Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 3.

УДК 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-3-71-94

Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов

3. X. Рахмонов

Рахмонов Зарулло Хусенович —доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистана, директор Института математики им. А. Джураева (г. Душанбе). e-mail: zrahmonov@mitas.tj, zarullo-r@ramMer.ru

Аннотация

Получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального N в виде суммы девяти кубов натуральных чисел х^ г = 1, 9, удовлетворяющих условиям

|х? - ^N | < Н, + ... + М9 = 1 Н > N1-30

где ^1,..., ^9 — положительные фиксированные числа. Этот результат является усилением теоремы Е.М.Райта.

Ключевые слова: проблема Варинга, почти пропорциональные слагаемые, короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля, малая окрестность центров больших дуг.

Библиография: 25 названий. Для цитирования:

3. X. Рахмонов. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышёвский сборник, 2023, т. 24, вып. 3, с. 71-94.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 3.

UDC 511.32 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-3-71-94

Generalization of Waring's problem for nine almost proportional

cubes

Z. Kh. Rakhmonov

Rakhmonov Zarullo Khusenovich ^doctor of physical and mathematical sciences, professor, Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan, director of the A. Dzhuraev Institute of Mathematics (Dushanbe). e-mail: zrahmonov@mitas.tj, zarullo-r@ramMer.ru,

Abstract

An asymptotic formula is obtained for the number of representations of a sufficiently large natural N cis э. sum of nine cubes of natural numbers Xi, i = 1, 9, satisfying the conditions

|x? - ViN | < H, mi + ... + MQ = 1 H > N1-30 +e,

where ^1,...,^Q — positive fixed numbers. This result is a strengthening of E.M.Wright's theorem.

Keywords: Waring's problem, almost proportional Summands, H. Weil's short exponential sum, small neighborhood of centers of major arcs

Bibliography: 25 titles. For citation:

Z. Kh. Rakhmonov, 2023, "Generalization of Waring's problem for nine almost proportional cubes" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 3, pp. 71-94.

1. Введение

Лагранж доказал, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четырёх квадратов натуральных чисел. Обобщая эту теорему, Варинг [1] в 1770 г. сфомулировал проблему, которая утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нём базис конечного порядка G(n), то есть, каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде

ж? + ^ + ... + < = N, (1)

где Х\,Х2,... ,хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {хп}, или функцией Харди.

Проблема Варинга в XIX веке была доказана для отдельных значений п, но реального продвижения на пути к решению этой проблемы удалось добиться только в ХХ-ом веке. В 1909 г. эту задачу решил Д.Гильберт [2], тем самым он установил существование функции G(n).

В 1920 г. Харди и Литтлвуд [3] доказали проблему Варинга новым методом. Они ввели функцию G(n) и доказали, что

п < G(N) < n2n-1h; lim h = 1 Самым же основным было то, что Харди и Литтлвуд при

г> (п - 2)2га-1 + 5

для числа Jn,r (N) представлений числа N в виде (1) находили асимптотическую формулу вида

Jn,r (N) = Г (l + ^ Г (г (^ ))-1 N *-1б„,г (N) + 0(N *-1-<га,гУ),

где &n,r(N) — некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое положительное число Cn,r (N).

В 1924 г. И.М.Виноградов [4], применяя к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм нашёл асимптотическую формулу Харди и Литтлвуда при

г ^ 2[n2(2lnп + lnlnп + 3)].

В 1934 г. И.М.Виноградову [5] удаётся доказать, что

G(n) <n(61nn + 10),

далее ему удалось уточнить эту оценку несколько раз, и наконец, в 1959 г. доказывает [6] следующую оценку

G(n) < n(2 Inn + 4 In Inn + 2 In In Inn + 13). А.А.Карацуба [7], применяя к оценке G(n) р-адический метод, нашёл более точную оценку

G(n) <n(21nn + 2 In Inn + 12).

Вули [8] показал, что

G(n) < nInn + n 1n1nn + 0(1).

Значение G(n) известно всего лишь для к = 2 и к = 4, т0 есть G(2) = 4, G(4) = 16, что в свою очередь доказали Лагранж и Давенпорт [9]. Ю.В.Линник [10] показал, что имеет место G(3) ^ 7. Вон [11] получил асимптотическую формулу Г.Харди и Дж.Литтлвуда при г = 8 и n = 3

М.Е. Райт [12, 13], исследуя проблему Варинга с почти пропорциональными слагаемыми, нашёл асимптотическую формулу для числа представлений числа N в виде (1) при выполнении условий

r^ (n - 2)2га-1 + 5, |х™ -ßiN | ^ N1-в, г = 1, 2,..., г, ß + ß + ... + ß = 1, = ( n, )

0(n Г) = 1 min ( (Г - 2")(2"-1 + 1) r - (n - 2)2"-1 - 4 r - 2"-1 ^

( , ) n \(nr + n - 2n - 3)2ra-1 + r, r + 2n-1 - 4 , nr - 2ra-1 +n - 1J ' Отсюда, в частности, имеем

W 3) = 5Г, т2D = i1o, »(5, 53) = ^,

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [-ае, 1 - ае], ает = 1 представимо в виде

а 1

а = - + А, (а, q) = 1, 1 т, |А| .

Для некоторого ц, ц < 0,1т через М(ц) обозначим те числа а, для которых q ^ ш, через т(ц) обозначим оставшиеся а. М(ц) и т(ц) соответственно называются большими и малыми дугами.

После создания метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова вывод асимптотических формул для количества решений в классических аддитивных проблемах, к которым относится проблема Варинга, тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга-Гольдбаха, проблема Эстермана, сводятся к двум следующим задачам:

• исследованию поведения тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Тп(а,х) = ^ е(атп), Sn(a,x) = У^ е(арп),

в малых окрестностях центра больших дуг М(ц),

получение нетривиальных оценок этих сумм в малых дугах ш(^).

Вывод асимптотических формул для количества решений в классических аддитивных проблемах становится гораздо труднее, если требовать, что все слагаемые почти пропорциональны или все они почты равны (аддитивная задача с почти пропорциональными слагаемыми при у1 = ... = превращается в задачу с почти равными слагаемыми), так как вместо тригонометрических сумм Г.Вейля Тп(а, х) и (а,х) возникают короткие тригонометрические суммы Г.Вейля вида

Тп(а; х,у) = е(атп),

х—у<т^х

Бп(а; х,у)= ^ е(аРП),

х—у<р^х

причём, если п > 1, то длина и границы коротких тригонометрических сумм зависят от чисел

то есть, каждой из г слагаемых соответствует своя короткая тригонометрическая сумма, в случае аддитивных задач с почти равными слагаемыми все эти суммы совпадают. Более конкретно решения этих классических аддитивных проблем с почти пропорциональными слагаемыми сводятся к трём следующим задачам:

• исследования поведения коротких тригонометрических сумм Тп(а; х,у) и Бп(а; х,у) в малых окрестностях центра больших дуг М(^);

• нахождение нетривиальных оценок этих коротких тригонометрических сумм в больших дугах Ж(г)) кроме малых окрестностей их центров;

• получение нетривиальных оценок этих сумм в малых дугах ш(^).

Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Тп(а; х, у) для фиксированного п в больших дугах было исследовано в работах [14, 15] (см. также [16, 17]). Воспользовавшись этими результатами (см. ниже лемма 1 и следствия 1 и 2) в сочетании с нетривиальными оценками сумм Тп(а; х,у) в малых дугах [18], были доказаны асимптотические формулы для количества решений в следующих аддитивных задачах с почти равными слагаемыми:

• проблема Варинга с почти равными слагаемыми в случаях п = 3, 4, 5, точнее были найдены [19, 20, 21, 15], асимптотические формулы для количества решений диофантова

(5)

Хг

(—У

\2п + 1)

< Н,

г = 1,..., Т + 1, Н ^ N $-д(п)+г;

где

0(3) = —, 0(4) = —, в(5) = —. 30' 108' 340

обобщение [16, 14, 22] тернарной проблемы Эстермана с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде

+ Р2 + тп = X,

при п = 2, 3, 4, в простых числах р2 и натурального т, с условиями

Рг -

N

3

^ Н, г = 1, 2,

п ^

тп - —

3

^ Н,

Н ^ N1-в(п),

соответственно при

0(2) = 1, С2 = 2; 9(3) = 6, с3 = 3; 0(4) = 1, с4 = у.

В этой работе, развивая методы вышеприведённых работ [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21], докажем, что теорема Е.М.Райта об асимптотической формуле в обобщении проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов имеет место при условии

0 = 0(9,3) ^ е.

Теорема 1. Пусть N — достаточно большое натуральное число, М1,... ,М9 — положительные фиксированные числа, удовлетворяющие условию

М1 + ... + М9 = 1,

) - число представлений N суммою девяти кубов натуральных чисел XI, с условиями

\х3 | ^Н, г = 1,..., 9. (2)

Тогда, при Н ^ N1- зо +£ справедлива, асимптотическая формула:

259723 2 н8 / Н8 \

Н) = 44089920 П М2 )^ + О ,

к=1 4 7

где & ( N) - особы,и ряд, сумма, которого превосходит, некоторое положительное постоянное, а постоянное под знаком О зависит от, чисел М1,...

В этой работе мы также обобщаем теорему Хуа Ло-кена ([25], лемма 2.5), то есть, оценку

1

„2к-к+е

[ \Тп(а,х)\2к <х2к-к+£, 1 ^к^п, ■> о

для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Тп(а; х, у), которой воспользуемся при доказательстве теоремы 1.

Теорема 2. Пусть х и у — натуральные числа, у/Х < у ^ х^-1; тогда имеет место оценка

1

/ \Тп(а;х, у)\2к (1а < у2-к+£, 1 < к < п. о

Теорема 1 доказывается круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова, наряду с теоремой 2 мы используем

• асимптотическую формулу для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Тз(а;х, у) в малой окрестности центра больших дуг (следствие 1 леммы 1 );

• нетривиальную оценку для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Тз(а;х, у) в больших дугах за исключением малой окрестности их центров (следствие 2 леммы 1);

• нетривиальную оценку коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Тп(а;х, у) в малых

п = 3

Обозначения. N > N0 - натуральное число,е — произвольное положительное число, не превосходящее 0.00001 ^ = 1п^

5 (а, д) = ^е , 1п(А;х, у) = J (а (х - |+уи) ) Ли.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. [14, 15]. Пусть т > 2п(п — 1)хп~2у и X ^ 0, тогда при {п\хп~^ имеет место формула

Тп(а, х, у) = ^^Тп(\; х,у) + О (д1+) ,

а при {п\хп > имеет место оценка

1 1 f _1 1 п

\Тп(а,х,у)\^ q " ln q + min [yq « ,\ k x k q n .

2^k^n V /

Следствие 1. Пусть т > 2n(n — l)xn~2y, |A| ^ 2nga1n-i; тогда имеет место соотношение

Тп(а, х, у) = ^Sn(a, q)jn (X; х,у) + О ^2+) . Следствие 2. Пусть т > 2п(п — 1)хп~2у, 2nq*п-1 < |A| ^ 1, тогда имеет место оценка Тп(а; х,у) ^ q « ln q + min [yq « ,x k q k n .

Лемма 2. [18]. Пусть x ^ x0 > 0 а — вещественное число, а — | ^ (a,q) = 1,

тогда при yfx < у ^ 0, 01х имеет место оценка,

Т3(а; х,у) < 6у1+е (- + - + * .

\У Q У3/

„У Q Г

Лемма 3. [23]. Пусть (a,q) = 1, q — натуральное число. Тогда, имеем,

q (ak3'

S3(a,q) = £ е(—) < 6,1q3.

U—Л V 0. /

*=1 ^ *

Лемма 4. [23]. Пусть действительная функция — f (и), и монотонная функция — д(и) удовлетворяют условиям: f'(и) — монотонна, \f'(и)\ ^ т1 > 0 и \д(и)\ ^ М. Тогда, справедлива оценка:

[ь М

д(и)е(/(и))йи ^ —.

Уа

Пусть А к означает к-ое применение разностного оператора, так что для любой функции действительного переменного / (и)

А1(/(и); к) = /(и + ]) — /(и),

А к+1(/(и); к1,..., кк+1) = А1(А к (/(и); ]ц,..., ^); кк+1). (3)

Лемма 5. При к = 1,... ,п — 1 имеет место соотношение

А к (ип; Ь,1,...,]]к) = ]]1... ]]кдк (и; ]]1,..., Ък),

где дк = дк(и; И1,..., Ик) является формой п — к-го порядка, с целым,и коэффициентами, имеющей относительно и степень п — к и старший коэффициент п(п — 1)... (п — к + 1), то есть

п- ,,п—к

9k(u; hi,...,hk) = {п - к){ ип k + ....

Доказательство. Применяя формулу (3), найдём

п

А1(ип; = (и + Н1)п -ип = Е СП 1г\Ч

1ип-г \

4 = 1

Д2(ип; ^1,^2) = Д1 (Д1(ип; ^1); Н2) = Д^ ^СЩ ^ип-г ^

>1=

п п п п—г1

= £ СЩ К (и + ^2)п—г 1 - Е Сп1 ^!1ип—г 1 = Е Сп1 К Е С1г——г 1 42ип—г 1—г2. г1=1 г1=1 г1=1 г2=1

Последовательно применяя формулу (3), легко можно показать, при к = 1, 2,... ,п — 1, что имеет место

п п—г1 п—г1—...—г^-1

Д к(ип; Н1,...,Нк) = £ сп к Е сп—г 1 л?... Е С1-..-—гк_1 ыкып—г 1—...—гк.

г1=1 г2=1 гк=1

Из этой формулы следует, что имеет место формула

Дк (ип; }ц,...,кк) = к... Ькдк (и; к1,..., кк),

ГДе 9к = 9к(и; к,1,..., кк) является формой п — к-го порядка с целыми коэффициентами, имеющей относительно и степень п — к и старший коэффициент п(п — 1)... (п — к + 1), то есть

п' ,

9к(и; НЬ...М) = — иП—к + ....

Лемма 6. Пусть ¡(т) - многочлен степени п, х и у — целые положительные числа, у < х,

Т( f(т);х, у) = ^ е(/(т))

х—у<т^х

к = 1 , . . . , п — 1

|Т(/(т);х, у)|2 < (2у)2 —к—1 Е - Е Т, Тк

1^11<у 1Ьк1<у

Е е(Дк( /( т); кь ... ,кк))

те1к

где интервалы 1к = 1к(х, у; И1,..., кк) определяются соотношениями: 4 = 4(х, у; Н1) = (х — у, х] п (х — у — к1,х — Н1],

4 = 4 (х, у; кь ...,Нк) = 4—1(х, у; кь .. .,Нк—1) п 4—1 (х — кк, у; кь .. .,Нк—1),

то есть, интервал 4—1(х — кк, у; Н1,... ,Нк—\) получает ся из 1к—1 = 4—1(х, у; к1,...,кк— 1) сдвигом, на, —кк всех интервалов, пересечением которых он является.

к

При к = 1 имеем

№(т);х,у)12 = Е Е е^(т + к) — /(и)) = Е Е ^(/(т);к)) < Е Ть

х—у<т^хх—у—т<к^х—т 1Н1<ут€11 Щ<у

Предположим, что утверждение леммы выполняется при к, 1 ^ к ^ п — 2, то есть

|Т( Дт);х, у)12к < (2у)2к—к—1 £ £ ... £ Тк.

1^1<у 1к21<у 1Ьк1<у

Возводя обе части этого неравенства в квадрат, затем последовательно применяя к суммам по Ъ,1,...,Нк неравенство Коши, найдём

\Г(/(т); х,у)\2к+1 < (2у)2к+1-(к+1)- 1 £ ... £ Т2. (4)

|^1|<2/ I 1<У

Из эквивалентности соотношений т1 е 1к(х, у; ]1,..., ]к) и т1 — т € 1к(х — т, у; Н1,..., ]к),

имеем

Т 2к = ^ ^ е(А к (/(т1); !ц ,...,Кк) — А к (/(т); ¡11,...,1ък )).

те 1к(х,у;к1,...,кк) т1-т£Iк(х-т,у;Н1,...,Нк)

Обозначая разность т,1 —т через ]к+1, затем сделав сумму по ]к+1 внешней, воспользовавшись эквивалентностью соотношений Ь,к+1 € 1к (х — т,у; Ь>1,... к и т € 1к (х — ]к+1,у; И1,..., ]гк) и соотношением (3), имеем

Т = Е Е е,(Ак+1(1 (т); к,... ,]к+1)) =

^к+11<у те 1к (х,у;к1,...,кк)

те 1к(х-Нк+1,у;к1,...,кк)

= Е Е е(Ак+1(/(т);]1,...,ьк+1)) ^ Е т к+1.

1Ьк+11<уте 1к+1(х,у;к1,...,кк+1) 1^+1 <

Подставляя правую часть последнего неравенства в (4), получим утверждение леммы.

3. Доказательство теоремы 2

Воспользуемся методом математической индукции по й. При к = 1 воспользовавшись тем, что при х — у < т,1, т,2 ^ х диофантовы уравнения т™ = т'2 и т,1 = т,2 эквивалентны, имеем

/ \Тп(а; х,у)\2(1а = ^ / е(а(т^ — тг^))йа = ^ 1= Е 1 < у.

0 X — у<7П1,Ш2^Х 0 Х-у<7П1 ,ГП2^Х X — у<ГП1^Х

Пусть теперь утверждение теоремы имеет место при 2 ^ к ^ п — 1, то есть

/1 \Тп(а; х,у)\2кйа < у2к—к+£. (5)

0

В лемме 6, полагая /(т) = атп, имеем

!Т„(а;ж.^)!2" < (2у)'2к-"-1

£ ■■■ Е

|^1|<2/ 1<У

Е е (аАк (тп; Пи...,^)) те 1к

Воспользовавшись леммой 5, находим

Ак (тп; Ь,1,...,]],к) = ]]1... ]гкдк (т; ]ц,..., Ък),

гДе 9к = 9к (т; ]-1,..., ] к) является фор мой п — к-го порядка с целыми коэффициентами, имеющей относительно т степень п — к и старший коэффициент п(п — 1) ... (п — к + 1), то есть

дк (т; ]ь...,] к) =

п\

(п — к) !

т

п—к

+....

Отсюда и из условий х — у < т ^ х, |кг| < у, г = 1,... ,к, у[х < у ^ х^ 1 следует, что существует хо, такое что при х > хо, выполняется неравенство

дк (т; кь... ,кк) > 0. Обозначая через г(К) — число решений диофантова уравнения

к1 ... Ькд к (т; }ц, ...,кк) = к, относительно переменных т и к .. .кк, |кг| < у, т € 1к, найдём

(6)

\2к—к—1 ^ , Н

Ыа;х, у)^ < (2у)2к—к—1} ' г(к)е(ак),

(7)

Заметим, что, если к = 0, то г(к) ^ Тк+1(к) ^ ке. Из неравенства (6) следует, что уравнение

к1 . ..кк§к (т; кь ...,кк) = 0

имеет только решение вида (0, к2, ..., кк, т), (к1, 0, к3,..., кк, т), ..., (к1,..., кк—1,0, т), для количества которых справедлива оценка

К0)< Е ... Е Е1 <^у)^[к|<2к—1 Ук.

|Н21 <у 1кк1<уте1я

С другой стороны,

\Тп(а; х, у)\2к = Е р(к)(—ак), Н

где р(к) - число решений уравнения

(8)

вЩ + ... + — — ... — ЬЩ = к, х — у < в1, Ь,..., , ^х, V = 2 В равенстве (8), полагая а = 0, находим

£>(к) = |Г(0; х, у)|2к < у2к.

к1

(9)

Пользуясь предположением индукции, то есть соотношением (5), найдём

р(0) = /1 |Тп(а;х, у^ска ^у2к—к+£. о

а (0) р

г (к) ^ к£ и соотношением (9), найдём

С1 С1

/ |Т(а;х, у^+^а < (2у)2к—к—1 V г(к)е(ак)У] р(к')е(—аЫ)да =

]о ]о Н Н'

= (2у)2к—к—1 ^г(0)р(0) + ^г(к)р(к)^ < (2у)2к—к—1 ^г(0)р(0) + шахг(к) Ер(Ы)) <

« У2к—к—1 (У • У2к—к+£ + У£ • У2к) « у2к+1—к—1+£.

Н=0

4. Доказательство теоремы 1

Не ограничивая общности, будем считать, что

Н = N1-30 +£, р1 < ... < »1 < 1, > 9. (10)

Пользуясь обозначениями

^ = (цкN + Н)3, Нк = (цкN + Н)3 — (цкN — Н)3, т = 12И1Н1, ает = 1,

число решений диофантова уравнения (1) при п = 3 и г = 9 при выполнении условий (2) представим в виде

1-ае д

3\

)= [ е(—аИ) ^ ^ е(ап3)(1а =

-ае к=1 ^-Цк N КЯ

1-ае д

= [ е(—аМ) П (Тз(а; Мк, Нк) + 9к) ба,

-ае к=1

где \@к\ равен 1, если Nk — Нк — целое число, и 0 в противном случае. Верхняя граница Кк и длина Нк сумм ы Т3(а; Кк ,Нк) относительно ^Я выражаются через следующие асимптотические формулы

^=^я 10+3=я 3 (<+ЧЮ), (11)

* = ^ (0 + ^ — (1 — И Ш) , (12'

3^ N3

При и = 1, 2,..., 9 и 1 ^ г1 <...<%„ ^ 9, вводя обозначение

0 = 0 (11, ...,{„ ) = {1, 2,..., 9} \ {¿1,..., V}, и воспользовавшись тождеством

дд

П (Тз(а; Мк, Нк) + вк) = ^ П(а; Мк, Нк) + к=1 к=1

8 д

+ Е Е в*...^ П тз(а;мк,нк) + П

и=1 ы

представим <1з,д(К,Н), в виде

1-ае

.73д(М,Н )= I е(—аМ) ^ Т3(а; Ык ,Нк )йа + Я^Я), (13)

-ае ^=1

8 1-ае

Е1(М,Н ) = ^ ^ вч ...9г1 е(—аМ) ^ Т3(а; Мк ,Нк )<1а.

I 7 - К!--К/ ' | | ''к ,

^=1 1<г !<...< г„ <9 ке9„ к=1

1-ае д

Переходя к оценкам, а затем, представляя множество ^ в виде

^ = {1, 2,..., 9} \ {ч,..., г и} = [ръ...,р—},

имеем

8 1 — ае

Я1(М,Н) < ^ ^ i П |Тз(а;Мк,Нк)|Са =

8

= Е Е К1 (М,Н,Р1,...,Р9—и), (14)

и=1 1^Р1<...<Рд-„ ^9

1—ае 9—и

К1 (ы,н,р1,...,р9—и)= / П1Тз)\Са.

-ае 3 =1

Оценим К1 (М, Н,@1,..., @9—и) при V = 1,..., 8 воспользовавшись неравенством Коши, теоре-

2

мой 2 и неравенством Нк « НИ— з, которое следует из (12). Имеем

8 (1—Г V 8 Л 1 , Н ,5+е

К1(М,Н,$1 ,...,/38) ^П ( / \Га(а;Мз. ,Щ.)\8 сСа | « П (Н+) 8 «( — )

з^К-м. з=1 КМ з/

1 1 6 I 1 — ае \ 8 / 1—ае \ 4

8Са 1 | / |Тз(а;М^, Н^)|4dа| <

^(И, Н,31,...,3т) < ПД / \Тз(а; Мз,., ) \8 ^ ( ^ |Тз (а; М^, Н^ )|

«1! (НГ)8 (НГ)1«(%)

1 1 4 I 1—ае \ 8 6 / 1 — ае \ 4

\ 8--- I ГГ I ] \ ,\4

3 = 1 \-ае / 3=5 \_п

Я1(М,Н,31,...,3б) < Пп \Тз(а;М[з] ,Нр. )\8Са| ¿П \Гз(а;Мз. ,Н)\4Са| <

4 / ч 1 6 / ч 1 / Н \ 7

« П (НГ)8 П (НГ)1«(и

3=1 3=5

1 1 4 / 1 — ае \ 8 / 1—ае \ 2

ъ ,НИ1;\8

3 = 1 \-с

К1(М,Н,31,...,35) < п(/ \Тз(а;МР], Нр. )\8Са| Ы |Тз (а; Ид., Щб )|2Са| <

3=1 \—ае ) \— ае

4 1 / \

«II (НГ) "4 = %)

4 [1—Г \ 4 4 . 1 / Н ч 2+е

Е1(М,Н,31 ,...,34) ^П ( \Тз(а;Мз. ,Щ.)\4Са| « П (Н^) 4 « —

.7=1 .1=1 37

i i 2 I 1—ае \ 4 / 1 — ае \ 2

(a; Np. ,НрА)|4 da

Ri(N,H,pi,p2,p3) < ПД/|Тз(«; % ,HPi )|4 da) (/ 1Тз(а; ,Hp3 )|2 da) «

- п («ИТ)1 4=(£)

2 i 1—ae

Ri(N,H,Pi,P2) < П ( J | T3(a; Np.,Hp.)|

3=1 \ — ae

2 ' * 1 1 / H \ 2 +°5£

L I4 H2 П

3 = 1

1

1—ае \ 2

|2 \ Н

(a; Npj ,Hpj )| da\ « —;

3=1 \ " N3

=1 —

i

1 — ае \ 2 i

,2 , \ ( Н\ 2

R1(N,H,P1) < (У 1Т3(а; Np3 ,Hp3 )|2 da) «(2 . —

Подставляя найденные оценки для R1 (N, Н,01,..., @g—v) при = 1, 2,..., 8 в формулу (14), получим

8 / н \ 5+£

R1(N,H) ^У Cl—V max R1 (N,H, ..., ) « — =

f==l Ы/31<...</39-„\N2 J

H8 N8+l£L7 H8 лт 7 4i.2r/97 H8

N — 30 — 30e+e L' «

N 6L7 HN 6L8 N 6L7"

Отсюда из (13), имеем

1 — ае g

Л,д(М,Н) = ! е(—аМ) П Т3(а; Мк,Нк)ба + О . (15)

-ае к=1

Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое а из промежутка [—ае, 1 — ае] представимо в виде

а 1

а = - + X, (а,д) = 1, 1 < д < т, \Л\ . (16)

д дт

Легко видеть, что в этом представлении 0 ^ а ^ д — 1, иричём а = 0 лишь при д = 1. Через М обозначим те а, для которых в представлении (16) выполняется условие д ^ Нд^-1. Через т обозначим оставшиеся а. Множество М состоит из непересекающихся отрезков. Разобьём множество М на множества М1 и М2

д-1

М1 = У У М1(а,д), М.2 = М \ Мь

1^g^H9L-1 а=0 (а, д) = 1

Ж1(а,д) =

а а

--Щ^ a + Щ

д д

1

Щ =

6gNg2'

Обозначая через I(М1) I(М2) и I(т) соответственно интегралы по множествам М1, и т, с учётом (15), получим

.н,д(М, Н) = I(М1) + I(М2) + I(т) + . (17)

В последней формуле первый член, то есть I(М1) доставляет главный член асимптотической формулы для ,1з,д(К,Н), а I(М-2^ I(т) входят в его остаточный член.

4.1. Вычисление интеграла I(М1)

По определению интеграла /(М1) имеем:

Я—1 г 9

ГтЛ ......, 4 4

1(М1)= V V I ]1Тз(- + Х;Мк,Нк)е (—(- + а) М^ (18)

Для суммы Тз ^| + Л; Мк, Н^ выполняются оба условия следствия 1 леммы 1. Действительно, ввиду соотношений (11), (12) и (10) имеет место неравенство

-2М- = 3 (-ЧН)) ^ О+ЧН)) -

- И(Н)) ^ (1+ЧН))=12МкНк,

(19)

1 v vм// 1

111

а из соотношений |Л| ^ щ, щ = ^ и ^ ^ ^ следует, что

«9

1

<

6 М2 ■

к = 1 , . . . , 9

Т^- + Л, Мк, нЛ = НММ17з(Л; Мк, Нк) + Д2, Д2 « + / Я

к = 1, 2, . . . , 9

9 9 8 V

П (-к +6) = П-к + Ь9 + Е Ь9— Е П-гк,

к=1 к=1 и=1 Ыг 1<...< гv ^9к=1

НкSз(a, д) , .

при а>к =-7з(Л; Мк, Нк) и о = К2, получим

П Тз (- + Л, Мк, Нк) = ^^ П Нк7з(Л; Мк, Нк) + Д9+ к=1 ^ 7 1 к=1

+ ' Е II 7з(Л; Мгк,Щк).

^=1 кг 1 <...< г^ ^9к=1 ^

Пользуясь соотношением К2 « да оценкой |S3(а, q)| « <р (лемма 3), последние два слагаемых оценим сверху:

П Тз(- + Л, Мк, Нк) — Щ-^ I! Нк7з(Л; Мк, Нк) « к=1 9 к=1

« £ — *+(9—^ Е П Нгк Ьз^Мгк ,Нгк )| + ^.

и=1 Ыг 1<...<гv^9 к=1

Отсюда и из формулы (18), находим

9 q-1 С9

q9 \ q

KMi) = П*к £ A(k, „) Ё e (-üN)

k=1 q^HgL-1 a=0 4 ^

(a, g) = 1

9

A(k, q)= I ^3(X;Nk,Hk)e(-XN)d\,

SiM e J ^^ J + R1(M) + ЩЖ1), (20)

IM<vq k=1

R1(M) «£ £ qi---f+(9-)£ E ЦЩк \ l3(X;Nlk ,Щк )\dX, (21)

V=1 q^Hgf-1 ыг 1<...< г1, <9^^ k=1

-1

R2(M1) « £ ^ £ dX = ^N~2 E 3,5+9£.

q^Hgf-1 «=0,Л,<„ 9 q^Hgf-1

4.1.1. Оценка R2(M^

Воспользовавшись формулами (12) и (11), имеем

1 (H9\5,5+9£ ( н \5,5+9£ 1 н8 N §-6е f3-9е

R2 (M1)« L) «( NHL) N= N^ ■ ""Hf" =

H N-12+§f3-9£ « -jj- . (22)

14(u))\ = Щ\\Нгк(мгк - + Hlk^ ^ 3\Х\Нгк{Nik - Hik)2 =

(23)

N 6f 7 N 6f8'

4.1.2. Оценка R^M^

Оценим сначала тригонометрический интеграл

Ъ(Х; тк, Щк) = е (/гк(и)) du, fik(и) = \(мгк - + Щк^ Воспользовавшись соотношениями (11) и (12), находим

HkN2 = Щ (l+O (H)) , HtNk « N,

Hk=зН Н (H)) ■ h « HP «4-

Пользуясь этими соотношениями оценим снизу f(и). Имеем

2

^ + Н. и ^

= т*1н. - £)2 = 2w (N+o (н)) > f\A|.

Отсюда и из леммы 4, найдём

| Ъ(\;^гк,Нгк)| < min(l, щ^). (24)

Подставляя эту оценку в правую часть (21), и вводя обозначение Ai = L(6H) , получим * (Ml) « £ Е - ¥)£ Е / П^ min Л* )dA =

v=1 g*HgL-i 1*i i<...<i v *9\x\*Vi k=1 VN/

q

V

^Е Е ^- Т+(9-V)£j (") Е ГК, (25)

v=1 g*Hg L-1 1*i !<...< iv *9k=1

Vq

J(-) = J min AAi^j dA.

0

Имеет место неравенство Л1 < щ. Действительно, воспользовавшись условием д < Н9У , а затем соотношением (23), находим

Л1 = дЩУ < Н9М92 = 2 (1 + о(нм—1)) < з

щ Н < Н 3 < 4.

При V ^ 2, разбивая отрезок интегрирования в интеграле ■](и) на отрезки [0, Л1] и [Л\],^я], имеем

Л1 vq / ,, i\

J (v) = JdA + AV / AA = Л v-(£)"

П \ /

.V, £ = Л (v-(~) I * A' * = L.

AV - — 1 \ \Wa J I - — 1 3H

0 Ai

- = 1

Vq

J (1)=/min i1' x)dA =A' i1 +ln = A i1 +ln i^) *

/ H \ L2

* Ai ^1 + ln^^J * Ai (1 + lnH) «AiL « — -

Воспользовавшись соотношениями (12) и (10), найдём

Е П^ = Е II (1+0 (H2))«(Н)'

1*il<...<V*9k=1 1*ii<...<v*9k=1 Oß'N 3 \ \ // з/

к

Подставляя правую часть этого неравенства и оценку для интеграла ■](и) в правую часть

к = 9

„,„„ > у2 л (Н \" ^ 11 +(9 „„ у 2а„„ ( Н \ ч+г

^=1 ЧМ 3/ д<Н9У-1 V=1

Н17—£ Н8 М14—31—- Н8 д7 7 61 е+е2„з1 е Н8 « МI- = МУ--^т— = МУ • М —170 — ^ у 31—£ « Мут. (26)

4.1.3. Вычисление интеграла А (к, д)

Разбиваем интервал интегрирования на интервалы |Л| < Л2 и Л2 < |Л| < щ, где

У2 у2

6Н9М92 < Н ,

L2L

A2 = min -К, rin * -FT *

2 \6H9N2' 'У * "" *

и обозначая интегралы по этим интервалам соответственно через А1(к, д) и А2(к, д), получим

А(к, д) = Щк, д)+ А2(к, д). (27)

Воспользовавшись формулами (23), а также соотношением N¡3 = ц.кN + Н, имеем

— нк(2 — иу) =N3 — 3М2кНк(1 — и) +3МкН2к(2 — и) —н3к(1 —и) =

= ,км + Н — 3 • ^ (1 + о(§)) (2 — и) + 0 (=,кМ + 2Ни + 0^) .

Умножая обе части этого равенства на А, и имея в виду Х2 ^ Н2, найдём

/Я \ 3 Я .У 2

\Ык — + Нки) = ^Х + 2Ни\ + Кз^,Н), Кз(М,Н) < .

Следовательно

0,5

7з(Х;Мк ,нк ) = е(1лкМХ) у е(2НХь)йи + Яз^,Н) = е (/лкМХ) ^^^ + Ы^, Н).

-0,5

Умножая обе части этих формул по всем к = 1, 2,..., 9, применяя тождество

д д 8 V

+Ь) = 1\ак +ьд + Е ^ Е П

а,

к=1 к=1 v=1 1<А 1<...< ^

а затем, воспользовавшись условием у1 + + • • • + = 1, имеем

П 73 (Л; Щ, Нк) = П (е ЫNX) ^^ + Н Л = ^ ^ е (МХ) + ЫЪ Н), к=1 к=1 7 ' ( 7 )

Я4(М, Н) = яКм, Н) + У (я, н) Е Пе (^мх) 2тНХ

V=1 1<г 1<...< ь

=^н)+ё с-н) £ е (лм £ "О«

v=l ( ) 1<Л1<...<^ <,д \ к=1 )

Л \ ёт(2тНХ)\' (Н%2 \9-' Нд%18 \ ёт(2тНХ)\8 Н%2 < \2тХН\V < Nд + \2тХН\8

Отсюда и из определения интеграла А1(к, д), находим

(2тНХ)д

А.(к, д)= I ^^^(КХ) + ЫК,Н)) е(—ХМ)(1Х =

|А|<Л2

2жя\2 _ д

= 7^ ] -р-м + е5^,н) + к6(к,н), 0

Г н 18 2Н 8%20 1 Н 27 1

< у -^ах < = ^7 • <

2жях2

^ /лт тт, 2 Г 8ш8 (2тНХ) %2 Г ьт8г , 1

^ У (2тНХ)8 тЫ У ¿8 7'

^ А2 0

Заменив интеграл по £ близким к нему несобственным интегралом, независящим от 2к НЛ2,

ПОЛУЧИМ

оо

,9 -

И ( к, д) = ^ [ + ДАМ, Н) + , (28)

о

кН I ^

^^ кн / ар* < ¿(ет « 1

Воспользовавшись формулой

кН (2кНЛ2)9 Н10Л2'

2жнх2

{ У2 1 < < Н9

()=(^^ нГ < ^ <»> | _ , ссл и_ <д < _

и условием д < Н9&—1, а затем соотношением (23), находим

^Н)« ^ ((Н!?)9+(^9)« Но,^)9 1

Пользуясь формулой ( см. [24] стр. 174 )

9) I « но Л I « Ну9. (3°)

оо

8тпт^ , ктт—1 / ,„ 1 п

с =

! (пП—1 — 1(п — 2)п—1 +

о

V1 2п(п — 1)! V 1!

+ п(п2— 1) (п — 4)п—1 — п(п — ^ — 2) (п — 6)п—1 + ...) ,

т = 1 п = 9

те

Г sin9í к ( 8 9 78 + 9 • 8 _8 9 • 8 • 7 з8 + 9-8-7-^Х 259723к

о

Подставляя правую часть этой формулы и оценку (30) в (28), получим

259723 215 • 35Н

, 259723 „ / 1 \ №д) = о15 -2^+0\нН^т). (31)

Теперь оценим сверху интеграл

А2(к, д) = I [] 7з(Л;Мк,Щ)е(—ЛМ)*Л, Л2 = ,. (32)

А2 <|А|<чд к=1 9

Из соотношения (29) и определения щ следует, что при Н9У—2 < д < Н9У—1 выполняется равенство Л2 = щ, то есть

А( к, д) = 0.

Остаётся случай 1 < д < Н9У—2. В этом случае параметр Л2 с учётом соотношения (23) определяется равенством

. = у2 = у2 = у2 / (н\\

2 = 6Н9М2 = 4Н (1 + о (#)) = 4Н \: + 0\м)).

Для оценки тригонометрического интеграла 7з( Л;Мк,Нк) воспользовавшись оценкой (24), затем соотношением Л2 > У (6Н)—1, имеем

/ У \ У -,з(Л;Мк,Нк) < тш^ 6нщ) =6т-

Подставляя эту оценку в правую часть (32), получим

,. . Г у9 у9 (1 1\ у9 1

А2(к,д) «1 тШ = 8*6Н)Чл! — Ш) < НЩ « нут.

Л2 4

Из этой оценки и формулы (31) ввиду (27), находим

,,, . 259723 „ / 1 \

А ( к = + °{Щ1)- (33>

4.1.4. Вычисление интеграла 1(Ш1)

Подставляя правые части формул (33), (26) и (22) в (20), найдём

9

259723 9 / Н8 \

дм1) = 6 (М,н9у—чиНк + Д8(Ин) + °Мн^), (34)

к=1 ^ 7

6 (М.ЩУ-1) = £ £ * (—,-М) ,

д<НдУ-1 а=0 4 ^

(а, д) = 1

19

ММ,Н)« нут Нк

к=1 д<НдУ-1

S;9(а, д) (_-М\

к «9 а ч)

(а, д)=1

Вычислим двойную сумму 6 (М,Н9У— ^ Для этого сумму по д заменим близким к ней бесконечным рядом 6(М), независящим от Н9У—1. Воспользовавшись леммой 3 и соотношением (12), имеем

£ £ ^

д>НдУ-1 а=0 4 (а, д) = 1

/ -М \

ут)

^ 1 У М з У « > -о « ТГ «

2 Н9

д>Н9У-1 У 9

Н

Следовательно

6 (м,Н9У—^ = 6(М) + °

/ м 3 у \

V н )

6(М) = Е Е ^е (—^) . (35)

д=1 а=0 4 \ Ч /

(а, д)=1

6( М) ( М)

(см. [25], теоремы 4.6).

Применяя формулу (12), имеем

п*=п -Ъ НШ)II-—2+°(ж) •

к=1 к=1 За3М3 \ \ 77 к=1 47

к=1 За|м 3

Для оценки К8(^,Н), пользуясь последней формулой и леммой 3, имеем

Н 8

R8(N,H) «

^ 1 н8

£ п2 «

N 6L7 ^ q2 N 6L7"

q^HgL-1 ^

Подставляя (35), (36) и (37) в (34), найдём 259723

I(M1) =

215 ■ 35Н

259723 Л — ^„.Н8 / Н8 \ k=1 4 7

259723

H 8

- ( H 8 \

44089920 "&(N)W + ° [WL) k=1 4 7

(37)

(38)

4.2. Оценка интеграла I(M2)

Имеем

9

IM)= I ПГз(a;Nk,Hk)e(-aN)da.

M2 k=1

(39)

Суммы T3(a; Nk, Hk) в произведении П T3(a; Nk, Hk) симметричны, поэтому не ограничивая

k=1

общности будем считать, что выполняется соотношение

max max IT3(a; Nk, Hk)| = max IT3(a; Nr,Hr)| , 1 ^ r ^ 9.

К k^gaeM aeM.2

С учётом этого равенства, переходя в интеграле (39) к оценкам, применяя трижды неравенство " _ 2 Коши, а затем терему 2 и соотношение Hr ^ Н1 « HN з, имеем

I(M2) < max IT3(a;Nr,Hr)| aeM.2

« max IT3(a;Nr,Hr)| aeM.2

\ 8

П / №(a;Nk,Hk)l8da

k=1: \k=r

«

)

\ 8

5+£

k=1 k=

<

H 5+e

/

i0 2 N10+3£ aeM.2

max IT3(a;Nr,Hr)| . (40)

Оценим T3(a; Nr, Hr) для а из множества M^. Если a E M2, то

d , / n i, 1 1 Hg

a = - + \, (a, q) = 1, Vq < |A| , 1 ^q^^g.

q qr L

Рассмотрим два возможных случая: щ < |A| ^

1 ^ IAI 1

Случай 1. Для суммы Т3 (а;Мг ,НГ) согласно соотношению (19) выполняется неравенство

т = 12И1Н1 ^ 12МГНГ,

1

то есть первое условие следствия 1 леммы 1, а второе условие следует из условия рассматриваемого случая

ш < 1

6дN2'

Согласно этому следствию имеем

Га(а; Nr, Нг) = ^Мм!7з(Л; Nr, Нг) + О (д2 +£) . (41)

Оценивая тригонометрический интеграл 7з(Л; Мк, Нк), воспользовавшись оценкой (24), затем соотношением Л2 > щ, имеем

. , / У \ / У \ У 6дМ2У дМ 3У

7з(Л;ЛТГ,НГ) < г™ ^ ^ < тт (^ < щ; = ЛИГ « —.

Подставляя эту оценку и оценку суммы Sз(а, д) из леммы 3 в (41), получим

л, „м Н дМ3У 1 + 2 (Н9 \2 Н3 |Тз( а; Мг, Нг)| « —^ ■ + д2 +£ « д3 « « —5—2.

М 3д3 н \— / М 9 У 3

Отсюда и из (40), а затем, пользуясь соотношением Н = М2о +, находим

к I 2 17 . о 20 2 „ 19

Н5+£ Н 3 _ Н17+£ _ Н8 N 20- 2 £L 13

i (M2) ^ 10 . 2 • 4 2 34 , 2 ,„2 '

N10+N 4 LI N 34+§£L 2 n6l 7 Н 7 -w8 . N 20 - 2£-(§ -)(20 +-) L19 = • N - §0 - L " « (42)

N L лт6 W7 N L ^ AT6 W7 ■ \ !

М6Ут М6Ут М6Ут

Случай 2. В этом случае для суммы Тз(а; Мг, Нг) выполняются оба условия следствия 2 леммы 1, то есть

г = 12М1Н1 > 12МГНГ, -4-2 < |Л| < —.

6дМ2 дт

Согласно этому следствию, соотношение Нг < Мг и условию д < Н9У—1, имеем

2<к<3

2 / _1 1-1 1_i\ 2 / 1 1 А

|T3(a;Nr ,НГ)|^ д§ lng + min lHrg-§ ,Nr к gk - §\ = д§ ln д + min ( Nr2 де ,Nf\ =

2 11-, 11

= д§ lng + Nr2g6 < Н§L§ + N92H96L-6 < N92H96L-6 < Н6n 18L-6. Отсюда и из (40), а затем, пользуясь соотношением Н = N20 +£, находим

к I 31 . о 49 2 ^ 41

Н5+£ 1 1 1 Н §1+£ Н8 N 49- 2 L 41

1(Ш2) « —Но—~ • Не N18L-1 = Н Н N

N 10+h N §+§£L1 n6l7 н 17

Н8 49 ^ 41 Н8 1 76 | 2\ 41 Н8

_--N49-2£-( 17-£)(20 +£)L41 =--N- 60-§0£+£>L41 < - (43)

N6L7 N L N6L7 N L ^N7. 1 j

4.3. Оценка интеграла I(m)

Поступая аналогично, как в случае оценки /(M2), имеем

Н 5+£

I(m) < 10 2 max |23(a;Nr ,Н )|, 1 ^г^ 9. (44)

Nю+§£ "em

Оценим Тз(а; N., Н,) для а из множества т. Если а € т, то

а 1 Н

а = - + А, (а, д) = 1, |А| < —, Н < Я < т, т = 12ИН. д дт &

_ 2 1

Пользуясь леммой 2, затем соотношениями Нг х НИ з и N. х N з, которые соответственно являются следствиями формул (12) и (11), имеем

Тз(а; N.. Н,) « Н- (£ + 1 + Нз) 1 « Н1+ (£ + I + ^) 4 <

( Н- \1+£ ( N2 & N1 \

из) { Н + н2у

(1+()4)

Н\ i+£(N IL N Н 3+L1 Н I

<( — I I + — I < ^"йТ

Н ' Н2 NI+Iе N4+Iе

Н1 +е ( (HL\ НI +е

N4 + 3е V V N ) N1+Iе

Подставляя эту оценку в (44), пользуясь соотношением Н = N яо +е; находим

I(m) <

Н5+£ н 1 Н11+2е Н8 N Ш- 3eL7

10 , 2 1 , 2 43 | 4 т\т6 С/>7 5 0_

N10+3е N 4+Iе N 43+3е N6L' Н 5-2е

Н8 +А „ч Н8 ^ Н8

, 30

• N i -I-2е)( I +е) L 7 = Н • N -10 L 7 < Н (45)

N6L7 N L N6L7 N L < N6L7' 1 j

Подставляя найденные оценки для I(M\), I(M.2) и I(m) соответственно из (38), (42), (43) и (45) в (17) получим утверждение теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waring Е. М. Meditationes algebraicae // Cambridge. 1770.

2. Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen. 1909. V. 67. P. 281 - 300.

3. Hardy G. H., Littlwood J. E. Some problems of "Partitio Numerorum". I: A new solution of Waring's problem. // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1920. P. 33 - 54.

4. Виноградов И. M. Избранные труды — М: Изд-во АН СССР, 1952 г.

5. Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга // Доклады Академии наук СССР. 1934 г. № 2. С. 337 - 341.

6. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1959 г. Т. 23. № 5. С. 637 - 642.

7. Карацуба А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1985 г. -Т. 49. № 5. С. 935 - 947.

8. Woolev Т. D. Large improvements in Waring's problem // Ann of Math. 1992. V. (2)135. № 1. P. 131 - 164.

9. Davenport H. On Waring's Problem for Fourth Powers // Annals of Mathematics Second Series. 1939. V. 40.№ 4. P. 731 - 747.

10. Линник Ю. В. О разложении больших чисел на семь кубов // Доклады Академии наук СССР. 1942 г. № 35. С. 179 - 180.

11. Vaughan R.C. On Waring's problem for cubes //J. Reine Angew. Math. 1986. V. 365. P. 122 -170.

12. Wright E. M. Proportionality conditions in Waring's problem // Mathematische Zeitschrift. 1934. V. 38. P. 730 - 746.

13. Wright E. M. An extension of Waring's problem // Philos. Trans. R. Soc. Lond. 1933. Ser. A 232. P. 1 - 26.

14. Рахмонов 3. X. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95. вып. 3. С. 445 - 456.

15. Рахмонов 3. X., Назрублоев H. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г.Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. В. 1(53). С. 232 - 247.

16. Рахмонов 3. X. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74. вып. 4. С. 564 - 572.

17. Рахмонов 3. X. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля // Ученые записки Орловского университета. Серия естественные, технические и медицинские науки. 2013. № 6. часть 2. С. 194 - 203.

18. Рахмонов 3. X., Азамов А. 3., Назрублоев H. Н. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2018 г. Т. 61. № 7-8. С. 609-614.

19. Рахмонов 3. X., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. Т. 51. № 2. С. 83 - 86.

20. Рахмонов 3. X., Азамов А. 3. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 3. С. 34 - 42.

21. Рахмонов 3. X., Назрублоев H. Н. Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11 - 12. С. 823 - 830.

22. Рахмонов Ф. 3., Рахимов А. О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Издательство: Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. ISSN: 1810-4134. 2016. № 8. С. 87 - 89.

23. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. И. Теория кратных тригонометрических сумм. — Москва. Наука. 1987 г.

24. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. И. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. — Изд. 2-е. Перев. с англ. Физматгиз. М. 1963 г. -342 с.

25. Вон Р. Метод Хардн . Iiiп.туда. — Мир, \!.. 1985.

REFERENCES

1. Waring E. AI.. 1770, Meditationes algebraicae , Cambridge.

2. Hilbert D., 1909, "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)", Mathematische Annalen, vol. 67, pp. 281^300.

3. Hardy G. H., k, Littlwood J.E., 1920, "Some problems of "Partitio Numerorum". I: A new solution of Waring's problem", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse, pp. 33-54.

4. Vinogradov I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 436 pp., (in Russian).

5. Vinogradov I.M., 1934, "Novoe reshenie problemv Varinga", Doklady Akademii nauk, vol. 2, pp. 337-341, (in Russian).

6. Vinogradov I. M., 1959, "On an upper bound for G(n)", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 23, no 5, pp. 637-642, (in Russian).

7. Karatsuba A. A., 1986, "On the function G(n) in Waring's problem", Math. USSR-Izv., vol. 27, no 2, pp. 239-249.

8. Woolev T. D., 1992, "Large improvements in Waring's problem", Ann of Math., vol. (2)135, no 1. pp. 131-164.

9. Davenport H., 1939, "On Waring's Problem for Fourth Powers", Annals of Mathematics Second Series, vol. 40, no. 4, pp. 731-747.

10. Linnik Yu. V.,1942, "On the representation of large numbers as sums of seven cubes", C. R. (Dokl.) Acad. Sei. URSS, n. Ser., vol. 35, pp. 162.

11. Vaughan, R. C., 1986, "On Waring's problem for cubes", J. Reine Angew. Math., vol. 365, pp. 122-170.

12. Wright E. M., 1934, "Proportionality conditions in Waring's problem", Mathematische Zeitschrift, vol. 38, pp. 730-746.

13. Wright E. M., 1933, "An extension of Waring's problem", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, vol. 232. pp. 1-26.

14. Rakhmonov, Z. Kh., 2014, "The Estermann cubic problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 95, Is. 3-4, pp. 407-417. doi.org/10.1134/S0001434614030122.

15. Rakhmonov Z. Kh., k, Nazrubloev N. N., Rakhimov A.O., 2015, "Short Wevl sums and their applications", Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 232-247, (in Russian).

16. Rakhmonov Z. Kh., 2003, "Estermann's ternary problem with almost equal summands", Mathematical Notes, vol. 74, Is. 4, pp. 534-542. doi.org/10.1023/A:1026199928464.

17. Rakhmonov Z. Kh., 2013, "Short Wevl sums", Uchenyye zapiski Orlovskogo universiteta. Seriya yestestvennyye, tekhnicheskiye i meditsinskiye nauki, no. 6, part 2, pp. 194-203, (in Russian).

18. Rakhmonov Z. Kh., k, Azamov A.Z., Nazrubloev N. N., 2018, "Of short Wevl's exponential sum in minor arcs", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 61, no 7-8, pp. 609-614, (in Russian).

19. Rakhmonov Z. Kh., к Mirzoabdugafurov К. I., 2008, "Waring's problem for cubes with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no 2, pp. 83-86, (in Russian).

20. Rakhmonov Z. Kh., к Azamov A.Z., 2011, "An asymptotic formula in Waring's problem for fourth powers with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no 3, pp. 34-42, (in Russian).

21. Rakhmonov Z. Kh., к Nazrubloev N. N., 2014, 'Waring's problem for fifth powers with almost equal summands", Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no 11-12, pp. 823-830, (in Russian).

22. Rakhmonov F. Z., к Rakhimov A. O., 2015, "On an additive problem with almost equal summands", Issledovaniya po algebre, teorii chisel, funktsionaVnom,u analizu i smezhnym voprosam. Izdatel'stvo: Saratovskiy natsional'nyy issledovatel'skiy gosudarstvennyy universitet im. N.G. Chernyshevskogo, ISSN: 1810-4134, no 8, pp. 87-89, (in Russian).

23. Arkhipov G. I. к Chubarikov V. N. к Karatsuba A. A. 2004. Trigonometric sums in number theory and analysis, Berlin-New-York: Walter de Gruvter, 554 p.

24. WThittaker G. E., Watson T. N., 1915, A Course of Modern Analysis. Part 1. The processes of analysis. Part 2. The transcendental functions, Cambridge, Cambridge University Press, 620.

25. Vaughan R. C., 1981. The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge, 172 p.

Получено: 29.03.2023 Принято в печать: 12.09.2023