Асимметрия оценок истинной стоимости активов по модели бессрочной ренты Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

асимметрия оценок истиннои стоимости активов по модели бессрочной ренты

В.П. НЕВЕЙКИН Кафедра фондового рынка и рынка инвестиций Государственного университета — Высшей школы экономики

Современное кризисное состояние мировых финансов и российского фондового рынка в частности ставит множество вопросов по дальнейшему адекватному функционированию сложившихся традиций оценок истинной стоимости активов. В условиях информационного вакуума, когда мир наблюдает глобальное падение практически всех котировок различных финансовых инструментов, возникает два вопроса: «Почему этого никто не смог предсказать? Почему ранее определенные оценки истинной стоимости акций оказались такими завышенными?».

Данная статья ставит своей целью объяснить причины завышенных оценок активов, которые возникают даже при отсутствии спекулятивных настроений самих аналитиков.

Российский фондовый рынок молод, правила игры формируются сейчас в непростых условиях и, может быть, это создаст положительную основу для формирования минимального «жизненно важного» уровня консерватизма, который необходим для долгосрочного существования формирующейся финансовой системы. Сейчас, когда на отечественном рынке фундаментальные оценки акций, с одной стороны, практически невозможно достоверно сформировать, а с другой — они крайне необходимы для принятия решений об инвестировании, представляется возможность отвлечься от бурной шаблонной аналитической работы и вдуматься в используемые приемы и способы, работавшие последние 50 лет.

Одним из показательных примеров несовершенства оценочных экономико-математических моделей является бессрочная рента, которая явно присутствует как ведущий инструмент в руках ана-

литика среди ценных бумаг, выпускаемых, например, британским правительством, корпорациями IBM, Walt Disney. Это облигации (консоль), по которым эмитент не берет обязательства погашения, но предлагает ежегодный фиксированный доход на неограниченный срок. Чтобы оценить приведенную стоимость (present value) данного финансового инструмента методом дисконтирования денежного потока, применяются шаблонные приемы оценки, которые призваны облегчить вычисления.

В ситуации, когда инвестор работает с финансовыми инструментами без погашения, — бессрочная облигация, простые и привилегированные акции, применение в чистом виде способа дисконтирования денежных потоков затруднительно, так как их чрезвычайно сложно предсказать в условиях неопределенно большого промежутка времени владения данным активом. Для решения столь нетривиальной задачи финансовой наукой предлагается использование модели бессрочной ренты, которая выглядит следующим образом:

C

PV = C, k

(1)

где С — поток от владения ценной бумагой, k — альтернативная ставка доходности. Модель бессрочной ренты, обязанная своим появлением вышеобозначенным специфическим для российского фондового рынка инструментам, приобрела большую популярность как в научных, так и в практических кругах оценщиков. Понятный внешне и простой в использовании данный инструмент широко применяется отечественными и зарубежными аналитиками при оценке истинной стоимости финансовых активов и другого класса —

финансы и кредит

37

обыкновенных и привилегированных акций. Планируя горизонт будущих денежных потоков, бессрочная рента используется как способ подсчета той части истинной стоимости, которая может возникнуть после обозначенного прогнозом периода. Чтобы снизить ее влияние, аналитик высокого класса стремится отодвинуть денежный поток максимально в будущее. Однако сам факт использования данного шаблона для расчета истинной стоимости финансового инструмента дает искаженные результаты, способные ввести пользователей подобных оценок в заблуждение.

Далее выясним масштаб асимметрии оценки активов по модели бессрочной ренты и выработку решений для ее устранения на российском фондовом рынке.

Модель бессрочной ренты как математическое решение. Как оценить ценную бумагу методом капитализации доходов [см. (2)], если ее срок жизни — бесконечность?

С

С

PV = , +-^г + ... + -

(1 + k)1 (' + k)2

С

С

= ЕтлЪ (2)

(1 + k)' f(1 + k)

Финансовая наука дает однозначный ответ в виде формулы бессрочной ренты, которая основывается на двух предпосылках:

1. Все потоки номинально равны, т. е. С = С = = С = С

2. Процентная ставка точно определена и фиксирована на уровне к.

Учитывая обозначенные предпосылки, получаем следующую упрощенную модель оценки денежного потока:

С С С ™ С

РУ = —+ —+... + —— = У——. (3) (1 + к)1 (1 + к)1 (1 + к)' 1=1(1 + к)'

Проведем некоторые математические преобразования исходного выражения (3), а именно вынесем за скобки постоянную составляющую

( С \

,1 + k)

PV = -Ul + +- 1

(1+k) l (1+k) (1+k)2

- +... + -

1

(1+k)'

- |. (4)

Введем некоторые обозначения, позволяющие проще анализировать выражение (4), а именно: С 1

пусть

1 + k

- = а,

1 + k

= х, тогда получаем:

PV = a(1 + х + х2 +... + х'-1).

(5)

Далее необходимо сделать преобразование, не меняющее сути равенства, умножив обе части выражения (5) на х

РУх = а(1 + х + х2 +... + х'-1) х (6)

или

РУх = а( х + х2 + х3 +... + х'). (7)

Вычтем из выражения (5) выражение (7):

PV - PVx = a - ах'

(8)

или

РУ (1 - х) = а(1 - х). (9)

В полученном выражении (9) элемент У^0, а именно:

lim х = lim |—1—

t ^ад 11 + k

ke(0,1) V1™

В результате получаем:

= 0.

PV (1 - х) = а(1 - 0)

(10)

(11)

или

РУ (1 - х) = а. (12)

Заменим математические укрупнения «х» и «а» на исходные значения:

PVI 1 -

1

1 + r

С 1 + r

(13)

Произведем конечные преобразования выражения (13):

PV I 1 -

1

С

PV

PV

PV

1+k) V1+k, 1 + k 1 ^ ( С

1+k 1+k) V1+k ) 1 + k - П ( С

1+k ) 11+k k w с

1+k) 11+k )

(1 + k)PVI — | = (1 + k)( C

1 + k

1+k

PVk = С

или формула бессрочной ренты:

С

РУ = С. к

(14)

Привлекательность данного математического вывода для финансовой науки заключается в том, что теперь можно легко рассчитать приведенную стоимость ценной бумаги и других активов без учета фактора времени. Бесконечность просто не нужно измерять, а модель бессрочной ренты стала

возможной благодаря математическому сокращению, см. (10 — 11)1.

Взаимосвязь модели бессрочной ренты и аннуитета. Простота и шаблонность формулы бессрочной ренты сделали ее использование в современной финансово-инвестиционной деятельности обычным делом. Однако следует помнить, за счет какого математического сокращения стало возможным появление этого инструмента оценки.

Обратим внимание на ключевое в выводе модели бессрочной ренты выражение (9) РУ(1 - х) = а(1 - х'). Будем теперь не математиками, а финансистами — для которых каждая копейка является ценным ресурсом, пренебрегать которым просто не этично. Тогда не сможем отказаться от X ^ 0, так как это экономически не нуль, а математическое стремление к нулю.

В условиях X ф 0 продолжим заново математические преобразования:

РУ| 1 --

1

1 + к

С 1 + к

1-

1

(1 + к)'

. (15)

Произведем конечные преобразования выражения (15):

РУ I 1 --

1

РУ

РУ

РУ I

1 + к, 1 + к 1

С 1 + к

1-

1

1 + к 1 + к 1 + к -1

1 + к к

С 1 + к

С 9Г

(1 + к)'

1-

(1 + к)'

1 + к

1-

(1 + к)'

1 + к) {1 + к

С

1-

(1 + к)'

(1 + к)РУ I 9 = (1 + к)' С

1 + к

1 + к

1-

(1 + к)'

(

РУк = С

1-

(1 + к)'

или формула аннуитета: С

РУ = С -

С

1 Примеры использования формулы бессрочной ренты.

1. Вечная облигация номиналом 1000 руб. и ежегодным купоном в 10%. При ставке 4 % годовых ее приведенная

1000 х 10% 1000 х 0,1

стоимость будет равна РУ =-=-= 2 500.

4% 0,04

Значит, при текущей рыночной цене облигации в 101,1 % от номинала она будет недооценена рынком, так как 2 500 > 1 011. При ставке в 13 % ее приведенная стоимость будет равна

1000 х 10% 1000 х 0,1 РУ =-=-к 769 , и она будет переоценена

13% 0,13

рынком, так как 1 011 > 769. В первом случае выгодно вложить 1 011 руб. в данную облигацию, во втором случае лучше использовать альтернативные проекты с доходностью 13 %.

2. Некий меценат решил создать фонд помощи бездом-

ным животным, перечисляя туда ежегодно 100 000 руб.

При ставке в 8 % годовых ему следует положить в банк

100000 100000

РУ =-=-= 1 250 000 руб, чтобы реализовать свою

8% 0,08

инициативу.

(16)

к к (1 + к)'

Отличие аннуитета от бессрочной ренты заключается в том, что он — как актив — приносит фиксированный доход, но в течение конечного ряда лет. Закладная на дом с фиксированными выплатами, потребительский кредит, выплачиваемый равными долями в течение определенного срока, — это общеизвестные примеры аннуитета2.

Вывод формул бессрочной ренты и аннуитета имеет идентичный алгоритм, но разное отношение к погрешностям и незначимым величинам.

С

1. Бессрочная рента РУ = — — это формула,

к

которая «выкинула» из своего обзора понятие времени.

С С

2. Аннуитет РУ =----это формула,

к к (1 + к)'

которая учитывает абсолютно все математически значимые величины.

В свое время величайший экономист Дж. М. Кейнс сказал, что «...в долгосрочном периоде мы все вымрем». Исходя из этой логики, можно утверждать, что в конечном итоге нет ничего вечного: империи рушатся (в том числе и финансовые), ценные бумаги уходят с рынков, тем более, что сам человек — как основной потребитель всевозможных доходов от ренты — не вечен. Значит бесконечность — в инвестиционном, финансовом и практическом планах — это вполне измеряемая величина: для биржевого спекулянта одна неделя — целая вечность, не говоря уже о годах, для долгосрочного инвестора предел вложений вполне может уложиться в максимальный коридор от 1 года до 20 лет и т. д.

Если так называемая «бесконечность» все-таки измеряется конечным числом в 20 или 50 лет, то возникает вопрос в целесообразности применения формулы бессрочной ренты, содержащей в себе пог-

2 Аннуитет — постнумерандо и пренумерандо. Важно не забывать, что в формулу выведенного аннуитета заложена предпосылка, согласно которой первый платеж поступает через год от начала периода — это постнумерандо. Если платеж поступает немедленно — это пренумерандо — величину денежного потока нужно дисконтировать к предыдущему году. Стало быть, приведенная стоимость возрастает в (1+£) раз.

1

1

1

1

1

решности. Остается понять, каковы направление и масштабы оценок истинной стоимости активов, полученной с помощью модели бессрочной ренты?

Анализ погрешности оценок, полученных моделью бессрочной ренты. В общем виде взаимосвязь моделей бессрочной ренты и аннуитета можно представить следующим образом:

Аннуитет

C C PV = C - C

k k (1 + k)''

(17)

Несрочная Погрешность рента

Очевидно, что направление оценки бессрочной ренты по сравнению с аннуитетом стабильно переоценивающее. Это может отрицательно отразиться в случаях:

оценки ценных бумаг, сравнивая их завышенную Present Value c рыночной ценой; расчета необходимого вклада в банк для обеспечения постоянного потока в будущем — завышая необходимый объем вклада и т. д. Доля погрешности в бессрочной ренте измеряется следующим образом:

1) 2)

C

Погрешность k (1 + k )t

Бессрочная " C'

рента l_ k J

C

или

k (1 + k)t

e(k, t) = -

(1 + k )t

1

-100%.

(18)

(19)

(1 + к)'

Из формулы (19) очевидно, что стабильная переоценивающая способность бессрочной ренты тем

сильнее, чем меньше по своим значениям период времени t и ставка дисконтирования k.

Для оценки практической значимости данного эффекта необходимо обратиться к рисунку. На нем нарисованы графики поля погрешности e в процентах относительно годовых значений k в долях и t от 0 до 10 лет в трехмерной проекции под различным углом к наблюдателю.

Данный эффект был отмечен профессором Клейтоном Кристенсеном из Гарвардской школы бизнеса (Бостон) и назван терминальной стоимостью. В мартовском номере 2008 г. Harvard Business Review им даны следующие комментарии по данному вопросу: «... проблема метода дисконтирования денежного потока — погрешности оценок. За пределами горизонта планирования, т. е. на более отдаленное будущее, значения этого показателя вообще берутся с потолка. Поэтому финансовые аналитики часто поступают так: составляют финансовый план на 3 — 5 лет, а затем на основании расчетных цифр выводят терминальную или окончательную стоимость (т. е. весь дополнительный доход за все последующие годы). По нашему собственному опыту условная терминальная стоимость нередко составляет более половины чистой приведенной стоимости».

Согласно нашему анализу погрешности можно добавить, что масштабы погрешностей оценки модели бессрочной ренты могут завысить результат гораздо больше — буквально в 2 раза (на 100 %) по сравнению с моделью аннуитета.

При прочих равных условиях применение модели бессрочной ренты для обозначенного на рисунке периода будет оправданно только при ставке дисконтирования, близкой к единице, что само по себе просто недопустимо. Более того, долгосрочные финансовые инструменты — это

1

х

Поле погрешности бессрочной ренты к аннуитету

вид активов, по которым начисление процентов в среднем (на рынках США, Европы и Японии) не превышает 10 % уровня доходности, применение формулы бессрочной ренты с погрешностью менее 1 % оправданно в периоде от 50. Если же ужесточить допустимую погрешность до 0,01 %, то применение бессрочной ренты будет оправданно только при I от 200 лет при любой ставке процента k. Правда, история еще не знает столь надежных активов.

Таким образом, бесконечность, с точки зрения финансов и инвестиций, это вполне измеримая величина. Никто не будет вечно держать ценную бумагу, вечно заниматься строительством завода, вечно держать деньги на депозите банка и т. п. По большому счету, каждый «хозяин своих денежных средств» всегда знает, сколько максимум по времени он будет держать свою позицию открытой: 1 год, 5 лет, 10 или 20 лет.

Погрешность расчетов с использованием формулы бессрочной ренты тем меньше, чем выше уровень процентной ставки k и чем больше период оценки I.

Абсолютно корректное применение формулы бессрочной ренты возможно при любой процентной ставке только от 200 периодов начисления процентов (или проще говоря, лет).

Следовательно, объективный результат может дать только формула аннуитета, так как у нее погрешностей нет по определению. Если инвестор может хотя бы приблизительно оценить период владения выбранным «бессрочным долгом», то расчет истинной стоимости данного финансового инструмента следует производить только с использованием формулы аннуитета.

В любом случае важно помнить об опасностях применения модели бессрочной ренты:

> Опасность № 1: это метод оценки приведенной стоимости, дающий результат всегда с погрешностью.

> Опасность № 2: данная погрешность всегда переоценивает истинную стоимость актива.

> Опасность № 3: происходит искусственное увеличение «привлекательности» финансового инструмента для вложения денежных средств инвестора.

Список литературы

1. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений. — М.: Инфра-М, 1996.

2. Бочаров В. В., Леонтьев В. Е. Корпоративные финансы. — Спб.: Питер, 2004.

3. БрейлиР., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. — М.: Олимп-Бизнес, 2004.

4. Баффет У. Эссе об инвестициях, корпоративных финансах и управлении компаниями. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2008.

5. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов (5-е издание). — М.: Альпина Бизнес Букс, 2008.

6. Кидуэлл Д. С., ПетерсонР. Л., БлэкуэллД. У. Финансовые институты, рынки и деньги. — Спб.: Питер, 2000.

7. Каплан Р., Нортон Д. Сбалансированная система показателей. — М.: Олимп-Бизнес, 2005.

8. Коуплент Т., Колер Т., Муррин Д. Стоимость компаний. — М.: Олимп-Бизнес, 2005.

9. Кристенсен К., Кайфман С., Ших В. Душители прогресса, статья, Harvard Business Review. — 2008. - Март.

10. Лобанов А. А., Чугунова А. В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.

11. Лимитовский М. А. Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках. — М.: Юрайт, 2008.

12. Линч П. Метод Питера Линча: стратегия и тактика индивидуального инвестора. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2008.

13. Шарп У. Ф., АлександерГ. Д., БейлиД. В. Инвестиции. — М.: Инфра-М, 2003.

14. Четыркин Е. М. Финансовая математика. — М.: Дело, 2001.

15. Якимкин В. Н. Фундаментальный анализ. — М.: Омега-Л, 2006.

16. Kendall M. G, The Analysis of Economic Time Series, Part I. Prices, Journal of the Royal Statistical Society. 96, 1953.

17. McConnell J., Muscarella C., Corporate Capital Expenditure Decisions and Market Value of the Firm, Journal of Financial Economics, 14 July 1985.

18. JarellG., LehnK., Marr W, Institutional Ownership, Tender Offers and Long-term Investment, Office of the Chiefs Economist, Securities and Exchange Commission, April 1985.

19. Benjamin Graham, DavidDodd. Security Analysis, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York and London, Second Edition 1940.