Функциональная алгебраическая модель, соответствующая штрих-реализуемости Клини Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.Х.Хаханян

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ШТРИХ-РЕАЛИЗУЕМОСТИ КЛИНИ

Abstract. We describe A.Dragalin's method of construction of models for HA as functional algebraic models and we prove that there does not exist such a model for slash-realizability of Kleene.

В одной из своих работ А.Г.Драгалин предложил очень общий подход к построению моделей для нестандартных логик, в частности, для интуиционистской логики, в стиле равномерных алгебр, см.[1]. Приводимое изложение (достаточно ясное, но без очевидных деталей) сопровождается примерами для арифметики (см. там же). Однако в последнем из примеров, рассматривая модель для штрих-реализуемости Клини (см. [3, столбец С]), автор приводит «...модель, соответствующую штрих-реализуемости Клини...» ([1, стр. 194]). Но связь между приводимой моделью и реализуемостью Клини такова: «... II ф I =T»(( |ф)лИЛ Н ф)»; см. также [1, стр.195]; сравни с [2]. Конечно, с помощью приведенной модели (соответствующей как раз формульной реализуемости из [2]) можно доказать свойства дизъюнктивности и экзистенциальности для арифметики НА (именно этот результат и стремится получить автор, используя подходящую равномерную алгебру). Однако штрих-реализуемость Клини (да и другие модели типа равномерной алгебры для НА) не совпадают с выводимостью в интуиционистской арифметике.

Как отмечалось выше, в [1] дается ряд примеров, в которых для той или иной модели НА (в первую очередь для моделей типа реализуемости) приводится соответствующая этой модели функциональная алгебраическая модель (ФАМ). Сейчас мы достаточно кратко опишем и охарактеризуем общую схему построения ФАМ для арифметики. Известно, что при исследовании НА употреблялось большое количество моделей типа реализуемости. Естественно попытаться рассмотреть эти модели с некоторой единой точки зрения. Алгебраическое исследование таких моделей приводит к рассмотрению существенно неполных псевдобулевых алгебр (ПБА), в которых верхние и нижние грани существуют лишь для некоторых семейств, которые задаются структурой

языка. Ниже мы опишем один из вариантов такого рассмотрения, предложенный А.Г.Драгалиным (см. [1], [2]).

Функциональная псевдобулева алгебра (ФПБА) задаётся набором < Б,Б,Б >, где В - ПБА, это алгебра истинностных значений, Б - непустое множество (объектная область), а Б - семейство функций (или семейство форм) ФПБА. Всякий элемент из Б есть функция нескольких аргументов (может быть нульместных), всюду определенная на элементах из Б и со значениями в ПБА. На Б накладываются следующие ограничения:

1. Б замкнуто относительно операций: а) добавления фиктивного

аргумента; б) перестановки аргументов; в) отождествления

аргументов.

2. Б содержит ноль и единицу ПБА в качестве нульместных

функций.

3. Б замкнуто относительно псевдобулевых операций л, V,

Последнее означает следующее. Если £, g есть две формы из Б с одним и тем же количеством аргументных мест, то найдётся функция Ь из семейства форм такая, что для любых элементов а1, ..., ап из Б (далее Б - это множество объектов) h(a1,...,an)=f(a1,...,an)лg(a1,...,an) или кратко h=fлg. Аналогично, требуется существование форм fvg и f ^ g.

4. Наше множество форм должно быть замкнуто относительно операций взятия верхних и нижних граней. Это означает следующее. Пусть фиксировано некоторое аргументное место, например х1. Если f из семейства форм, то требуется, чтобы существовали формы g и Ь от аргументов х2,...,хп такие, чтобы для любых объектов а, а2,...,ап было выполнено

g(a2,...,an)=л{f(a,a2,...,an) I aеБ}, h(a2,...,an)=v{f(a,a2,...,an) ^еБ}, т.е. требуется существование соответствующих пересечений и объединений в ПБА. Будем записывать это так: g(x2,...,xn)=vxf(x,x2,...,xn), Ь(х2,...,Хп)=Зх^х,Х2,...,Хп). Определение ФПБА на этом завершено. Заметим, что совершенно не требуется, чтобы ПБА была полной, т.е. чтобы содержала все нижние и верхние грани своих подмножеств.

Далее рассматриваются логико-математические языки без выделенного равенства и функциональных символов, т.е. каждый язык задается набором <Сп81;, Рг> - констант и предикатных символов. Функциональная алгебраическая модель (ФАМ) для языка <Сп81;, Рг> определяется набором А=<Б, Б, Б, СтТ, Рг>, где <Б, Б, Б> есть ФПБА, функция СтХ сопоставляет каждой константе с нашего языка объект с =Ст1(с), а каждому предикатному символу Р нашего языка сопоставляется элемент |[ Р [ =Рг(Р) из семейства форм Б. Дополнительно предполагается, что семейство форм

нашей модели А удовлетворяет и такому условию: это семейство замкнуто относительно операции фиксации аргумента объектной области с, где с есть константа нашего языка, что означает следующее: если fеF, :=:(х1,„.,х1,„.,хп), сеС^, тогда найдется функция gеF такая, что для всех объектов аь...,ап §(аь...

:(аЬ".,с,...,ап).

Если задана ФАМ А языка Q, то можно определить значение в модели для всякой формулы языка Q. Значением || ф || формулы ф будет при этом некоторая форма ФПБА || ф|| еF. Заметим, что, в отличие от обычных алгебраических моделей (см. Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики, М., Наука, 1972), значение приписывается не формулам, оцененным объектами модели, а просто формулам языка Q, в том числе и формулам с параметрами.

Для определения значения формулы в модели будем помечать аргументные места форм переменными языка Q. С этой целью линейно упорядочим все переменные языка Q каким-либо фиксированным способом. Если дана формула ф, то все ее параметры выпишем в список х1,....хп в упомянутом выше линейном порядке. В качестве значения формуле ф будет сопоставляться форма : еF от аргументов х1,....хп.

Теперь определим значение || ф || индукцией по построению формулы ф.

1) Если ф - атомарная формула вида Р(и1, ....ип), где и1 -переменные или константы, а х1,....хп - стандартный список параметров ф, то || Р(и1, ....ип) || есть форма от аргументов х1,....хп, получающаяся из | Р| с помощью фиксации аргументов соответствующими константами.

2) Значение || ± || есть нуль алгебры В.

3) Если ф имеет вид (улп), (у^), (у^п), то форму || ф|| вычисляем следующим образом. Сначала найдем 1 у || и || п I . Затем с помощью тривиальных операций перестановки и добавления фиктивных аргументов получим из || у|| и || п|| формы ^(х^, ..., хп) и : (х1, ..., хп) от параметров формулы ф и, наконец, вычислим || ф [ как форму ^л^, f1vf2 или ^^2.

4) Если ф имеет вид Уху(х) или Зхп(х), то определим || ф || =Ух || у(х) || или, соответственно, || ф|| =3х || п(х) 1 . Разумеется, если у формулы нет параметра х, то никаких изменений при определении формы || ф || не происходит. Если ф -предложение нашего языка, то соответствующая форма оказывается нульмерной и принадлежит ПБА. Предложение ф истинно в модели А, если || ф|| =Т - единица нашей ПБА. А есть модель для теории Н, если все нелогические аксиомы Н

будут истинны в А. Теорема о корректности для нашего класса моделей имеет следующий вид. Теорема. Если А - ФАМ для языка Q, р - предложение языка Q, выводимое в интуиционистской логике предикатов, то | р| =Т (единица ПБА).

Доказательство теоремы проводится индукцией по длине вывода формулы р.

Теперь рассмотрим некоторые виды реализуемости в языке арифметики. Сам язык арифметики НА при этом следует модифицировать так, чтобы избежать употребления функциональных символов. Это делается с помощью стандартной процедуры: каждому ^местному функциональному символу ..., хп) сопоставляется (п + 1)-местный предикатный символ у = f (х1,..., хп) и все аксиомы, относящиеся к этому функциональному символу, естественным образом заменяются на аксиомы, относящиеся к предикатному символу. Соответственно, несколько изменяются и другие аксиомы. Например, принцип арифметической индукции приобретает вид р (0) л V ху (р (х) л (у = 8х) ^ р (у)) ^ Vxр (х). Мы считаем, что наш язык (мы его по-прежнему будем обозначать через НА) имеет один сорт переменных х, у, 2,.. и семейство констант 0, 1, 2,.... для каждого натурального числа.

Все функциональные алгебраические модели для языка НА, которые мы рассмотрим ниже, будут иметь одну и ту же объектную область, т.е. в моделях А = <Б, Б, Б, СтТ, Рг> область Б будет одной и той же. А именно объектная область Б состоит, во-первых, из всех констант 0, 1, 2,... для натуральных чисел и, во-вторых, из счетного семейства символов [х], [у], [2],..., которые мы будем называть каналами. Канал изображает константу - натуральное число, «о котором ничего не известно».

Функция СтХ во всех моделях ниже определяется тривиальным образом: константе п языка сопоставляется объект пеБ. Таким образом, в рассматриваемых примерах модель задается определением Б, Б и Рг. Оцененная формула - это, по определению, формула р, в которой все вхождения параметров замещены объектами из Б (константами или каналами).

Приведем теперь две наиболее простых ФАМ. Каждую формальную теорию, например НА, можно рассматривать как функциональную алгебраическую модель. По существу это известная алгебра Линденбаума-Тарского. В качестве алгебры В истинностных значений следует взять просто множество всех оцененных формул, а в качестве множества Б форм - множество всех формул.

Каждая формула задает форму относительно операции замещения параметров.

Основное отношение на В определяется очевидным образом: a<b ^ИЛн a'3b', где a', b' получены из a, b путем согласованного превращения каналов в переменные. Псевдобулевы операции над формами при этом будут совпадать с синтаксическими операциями над соответствующими формулами. Если определить || ф || = ф для атомарных формул, то для всякого предложения ф будем иметь || ф|| = Т ^ НАн ф.

Однако можно определить и более интересную и неожиданную модель НА, где в качестве форм будут фигурировать формулы. Для всякой арифметической формулы ф через Pr (ф) обозначим формулу с теми же параметрами, что и у ф, содержательный смысл которой таков: Pr (ф) утверждает, что в исчислении НА выводится замкнутая формула, полученная из ф замещением ее параметров натуральными числами из некоторого списка y, который есть полный список всех параметров ф. Формула Pr (ф) строится стандартным образом по формуле ф, с подробностями можно ознакомиться, например, в статье: Feferman S. Arithmetization of metamathematics in general setting // Fundamenta Math., 1960. N. 49, P.35-92. Для всякой формулы ф через Шф обозначим формулу ф л

Рг(ф).

В качестве алгебры В возьмем вновь множество всех оцененных формул, а в качестве множества F форм - множество всех формул, но теперь основное отношение определим иначе: a < b ^ ИЛн □ a'3b'. Для атомарных формул положим || ф|| = ф.

Псевдобулевы операции в этой модели определяются следующим образом (здесь слева стоит знак операции в нашей модели, а справа - формула, являющаяся значением):

(ф) л (у) = (ф лу); (ф) v (у) = (Шф v Пу); (ф) з (у) = (Пф з у); -(ф) = (- Пф); Ух(ф) = (Ухф); Эх (ф) = (Эх Пф); ±=(0=1)

Реализуемость, соответствующая этой модели, была использована Бизоном (Beeson M. The nonderivability in intuitionistic formal system of theorems on the continuity of effective operations // J. of Symbolic Logic, 1975. N. 40, P. 321-346). Связь с реализуемостью Бизона можно теперь выразить следующей эквивалентностью: || ф|| = T НА н ф p.

Далее в работах [1] и [2] рассматривается отмеченная во введении штрих-реализуемость Клини и для нее строится подходящая ФАМ, однако нетрудно видеть, что, доказывая свойства эффективности логических связок, эта ФАМ совпадает с выводимостью в интуиционистской арифметике. Мы докажем, что не существует модели ФАМ для штрих-реализуемости Клини (и тем не менее

существует модель типа ФАМ для формализованной и содержательной реализуемостей Клини: см. [1] или [2]).

Предположим, что некоторая ФАМ А есть модель для штрих-реализуемости Клини. Тогда (по определению) имеется такое отображение формул языка арифметики в множество форм F, что для всякой формулы ф: | -реализуема ф тогда и только тогда, когда F^, е 1 (Fg, - форма из ФПБА модели ФАМ А, соответствующая формуле арифметики ф, а 1 есть единица ПБА, использованной при построении ФАМ). Рассмотрим два различных, неразрешимых в НА утверждения ф и п (т.е. в НА не выводимы утверждения ф, —ф, П и —п). Так как в НА не выводятся формулы ф и п, то формулы —ф и —п являются невыводимыми, -реализуемыми формулами языка арифметики. Если в ФАМ А им соответствуют формы F—T и F—ri соответственно, то эти формы принадлежат единице ПБА, а тогда форма F—фvF—r=F—фv—r (последняя соответствует в ФПБА из модели А формуле —фv—n) также принадлежит единице нашей ПБА и, следовательно, формула —фv—n является | -реализуемой. Но это влечет, что в НА выводима формула —ф или в НА выводима формула —п, что невозможно в силу выбора ф и п. Таким образом, доказана

Теорема. Не существует ФАМ, соответствующей штрих-реализуемости Клини.

ЛИТЕРАТУРА

1. Драгалин А.Г. Функциональные алгебраические модели // Семиотика и информатика. М.: ВИНИТИ, 1979. Вып. XIII, C. 184-195

2. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств М.: Наука, 1979. С. 60-61.

3. Kleene S.C. Realizability: a retrospective survey // Lecture Notes in Math.1973. N. 337. P.96.