CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.
УДК 511.464 Б01 10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535
Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений
д-адических функций
А. С. Самсонов
Самсонов Алексей Сергеевич — аспирант, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: dontsmoke@inbox.ru
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируется и доказываются теорема для некоторых элементов прямых произведений р-адических полей. Пусть (Ц>р — пополнение по р-адической норме, поле — пополнение алгебраического замыкания (Ц>р, д = Р1Р2 .. .рп — произведение различных простых чисел, а пополнение по д-адической псевдонорме это кольцо <Ц>3, иными словами <Ц>Р1 Ф ... Ф . Рассматривается кольцо = ф ... ф ИРп, содержащее Qs в качестве подкольца. Также, рассматриваются гипергеометрические ряды вида
/ W = ± (Й^Ш С)"
Г
= 0 (Plh ••• (Ps)i
и их формальные производные. Получены достаточные условия, при которых значения ряда /(а) и формальных производных удовлетворяют глобальному соотношению алгебра-
то
ической независимости, если а = ^ а^ дГк, где а^ € Zs, а неотрицательные рациональные
к=1
числа образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность.
Ключевые слова: р-адические числа, д-адические числа, /-ряды, трансцендентность, алгебраическая независимость.
Библиография: 23 названия.
Для цитирования:
А. С. Самсонов. Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений д-адических функций // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 528-535.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.
UDC 511.464 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-528-535
One application on hypergeometic series and values of g-adic functions algebraic independence investigation methods
A. S. Samsonov
Samsonov Aleksei Sergeevich — graduate student, Moscow State Pedagogical University (Moscow).
e-mail: dontsmoke@inbox.ru
Abstract
The article takes a look at transcendence and algebraic independence problems, introduces statements and proofs of theorems for some kinds of elements from direct product of p-adic fields and polynomial estimation theorem. Let QP be the p-adic completion of Q, QP be the completion of the algebraic closure of QP, g = p1p2.. .pn be a composition of separate prime numbers, Qg be the g-adic completion of Q, in other words QP1 © ... © QPn. The ring Qg = QP1 © ... © QPn, a subring Qg, transcendence and algebraic independence over Qg are under consideration. Also, hypergeometric series
f (z) = ^ (7i)j ... (7r)j ( )tj
f (z) = = (№. .. (Ml '
and their formal derivatives are under consideration. Sufficient conditions are obtained under which the values of the series f (a) and formal derivatives satisfy global relation of algebraic
independence, if a = J2 aj9rj, where aj G Zg, and non-negative rationals rj increase strictly
3=0
unbounded.
Keywords: p-adic numbers, g-adic numbers, /-series, transcendence, algebraic independence. Bibliography: 23 titles.
For citation:
A. S. Samsonov, 2021, "One application on hypergeometic series and values of g-adic functions algebraic independence investigation methods", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 528-535.
Введение
Используются следующие обозначения: р — простое число, Ър — кольцо целых р-адических чисел, |ж|р = р~огЛРх — р-адическая норма; — поле р-адических чисел, это пополнение поля рациональных чисел по р-адической норме; 0,р, оно же Ср — пополнение алгебраического замыкания 0>р; К[х\ — кольцо многочленов с коэффициентами из кольца К, например 0>р[ж\, К[х\,..., Хт\ — кольцо многочленов от т переменных над кольцом К.
Для д-адических чисел используются следующие обозначения: д = р\ ...рп — произведение различных простых чисел, Ъа — кольцо целых д-адических чисел, |ж|5 — д-адическая псевдонорма; — кольцо д-адических чисел, пополнение множества рациональных чисел по д-адической псевдонорме; построено кольцо — расширение кольца 0_д, = 0Р1 ф... ф 0Рп.
Основные понятия и определения
Определение 1. Обозначим Ф : Qg ^ 0>Р1 ф ... ф Qpn — прямой изоморфизм колец, а Ф : Qp1 Ф ... Ф Qpn ^ Qg — обратный.
Замечание 1. Описание изоморфизма Qg = Qp1 ф ... ф Qpn см. в [22], с. 59.
Утверждение 1. Множество 0Р1 ф... ф 0Рп — кольцо, которое содержит кольцо 0>Р1 ф ... ф Qpn в качестве подкольца.
Содержание этого утверждения очевидно.
Замечание 2. Пространство Qfl представляет из себя множество |Ф(^1,... ,@п)}, где ($1,..., Рп) пробегает множество Qp1 ф ... ф .
Теперь мы построим пространство . В силу предыдущего замечания, мы можем дополнить множество недостающими элементами и обозначить их Ф(^1,..., где (Д,..., @п) пробегает множество 0Р1 ф ... ф 0Рп. Более того, продолжение изоморфизма Ф, которое мы построим, будет отображать элементы ,..., ,бга) в Ф(^1,..., Д«), поэтому совпадение обозначений не приведет к конфликту.
Определение 2. Пусть 0.а = |Ф(^1,..., Рп)}, где (^1,...,^„) пробегает 0Р1 ф ... ф 0Рп. Алгебраическую структуру заимствуем из кольца Г2Р1 ф ... ф ^рп.
Утверждение 2. Кольцо содержит Qfl в качестве подкольца. Существует продолжение изоморфизма Ф : 0Р1 ф ... ф 0Рп ^ и продолжение обратного изоморфизма Ф : Пд ^ ПР1 ф ... ф ПРп.
Доказательство. В силу замечания 2 и определения 2, очевидно, что кольцо содержит
в качестве подкольца. Продолжение изоморфизма Ф определим следующим образом, пусть Ф отображает элемент ,..., рп) в Ф(^1,..., ^га). Такое отображение будет изоморфизмом в силу определения 2. Изоморфизм Ф продолжим, как обратный к Ф.
Замечание 3. Далее, нет смысла упоминать названия изоморфизмов, они будут опущены, поскольку обозначения не вызывают разночтений. Если а € , то а = ... ,Рп), где Рк € &рк. Аналогично, если а € Qfl, то Рк € QPfc, если а € Ъя, то Рк € ZPfc. Любой многочлен С € Qg [ж] можно представить в виде
С = (Рь Р2,..., Рп), где Рк € QPfc [ж]
и вычислить по формуле
ОД = №№), ^(М..., ВДп)), где а € Пд, а = (Д, ..., Рп). Аналогично, если С € Qg [ж1,..., жт], то Рк € QPfc [ж1,..., жт].
Определение 3. Обозначим ир := € Qp : |р = 1}.
Определение 4. Обозначим Z* := (а = ... ,^га) € Ъд : Уй € (1,... ,п}, Рк = 0}.
Хотелось бы ввести обозначение А\0, которое бы исключало из множества А, являющегося прямым произведением, все такие элементы, что хотя бы одна из компонент тождественно равна нулю, иными словами, исключить нули и делители нуля. Это обозначение представим в следующем виде.
Определение 5. Ъд\0 := Ъ*д, Qfl [ж\\0 := [О = (РЪР2,..., Рп) е Qfl [ж] : Ук е [1,..., п}, Рк ф 0} и так далее.
Замечание 4. Следующие определения раскрывают смысл глобального соотношения, которое говорит о наличии соответствующего соотношения для каждой компоненты.
Определение 6. Пусть а е 0.д, а = (Р\, ..., Рп). Будем называть а глобально трансцендентным над Qg элементом £}д, если для любого к е [1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) е Qg[ж\\0 выполняется неравенство Рк(Рк) = 0.
Определение 7. Пусть щ е , щ = (¡3^, Рг,2,..., Рг,п), ъ = 1,...,т. Будем называть оц глобально алгебраически независимыми над Qg элементами £}д, если для любого к е [1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) е Qg [х\,..., жт\\0 выполняется неравенство Рк (Р\,к,..., Рт,к) = 0.
те
Определение 8. Степенной ряд /(г) = ^ ^е Ъд[[г\\, / = (/1,..., /п), будем назы-
3=0
вать глобально трансцендентным над Qg, если для любого к е [1,... ,п} и любого многочлена С = (Р\, Р2,..., Рп) е Qg [ж\\0 выполняется неравенство Рк (¡к) Ф 0.
те
Определение 9. Степенные ряды Д(г) = ^ с^-^ е Ъд[[г\\, ^ = (/ц,..., Л,п),
3=0
г = 1,...,т, будем называть глобально алгебраически независимыми над Qg, если для любого к е [1,... ,п} и любого многочлена С = (Р1, Р2,..., Рп) е Qg [х\,..., жт\\0 выполняется неравенство Рк (¡\,к,..., ¡т,к) Ф 0.
Формулировка и доказательство теоремы
Для семейств действительных чисел а = (а\,..., ак) и Ь = (Ь\,..., Ьк) используем обозначение
а & Ь,
если существует перестановка г\,..., г к чисел 1,... ,к такая, что bj — е Ъ, ] = 1,... ,к. Также, используем обозначение а + с для семейства чисел (а1 + с,..., ат + с).
Теорема 1. Пусть £ = г — в > 0,
г(г) = ^ (Ъ)з .. (Ъ)з Ы)Ьз
1 (г) = = Шз ... Шз ( ] .
Пусть четное число £ = 2 к и пусть множество параметров Б = (71,... ,7Г; [31,..., рз) удовлетворяет следующим условиям:
ъ<еъ, Рз еЪ, -н — Ру еЪ, 1 = 1,...,г+в, ^ = 1,...,в.
Для всех общих делителей й чисел I, 8, ни одно из соотношений 7 + ^ & 7 или @ + | « Р не может иметь места.
Кроме того, не выполняются следующие условия: 1) если в = 0, тогда существуют х0,..., Хк-1 е С такие, что
7 + %о ~ (0, — 2,Х1, —Х1,.. .,хк-1, —хк-1
) ■
2) если в > 0, в = 2д, тогда существуют жо,..., Хк+3-1 € С такие, что
7 + ^0 ~ (о, -1 ,Ж1, -Ж1, . . . ,Хк+д-1, -Хк+д-^ , @ + Жо ~ , — Хк+д, . . . , Xk+s-1, — Хк+з-1) ,
или
7 + Жо ~ (Ж1, -Ж1, . . . ,Хк+д, -Хк+д) , ^ + Жо ~ — 1, Xk+g+1, —. . . , Хк+8-Ъ — Хк+з--^ ,
3) если в > 0, 8 = 2д + 1, тогда существуют ж0,..., € С такие, что
7 + Жо ~ (о, Ж1, -Ж1, . . . ,Хк+д-1, -Жй+д-1) ,
@ + Жо ~ ^ — 1, Хк+д, —Ж^+д, . . . , Xk+s-1, — Хк+з-^ .
Пусть //"(г),..., /(г-1)(г) — формальные производные вышеуказанного ряда /(г).
Пусть д = .. .рп — произведение п ^ 1 различных простых чисел, для любого ] = 1,..., 8, наибольший общий делитель (д, ^) = 1,
те
= ^ , «м € ^, € , ^ = 1,..., т.
3 = 1
Пусть
1) для любого ц, = 1,..., т положительные рациональные числа г^ образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;
2) для любого ц, = 1,..., т существует бесконечное множество номеров ] таких, что число гз+1,^ не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,м,..., г^^ и чисел г у у при любых ]' и при ^ = ц,;
3) не существует номеров ], ]', ц, таких, что разница г^ — является целым числом.
Тогда элементы /(л)(ам), где параметры пробегают значения А = 0,1,..., г — 1, ^ = 1,..., т, представляют собой глобально алгебраически независимые над Qfl элементы .
Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой 7 из статьи "Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей, II". Поскольку коэффициенты ряда /(г) представляют собой рациональные числа, знаменатели которых взаимно просты с д, значит коэффициенты рядов принадлежат Ъя. Остается показать, что /(г), /'(г),..., /(г-1)(г) € Ъя[[г]] глобально алгебраически независимые над Qg.
Предположим противное, а именно, пусть р — простой делитель числа д, а ряды /(г), /'(г), /"(г),..., /(г-1)(,г) являются алгебраически зависимыми над Qp. Поскольку /(г), /'(г),...,/(г-1)(,г) € 0?[И], можно воспользоваться леммой 2 из статьи "Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей, II". Если ряды /(г),/'(г), /''(г),..., /(г-1)(г) являются алгебраически зависимыми над Qp, то и над 0>, но согласно результатам из статьи [19], /(г), /'(-г), /''(^),..., /(г-1\г) являются алгебраически независимыми над С(г), противоречие.
Заключение
Статья показывает пример приложения результатов об алгебраической независимости для конкретного случая.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279-307.
2. Amice Y. Les nombers p-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241-260.
4. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Zp at points from Cp // Moscow Journ. of Comb. and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14-20.
8. Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221-230.
9. Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of Cp // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149-154.
10. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677-679.
11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6, С. 193—210.
12. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та, Сер.1, мат., мех., 2015, №1, С. 59-61.
13. Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебышёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254-264.
14. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215—232.
15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153-171.
16. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257—259.
17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589--591.
18. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286-305.
19. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175-184.
20. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ. В. В. Шо-курова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.
21. Mahler K. Uber transzendente p-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259-275.
22. Mahler K. p-adic numbers and their functions; second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.
23. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. REFERENCES
1. Adams W. 1966, "Transcendental numbers in the p-adic domain", Amer. J. Math., vol. 88, pp. 279-307.
2. Amice Y. 1975, Les nombers p-adiques. Presses Universitaires de France, Paris.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. 2004, "Effective estimates for global relations on Euler-type series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241-260.
4. Borevich Z.I., Shafarevich I.R. 1985, Teoriya Chisel, [The theory of numbers], third edition. "Nauka", Moscow.
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2002, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I", Arch. Math., vol. 79, pp. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2004, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II", ActaArithm., vol. 113, no. 4, pp. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2015, "Estimating polynomials over Zp at points from Cp", Moscow Journ. of Comb. and Number Th., vol. 5, iss. 1-2, pp. 14-20.
8. Chirskii V. G. 2005, "Siegel—Shidlovskii method in p-adic domain", Fundamental and Applied Mathematics, vol. 11, no. 6, pp. 221-230.
9. Chirskii V. G. 2013, "Values of Analytic functions at points of Cp", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 20, no. 2, pp. 149-154.
10. Chirskii V. G. 2014, "Arithmetic properties of poliadic series with periodic coefficients", Dokladi akademii nauk, vol. 459, no. 6, pp. 677-679.
11. Chirskii V. G. 2014, "Arithmetic properties of hypergeometric series with irrational parameters", Izv. RAN. Ser. mat., vol. 78, no. 6, pp. 193—210.
12. Chirskii V. G. 2015, "On the arithmetic properties of Euler-type series", Vestnik Mosk. Univ. Ser.1, mat., mech., no. 1, pp. 59-61.
13. Chirskii V. G. 2015, "Arithmetic properties of polyadic integer numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 16, no. 1, pp. 254-264.
14. Chirskii V. G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izv. RAN. Ser. mat. vol. 81, no. 2, pp. 215-232.
15. Chirskii V. G. 2017, "Topical problems of the theory of Transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 24, no. 2, pp. 153-171.
16. Chirskii V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series", Dokladi akademii nauk, vol. 483, no. 3, pp. 257-259.
17. Chirskii V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series", Dokladi Mathematics, vol. 98, no. 3, pp. 589-591.
18. Chirskii V. G. 2019, "Product formula, global relations and polyadic integers", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 26, no. 3, pp. 286-305.
19. Chirskii V. G. 2020, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric series", Russian Journ. of Math. Physics, vol. 27, no. 2, pp. 175-184.
20. Koblitz N. 1982, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, 2nd ed.
21. Mahler K. 1935, "Uber transzendente p-adische Zahlen", Compos. Math., vol. 2, pp. 259-275.
22. Mahler K. 1981, p-adic numbers and their functions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge.
23. Shidlovskii A.B. 1987, Transcendentnie chisla, [Transcendental numbers], "Nauka", Moscow.
