Функциональная алгебраическая модель для S-реализуемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Функциональная алгебраическая модель для S-реализуемости

В.Х. Хаханян

abstract. We present here the functional algebraic model for so-called «s-realizability» that is a modification of well-known Kleene's realizability.

В [lj (см. также [2]) A.Г. Драгалин предложил класс интерпретаций для интуиционистской арифметики в виде функцио-н альн ы^х. алгебраических моделей (ФАМ). Изложение в [1] и [2] сопровождается рядом примеров, хотя ряд очевидных деталей опущен. В [3] было доказано, что для штрих-реализуемости Кли-ни эквивалентной ей ФАМ не существует, т.е. не всякая модель арифметики может быть представлена как ФАМ. В каждом конкретном случае, т.е. для каждой конкретной модели арифметики, вопрос о представлении ее виде ФАМ необходимо решать заново, но зато дальнейшие результаты о совместности и независимости для интуиционистской арифметики, для получения которых и была построена рассматриваемая конкретная модель арифметики, уже автоматически становятся верными.

Основной целью А.Г. Драгалина как автора ФАМ было, вероятно, получение, в первую очередь, представления в виде ФАМ хорошо известных моделей типа реализуемости (С.К. Клини, В.А. Лифшица, М. Бизона и др.).

В настоящей заметке будет построена ФАМ, эквивалентная так называемой специальной реализуемости (для точного описания последней см. [2, с.64-65]). Эта реализуемость была использована в [2] для доказательства совместности с НА и СТ принципа Р (для формулировки последнего принципа см. также [2]). Теория НА+СТ+Р носит название «антитрадиционный конструктивизм». Принципы Р и M противоречат друг другу

172

В.Х. Хаханян

в теории НА I СТ (см. для доказательства [2]). В случае построения модели для теории НА I СТ I Р используются не все частично-рекурсивные функции, а только часть из них, что отражает некоторую специальную, узкокоттструктивпуто, точку зрения.

Здесь мы не приводим хоропто известные свойства ФАМ для интуиционистской арифметики (все необходимые сведения можно найти в [1] или [2]). Следуя [1], мы определим только набор В, Е, Рг (см. [1, с. 189]), т.е. псевдобулеву алгебру, функциональную псевдобулеву алгебру или множество форм и оценку в последней для атомарных формул ттаптего языка арифметики.

Итак, пусть хр — вид, где р — формула, ах — переменная (х играет роль квантора). Если хр — вид и £ — терм, то £ € хр есть результат подстановки терма £ в формулу р, т.е. р(х\1). Каждый вид можно рассматривать как функцию относительно операции замещения ее параметров объектами из области Ю (напомним, см. также [1], что область Ю для арифметики состоит из констант для натуральных чисел 1, 2,... и счетного множества каналов [х], [у],---, которые интуитивно изображают натуральные числа, о которых ничего не известно). Мы будем рассматривать упорядоченные пары < а,Ь >, где а и Ь будут видами, при этом будет выполняться, что Ух(х € Ь ^ х € а), где а и Ь как виды будут формами относительно операции замещения параметров.

Е

из описанных выше упорядоченных пар. Элементами же псев-В

области Ю, т.е. множество всех оцененных пар < а,Ь >

< а, Ь > Е

описания видов и алгебр см. [1, с. 189-191] или [2, с. 215-218, тттт. 6 и 7]).

Зададим теперь отношение < в алгебре В (как и в цитируемой литературе [1] и [2], мы не будем факторизовать это отВ

точпостыо до следующего естественного отношения эквивалентности ~ : < а, Ь >&< с, 6 >& [< а,Ь ><< с, 6 > и < с, 6 >< < а,Ь >). Отношение же < а,Ь ><< с,6> определим покомпонентно, в точности так, как это сделано в [1, с. 189]. Напом-

ас

Функциональная алгебраическая модель для й-реализуемости

173

(или вторых) компоненты элементов ПБА В, т.е. имеют вид а([х\],..., [х„]) и с([х\],..., [Хп\), где [жх],[х„\ — полный список каналов, встречающихся в этих видах. Выберем новые переменные ух,уп и положим а = а(ух, ...,уп),с = с(ух,...,уп). Мы говорим в этом случае, что а и с получены из а и с путем согласованного превращения каналов в переменные. Ясно, что а и с уже суть неоцененные виды. Определим теперь а < с тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число т, что в стандартной арифметической модели выполняется Эгу(Тп(т,ух, ...,уп,г) Л (у = иг) Л К[а,с,у\).

Здесь К[а, с, е] есть следующее отношение (ис — виды, а е — новая переменная): Е[а, Ь, е] ^ Уи((и Е а) ^ Эгу(Т(е, и, г) Л (у = иг) Л (у Е Ь))). Комментарий для отношения К[а,с,е] дан в [1] па с. 189.

Теперь добавим такое условие: ттапта функция сводимости, задаваемая отношением К[а, с, е], определена всюду на множестве {х : х Е а} и, следовательно, на множестве {х : х Е Ь} и элементы первого множества функция сводимости переводит в множество {х : х Е с}, а элементы второго множества — в множество {х : х Е в}.

Отметим, что все ттапти содержательные рассуждения можно (см. [1] и [2]) формализовать в НА.

Теперь определим функцию Рг и операции в ПБА В.

Если <р — атомарная формула, то ее значением является форма < х(х = х),у<р(х1, ...,хп) >.

Наконец, определим в ПБА операции покомпонентно, сначала для первых компонент паптих оцененных пар, а затем и для вторых компонент. Итак, ПуСТЬ ЗЗДеШЫ п&ры из ФПБА < а,с > и < Ь, в >.

Определение операций для первых членов пар: а Л с ^ хЭиу(х = ](и, у) Л и Е а Л у е с); а V с ^ хЭиу(х = ](и, у) Л jl(y) Е а Л ]2(у) Е с); а ^ с ^ хУи(и Е а ^!{х}(и) Л {х}(и) Е с); Уха ^ хУу(!{х}(у) Л {х}(у) Е а); Эха ^ хЭиу(х = j(u, у) Л и Е а); .

Нетрудно индукцией по построению вида показать, что УаЭп.п Е а.

Определение операций для вторых членов пар:

1Г1

В.Х. Хаханян

Ь Л 6 ^ хЗиу(х = .(и, у) Л и € Ь Л V € 6);

Ь V 6 ^ х(х € (а V с) Л ]\(х) = 0 ^ ]1]2(х) € Ь) Л (]\(х) =0 ^ .2.2(х) € 6)));

Ь ^ 6 ^ Х(х € а ^ с) Л Уу(у € Ь ^!{х}(у) Л {х}(у) € 6); УуЬ ^ х(х € Ууа ЛУг(!{х}(г) Л {х}(г) € Ь)); ЗуЬ ^ хЗиу(х = .(и, у) Л .\(и) € Ь).

В

р

ная, не входящая в данную формулу, то ||р|| в нашей модели есть следующая форма < х(х € р),х(хвр) > (см. также для сравнения определение из [2] на с. 64)-

Доказательство леммы 1 проводится несложной индукцией по построению формулы.

р

гда ||р|| = 1 & Зх(хвр Л х € р) (т.е. х — специально реализует рх

р

Доказательство теоремы 2 легко следует из леммы 1. Литература

[1] Драгалин А.Г. Функциональные алгебраические модели // Семиотика и информатика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. ХТТТ. С. 181-195.

[2] Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказа-ТбЛЬСТВ • М.: Паука, 1979. С. 61, 215-218.

[3] Хаханян В.Х. Функциональная алгебраическая модель, эквивалентная ттрих-реализуемости Клини /'/' Математические заметки, 200-1. Т. 75. Вып. 1. С. 155156.