Арифметическая реализуемость и примитивно-рекурсивная реализуемость Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 510.25; 510.64

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ

И ПРИМИТИВНО-РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ

А. Ю. Коновалов1

Доказывается, что семантика логики предикатов, основанная на абсолютной арифметической реализуемости, отлична от семантики, основанной на примитивно-рекурсивной реализуемости по Салехи.

Ключевые слова: конструктивная семантика, абсолютная реализуемость, формальная арифметика, арифметическая реализуемость, примитивно-рекурсивная реализуемость.

The semantics of the predicate logic based on the absolute arithmetical realizability is proved to differ from the semantics based on the primitive recursive realizability by Salehi.

Key words: constructive semantics, absolute realizability, formal arithmetic, arithmetical realizability, primitive recursive realizability.

В работе fl] (см. также [2]) С. Салехи была предложена семантика примитивно-рекурсивной реализуемости для базисной арифметики и как следствие для базисной логики предикатов [3]. В статье [4] автором была определена семантика абсолютной арифметической реализуемости и было доказано, что базисная логика предикатов корректна относительно этой семантики. Таким образом, имеются две семантики для базисной логики предикатов. Представляет интерес их сравнение.

1. Будем считать, что язык формальной арифметики LA содержит функциональные символы для всех примитивно-рекурсивных функций, а также константы для всех натуральных чисел. Последние мы будем рассматривать как нульместные функциональные символы. Атомарные формулы языка LA суть выражения вида Т, _L и t\ = где ti и ¿2 — термы. Более сложные формулы строятся по стандартным правилам при помощи логических связок A, V, —>■ и кванторных символов 3, V. Формулы языка LA будем называть арифметическими формулами.

Предикатные формулы строятся из предикатных символов различной валентности, предметных переменных, символов Т, _L, логических связок A, V, —>■ и кванторных символов 3, V стандартным образом. Нам будет удобно считать, что некоторые предикатные символы имеют вид Pf, где / — функциональный символ языка LA. Валентность предикатного символа Pf положим равной п + 1, где п — валентность функционального символа /. Фиксируем также двухместный предикатный символ Е.

Если Ф — арифметическая формула, то ее предикатная запись Ф' определяется следующим образом:

(Т)' ^ Т, (_L)' ^ J_, (х = у)' ^ Е{х, у), (а = х)> ^ Ра{х)-

(f(th ...,tn)=y)' = 3zi... 3zn((ti = zi)' A ... A (tn = zn)' A Pf(zi, ...,zn, y));

(t\ = t2y = 3z((tl = z)' A (h = z)').

Если в формуле (арифметической или предикатной) все вхождения квантора V имеют вид "ix{A —>■ С), то такую формулу будем называть В-формулой. Согласно [5], для предикатных В-фор-мул определяются следующим образом ослабление (_)1 и усиление (_)i:

(Т)1 ^ Т, (р)1 ^ Т —>■ р, (р) 1 ^ р для атомарных р;

(А А В)1 ^ А1 А В1, (А V В)1 Т А1 V В1, (А ->• В)1 ^А^В1, (ЗхА(х)У ^ Т -»■ Зх(А(х)У] (А А В)г ^ Ах А В\, (А V В)г ^ АгУ Въ (А ->• В)г ^ А1 ->• Въ (ЗхА(х))i ^ Зх(А(х))и (Ух(А(х) -»• В{х)))1 ^ Ух((А(х)) 1 -»• (ад)1), (Ух(А(х) -»• В{х)))i ^ Ух((А(х)У -»• (В(х))i).

Следующим индуктивным образом определяются п-ослабление (_)п и п-усиление (_)п:

фп _: (фп-i)^ Фп ^ (ф^),.

1 Коновалов Александр Юрьевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandr.konovalQgmail.com.

2. Пусть фиксированы примитивно-рекурсивные двухместная функция с, которая взаимно однозначно нумерует все пары натуральных чисел, и одноместные обратные функции pi и рг, так что выполняются соотношения pi (с(ж, у)) = х и р2(с(ж, уУ) = у. В выражениях вида g(t) мы иногда будем опускать скобки и писать просто gt.

Пусть ipi,ip2, • • • — вычислимая нумерация всех п-местных примитивно-рекурсивных функций. Согласно [1] (см. также [2]), для каждого натурального числа е, произвольной замкнутой арифметической В-формулы А определим отношение е грг А (число е примитивно-рекурсивно реализует формулу А):

е rpr р ^ [е = 0 и N |= р], если р — атомарная формула;

е грг {А А В) ^ [pie rpr А и р2е грг Б]; е грг {А У В) ^ [(pie = 0 и р2е грг А) или (pie = 1 и р2егрг В)\,

е грг (А^В)^ У a (a rpr А ф1е(а) rpr В); е грг ЗжА(ж) ^ р2е rpr A(pie); е грг Ух (А(х) -»• 5(ж)) ^ VA:, a (a rpr A{k) ^(fc, a) rpr 5(fc)).

Согласно [6], предикатную В-формулу A(P\,..., Pn) называют примитивно-рекурсивно реализуемой, если для любых арифметических В-формул Фх,..., Фп, допустимых для подстановки вместо предикатных символов Pi,..., Рп, найдется такое натуральное число е, что erprA($i,..., Фга). В этом случае будем писать грг А(Р\,..., Рп).

Напомним, что формула называется негативной, если она не содержит символов V и 3. Посредством N будем обозначать стандартную интерпретацию арифметики. Следующее предложение было доказано Д.А. Витером (см. [6] и [7, предложения 35, 40]).

Предложение 1. Для любой замкнутой негативной арифметической формулы В найдется такое натуральное число п, что N |= В rpr (Q)n —> {В')п, где формула Q представляет собой конъюнкцию некоторых аксиом, арифметики Робинсона в чист,о предикатном языке.

3. Пусть фиксировано натуральное число п ^ 1. Униформизацией формулы Ф(х\,...,хп,у) языка LA, не содержащей параметров, отличных от х\,... ,хп,у, будем называть формулу

Ф(х1,...,хп,у) A (Vz < у) -1Ф(ж1,.. -,xn,z),

которую обозначим Фи (х\,... ,хп,у). Каждая такая формула задает частичную функцию / : Nra —> N, где f(k\,..., kn) = к, если и только если N |= Фи(к\,..., кп, к), т.е. формула Фи(к\,..., кп, к) истинна в стандартной интерпретации. Пусть фиксирована гёделева нумерация всех формул языка LA. Формулу с гёделевым номером к будем обозначать Фд.. Через ГФП будем обозначать гёделев номер формулы Ф. Если к — гёделев номер такой формулы LA, которая не содержит параметров, отличных от Х\,..., хп, у, то посредством ip'^ обозначим n-местную частичную функцию, задаваемую формулой Ф^ . Вместо будем писать <р/~- Частичные функции, которые могут быть представлены в виде ip^ для некоторых п и к, будем называть арифметическими. Опираясь на лемму 19 в работе [8, §52], можно доказать, что композиция арифметических функций есть арифметическая функция, номер которой вычисляется примитивно-рекурсивно по номерам исходных функций. Также с помощью той же леммы устанавливается справедливость (s — т — п)-теоремы для предложенной нумерации арифметических функций.

Для каждого натурального числа е, произвольной замкнутой арифметической В-формулы Ф определим отношение е гаг Ф (число е арифметически реализует формулу Ф):

е гаг р ^ [е = 0 и N |= р], если р — атомарная формула;

егаг (АЛВ) ^ [pierar А и р2егагБ]; erar (АУ В) ^ [(pie = 0 и р2егаг А) или (pie = 1 и р2егагБ)]; е гаг У а (а rar А [1<р1е(а) и <р\{а) гаг В]); е гаг ЗхА(х) ^ р2е rar А( pie);

е гаг Ух (А(х) ->■ В{х)) ^ Ук, а (а гаг А(к) => [\<pl(k, а) и ср2е(к, а) гаг В (к)]).

Арифметическая В-формул а Ф называется арифметически реализуемой, если существует такое натуральное число е, что е гаг Ф. В этом случае будем писать гаг Ф.

Предложение 2. Для любой арифметической В-формулы Ф{х\,... ,хп), не содержащей пара,-метров, от,личных от, х\,... ,хп, найдется п-м,ест,н,а,я, арифметическая функция фф, такая, чт,о для, любых натуральных чисел к\,... ,кп выполняются условия:

1) если N |= Ф(кь .. .,кп), то \фф(кх,..., кп) и фФ (к\, ...,кп) гаг Ф (кг,... ,кп);

2) если N ^ Ф(А:1,..., кп), то формула Ф(к\,..., кп) не является арифметически реализуемой.

Доказательство. Индукция по построению формулы Ф(ж1,... ,хп). Для каждого случая построения формулы Ф(ж1,..., хп) искомую функцию фф будем задавать при помощи подходящей арифметической В-формулы, определяющей график функции фф. Такую В-формулу в дальнейшем будем обозначать выражением у = фф(х\,..., хп).

Если Ф(х\,... ,хп) — атомарная формула, то функцию фф зададим формулой у = 0.

Пусть Ф(х\,..., хп) имеет вид АЛВ. Согласно предположению индукции найдутся такие арифметические функции Фа и фв, для которых выполняются условия 1 и 2. В этом случае функцию Фф зададим формулой 3u3v(y = с (и, v) А и = ф,\(х\,..., хп) A v = фв(х..., хп)).

Пусть Ф(х\,..., хп) имеет вид А\/В. Согласно предположению индукции найдутся такие арифметические функции Фа и фв, для которых выполняются условия 1 и 2. В этом случае функцию ^Ф зададим формулой Зи((А А и = Фа(х\, ..., хп) А у = с(0, и)) V (В А и = фв(х..., хп) А у = с(1, и))).

Пусть Ф(ж1,..., хп) имеет вид А —> В. В этом случае функцию ^Ф зададим формулой у = s(®i,..., хп), где s — такая примитивно-рекурсивная функция, что х — фв{%ъ • • •, хп).

Пусть Ф(ж1,..., хп) имеет вид ЗхА(х,~х), где выражение х обозначает список переменных Ж1,...,Ж„. Функцию фф зададим формулой 3z3u(u = Фа^,х.) А у = с(z,u) Д4(г,х) A Mz\(zi < z^^A(z i,x})).

Пусть Ф(ж1,..., хп) имеет вид Vx(A(x, Xi,..., хп) —> В(х, Х\,..., хп)). Функцию фф зададим формулой у = б(ж1, ..., хп), где s — такая примитивно-рекурсивная функция, что х )(ж, z) ~

фв(х, х\,..., хп). Предложение доказано.

В качестве следствия получается

Теорема 1. Замкнутая арифметическая формула арифметически реализуема тогда и только тогда, когда она истинна в стандартной модели арифметики.

4. Следуя [9], п-местным обобщенным предикатом будем называть всякую функцию типа Nra —>■ 2N. Пусть А — предикатная формула, / — отображение, которое каждой предикатной переменной из А ставит в соответствие обобщенный предикат той же валентности. В этом случае отображение / будем называть оценкой формулы А. Временно введем в язык логики предикатов константы для обозначения всех натуральных чисел. Формулы с этими константами будем называть предикатными формулами расширенного языка.

Напомним определение отношения е rar А (число е арифметически реализует предикатную В-формулу расширенного языка А при оценке / этой формулы), которое было введено автором в работе [4]:

е raJ Т ^ е = 0; для всякого натурального числа е неверно, что е raJ _L; е rj Р(аi,..., ап) ^ е € f(P)(a\,..., ап), если Р — n-местный предикатный символ; erJ(AAB) ^ [pierar А и p2er J В]-, er J (AV В) ^ [(pie = 0 и р2егаг А) или (pie = 1 и р2ега/ В)}; е га/ (А-> В) ^ Va (a rj А => [\<ре(а) и <ре(а) rj В}); е rj ЗхА(х) ^ р2е rj А(pie); е ra¡ Уж (Л( ж) ->■ В( ж)) ^ У к, а (а ra¡ А(к) [\<pl(k, а) и ф1(к, а) ra¡ В(к)}).

Предикатная В-формула Ф называется арифметически реализуемой при оценке /, если найдется такое натуральное число е, что е rar Ф. В этом случае будем писать rar Ф. Если предикатная В-формула арифметически реализуема при любой оценке, то такую формулу будем называеть абсолютно арифметически реализуемой.

Пусть F(х\,... ,хп) — арифметическая формула. Определим соответствующий этой формуле n-местный обобщенный предикат F следующим образом. Для каждого набора натуральных чисел а\,...,ап положим множество F(a\,..., ап) равным N, если N |= F(a\,..., ап), и 0 в противном случае.

Предложение 3. Пусть A(Pi,...,Pn) — предикатная В-форм,ула расширенного языка, F\,..., Fn — арифметические В-форм,улы, допустимые для подстановки вместо предикатных символов Р\,... ,Рп. Тогда выполняется гаг A(F\,...,Fn) тогда и только тогда, когда верно rar А(Р\,... ,Рп) для, оценки f, которая для каждого натурального числа г ^ п ст,авит, в соответствие предикатному символу Pí обобщенный предикат Fi.

Доказательство. Индукция по построению формулы А(Р\,..., Рп). Пусть формула А(Р\,..., Рп) есть Pí(a\,..., ат) для некоторого натурального числа г ^ п и натуральных чисел ai,..., ат. Тогда A(F\,..., Fn) есть F¿(ai,..., ат). Согласно теореме 1 последняя формула арифметически реализуема в точности тогда, когда верно N |= Fi(a\,..., ат), что эквивалентно равенству F,(ai,... ) im) — N, а это в свою очередь означает реализуемость формулы _P¿(ai,..., am) при оценке /. Шаг индукции тривиален. Предложение доказано.

Предложение 4. Пусть A4 — алгебраическая система с носителем, N, в которой предикатные символы Р\,... ,Рп интерпретируются арифметическими предикатами, задаваемым,и, в языке LA формулами F\,..., Fn. Тогда, для, любой предикатной формулы расширенного языка А(Р\,..., Рп) верно A4 |= А(Р\,..., Рп) тогда и только тогда, когда верно N |= A(F\,..., Fn).

Доказательство. Индукция по построению формулы А(Р\,..., Рп). Предложение доказано. Предложение 5. Пусть A4 — алгебраическая система с носителем N, в которой предикатные символы Р\,... ,Рп интерпретируются арифметическими предикат,ам,и, задаваемым,и, в языке LA В-формулами F\,..., Fn. Тогда, для, любой предикатной В-формулы расширенного языка А(Р\,..., Рп) верно A4 |= А(Р\,..., Рп) тогда и только тогда, когда верно rj А(Р\,..., Рп) для оценки, f, которая для каждого натурального числа, г ^ п стлвит, в соответствие предикатному символу Pi обобщенный предикат Fi.

Доказательство. Применяем предложение 4, теорему 1 и предложение 3. Предложение доказано.

Следующее утверждение доказывается в [8, §72, теоремы 34, 35].

Предложение 6. Если предикатная формула неопровержима в классическом, исчислении, предикатов, то она является выполнимой в области натуральных чисел, причем выполняющие предикаты могут быть взяты арифметическими.

Теорема 2. Существует примитивно-рекурсивно реализуемая предикатная формула, которая не является абсолют,но арифметически реализуемой.

Доказательство. Вследствие неполноты арифметики Робинсона найдется замкнутая арифметическая формула В, истинная в стандартной модели арифметики, но невыводимая в арифметике Робинсона. Без ограничения общности можно считать, что формула В обладает следующими свойствами. Во-первых, все атомарные подформулы формулы В имеют вид f(x\,..., хп) = у либо х = у. Таким образом, предикатная запись В' формулы В отличается от самой формулы В лишь на атомарном уровне. Во-вторых, все вхождения квантора V в формулу В имеют вид \/ж(Т —>■ А). Таким образом, формула В является В-формулой. В-третьих, формула В является негативной. Воспользовавшись предложением 1 для формулы В, получаем, что найдется такое натуральное число п, что формула (Q)n —>■ (В')п является примитивно-рекурсивно реализуемой (формула Q есть запись в предикатном языке конъюнкции некоторых аксиом арифметики Робинсона). Вследствие свойств формулы В формула Q A -iВ' неопровержима. Поэтому к ней применимо предложение 6. Таким образом, найдется модель A4 с носителем N, в которой выполнено A4 \ = Q ш АЛ ^ В' и в которой все предикатные символы интерпретируются арифметическими предикатами. Вследствие своей структуры переводы (_)п и (_)п не изменяют истинности в модели. Таким образом, в модели АЛ истинна формула (Q)n и опровергается формула (В')п. Получаем, что в модели A4 истинна формула ~[((Q)n (В')п)- Поэтому согласно предложению 5 последняя формула арифметически реализуема и, следовательно, формула (Q)n —> (В')п не является арифметически реализуемой. Теорема доказана.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант №14-01-00127).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Salehi S. Primitive recursive readability and basic arithmetic // Bull. Symbol. Logic. 2001. 7, N 1. 147^148.

2. Salehi S. Provably total functions of basic arithmetic // Math. Log. Quart. 2003. 49, N 3. 31(i 322.

3. Ruitenburg W. Basic predicate calculus // Notre Dame J. Form. Log. 1998. 39, N 1. 18-46.

4. Коновалов А.Ю. Арифметическая реализуемость и базисная логика // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 1. 52-56.

5. Ardeshir M. A translation of intuitionistic predicate logic into basic predicate logic // Stud. Log. 1999. 62. 3 11 352.

6. Витер Д.А. Примитивно-рекурсивная реализуемость и логика предикатов. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2001, № 1830 - В2001. М., 2001.

7. Витер Д.А. Примитивно-рекурсивная реализуемость и конструктивная теория моделей: Канд. дис. М., 2001.

8. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

9. Плиско В.Е. Абсолютная реализуемость предикатных формул // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47, № 2. 315-334.

Поступила в редакцию 23.10.2015

УДК 515.12

О РАВНОМЕРНО НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

А. В. Богомолов1

Топологическое пространство X равномерно нормально, если система U всех симметричных окрестностей диагонали Д С X х X образует равномерность на X. Окрестностью диагонали называется любое подмножество, внутренность которого содержит диагональ. Доказывается, что Я-произведение перистых линделефовых пространств счетной тесноты равномерно нормально.

Ключевые слова: равномерная нормальность, равномерность, S-произведение, счетная теснота, ^-¿-нормальность.

A topological space X is uniformly normal if the family U of all symmetric neighborhoods of the diagonal Д С X x X forms a uniformity on X. A neighborhood of the diagonal is any subset whose interior contains the diagonal. It is proved that the S-product of Lindelof p-spaces of countable tightness is uniformly normal.

Key words: uniform normality, uniformity, S-product, countable tightness, f^-iJ-normality.

Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются тихоновскими. Терминология и обозначения, не разъясняемые в этой заметке, следуют книге [1]. Окрестностью диагонали квадрата топологического пространства называется любое подмножество, внутренность которого содержит диагональ [2]. Топологическое пространство X с топологией т будем называть равномерно нормальным,, если система Ы всех симметричных окрестностей диагонали А С X х X образует равномерность на X. При этом, разумеется, равномерность Ы индуцирует исходную топологию т.

Предложение 1. Всякое равномерно нормальное пространство коллективно нормально.

Примером нормального пространства, не являющегося равномерно нормальным, может служить известный пример Бинга [1, пример 5.1.23]. Из того, что в любое открытое покрытие параком-пакта можно звездно вписать открытое покрытие [1, теорема 5.1.12], следует

Предложение 2. Всякий пара,ком,пакт, является равномерно нормальным пространством.

Примеры равномерно нормальных пространств, не являющихся паракомпактами, строятся с помощью следующей конструкции Х-произведения [2]. Пусть : s € S} — семейство топологических пространств, и пусть а = {as} — точка произведения • s ^ Тогда Х-произведением пространств Xs,s € S, с центром а называется подпространство Х(а) произведения • s ^ состоящее из всех таких точек что xs ф as не более чем для счетного числа индексов s € S. ^-произведение, не совпадающее с произведением, не может быть паракомпактным пространством. Известно, что Х-произведение компактов может не быть и нормальным пространством (см., например, [3]). В то же время в работе [2] доказана

Теорема 1. X-произведение полных сепарабельных метрических простра нет в равномерно нормально.

Теорема 1 была обобщена в работе [4] следующим образом.

Теорема 2. Х-произведение полных по Чеху линделефовых прост,ранет,в счетной тесноты равномерно нормально.

Основным результатом настоящей заметки является следующая теорема 3. Предварительно напомним, что перистые линделефовы пространства — это в точности полные прообразы сепарабельных метрических пространств при совершенных отображениях [5]. Известно, что полные по Чеху

1 Богомолов Алексей Владимирович — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: praktgeomQgmail.com.