывод асимптотической формулы для интеграла J(M1)
Подставляя правые части формул (53), (49) и (45) в (43), найдём
J (Ml) = &(n, H^) П н + R9(N, н) + O
г=1
H
( H:-1 ),
\Nr - n Lr-1J
S И) = Е g ^ (-f)
qKHrL-1 a=0 (a,«) = 1
Rg(N, H) «
H L
TnH. £
i=1 q<HrL-1
-1
(a, q)
E "^e,-
a=0 (a, q) = 1
/ aN \
1-tJ
(54)
Вычислим двойную сумму & (М,НГ%_х). Для этого сумму по д заменим близким к ней бесконечным рядом б(М), независящим от Нг%_х. Воспользовавшись леммой 5, соотношениями
Н
-1
q>Hr L-l a=0 ( a, )=1
EY^ о (a, q) f aN\
^ <f 4
«(L)
«
« E q-n+1«
q>Hr L-1
N1-n L
1 1 N --2 1—1 Cß \ n
H
«
L
1
Следовательно
S
(N-|) = S<N> + O(L^) ■
/ aN \
VT )■
(55)
те <7-1
(a, q)
S( N) = E E —^ e ' -
=1 a=0
( a, )=1
Заметим, что сумма особого ряда ) превосходит некоторое положительное число с(М) (см. [17], теоремы 4.6).
2
1
г
Применяя формулу (34), имеем
п«=^п,^ ыт ™
г=1 г=1
Для оценки Ед(м, Н), пользуясь последней формулой и леммой 5 и условием--1 ^ 2, имеем
п
Нг-1 ^ 1 Нг-1
Нг %-1
Подставляя (55), (56) и (57) в (54), найдём
ЫЯ,Н) <-?-- > <-?--. (57)
=1
5.6. Оценка интеграла 3(Ш2)
Имеем
. (М)= ! ТТт (а;Ик ,Нк )е(-аМ)сЬ. (59)
к=1
Суммы Т(а;Ик, Нк) в произведении Л Т(а;Ик,Нк) симметричны, поэтому не ограничивая
к=1
общности будем считать, что выполняется соотношение
тах тах УТ(а; Ик, Нк)| = тах \Т(а; И», Н»)| , 1 ^ V ^ г.
К к^гаем.2 аем.2
С учётом этого равенства, переходя в интеграле (59) к оценкам, и пользуясь тем, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического, а затем, применяя теорему 3 и соотношение Н» ^ Н1 ^ НИ-1+последовательно имеем
1
(а;1\„)1 I П 1Т (а;
1
.(М2) < тах 1Т(а;1, Н»)1 П 1Т(а;Ик,Нк)1<1а <
к=и
1 г Г1
< тах 1Т(а;1, Н»)|--V 1Т(а; 1к, Нк)|Г-1 (1а <
аеШ2 г- 1 ^ Ус
к=
1
< тах 1Т(а; , Н»)|-- V Н^--п+£ <
ае<Ж2 г - 1 ^ к
к=1 к=и
/ Н ч 2п-п+е
< -^гтах 1Т(а;Ии,Н„)1 = 1--) »см
ТГ-1 АТП- - - ——1£
Нг-1 Ип - -
тах 1Т(а; И», Н»)| . (60)
1- - Нп-£ »еш2
Оценим Т(а; И», Н») для а из множества Если а € М2, то
а г \ 1 * 1 1 Нг 1
а = ~ + \ (а, д) = 1, Щ < |А| , 1 < д, щ
д"" ^ " ''^'"'-дг' - — 2пд1
п 1
Рассмотрим два возможных случая: щ < |А| * ^гщ^Г^1 и 2гадлг——1 < |А| * 1'
Случай 1. Для суммы Т(а; N ) согласно соотношению (42) выполняется неравенство
т = 2(п - 1)пЖ™-2Н1 ^ 2(п - ,
то есть первое условие следствия 2 теоремы 2, а второе условие следует из условия рассматриваемого случая
1А1 *- 1
2п д Ж™-1'
Согласно этому следствию имеем
Н^Б^а, д) Ч
Оценивая тригонометрический интеграл ,Н„), воспользовавшись оценкой (47), нахо-
дим
Т(а; N., Ни) = ^^М!7(А; , Н„) + О (д2) . (61)
(ч 1 — —
1 \ 1 2п д Ж™-1 д N -п
ит) * щ = ~Ч~ « V
Подставляя эту оценку и оценку суммы Б (а, д) из леммы 5 в (61), а затем с пользовавшись формулой (34), получим
——1
|Т(а; N., Н) | « -Дгт ■ + <?2 + « ^ «
N — д— Н
——1
——1/ \ — ——1 ( *-^ «
1—1 1 1 I ^ (——1)2 , 1
1 —л Г1-1 ^ / ЛГ —2) СС1- 1
пцк — N1-—^ ^ Подставляя последнюю оценку в (60), находим
—
1 „ 1 — — к — — 1 1 I ае§(Я)
Нг-1 N ——Н —г Нг-1 N ае8(д)
Н -1
Ní•'
1 1
п п2
7(М2) « мг- — Нп-£ (—— 1)2 л1 1 Г- — с* 1-1 .
^ — 1 N^"2— ^ 1-— N — ^ — \
1 п 1 ( п 1) 2
deg(N) = п----е - --тг—
п п п2 п - 1 1 deg(Н) = п — е--= п — 1+---е,
п п
^^) = 1 1 -п£ = 1 1 + „(п),
deg( Н) п3 — п2 + п — п2е п3 — п2 + п '
, . п2 — п е V(п) = ,2 „ , 14^2 ^ 1-^е *
(п2 — п + 1)(п2 — п + 1 — пе) п2 — п + 1' Отсюда, имея в виду, что
1 — —^-+ г](п) * 1 — в(п) + 0, 5е
п3 — п2 + п
находим
ТГ-1 ЛГ1 „2^ +Я(,п)\
—
Нг-1 ÍN1- —3—п2+—
7(М2) «-- --- «
N-—— \ Н /
т--1 /лГ 1-0 (п)+е\ае®(Я) иг-1 « Я 1 1 N^её(-Я) « --. (62)
Случай 2. В этом случае для суммы Т(а; И», Н») выполняются оба условия следствия 3 теоремы 2, то есть
т = 2(п - 1)пМ'П-2Н1 > 2(п - 1)п!П-2Ну, < IА| < 1.
Согласно этому следствию, условиям Нг < Мг%-1 и д ^ а также соотношениям (33)
и (34), имеем
1Т (а; И» ,Н» )| * д-^ Ыд + тт^д - - ^^д1 -<
1 ^11 1__1 1 11__1 11
< д1--Ыд + Щд! - - * Нг - % - + Мг2 Нг2 - 2+- =
1 11 1 —1 1 = И2Н2 " 2 + - Н2! 2 %2 + 1 ) *
1 А-А. 11 11 1,2 1 1,1
* ИГ2НГ2 -%-1+- * Н1--И- 2+---12%-2+
Отсюда и из (60), находим
НГ-1 мп- - —-Т£ 11 1 + 2 1 1^1
тТ1 - 1 ЛТ-2 + --Г" '"---1--
. (Ж2) * -Г---Н1 --И - 2 + - - -2 %- 2 + - =
у 2 - - Нп-£
, deg( Н) Нг -1 N *е&(н)
ИГ--% 2 - - \ Н
1 п - 1 1 2 1 1 1 1 1 deg(N) =п----е - - +---2 =п - - + - -е--2 + -е,
п п 2 п п2 2 п п2 п
(е^(Н) =п - - +--е,
2 п
) = 1__1 -п£ = 1 1 + п{пл
(е^(Н) п3 - 0, 5п2 +п - п2е п3 - 0, 5п2 + п '
п2 - 0, 5п е
г1(п) = , 2 п , 1^2 ' п ^ , 1-^е <
(п2 - 0, 5п + 1)(п2 - 0, 5п + 1 - пе) п2 -п + 1' Отсюда, имея в виду, что
1 - 3 п \ 2 , + Г](п) < 1 - 9(п) + 0, 5е, п3 - 0, 5п2 + п
находим
1 1 , / \ \ &е&(Н)
НГ-1 I И1-п3-0,Ъп2+п +Ч(п) \
.№) * (-Н-) *
* НГ„1 (^)Лв8(Н) И* . (Ю)
- - % ^ V Н ) - - &-1 х '
5.7. Оценка интеграла 3(т)
Поступая аналогично, как в случае оценки .(М2), имеем
Нг -1 Ип- - - -г £
.(т) * —г • Нп-е татх 1Т(а; И»Н)1, 1 < ^ < г. (64)
Оценим Т(а; Nv, Н„) для а из множества т. Если а € т, то
а 1 Н
а = а + А, (а, д) = 1, |А| * —, 1 <д * т, т = 2п(п — ВД^Нь д дт &
Пользуясь леммой 1, обозначением г = 2п + 1, затем соотношениями
Н 1 Н Н
Н , N xN—, —^— «д« —г
N — N — & N„
которые являются следствиями формул (34) и (33), имеем
2
Т(о^,Н„) «^(Н + £ + н^)" «
2
Н1+£ N1-—& . Н Nг—1
« -77- +
N (1-—)(1+£М Н N1 Нп
N(1-—)(1+£)-(п-1-—)^ ^п-2 Подставляя эту оценку в (64), находим
12 — — 2 | _ ~ 2 Н1-2—г +£ /Нп-2^ + 1\-1
(нп-2& V +1)
7 (т) «
1 — 1 2 —— 2 Н-1 Nп- — -Н1-2—-
— Нп- N(1-^^-(п-1-1) ^
Ídeg( N) \ ^Я)
N deg(Я) Н
(65)
где
1 / 2 2 \
deg(N) =- (г + 1)(п — 1) — (2г — 2)е — + -( г — 1)е
г — 1 \ п п )
гп — г + п — 1 (г + 1)(п — 1) — (2г — 2)е
deg(Н) =-1--2е =-1-.
г — 1 г — 1
Воспользовавшись значениями deg( N) и deg( Н), а также обозначением г — 1 = 2п, имеем
=1__2 — (2^— 2)^_= 1 — в(п г) + п(п)
deg(Н) 1 ( г + 1)(п2 —п) — (2г — 2)пе 1 (Щ r) + r|(п),
2 2 — (2 — 2)
( п) =
(г + 1)(п2 — п) (г + 1)(п2 — п) — (2г — 2)пе
(1 — (г+1)2(п-1^ (2г — 2)е _ (1 — (2 — +2Хп-1)) 2П+1е
(г + 1)(п2 — п) — (2г — 2)пе (п — 1 + 21-п(п — 1) — 2е)2пп
* 2£ *
(п — 1)п 2
Из этой оценки и из (65), пользуясь соотношением Н = N1-д(п,г)+£) находим
Н-1 1-в(п,г)+2 \^(я)
*
7 (т) «
Тг- —
V Н )
( N1-в(п>г )+Л
N ч
НГ-1 ÍN1-в(п'Г )+£^deg(Я) deg(Д) Н-1
N--^ £ «
Н у Ní•-
Подставляя найденные оценки для .](М1), ■](М2) и ■](т) соответственно из (58), (62), (63) и (65) в (40) получим утверждение теоремы 1.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wright Е. М. Proportionality conditions in Waring's problem // Mathematische Zeitschrift. 1934. V. 38. P. 730 - 746.
2. Wright E. M. An extension of Waring's problem // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1933. Ser. A 232. P. 1 - 26.
3. Dirk Daemen. The asymptotic formula for localized solutions in Waring's problem and approximations to Wevl sums // Bull. London Math. Soc., 2010. V. 42. P. 75 - 82.
4. Dirk Daemen. Localized solutions in Waring's problem: the lower bound // Acta Arithmetica. 2010. V. 142. № 2. P. 129 - 143.
5. Dirk Daemen. On sums of 13 'almost equal' cubes // Quart. J. Math. 2010. V. 61, P. 29 - 32.
6. Рахмонов 3. X. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95. вып. 3. С. 445 - 456.
7. Рахмонов 3. X., Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г.Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. В. 1(53). С. 232 - 247.
8. Рахмонов 3. X., Азамов А. 3., Назрублоев Н. Н. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2018 г. Т. 61. № 7-8. С. 609-614.
9. Рахмонов 3. X., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2. С. 83 - 86.
10. Рахмонов 3. X., Азамов А. 3. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 - 42.
11. Рахмонов 3. X., Назрублоев Н. Н. Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11 - 12. С. 823 - 830.
12. Рахмонов 3. X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74. вып. 4. С. 564 - 572.
13. Рахмонов Ф. 3., Рахимов А. О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Издательство: Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. ISSN: 1810-4134. 2016. № 8. С. 87 - 89.
14. Рахмонов 3. X. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24. № 3. С. 71-94
15. Vaughan R. С. Some remarks onWevl sums // Topics in Classical Number Theory, Colloquia. Math. Soc. Janos Bolvai, 34. 1981. P. 1585 - 1602.
16. Карацуба A. ,A., Королёв M. А. Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой // Известия РАН. Серия математическая. 2007. Т. 71. № 2. С. 123 - 150.
17. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда — Москва: Мир, 1985.
18. Хуа Ло-Геп Метод тригонометрических сумм и её применения в теории чисел — Москва: Мир, 1964.
19. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм — Москва: Наука. 1987 г.
20. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа — Изд. 2-е. Перев. с англ. Москва: Физматгиз, 1963 г. -342 с.
REFERENCES
1. Wright Е. \!.. 1934, "Proportionality conditions in Waring's problem", Mathematische Zeitschrift, vol. 38, pp. 730-746.
2. Wright E. M., 1933, "An extension of Waring's problem", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, vol. 232. pp. 1-26.
3. Dirk Daemen, 2010., "The asymptotic formula for localized solutions in Waring's problem and approximations to Wevl sums", Bull. London Math. Soc., vol. 42, pp. 75-82.
4. Dirk Daemen, 2010, "Localized solutions in Waring's problem: the lower bound", Acta Arithmetica, vol. 142, pp. 129-143.
5. Dirk Daemen, 2010, " On sums of 13 'almost equal' cubes", Quart. J. Math., vol. 61, pp. 29-32. doi:10.1093/qmath/han024
6. Rakhmonov, Z. Kh., 2014, "The Estermann cubic problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407-417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.
7. Rakhmonov Z. Kh., к Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, "Short Wevl sums and their applications", Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232-247, (in Russian).
8. Rakhmonov Z. Kh., к Azamov A.Z., Nazrubloev N. N., 2018, "Of short Wevl's exponential sum in minor arcs", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 61, no 7-8, pp. 609-614, (in Russian).
9. Rakhmonov Z. Kh., к Mirzoabdugafurov К. I., 2008, "Waring's problem for cubes with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (in Russian).
10. Rakhmonov Z. Kh., к Azamov A.Z., 2011, "An asymptotic formula in Waring's problem for fourth powers with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).
11. Rakhmonov Z. Kh., к Nazrubloev N. N., 2014, 'Waring's problem for fifth powers with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no 11-12, pp. 823-830, (in Russian).
12. Rakhmonov Z. Kh., 2003, "Estermann's ternary problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542. doi.org/10.1023/A:1026199928464.
13. Rakhmonov F. Z., к Rakhimov A. O., 2015, "On an additive problem with almost equal summands", Issledovaniya po algebre, teorii chisel, funktsionaVnom,u analizu i smezhnym voprosam. Izdatel'stvo: Saratovskiy natsional'nyy issledovatel'skiy gosudarstvennyy universitet im. N.G. Chernyshevskogo, ISSN: 1810-4134, no 8, pp. 87-89, (in Russian).
14. Rakhmonov Z. Kh., 2023, "Generalization of Waring's problem for nine almost proportional cubes", Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, Is. 3, pp. 71-94, (in Russian).
15. Vaughan R. C., 1981, "Some remarks on Weyl sums", Topics in Classical Number Theory, Colloquia. Math. Soc. Janos Bolyai, 34- 1981. P. 1585 - 1602.
16. Karatsuba A. A. к Korolev M. A. 2007. "A theorem on the approximation of a trigonometric sum by a shorter one", Izvestiya: Mathematics, 71(2), pp. 341 - 370.
17. Vaughan R. C., 1981. "The Hardy-Littlewood method", Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge, 172 p.
18. Hua Loo-Keng, 1964. "Method of Trigonometric Sums and Its Applications in Number Theory", Nauka, Moscow, 190 p. (Russian translation); Abschätzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie. 2. völlig neu bearb. Auf, Enzyklopädie Math. WTiss. Band. I, 2. Teil, Heft 13, Art. 29. Leipzig: B. G. Teubner Verlag. 123 S. (1959).
19. Arkhipov G. I. к Chubarikov V. N. к Karatsuba A. A. 2004. "Trigonometrie sums in number theory and analysis", Berlin New-York: Walter de Gruyter, 554 p.
20. Whittaker G. E., к Watson T. N., 1915. "A Course of Modern Analysis. Part 1", The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.
Получено: 21.01.2024 Принято в печать: 28.06.2024
