CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.
УДК 511.464 Б01 10.22405/2226-8383-2021-22-2-236-256
Арифметические свойства элементов прямых произведений
р-адических полей, II
А. С. Самсонов
Самсонов Алексей Сергеевич — аспирант, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: dontsmoke@inbox.ru
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируются и доказываются теоремы для некоторых элементов прямых произведений р-адических полей. Пусть — пополнение $ по р-адической норме, поле — пополнение алгебраического замыкания <$р, д = Р1Р2 .. .рп — произведение различных простых чисел, а пополнение $ по д-адической псевдонорме это кольцо <Ц>3, иными словами <Ц>Р1 Ф... Ф $Рп. Рассматривается кольцо = 0,Р1 ф... ф ПРп, содержащее в качестве под-кольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической независимости над <Ц>3 элементов привели к результатам полученным в статье. При соблюдении некоторых условий мож-
то
но делать соответствующие выводы не только для чисел вида а = ^ дГк, где € Ъд, а
к=1
неотрицательные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к
при ] ^ последовательность. Но и для чисел вида / (а), где $ (г) = ^ с^ г? € Ъд [[я]].
з=о
Кроме того, пусть = П О — кольцо полиадических чисел, тогда, рассматривая эле-
р
менты кольца П = П^р, можно делать аналогичные выводы для чисел вида ](а), где р
то Л то
/(г) = сз€ %[[г]], а = акдГк, ак € Ъд, д = (р1,. .. ,рп,.. .).
3=0 к=1
Ключевые слова: р-адические числа, д-адические числа, полиадические числа, трансцендентность, алгебраическая независимость.
Библиография: 23 названия. Для цитирования:
А. С. Самсонов. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей, II // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 236-256.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.
UDC 511.464 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-236-256
Arithmetic properties of direct product of p-adic fields elements, II
A. S. Samsonov
Samsonov Aleksei Sergeevich — graduate student, Moscow State Pedagogical University (Moscow).
e-mail: dontsmoke@inbox.ru
Abstract
The article takes a look at transcendence and algebraic independence problems, introduces statements and proofs of theorems for some kinds of elements from direct product of p-adic fields and polynomial estimation theorem. Let Qp be the p-adic completion of Q, Qp be the completion of the algebraic closure of Qp, g = p1p2.. .pn be a composition of separate prime numbers, Qg be the g-adic completion of Q, in other words QP1 ф ... ф QPn. The ring Qg = QP1 ф ... ф QPn, a subring Qg, transcendence and algebraic independence over Qg are under consideration. Here are
w
appropriate theorems for numbers not only like a = ^ ajgrj where aj G Zg, and non-negative
3=0
w
rationals rj increase strictly unbounded. But, for numbers f (a), where f (z) = cj^ G Zg [[zjj.
3=0
Furthermore, let Q = П Qp be the ring of polyadic numbers, then, the article takes a look at
p
Л w Л
Q = П^р, there are similar results for numbers like f(a), where f (z) = cj^ G Z[[zj],
p j=0
w
a = J2 akgrk, ak G Zg, g = (pi,. .. ,pn, .. .).
k=1
Keywords: p-adic numbers, g-adic numbers, polyadic numbers, transcendence, algebraic independence.
Bibliography: 23 titles. For citation:
A. S. Samsonov, 2021, "Arithmetic properties of direct product of p-adic fields elements, II", Che-byshevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 236-256.
Введение
Используются следующие обозначения: р — простое число, Zp — кольцо целых р-адических чисел, |ж|р = p-ordPx — р-адическая норма; Qp — поле р-адических чисел, это пополнение поля рациональных чисел по р-адической норме; Пр, оно же Cp — пополнение алгебраического замыкания Qp; К[х] — кольцо многочленов с коэффициентами из кольца К, например Qp[^j, К[х\,..., хт] — кольцо многочленов от т, переменных над кольцом К.
Для д-адических чисел используются следующие обозначения: д = р\ ...рп — произведение различных простых чисел, Ъд — кольцо целых д-адических чисел, |ж|й — д-адическая псевдонорма; Qg — кольцо д-адических чисел, пополнение множества рациональных чисел по д-адической псевдонорме; построено кольцо Qg — расширение кольца Qg, Qg = QP1 ф... ф QPn.
Для полиадических чисел используются следующие обозначения: все простые числа пронумерованы р\ = 2, р2 = 3, рз = 5,...; Z = ]/[ Zp — кольцо целых полиадических чисел;
р
Q = п qp, Q = ППр.
Основные понятия и определения
Определение 1. Обозначим Ф : Qfl ^ (р1 ф ... ф (рп — прямой изоморфизм колец, а Ф : (р1 ф ... ф (рп ^ (д — обратный.
Замечание 1. Описание изоморфизма (д = Qp1 ф ... ф Qpn см. в [22], с. 59.
Утверждение 1. Множество 0.Р1 ф... ф 0.Рп — кольцо, которое содержит кольцо (Р1 ф ... ф (рп в качестве подкольца.
Содержание этого утверждения очевидно.
Замечание 2. Пространство (д представляет из себя множество |Ф(^1,... ,рп)}, где (Р1,..., рп) пробегает множество (р1 ф ... ф (рп.
Теперь мы построим пространство Пд. В силу предыдущего замечания, мы можем дополнить множество (д недостающими элементами и обозначить их Ф(@1,..., Рп), где (@1,..., @п) пробегает множество 0.Р1 ф ... ф 0.Рп. Более того, продолжение изоморфизма Ф, которое мы построим, будет отображать элементы ([31,..., [Зп) в Ф^ь ..., /Зп), поэтому совпадение обозначений не приведет к конфликту.
Определение 2. Пусть Пд = [Ф(р1,..., рп)}, где (р1,...,рп) пробегает ПР1 ф ... ф ПРп. Алгебраическую структуру заимствуем из кольца ^1р1 ф ... ф ^рп.
Утверждение 2. Кольцо £}д содержит (д в качестве подкольца. Существует продолжение изоморфизма Ф : 0.Р1 ф ... ф 0.Рп ^ 0.д и продолжение обратного изоморфизма Ф : Пд ^ ПР1 ф ... ф ПРп.
Доказательство. В силу замечания 2 и определения 2, очевидно, что кольцо Пд содержит в качестве подкольца. Продолжение изоморфизма Ф определим следующим образом, пусть Ф отображает элемент ,..., @п) в Ф($-\_,..., @п). Такое отображение будет изоморфизмом в силу определения 2. Изоморфизм Ф продолжим, как обратный к Ф.
Замечание 3. Далее, нет смысла упоминать названия изоморфизмов, они будут опущены, поскольку обозначения не вызывают разночтений. Если а € 0.д, то а = (Р1,Р2,... ,Рп), где Рк € 0.Рк. Аналогично, если а € (д, то Рк € Qpfc, если а € Ъд, то Рк € Ърк. Любой многочлен С € (д [х] можно представить в виде
С = (Р1, Р2,..., Рп), где Рк € (рк [ж]
и вычислить по формуле
С(а) = (Р1ЦЗ1), Р2(132),..., РпШ), где а € Пд, а = (ръ /32,..., рп). Аналогично, если С € (д[х]^,..., хт], то Рк € (рк [х-\^,..., хт].
Определение 3. Обозначим Ъ = П Ър — кольцо целых полиадических чисел, (¡2 = П (р,
р р
п ^ П^р.
р
Замечание 4. Кольцо ( Э Ъ содержит в себе кольцо целых полиадических чисел в качестве подкольца, а кольцо О Э ( содержит в себе кольцо ( в качестве подкольца.
Замечание 5. Если а € О., то а = (Р\, р2,..., Рп,...), где Рк € ОРк. Аналогично, если а € (, то Рк € (Рк, если а € ^, то Рк € ЪРк. Любой многочлен С € ( [х] можно представить в виде
С = (Р1,Р2,...,Рп,...), где Рк € (Рк [ж]
и вычислить по формуле
С(а) = (Рг(р1),Р2(р2),..., Рп(Рп),...), где а € й, а = ЦЗЪ /32,...,/Зп,...). Аналогично, если С € ([х\,..., хт], то Рк € (Рк [х\,..., хт].
Определение 4. Обозначим ир := {¡3 € (р : 1Р|р = 1}.
Определение 5. Обозначим Z* := {а = (Р\,Р2, ■ ■ ■, Рп) € Ъд : Ук € {1,... ,п}, рк = 0}. Обозначим ^ * := {а = (Р\,Р2, ..., рп,...) € ^ : Ук € N Рк = 0}.
Хотелось бы ввести обозначение А\0, которое бы исключало из множества А, являющегося прямым произведением, все такие элементы, что хотя бы одна из компонент тождественно равна нулю, иными словами, исключить нули и делители нуля. Это обозначение представим в следующем виде.
Определение 6. Ъд\0 := Z*, й\0 := й *, (д [ж]\0 := {С = (Ръ Р2,..., Рп) € (д [ж] : Ук € {1,...,п}, Рк ф 0}, ([ж]\0 := {С = (РъР2,...,Рп,...) € ([ж] : Ук € N Ркф 0} и так далее.
Замечание 6. Следующие определения раскрывают смысл глобального соотношения, которое говорит о наличии соответствующего соотношения для каждой компоненты.
Определение 7. Пусть а € Од, а = (Р\, р2,..., рп). Будем называть а глобально трансцендентным над (а элементом О а, если для любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) € (а [ж]\0 выполняется неравенство Рк (Рк) = 0.
Определение 8. Пусть см € Од, см = (Рг,\ ,Рг,2,...,Рг,п), г = 1,...,т. Будем называть а,г глобально алгебраически независимыми над (а элементами О а, если для любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) € (а [х\,..., жт]\0 выполняется неравенство Рк ([3\,к,..., Рт,к) = 0.
Определение 9. Пусть а € О., а = (Р\, р2,..., рп,...). Будем называть а глобально трансцендентным над ( элементом О, если для любого к € N и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп,...) € ([ж]\0 выполняется неравенство Рк (Рк) = 0.
Определение 10. Пусть аг € О,, аг = (Рц, Р^2,..., Рг,п,...), г = 1,...,т. Будем называть а,г глобально алгебраически независимыми над ( элементами О, если для любого к € N и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп,...) € ([х\,..., хт]\0 выполняется неравенство Рк (Р\,к,..., Рт,к) = 0.
те
Определение 11. Степенной ряд /(г) = ^ сз^ € Ъд[[г]], / = (/\,..., /п), будем назы-
3=0
вать глобально трансцендентным над (д, если для любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) € (а [ж]\0 выполняется неравенство Рк (¡к) Ф 0.
те
Определение 12. Степенные ряды Д(г) = ^ Сг^€ Ъд[[г]], fí = (/ц,...,/г,п),
3=0
г = 1,...,т, будем называть глобально алгебраически независимыми над (9, если для любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) € (а [х\,..., жт]\0 выполняется неравенство Рк (¡\,к,..., 1т,к) Ф 0.
те ^ ^
Определение 13. Степенной ряд /(г) = ^ сз^ € Ъ[[г]], / = (¡1,...,/п,...), будем
3=0
называть глобально трансцендентным над (, если для любого к € N и любого многочлена С = (Р]_, Р2,..., Рп,...) € (М\0 выполняется неравенство Рк(¡к) Ф 0.
те , ^
Определение 14. Степенные ряды ^(г) = ^ с^-€ Ъ[[г]], ^ = (¡.г,1,..., Дп,...), г =
3=0
1,... ,т, будем называть глобально алгебраически независимыми над (, если для любого к € N и любого многочлена С = (Р1, Р2,..., Рп,...) € ([х1,..., жт]\0 выполняется неравенство Рк(¡1,к, . . . , /т,к) Ф 0.
Формулировки теорем и сведение доказательств и рассуждений к р-адическому случаю
Лемма 1. Пусть
1) числа Гк и в к, где к = 1, 2,... являются неотрицательными и рациональными, г1, г2,... образуют возрастающую и стремящуюся к последовательность;
2) существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,..., г^ и чисел в к;
3) числа г'к такие, что разность гк — Гк является неотрицательным целым числом, аналогично для в к — в к;
4) неубывающая последовательность £ к, где к = 1, 2,... является упорядоченной г'к.
Тогда существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., и чисел вк.
Замечание 7. Последовательность г'к стремится к поэтому неубывающая £ к существует, а четвертый пункт условия является корректным.
Доказательство. Предположим противное, тогда множество подходящих номеров конечно. Пусть номер По последний из таких, что число ЬП0 не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ь1,..., ЬП0-1 и чисел в'к. Если нет ни одного подходящего номера, пусть По = 1. Поскольку ЬП0+1 является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ь1,..., ЬП0 и чисел вк. Получается, что ЬП0+2, как линейная комбинация с целыми коэффициентами чисел 1, ^,..., ЬП0+1 и чисел ,в'к, является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ь1,..., ЬП0 и чисел ,з'к. Таким образом, каждое следующее число в последовательности ¿т, при т > По, является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ь1,..., ЬП0 и чисел в'к.
Получается, что существует лишь конечное множество из чисел tk таких, что их нельзя представить линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., ЬП0 и чисел вк. Поскольку в распоряжении есть число 1, нету разницы в том, использовать ли числа Ьк, вк или числа г к, 5 к, существование линейной комбинации от этого не зависит. Значит, существует лишь конечное множество из чисел Гк таких, что их нельзя представить линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, в к и фиксированного конечного подмножества чисел г к. Но это, очевидно, противоречит второму условию леммы.
Теорема 1. Пусть д = р1... рп,
те те
/(2) = £ С^ € Ъд[[,г]], £ с^ € Ъд[И]\0,
3=0 3 = 1
те
= , а^ е Од, ак^ е Яд, V = 1,...,т.
к=1
Пусть
1) для любого V = 1,... ,т положительные рациональные числа Гк,^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц, = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Гк+1,^ не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., Гк,^ и чисел Гкпри любых к' и при ^ = V;
3) не существует номеров к, к', ц, таких, что разница Гк,^ — Гк',^ является целым числом.
Тогда элементы ¡(а^) представляют собой глобально алгебраически независимые над Qg элементы О д.
Доказательство. Предположим противное, тогда числа £ (а{),..., /(ат) не являются глобально алгебраически независимыми над элементами О д при некотором т ^ 1. При т = 1 подразумеваем, что число /(а\) не является глобально трансцендентным над Qg элементом Од. Следовательно, считая f = ( /1,...,/п), а^ = (а^,\,..., а^,п), f (а^) = (¡г(а^,1),..., ¡п(а^,п)), существуют £ е М, 1 п,иС = (С\,..., Оп) е % [х\,...,
такие, что О^/г(аг,г),..., ^(ат,г)) = 0. Значит, числа ) представляют собой ал-
гебраически зависимые над QPt элементы ОР1. Пусть = (аку^у\,..., ак,^,,п), тогда
те
= У^ ак,^дГк'», где ак,^,г е Ъш, V = 1,...,т. к=1
Поскольку ак,^ е Яд, воспользуемся тем, что рг = (рг/д)д, (рг/д) е ирг и освободим коэффициенты от целых степеней р1,
те
а^ = ^а'к,^дг'к^, гдеа'к^ е иРг, V = 1,...,т. к=1
Воспользуемся леммой 1 и упорядочим числа г'к отдельно для каждого V = 1,... ,т, получим
те
= ^ , где а'к,^ еиР1, V = 1,...,т.
к=1
Поскольку не существует номеров к, к', V таких, что разница гк,^ — является целым числом, значит, для каждого ц, = 1,...,т неотрицательные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность, и существует бесконечное множество номеров к таких, что число не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., и чисел при любых к' и при ¡л' = р,. Таким образом доказательство сводится к следующему р-адическому случаю.
Теорема 2. Пусть
^(г) = Е ^^ е Ър
3=0
где = 0 хотя бы для одного ] е М,
те
аМ = , ач* е °рг, а'к^,1 еиР1, V = 1,...,т.
к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Ък+1,ц не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ьг,^,..., и чисел при любых к' и Ц = ц.
Тогда элементы ^(а^) представляют собой алгебраически независимые над (Р1 элементы .
Доказательство будет проведено позднее, в более удобных обозначениях. Теорема 3. Пусть д = (р\,р2,... ,рп,...),
те те
¡(г) = £с3г3 е 1 [[г]], £с3г3 е ВД]\0,
3=0 3=1
те
а^ = а^д^, а^ е П, ак,^ е 1*, ц = 1,...,т. к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа г к^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число гк+\,ц не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, гх,ц,..., Гк,ц и чисел Тк'у при любых к1 и при ц' = ц;
3) не существует номеров к, к', ц таких, что разница Гк,^ — Гк',^ является целым числом.
Тогда элементы ¡(а^) представляют собой глобально алгебраически независимые над ( элементы О.
Доказательство повторяет предыдущее, тем не менее, есть некоторые отличия, которые полезно представить в явном виде. Предположим противное, тогда числа /(а\),..., /(ат) не являются глобально алгебраически независимыми над элементами О при некотором т ^ 1. При т = 1 подразумеваем, что число /(а\) не является глобально трансцендентным над ( элементом О. Следовательно, считая f = (..., ¡п,...), а^ = (а^\,... ,а^,п,...), ¡(а^) = (),..., ¡п(а^п),...), существуют £ е N и О = (Ох,... ,Оп,...) е ([хг,... ,хт}\0 такие, что О^/г(аг,г),..., ^(ат,г)) = 0. Значит, числа представляют собой алгебраически
зависимые над (Р1 элементы . Пусть ак^ = (а^д,..., ак,ц,п,...), тогда
те
а^ = ^21ак,^р1к'11, где ае ЪР1, ц = 1,...,т. к=1
Поскольку ак^ е , освободим коэффициенты от целых степеней
те г'
= ^ а'к,11,гРгкф, где а'к,ц,1, еирь, ц = 1,...,т. к=1
Воспользуемся леммой 1 и упорядочим числа гк отдельно для каждого ц = 1,... ,т, получим
те
= ^ а'к,ц№к" , где а'к,^ еиРг, ц = 1,...,т. к=1
Поскольку не существует номеров к, к', ц таких, что разница гк,^ — является целым числом, значит, для каждого ц = 1,...,т неотрицательные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность, и существует бесконечное множество номеров к таких, что число Ьне является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., и чисел при любых к' и при Ц = ц. Таким образом доказательство сводится к р-адическому случаю, который можно сформулировать следующим образом.
Теорема 4. Пусть
те
=^ е Щр 3=0
где с= 0 хотя бы для одного ] е М,
к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Ък+1,ч не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., ^^ и чисел при любых к' и ц' = ц.
Тогда элементы ^(а^) представляют собой алгебраически независимые над QPt элементы О,Р1.
Доказательство. Это теорема 2, при д = рг. Теорема 5. Пусть д = р\...рп, функции
те
ш = £с^ е Щ[[г]], Л = 1,...,1,
3=0
являются глобально алгебраически независимыми над 0>.
а-
те
а» = , а^ е Од, ак,^ е Ъ*д, ц = 1,...,т.
к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа гк,^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число гк+1,^ не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., гк^ и чисел Гк',^< при любых к' и при ц' = ц, ц' = 1,... ,т;
3) не существует номеров к, к', ц таких, что разница гк,^ — гк',^ является целым числом.
Тогда элементы апредставляют собой глобально алгебраически независимые над Qg элементы О д.
Доказательство. Повторяя ход рассуждений, использовавшихся для теоремы 1, предположим существование алгебраической зависимости
СгЦг^^аг^),..., ¡1,г(ат,г);...; ¡1,г(а\,г),..., Д4 (ат¿)) = 0, и сведем к следующему р-адическому случаю.
Теорема 6. Пусть
ЬЛ*) = ^сзМ*3 е ЯР[[г]], X = 1,...,1,
3=0
являются алгебраически независимыми над (р,
те
аМ = ^а'к,^с/к''1, ач* е , еип, ц = 1,...,т. к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа 1к,р образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Ък+1,ц не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., и чисел при любых к' и ц' = ц.
Тогда элементы fxít(а), где индексы пробегают значения X = 1,...,1, ц = 1,...,т, представляют собой алгебраически независимые над элементы 0,Р1.
Доказательство будет проведено позднее, в более удобных обозначениях.
Теорема 7. Пусть д = (рх,р2,...,рп,...), функции
те
/х(г) = £с3,хг3 е 1 [[г]], X = 1,...,1, =0
являются глобально алгебраически независимыми над (.
те
ар. = ^2ак^дГк^, ар е П, ак,р е 1*, ц = 1,...,т. к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа Гк,р образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Гк+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, гх, р,..., Гк,р и чисел г к', р при любых к' и при ц' = ц, ц' = 1,... ,т;
3) не существует номеров к, к', ц таких, что разница Гк,р — Гк',р является целым числом.
Тогда элементы /\(ар) представляют собой глобально алгебраически независимые над ( элементы О.
Доказательство. Повторяя ход рассуждений, использовавшихся для теорем 3 и 5, учитывая отличия, сведем к р-адическому случаю, который можно сформулировать следующим образом.
Теорема 8. Пусть
Д^ (г) = ^2 С3М< ^ е 1Р[[ г]], X = 1,...,1, =0
являются алгебраически независимыми над (р
те
¿■к
= ^ , е , а'к,р1 еиР1, ц = 1,...,т.
к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа 1к,р образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Ък+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Ь\,р,..., 1к,р и чисел Ьк' р при любых к' и ц' = ц.
Тогда элементы f\tt(ар^), где индексы пробегают значения X = 1,...,1, ц = 1,...,т, представляют собой алгебраически независимые над (Р4 элементы £1Р1.
Доказательство. Это теорема 6, при д = Завершение доказательств, разбор р-адических случаев
Для начала сформулируем в удобных обозначениях теоремы 2 и 6, которые осталось доказать.
Теорема 9. Пусть д = рх,...,р„ — произведение различных простых чисел, и ^ 1, простое число р является одним из членов этого произведения,
те
/(г) = £с,г3 е 1р[[г]], =0
где С] = 0 хотя бы для одного ] е N
те
ар = ^2,акрдГк^, ар е %, акр е Ир, ц = 1,...,т. к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа Гк,р образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число Гк+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, гх, р,..., Гк,р и чисел г к', р при любых к' и ц' = ц.
Тогда элементы f (ар) представляют собой алгебраически независимые над (р элементы
Ир.
Замечание 8. Условие с] = 0 подразумевает, что степенной ряд ¡'(г), рассматриваемый как функция, отличается от константы. Положительность Гк,р обеспечивает сходимость при вычислении значений ¡'(ар).
Теорема 10. Пусть д = рх,..., р„ — произведение различных простых чисел, и ^ 1, простое число р является одним из членов этого произведения, функции
= СзМ3 е 1р[[ г]], X = 1,...,1, =0
являются алгебраически независимыми над ( р,
те
ар = , ар е %, ак,р е Ир, ц = 1,...,т.
к=1
Пусть
1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа гк,^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число
не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, ..., гк,^ и чисел при любых к' и ц' = ц.
Тогда элементы ¡'х(а^) представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы
.
Лемма 2. Пусть ЦК расширение некоторого поля К, степенные ряды ..., е К [[г]] являются алгебраически независимыми над Ь, тогда и только тогда, когда они являются алгебраически независимыми над К.
Доказательство этого факта, по сути, но в частном случае, приведено у Шидловского [23], лемма 2 на 91 с. Очевидно, что из алгебраической независимости над Ь, следует алгебраическая независимость над К, остается показать, что при наличии алгебраической зависимости Р(/\,..., /¡) = 0, над Ь, существует многочлен Р* с коэффициентами из К такой, что Р*(..., /[) = 0. Для этого, считая коэффициенты многочлена Р неопределенными переменными, вычисляя и приравнивая к нулю коэффициенты перед степенями , составим систему из счетного числа линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля К. Из этой системы можно выбрать минимальную линейно независимую подсистему, и она имеет нетривиальное решение, в силу существования Р. Поскольку система однородная, то можно выбрать решение из поля К, так мы получим коэффициенты многочлена Р*.
Лемма 3. Пусть степенной ряд
те
ф) = ^¿з^ е ад]
3=0
такой, что = 0 для некоторого ] е М,
те
а = ^2 ак9Гк, а е %, ак е ир. к=1
Пусть
1) положительные рациональные числа гк образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;
2) существует бесконечное множество номеров к таких, что число гк+\ не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г\,..., гк.
Тогда из у'(а) = 0 следует у (а) = 0.
Замечание 9. Есть некоторые очевидные соображения, но на них стоит обратить внимание, поскольку они неоднократно будут использоваться. Можно вычислить формальную производную
те
" ' З-г
у(г)(г) = ^2 3... а — + 1) ¿з*
Поскольку
3=1
Ни — г)! '
а< |а|
з-г р
р
и 1а1Р < 1, значит
это помогает увидеть сходимость рядов там, где она может быть не сразу очевидна.
от(1р ——- > 0, !
р
Доказательство. Предположим противное, пусть р(а) = 0, но р(а) = 0. Положим
п
ак
а(п) =Х^а,пгЬ
к=1
Тогда огёр(а(п) — а) = гп+х, поскольку р(а) = 0, получим
р(а(п)) = ((а + (а(п) — а)) = Р(а)(а(п) — а) + ((а)(а(п) — а)2 + ... Для достаточно больших п
ог&р((а(п)) = ог&р((р' (а)(а(п — а)) = ог&рр (а) + г,п+\.
Из этого равенства мы и получим противоречие, представляя огёр р(а(п), огёр р(а), а значит и гп+\ в виде линейных комбинаций чисел 1, г\,..., гп. Во-первых, число
р (а) = ->^3
=
отлично от нуля. Как конечная линейная комбинация, огёр р(а) = и + и\Г\ + ... + иьГь, где и,и\,... ,ии — неотрицательные целые числа. Значит, достаточно выбрать п ^ Л. Во-вторых, каждое слагаемое из
тете
У,Э(!3 ^ак9Гк
3=1 \к=1 )
р(а(п)) = Тс!
те п
Е!3 (Еак9Ч 3=0 \к=\ )
=
имеет порядок, являющийся линейной комбинацией чисел 1, г\,..., гп с неотрицательными коэффициентами.
Таким образом, для любого достаточно большого п, число гп+\ представляет собой линейную комбинацию чисел 1, г\,..., гп с целыми коэффициентами, что противоречит условиям леммы.
Лемма 4. Пусть
те
пг) = У Ч*3 е 1р[[г]], =0
где 03 = 0 хотя бы для одного ] е N
те
а =
к=1
У акдГк, а е Ир, ак е Ир
Тогда ( а) = 0.
Доказательство. Пусть натуральное число д минимальное из тех, что /(д\а) = 0, в силу условий для такое должно существовать, в противном случае
№ = /(а) + /' (а)(х — а) + ... = / (а).
Предположим, что д > 1, определим
р(г) = ^-1)(г) е 1р[[г]],
значит р(а) =0 и р(а) = 0, но это противоречит лемме 3. Таким образом, д = 1, /'(а) = 0.
Замечание 10. Мы показали, что при обращении в нуль всех производных в некоторой точке, ряд состоит только из первого слагаемого — константы.
Утверждение 3. Пусть ..., имеют вид
те
/х(г) = £ е ад г]]
3=0
и являются алгебраически независимыми над Qp,
те
а = ^2акдТк, а е Пр, ак е ир. к=1
Тогда ¡\(а),..., ¡](а) являются алгебраически независимыми над Qp.
Доказательство. Пусть Р е ЪР[Х\,... ,Хг] отличный от константы, определим <(г) = Р (Д (г),..., /К*)). Тогда,
те
ф) = 1 е ХрЫ], =0
и достаточно показать, что <(а) = 0. Очевидно, существует такое д е М, что < ч)(а) = 0, поскольку <(а) = <р"(а) = ... = 0 означало бы, что < является константой, <(г) = й0,
Р (Д (г),..., Л(г)) = (0,
это противоречит алгебраической независимости ..., над Qp.
Рассмотрим функцию <д-1^(г), которая не может быть константой, а благодаря лемме 3 можно утверждать, что <д-1 (а) = 0. Если д = 1, тогда <(а) = 0, что эквивалентно Р (Д (а),..., /г (а)) = 0. Если ц > 1, повторим рассуждение и рассмотрим отличную от константы функцию <д-2\г), причем <д-2\а) = 0, и так далее, пока не получится, что <(а) = 0, а это и требовалось доказать.
Замечание 11. Следующие две леммы нужны для доказательства теоремы 10, они немного обобщают и повторяют то, что уже было сказано.
Лемма 5. Пусть а\,..., ат удовлетворяют условиям теоремы 9. Для каждого ц = 1,... ,т, пусть
те =0
где все й^, е Ър[[а\,...
, а/—l, а/+1, . . . , ат ^ причем = 0 хотя бы для одного э = ,](ц) е N.
Тогда из </(а,) = 0 следует <р,(а/) = 0.
Доказательство. Предположим противное, тогда </(а,) = 0, но <,(а,) = 0 для некоторого ц е {1,..., т}. Определяя а^ как п-ую частичную сумму
к=1
ак,/9
ряда для а, в теореме 9, получаем
)) = (а/)(а/ — 1 2! —
<р(а<р) = (а/)(а<р — а,) + (а™ — а,)2 +
Поскольку р'р(а^) = 0, значит порядок вхождения р в правую часть равенства равен огёр(р^(ар)(а^ — ар)) для каждого достаточно большого п ^ пр, значит
°г<1р р^сх^) = отёр р'р(ар) + Гп+1,Р. (1)
Для оценки огёр р^(ар) заметим, что
те 3 = 1
е Ър [[ а\,..., ар-1,ар+1,..., ат]].
Определение для а1,...,ат в теореме 9 дает понять, что р^(ар) это сумма произведений элемента из ир и рациональной степени д, которая получается как конечная линейная комбинация с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1 и Гк, где к е N р е {1,..., т}. Тут надо заметить, что избавиться от натуральных степеней в коэффициентах действительно возможно, поскольку р = (р/д)д, где р/д е ир. Таким образом огёрр'^(ар) является некоторой линейной комбинацией, которую можно зафиксировать. Обозначим кр самый большой из таких первых индексов к, что появляется для некоторого V е {1,... ,т} с целым положительным коэффициентом в зафиксированной линейной комбинации.
Аналогичное рассмотрение и оценка значения огёр рр (а^) позволяет сказать, что это значение является конечной линейной комбинацией с целыми неотрицательным коэффициентами чисел 1, г1,р,..., гп,р и Гк,р', где р' е {1,..., р—1,р+1,..., т}. Учитывая равенство (1), получается, что для каждого достаточно большого п ^ ш&х{пр, кр}, число гп+\,р является конечной линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Г\, ..., гп, р и некоторых Гк,р', где р' = р. Но это противоречит предположению об элементах ах,..., ат.
Лемма 6. Для ах,..., ат и рх, ... , рт соответствующих условиям леммы 55,
р'рЫ = 0
для р = 1,... ,т.
Доказательство. Для каждого р = 1,... ,т существует минимальное е N такое, что (ар) = 0. Если = 1, доказано. При > 1 рассмотрим функцию
фр(х) = р^-1\г) е Ър [[ах,..., ар-1,ар+г,..., ат\],
которая удовлетворяет условиям леммы 5. Если ф'^(ар) = 0, получается (ар) = 0, значит
(ар) = 0, что противоречит выбору значит д р = 1. Далее докажем теорему 9 индукцией по т. Начнем с т = 1, напишем а = ах =
те
^2 акдГк, как в лемме 3. Положим 7 = /(а), и пусть Р е Ър[Х] является многочленом ми-к=1
нимальной степени таким, что Р( 7) = 0, предполагая противное, а именно, что 7 является алгебраическим над Qр. Как и в доказательстве леммы 3, пусть а(п) обозначает п-ую частичную сумму ряда для а, положим 7(п = /(ап)).
Далее мы должны исследовать разницу 7(п') — 7. Очевидно,
7(п) —7 = Ка(п)) — ¡(а) = /'(а)(а(п) — а) + —а)2 + ...,
где, как мы знаем благодаря лемме 4, /'(а) = 0. Таким образом,
огёр(7(п) —7)= огйр ¡'(а) + огёр(а(п) — а) (2)
для любого достаточно большого п. В силу выбора Р
Р (7(п)) = Р' (П)(1{п) —1) + ^¿Г ^ — 7)2 + .. = Р' (у)('1 (П) —1) + РЪ (П) — 7), (3)
те
где ряд Р*(Х) = Т.(Р({)(1)/г!)Х* е СР[[Х]] и ож(р(Р^(^/г!) ^ 0. Для достаточно больших
г=2
п порядок правой части равенства (3) равен ок(р(Р'(1)(1— 1)), учитывая равенство (2) и Р'(1) = 0, получается
огёр Р (1(п)) = огёр Р' (1) + огёр /' (а) + ог(р(а(п) — а) (4)
для любого достаточно большого п.
Теперь попытаемся получить желаемое противоречие из равенства (4). Как и в доказательстве леммы 3, существует такое к е М, что
огёр f'( а) = и + и\Г\ + ... + ингн, огёр Р' (1) =у + Угп + ... + унгн,
где и,и1,..., иь, V, VI,... е М0. Очевидно, что огёр(а(п) — а) = гп+1. Также, посмотрим на ог(рР (1(п)). Считая е0,..., е] е Ър это коэффициентами Р, получим
J ■] /те / п \
Р(1(п)) = Е ^ап))г = Е(ЕЕ^"
г=0 г=0 \^=0 \к= 1 )
Г 1
Следовательно, огёр Р (1(п)) является линейной комбинацией чисел 1, г\,..., г п с неотрицательным целыми коэффициентами. Как можно заключить из равенства (4), для любого достаточно большого числа п ^ к, число гп+\ представляется линейной комбинацией чисел 1, г\,..., гп с целыми коэффициентами, что противоречит условию теоремы 9. Для осуществления шага индукции, определим
1, = ¡(а,), ц = 1,...,т.
Мы предполагаем, что т > 1, а элементы 11,..., цт являются алгебраически зависимыми над 0>р, но любые т — 1 элементов являются алгебраически независимыми. Пусть Р е Ър [Х\,..., Хт это отличный от константы многочлен минимальной степени по совокупности переменных такой, что
Р (Ъ,...,1т)=0. (5)
Согласно предположению индукции, Р зависит от каждой переменной Х, и
дР
(11,... ,1т) = 0, ц = 1,... ,т, (6)
дХ,
в силу минимальности Р. Тогда, из равенства (5)
т
д Р
Р (Х1, ...,Хт) = ^ ял^ (11, . . . , 1т)(Х, — 1,) + Р * (Х1 11, ... , Хт — 1т), (7)
1 дХ,
где каждый моном полинома Р*, выраженный через Х1 — 11,... ,Хт — цт, имеет степень не ниже двух и коэффициент неотрицательного порядка.
Определим
о^ = Е Гк», А™ = а™ -а, = - Е ак,,д ^
к=1 к>п
= п.ап)), (9)
тогда
- ъ = Ё . (10)
• 1 г-
г=1
Для некоторых п\,... ,пт € N0, значения которых мы планируем уточнить позже, можно заключить из (7) и (10), что
Р№\ .. = Е Па,)^(Ъ,..., 1т)А^ +
,=1
т дР . /({)Ы
+ Е дХ(ц>-> 1™) Е ЧО1^)+Р^ - ц,..., 1(пт) -1™). (11)
,=1 ^ г=2
Из (6) и леммы 4 получаем
д р
В, = /'(а,)^Г(ц,...,1т) = 0, / = 1,...,т,
дХ,
и определяя Ь, = огёрВ,, / = 1,... ,т, не умаляя общности, можно предположить, что
Ьг ^ ... ^ Ьт. (12)
Поскольку
те
те /те \ •
= Е-?сз Еа^Гк'Л
3=1 \к=1 )
I -- \3-1
/' (а,) = Е ЗсзаЪ-1 =
3=1 3=1
р-адические порядки членов, которые не были взаимно уничтожены в правой части равенства, являются конечными линейными комбинациями с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1, Г1,ц, Г2,ц,.... Аналогично для членов в правой части равенства
д р
(11,...,1т) = ^2 е,(г 1,..., 1т)1 (ах)11.../ (от Ут, е,(...) €
где сумма распространяется на конечное число комбинаций (11,..., Iт ) € N2^ и имеет порядки, которые являются конечными линейными комбинациями с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1 и всех гк^, где к € N,1) = 1,... ,т. Поэтому, можно утверждать, что каждое Ь, является конечной линейной комбинацией с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1 и всех гк{и. Для каждого / = 1,...,т, можно зафиксировать подобную линейную комбинацию для Ь, и среди всех к € N выбрать максимальное значение из таких, что хотя бы одно из чисел гк,0 встречается хотя бы в одной из т упомянутых линейных комбинаций, пусть п0 будет этим максимальным.
Теперь выберем П1 > по согласно следующим условиям:
г-п1+1,1 > Ь, (13)
{гП1+\,1 не является конечной линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1>1,..., гп11, и чисел гк, , где / € {2,..., т}.
и
Наконец, зафиксируем такие п2,..., пт Е N0, что
Ь + гП1+1Л < ... < Ьт + гПт+1,т, (15)
учитывая неравенство (12),
Гп-1+1,1 < . . . < ГПт+1,т. (16)
Поскольку от&р А^,1'^ = гп^+1,ц, то для достаточно больших п,, учитывая равенства (8), предположения о последовательностях г и неравенство (15), можно получить
т дР /Л
огёр ( Е¡'(а,) — (Ъ,...Г/т)А^ 1 = Ьг + Гщ+ц. (17)
Остается изучить порядки второго и третьего выражений из правой части равенства (11). Понятно, что для любых г ^ 2, р = 1,... ,т получается
опЦдР(и,...,1т)^^(А^У^ > 2Гщ+1,1 > Ьг + гт+1,1,
в силу неравенств (13) и (16). Как уже отмечалось, степени мономов для выражения Р-1г,..., № -1т) не ниже двух, значит порядки не меньше, чем 2гп1+\у1 > Ъг + гп1+\у1. Тогда, вместе с напоминанием о равенстве (17), можно заключить, что Р(^х"1^,... ,1<гпт">) не обнуляется, поскольку
огёрР(1<Т1),..., 1^) = Ьг + Гщ+1,1. (18)
С другой стороны, из равенств (8) и (9) видно, что
те / п \ .
№ = 1 (а{п)) = Е ^ Е^Ч j=0 \к=1 /
3=0
таким образом, можно вычислить огёр Р (11п1\ ..., 1тт^) как линейную комбинацию с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1, пд,..., гп1,1,..., г1,т,..., гпт,т. Однако, учитывая равенство (18), получаем искомое противоречие с условиями щ > по и (14). Теорема 9 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 10. Также, рассуждение индукцией по т. База индукции, при т = 1, уже была доказана в утверждении 3, теперь необходимо осуществить переход. Предположим, что т > 1, теорема уже доказана для каждого подмножества {а1,... , а,— 1, а,+1, . . . , ат }, а требуется провести доказательство для {а1,..., ат}. Предположим противное, а именно, пусть I -т чисел Д (а,), X = 1,..., I, р = 1,...,т, являются алгебраически зависимыми над 0>р. Пусть отличный от константы многочлен
Р Е %р[Х] = гр[Х1Л,...,Х1,т;... ]Х1А,...,Х1т] (19)
такой, что
Р (1) = р Ы,1,...,ъ,т;... ;%1,...,%т) = о, (20)
где = /\(а,). В силу предположения индукции, не может произойти такого, что для некоторого р, многочлен Р не зависит от набора переменных (Х1,,,... ,Х[,,).
Из соотношений (19) и (20) получается, что
т 1 дР
р (Х) = Е Е дХ— (1)(Х^ -1^)+р *(Х -1), (21)
,=1\=1 х,1л
где каждый моном полинома Р*, состоит из произведения разностей вида Х\,; — 7\,;, имеет степень не меньше двух и коэффициент неотрицательного порядка.
Пусть а^ и А^ определены согласно соотношениям (8), а = Перед тем, как
подставить в соотношение (21) вместо переменных Х\,; значения 7^, сделаем предварительные вычисления:
тЦ - 1х* = £ ^f^iA^y = А ЫАР + Е ... (22)
г=1 ' г^2
Считая, что п зависит от у, будем записывать п*, из (21) и (22) получаем:
р(it1 ..r?iT)>...>i&)) =
= Е Е ГхЫ ш- +ее -Щ- ii) Е
+ Р*(-11,1,..., -...'№ -и,1,..., -) (23) Теперь докажем, что для каждого у = 1,... ,т, сумма
i —Р
к = £ ) ^ )
X=1
не обнуляется. Рассмотрим многочлен
Q*(Xl*,.. .,Xi^) = Р(11,1,.. .,Xl*,..., i1,m;...; 11,1,.. .,Xi^,..., il,m), (24)
тут, если посмотреть на равенство (20), X\,* заменяет для каждого Л = 1,..., I. Покажем, что Q*(X\*,...,Xltfl) ф 0. В противном случае наличие решения Р(1) = 0 говорит о том, что значения переменных Xl*,... ,Xi* можно изменить любым образом и получить новое решение. Понятно, что существует набор значений Xl,*,..., Xi* £ Zp, при котором Р(X) ф 0, иначе очевидно, что многочлен не зависит от остальных переменных, а это противоречит предположению индукции. С другой стороны, подставляя такой набор значений Xl,*,..., Xi* в многочлен Р, получится новый многочлен, который зависит лишь от оставшихся переменных и его существование противоречит предположению индукции. Значит, Q*(Xl*,... ,Xi,fJi) отличный от константы многочлен с коэффициентами из
Z■p[ll,l,.. .,11,v-1 , 1l,^l+l,... ,11,т'... '^i! ... ,1l,^l-l,1l,^l+l,.. .,1i,m\.
Поскольку функции fl,..., fi являются алгебраически независимыми над Qp, в силу леммы 2, функции являются алгебраически независимыми над Cp, значит каждая функция
Mz) = QMl(z),..., fi(z)), у = 1,...,т (25)
отлична от константы. Учитывая равенство (24), получаем:
- Q
^ Ы = Е ^) tXQ^ (1^,.. = в*. (26)
Х=1
С другой стороны, функции заданные соотношением (25), представляются степенными
рядами, как в лемме 5, значит, благодаря лемме 6, мы знаем, что р';(а;) = 0, у = 1,... ,т, а в силу (26), в; = 0.
Определим Ь* = огёр В**, не умаляя общности
Ь* > ... > Ъ*т.
Опять же, каждое из Ь* представляет конечную линейную комбинацию с целыми неотрицательными коэффициентами чисел 1 и г кV. При каждом р = 1,... ,т зафиксируем линейную комбинацию для Ь*. Далее, используя Ь** вместо Ь*, повторим ход рассуждения для теоремы 9, выберем новые щ,... ,пт, достаточно большие, чтобы
(т
Ев;^ *=1
И так же, как при доказательстве теоремы 9, получаем противоречие, поскольку в силу выбора чисел п;, возвращаясь к равенству (23), порядок правой части равен Ъ\ + гп1+1>1 и представляется недопустимой линейной комбинацией, которая получается при вычислении порядка в левой части равенства.
Заключение
Данная статья, как исследование, продолжает некоторые работы П. Бундшу и В.Г. Чир-ского. Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты из [5], [6] в том смысле, что для частного случая д = р уже были доказаны в соответствующих формулировках.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279-307.
2. Amice Y. Les nombers p-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241-260.
4. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Zp at points from Cp // Moscow Journ. of Comb. and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14-20.
8. Чирский В.Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221-230.
9. Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of Cp // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149-154.
10. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677-679.
11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6, С. 193—210.
12. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та, Сер.1, мат., мех., 2015, №1, С. 59-61.
13. Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебышёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254-264.
14. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215—232.
15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153-171.
16. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257—259.
17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589--591.
18. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286-305.
19. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175-184.
20. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ. В. В. Шо-курова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.
21. Mahler K. Uber transzendente р-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259-275.
22. Mahler K. р-adic numbers and their functions; second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.
23. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. REFERENCES
1. Adams W. 1966, "Transcendental numbers in the р-adic domain", Amer. J. Math., vol. 88, pp. 279-307.
2. Amice Y. 1975, Les nombers р-adiques. Presses Universitaires de France, Paris.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. 2004, "Effective estimates for global relations on Euler-type series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241-260.
4. Borevich Z.I., Shafarevich I.R. 1985, Teoriya Chisel, [The theory of numbers], third edition. "Nauka", Moscow.
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2002, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I", Arch. Math., vol. 79, pp. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2004, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II", ActaArithm., vol. 113, no. 4, pp. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2015, "Estimating polynomials over Zp at points from Cp", Moscow Journ. of Comb. and Number Th., vol. 5, iss. 1-2, pp. 14-20.
8. Chirskii V. G. 2005, "Siegel—Shidlovskii method in p-adic domain", Fundamental and Applied Mathematics, vol. 11, no. 6, pp. 221-230.
9. Chirskii V. G. 2013, "Values of Analytic functions at points of Cp", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 20, no. 2, pp. 149-154.
10. Chirskii V. G. 2014, "Arithmetic properties of poliadic series with periodic coefficients", Dokladi akademii nauk, vol. 459, no. 6, pp. 677-679.
11. Chirskii V. G. 2014, "Arithmetic properties of hypergeometric series with irrational parameters", Izv. RAN. Ser. mat., vol. 78, no. 6, pp. 193—210.
12. Chirskii V. G. 2015, "On the arithmetic properties of Euler-type series", Vestnik Mosk. Univ. Ser.1, mat., mech., no. 1, pp. 59-61.
13. Chirskii V. G. 2015, "Arithmetic properties of polyadic integer numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 16, no. 1, pp. 254-264.
14. Chirskii V. G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izv. RAN. Ser. mat. vol. 81, no. 2, pp. 215-232.
15. Chirskii V. G. 2017, "Topical problems of the theory of Transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 24, no. 2, pp. 153-171.
16. Chirskii V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series", Dokladi akademii nauk, vol. 483, no. 3, pp. 257-259.
17. Chirskii V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series", Dokladi Mathematics, vol. 98, no. 3, pp. 589-591.
18. Chirskii V. G. 2019, "Product formula, global relations and polyadic integers", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 26, no. 3, pp. 286-305.
19. Chirskii V. G. 2020, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric series", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 27, no. 2, pp. 175-184.
20. Koblitz N. 1982, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, 2nd ed.
21. Mahler K. 1935, "Uber transzendente p-adische Zahlen", Compos. Math., vol. 2, pp. 259-275.
22. Mahler K. 1981, p-adic numbers and their functions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge.
23. Shidlovskii A.B. 1987, Transcendentnie chisla, [Transcendental numbers], "Nauka", Moscow.
