Функциональные алгебраические модели для на и теории множеств с интуиционистской логикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Х. Хаханян

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ НА И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ С ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКОЙ.

Abstract In thw work we constructed the new type models for the set theory with intuitionistic logic

1. Функциональные алгебраические модели для арифметики.

В настоящей работе будет обобщен для теории множеств с интуиционистской логикой предложенный А.Г.Драгалиным очень общий подход к построению моделей для нестандартных логик, в частности, для интуиционистской логики, в стиле равномерных алгебр, см. [1]. Приводимое изложение А.Г.Драгалина (достаточно ясное, но без очевидных деталей) сопровождается достаточным количеством примеров для арифметики (см. там же), и необходимо для понимания обобщения данного подхода на теорию множеств. Также, в цитируемой работе в последнем из примеров, рассматривая модель для штрих-реализуемости Клини (см. [2], столбец С), автор приводит «...модель соответствующую штрих-реализуемости Клини...» ([1], стр. 194). Но связь между приводимой моделью и реализуемостью Клини такова: «...0ф0 = T о ((|ф) л HA I- ф) »; см. также [1], стр.195; сравни с [3]. Конечно, с помощью приведённой модели (соответствующей как раз формульной реализуемости из [3]) можно доказать свойства дизъюнктивности и экзистенциальности для арифметики НА (именно этот результат и стремится получить автор, используя подходящую равномерную алгебру). Однако штрих-реализуемость Клини (да и другие модели типа равномерной алгебры для НА) не совпадают с выводимостью в интуиционистской арифметике. В [4] доказано, что функциональной алгебраической модели для штрих-реализуемости Клини не существует. По-видимому, этим свойством обладает любая функциональная алгебраическая модель (и для теории множеств также), в которой

формализуется содержательное понятие «выводимости». Все результаты, приводимые в данной Главе, анонсированы в работах автора [5], [6], [7].

Как отмечалось выше, в [1] даётся ряд примеров, в которых для той или иной модели НА (в первую очередь для моделей типа реализуемости) приводится соответствующая этой модели функциональная алгебраическая модель (ФАМ). Сейчас мы достаточно кратко опишем и охарактеризуем общую схему построения ФАМ для арифметики, что сократит изложение и облегчит понимание подобной модели для теории множеств.

Известно, что при исследовании НА было построено (см. [3]) большое количество моделей типа реализуемости. Естественно попытаться рассмотреть эти модели с некоторой единой точки зрения (да и не только модели отмеченного типа). Алгебраическое исследование таких моделей приводит к рассмотрению существенно неполных псевдобулевых алгебр (ПБА), в которых верхние и нижние грани существуют лишь для некоторых семейств, которые задаются структурой языка. Приведем описание одного из вариантов такого рассмотрения, предложенного А.Г. Драгалиным, см. [1] или [3].

Функциональная псевдобулева алгебра (ФПБА) задаётся набором < В, Б, Г >, где В - ПБА (алгебра истинностных значений), Б -непустое множество (объектная область), а Г - семейство функций (или семейство форм) ФПБА. Всякий элемент из Г есть функция нескольких аргументов (м.б., нульместных), всюду определённая на элементах из Б и со значениями в ПБА. На Г накладываются следующие ограничения:

1. Г замкнуто относительно операций:

а) добавления фиктивного аргумента; б) перестановки аргументов

в) отождествления аргументов.

2.Г содержит нуль и единицу ПБА в качестве нульместных функций.

3. Г замкнуто относительно псевдобулевых операций л, v,з. Последнее означает вот что. Если Г, g есть две формы из Г с одним и тем же количеством аргументных мест, то найдётся функция И из семейства форм такая, что для любых элементов аь...,а„ из Б И(а19...,а„) = f(al,...,a„)лg(al,...,a„) или, кратко, И = Г л g. Аналогично, требуется существование форм Г V g и Г з g.

4. Наше множество форм должно быть замкнуто относительно операций взятия верхних и нижних граней. Это означает вот что. Пусть фиксировано некоторое аргументное место, например хь. Если Г из семейства форм, то требуется, чтобы существовали формы g и И от аргументов х2,...,х„ такие, чтобы для любых объектов а, а2,...,а„ из Б было выполнено:

g(a2,...,an)=л{f(a,a2,...,an):aeD}, И(а2,...,а„)^{Г(а,а2,...,а„):аеБ}, т.е. требуется существование соответствующих пересечений и объединений в ПБА. Будем это записывать так: g(x2,...,xn)=vxf(x,x2,...,xn), И(х2,...,х„)=3хг(х,х2,...,х„). Определение ФПБА на этом завершено. Заметим, что совершенно не требуется, чтобы ПБА была полной, т.е. чтобы содержала все нижние и верхние грани своих подмножеств.

Далее рассматриваются логико-математические языки без выделенного равенства и функциональных символов, т. е. каждый язык задаётся набором <Сш1:, Рг> - констант и предикатных символов. Функциональная алгебраическая модель (ФАМ) для языка <Сш1:, Рг> определяется набором А= <В, Б, Г, С^^ Рг>, где <В, Б, Г> есть ФПБА, функция Cnst сопоставляет каждой константе с нашего языка объект с=Ст^с) , а каждому предикатному символу Р нашего языка сопоставляется элемент °Р°=Рг(Р) из семейства форм Г. Дополнительно предполагается, что семейство форм нашей модели А удовлетворяет и такому условию: это семейство замкнуто относительно операции фиксации аргумента объектной области с, где с есть константа нашего языка, что означает вот что: если ГеГ, Г=Г(х1,...,х1,...,х„), сеСш!:, тогда найдётся функция gеГ такая, что для всех объектов а1,...,а„ g(al,...,ai_l, а1+1,...,а„)=Г(а1,...

Если задана (ФАМ) А для языка О, то можно определить значение в модели для всякой формулы языка О. Значением формулы ф будет при этом некоторая форма ФПБА °ф°еГ. Заметим, что, в отличие от обычных алгебраических моделей (см. [8]), значение приписывается не формулам, оцененным объектами модели, а просто формулам языка О, в том числе и формулам с параметрами.

Для определения значения формулы в модели будем помечать аргументные места форм переменными языка О. С этой целью линейно упорядочим все переменные языка О каким-либо фиксированным способом. Если дана формула ф, то все ее параметры

выпишем в список х1,....х„ в упомянутом выше линейном порядке. В качестве значения формуле ф будет сопоставляться форма Г еГ от аргументов х1,....х„.

Теперь определим значение °ф° индукцией по построению

формулы. Если ф - атомарная формула вида Р (и1, ....и„), где и -переменные или константы, а х1,....х„ - стандартный список параметров ф, то °Р (и1, ....и„)° есть форма от аргументов х1,....х„, получающаяся из °Р° с помощью фиксации аргументов соответствующими константами. Значение есть нуль алгебры В.

Если ф имеет вид (у л п), (V V п), (V з п), то форму °ф° вычисляем следующим образом. Сначала найдем °у° и °п°. Затем с помощью тривиальных операций перестановки и добавления фиктивных аргументов получим из форм °у° и °п° формы Г1(х1,, ..., х„) и Г (х1,, ..., х„) от параметров формулы ф и, наконец, вычислим °ф° как форму Г л Гг, Г V Г или Г з Г2.

Если ф имеет вид Уху(х) или Зхп(х), то определим °ф° =Ух°у(х)° или, соответственно, °ф°= Зх°п(х)° Разумеется, если у формулы нет параметра х, то никаких изменений при определении формы °ф° не происходит. Если ф - предложение нашего языка, то соответствующая форма оказывается нульмерной и принадлежит ПБА. Предложение ф истинно в модели А, если °ф°=1 - единица нашей ПБА. А есть модель для теории Н, если все нелогические аксиомы Н будут истинны в А. Теорема о корректности для нашего класса моделей имеет следующий вид. Теорема (А.Г.Драгалин, см. [1]): если А - ФАМ для языка О, ф - предложение О, выводимое в интуиционистской логике предикатов, то °ф°=1.

Доказательство теоремы проводится индукцией по длине вывода формулы ф.

Теперь рассмотрим некоторые виды реализуемости в языке арифметики. Сам язык арифметики НА нужно модифицировать так, чтобы избежать употребления функциональных символов. Это делается с помощью стандартной процедуры: каждому „-местному функциональному символу Г(х1, ..., х„), сопоставляется (п + 1)-местный предикатный символ у = Г (х1,..., х„) и все аксиомы, относящиеся к этому функциональному символу, естественным образом заменяются на аксиомы, относящиеся к предикатному

символу. Соответственно, несколько изменяются и другие аксиомы. Например, принцип арифметической индукции приобретает вид: ф (0) л V ху (ф (х) л (у = 8х) ^ ф (у)) ^ Ухф (х). Мы считаем, что наш язык арифметики имеет один сорт переменных х, у, г,... и семейство констант 0, 1, 2,.... для изображения натуральных чисел.

Все функциональные алгебраические модели для языка НА, которые мы рассмотрим ниже в качестве примеров, см. [1], (все эти модели и получаемые с их помощью результаты, можно будет поднять на уровень теории множеств (двусортной и односортной) после того, как ниже будет приведена конструкция обобщения техники А.Г.Драгалина для арифметики на теорию множеств), будут иметь одну и ту же объектную область, т.е. в моделях А = <В, Б, Г, Cnst, Рг> функция Б будет одной и той же. А именно, объектная область Б состоит, во-первых, из всех констант 0, 1, 2,... для натуральных чисел и, во-вторых, из счетного семейства символов [х], [у], [г],..., которые будем называть каналами. Канал изображает константу - натуральное число, «о котором ничего не известно».

Функция Cnst во всех моделях ниже определяется тривиальным образом: константе „ языка сопоставляется объект пеБ. Таким образом, в рассматриваемых примерах модель задается определением Б, Г и Рг. Оцененная формула есть, по определению, формула ф, в которой все вхождения параметров замещены объектами из Б (константами или каналами).

Приведём теперь две наиболее простых ФАМ. Каждую формальную теорию, например, НА, можно рассматривать как функциональную алгебраическую модель. По существу это известная алгебра Линденбаума - Тарского. В качестве алгебры В истинностных значений следует взять просто множество всех оцененных формул, а в качестве множества Г форм - множество всех формул. Каждая формула задает форму относительно операции замещения параметров.

Основное отношение на В определяется так : а < Ь (НА I— а' з Ь'), где а', Ь' получены из а, Ь соответственно путем согласованного превращения каналов в переменные. Псевдобулевы операции над формами при этом будут совпадать с синтаксическими операциями над соответствующими формулами. Если определить °ф° = ф для атомарных формул, то для всякого предложения у будем иметь °у° = 1 (НА — V).

Но можно определить и более интересную и неожиданную модель НА, где в качестве форм будут фигурировать формулы (см. также [1]). Для всякой арифметической формулы ф через Рг(ф) обозначим формулу с теми же параметрами, что и у ф, содержательный смысл которой таков: Рг (ф) утверждает, что в исчислении НА выводится замкнутая формула, полученная из ф замещением ее параметров натуральными числами из некоторого списка у, который есть полный список всех параметров формулы ф. Формула Рг (ф) строится стандартным образом по формуле ф, с подробностями можно ознакомиться, например, по статье [9]. Для всякой формулы ф через Шф обозначим формулу ф л Рг(ф).

В качестве алгебры В вновь возьмем множество всех оцененных формул, а в качестве множества Г форм - множество всех формул, но теперь основное отношение определим иначе: а < Ь ^ (НА Н Па' з Ь'). Для атомарных формул полагаем °ф°= ф.

Псевдобулевы операции в этой модели определяются следующим образом (здесь слева стоит знак операции в нашей модели, а справа -формула, являющаяся значением):

(ф) л = (ф л (ф) V = (Пф V (ф) 3 (у) = (□ ф 3 V); -(ф) = (- Шф); Vx(ф) = (Vxф); Зх(ф) = (ЗхПф); 1= (0=1).

Реализуемость, соответствующая этой модели, была использована Бизоном. (см. [10]). Связь модели с реализуемостью Бизона можно теперь выразить следующей эквивалентностью: °ф° = 1 ^ (НА Н ф р).

Далее в работах [1] и [3] рассматривается отмеченная во введении штрих-реализуемость Клини и для неё строится подходящая ФАМ, однако нетрудно видеть, доказывая свойства эффективности логических связок, что эта ФАМ совпадает с выводимостью в интуиционистской арифметике. Мы докажем, что не существует модели ФАМ для штрих-реализуемости Клини (и, тем не менее, существует модель типа ФАМ для формализованной и содержательной реализуемостей Клини: см. [1] и [3]).

Предположим, что некоторая ФАМ А есть модель для штрих-реализуемости Клини. Тогда (по определению) имеется такое отображение формул языка арифметики в множество форм А, что для всякой формулы

ф : | - реализуема ф тогда и только тогда, когда Гф е 1 (Гф - форма из ФПБА модели ФАМ А, соответствующая формуле арифметики ф, а 1-единица ПБА, использованной при построении ФАМ А).

Рассмотрим два различных, неразрешимых в НА, утверждения ф

и п (т.е. НА ^ ф, НА ^ -ф, НА ^ п и НА ^ -п). Так как

НА ^ ф и так как в НА ^ п, то формулы ф и п не являются

выводимыми, однако являются | - реализуемыми формулами языка арифметики. Если в ФАМ А им соответствуют формы Г—ф и Г—п соответственно, то эти формы принадлежат 1 ПБА, а тогда форма Г—ф V Г—п = Г-,^-^ (последняя соответствует в ФПБА модели А формуле —ф V -п) также принадлежит 1 нашей ПБА и, следовательно, формула —ф V —п является | - реализуемой. Но это влечёт, что в НА — -ф или в НА — -п, что невозможно в силу выбора формул ф и п. Таким образом, доказана

Теорема 1. Не существует ФАМ А, соответствующей штрих-реализуемости Клини.

2.Функциональные алгебраические модели для теории множеств.

В оставшейся части данной Главы техника А.Г.Драгалина будет обобщена на теорию множеств с интуиционистской логикой. Пусть имеется некоторая функциональная псевдобулева алгебра В. Построим универсум Б (объектную область), используя внешнюю индукцию по ординалам (наше построение и доказательство не выйдет за рамки теории ZFIR+БCS). Все дальнейшие построения и результаты этой Главы были анонсированы в [6] и [7].

Пусть В — псевдобулева алгебра, не обязательно полная, не факторизованная по отношению эквивалентности и 0 и 1 - ноль и единица этой алгебры; пусть В- = В\{0} и р - произвольный элемент алгебры, не равный нулю. Полагаем: Б0=0; Ба+1={х : хех!:(а+1)}; хехЩа+1) ^ х е(В—хи{Бр : Р<а}) л [у«г (а,р) л <а,у> е х ^ (ЗЬеВ)(Ь > (алр) л <Ь,г> ех)];

у«г(а,р) ^ (<а,х> еу ^ (ЗЬеВ) (Ь > (алр) л <Ь,х> ег)) л (<а,х> ег ^ (ЗЬеВ)(Ь > (алр) л <Ь,х> еу)); если а - предельный ординал, то

Da= u{ Dp : P<a}. Полагаем теперь D = ^ {Da: aeOn}. Универсум D (объектная область) определен.

В качестве ФПБА берем теперь множество отображений из Dn в B, обладающее всеми свойствами, описанными выше в виде ограничений на ФПБА и содержащее форму °xey°; (полагаем °xey°(a,b) =c о <c,a) eb л c Ф 0).ФПБА определена.

Определим теперь ФАМ для языка односортной теории множеств ZFIR + DCS. Функция Cnst не определена (считаем, что в языке нет индивидных констант), функция Pr уже определена, т.к. в языке один бинарный предикатный символ e. Таким образом, определена функциональная алгебраическая модель набор А= <B, D, F, Cnst, Pr> для языка теории множеств.

Теорема 2. Если А - ФАМ для языка теории множеств и ф -предложение, выводимое в теории ZFIR + DCS, то °ф° = 1.

Доказательство Теоремы 2. проводим индукцией по построению вывода предложения ф в теории ZFIR + DCS. Аксиомы и правила вывода интуиционистской логики предикатов следуют из Теоремы Драгалина для логики предикатов (см. выше). Поэтому остаётся проверить, что значение всех собственных аксиом и схем аксиом теории множеств равно 1 алгебры B. Отметим, что метаматематика нашего доказательства не будет выходить за рамки теории множеств ZF, которая является равнонепротиворечивой с нашей теорией ZFIR + DCS.

а) Проверка выполнимости аксиомы объёмности: пусть p = ° Vu(uex О uey)° и пусть q = °xez° и пусть r = °yez°. Нужно доказать, что pлq < r. Докажем, что x « y(p,a) для некоторого ординала a. Пусть для всякого u ° uex О uey° = s, где s = s1лs2, а s1 = ° uex ^ uey° и s2 = ° uex ^ uey°. Имеем p < s < s1 = a^b, где a = °uex° и b = °uey° Получаем по законам ПБА, что p ^ a ^ b, т.е. p л a < b и в обратную сторону симметрично с заменой s1 на s2. Отсюда следует, что x « y(p,a), где a - ранг множества y. Так как множество z из универсума, то pлq < r. Таким образом, истинность аксиомы объёмности равна 1 нашей алгебры.

б) Проверка выполнимости аксиом пары, объединения и степени: проверим только одну из этих аксиом, т. к. все три аксиомы проверяются аналогично. Проверим выполнимость аксиомы пары

Vab3x(aex л hex). В качестве искомого множества x берем {(1,u) : [u « a(p,a)] v [u « b(p,a)]}, где a - максимальный ординал из рангов множеств а и b, а p - любой элемент ПБА, отличный от нуля. Очевидно, что x принадлежит D и что истинность аксиомы пары равна 1 по определению x. Аксиома пары выполнена. Аксиомы степени и объединения проверяются аналогично, удлиняется лишь определение множества x. Например, для аксиомы объединения x = {<1,y) : 3pqz((p,y) ez л <q,z) ea)}.

в) Проверка выполнимости аксиомы бесконечности: предположим, что мы теперь имеем дело с двусортным вариантом нашей теории множеств ZFI2 + DCS. Тогда аксиома бесконечности имела бы очень простой вид: 3xVn(nex). Нужное x из нового универсума D строилось бы как в предыдущем пункте (конечно, изменились бы определения эквивалентности множеств на соответствующем уровне с каким-либо элементом из ПБА, который обязан быть больше нуля, и определение экстенсиональности множеств, выбираемых для универсума на данном ординальном уровне. Однако в сущности это никак не поменяло бы идей построения нашего нового универсума по сравнению со старым, построенным для модели для односортной теории множеств: множества из нового универсума содержали бы теперь не только упорядоченные пары (ненулевой элемент из ПБА, множество уже построенное), но и пары (ненулевой элемент из ПБА, натуральное число). Доказательства выполнимости аксиом и схем аксиом делались бы точно также, с учетом появления новых упорядоченных пар: просто удлинились бы построения за счет появления в модели натуральных чисел). С учётом сказанного получаем, что истинность аксиомы бесконечности равна 1.

г) Проверка выполнимости аксиомы DCS: 3xVy(——yea ^ yex). Полагаем x = {(1,y) : 3p (p,y)ea}. Нужно доказать, что (p^0)^0 < 1, но это очевидно. Также очевидно, что множество x принадлежит универсуму D. Выполнимость аксиомы DCS доказана.

д) Проверка выполнимости схемы аксиом выделения: 3xVy(yex о yea л ф(у)); здесь формула ф(у) может содержать параметры. Полагаем x = {(q,y) : q = ° yea л ф(у) Докажем, что при выбранном x истинность схемы аксиом выделения равна 1. Но истинности левой и правой частей эквивалентности совпадают и поэтому истинность

схемы равна 1, что и доказывает требуемое. Однако нужно доказать, что множество х принадлежит универсуму Б.

Лемма 2.1 Если у «г (а,р), то р л ° ф(у)° = р л° ф(г)°. Доказательство Леммы 2.1 проводим индукцией по построению формулы ф. Атомарные случаи:

1) ф ^ уеи; т.к. иеБ, то если ^,у)еи, то 3геВ«г,г)еи л (pлq) < г), т.е. °геи° > р л °уеи° и наоборот в силу симметрии;

2) ф ^ иеу; если ^,и)еу, то 3геВ«г,и)ег л (pлq) < г), т.е. °иеу° л р < °иег°.

Случаи связок: конъюнкция и дизъюнкция разбираются очевидным образом; пусть ф ^ у ^ п и пусть утверждение Леммы 2.1 выполнено для у и п, и пусть °у(у)° = а, °у(г)° = в, °п(у)° = а1, °П(г)° = Р1. Дано р л а ^ а1 , р л в ^ в1. Нужно доказать, что (р л а^Р) ^ (а^Р^. Предположим р, (а^Р), а1 и докажем в1. Так как а1 , то р л а, а так как а, то в, а так как р л в , то в1, ч.т.д. Случаи кванторов:

1) ф ^Vxу(x,y); имеем Vx(pл°у(x,y)° < °у(х,г)° по индукционному предположению, а тогда Vx(pл°Vxу(x,y)°< °у(х,г)°), т.е. рл^ху(х,у)° < °Vxу(x,z)°;

2) ф ^ Зху(х,у); имеем р л°у(х,у)° < °у(х,г)° < °3ху(х,г)° по

предположению индукции, а тогда рл°3ху(х,у)° < °3ху(х,г)°. Лемма 2.1 доказана, а с ней доказана и выполнимость схемы аксиом выделения.

е) проверка выполнимости схемы аксиом трансфинитной индукции:

Vx[Vy(yеx ^ ф(у)) ^ ф(х)] ^ Vxф(x). Введём следующие обозначения р=^х^у(уех ^ ф(у)) ^ ф(х)]°, а q=°Vy(yеx ^ ф(у))°. Трансфинитной индукцией по рангу множества докажем, что Vx(°ф(x)° > р). Предположим, что Vy (гng(y) < rng(x) ^ °ф(у)° > р). Имеем q ^ °ф(х)°> Vx[q ^ °ф(х)°] = р, т.е. р ^ (q ^°ф(х)°); докажем, что р ^ q; но при фиксированом х пусть rng(y) < rng(x), а тогда р ^ ° ф(у)° и, следовательно, р ^ (°уех° ^-°ф(у)°) для всех у таких, что °уех°> 0; но тогда предыдущее утверждение верно для любых у из нашего универсума Б, т.е. р ^^у(уех ^ ф(у))°, т.е. р ^ q, а тогда р ^ °ф(х)°.

ж) Проверка выполнимости схемы аксиом собирания

(«со11ес1;юп»;считаем, что ПБА B является множеством): Vx(xea ^ Зуф(х,у)) ^ 3HVx(xea ^ 3y(yeH л ф(х,у))). Пусть истинность посылки есть p, а qx = 03yф(x,y)) Имеем qx > ° ф(x,y)0 для всякого x; также p < °xea° ^ 03yф(x,y))0 или Vx(p ^ (°xea°^ qx)). Нужно доказать, что для некоторого множества H из D имеет место °Vx(xea ^ 3y(yeH л ф^у))^ > p, т.е. доказать, что для всякого x (°xea° ^ (°3y(yeH л ф(x,y))o = rx)) > p. Рассмотрим Rx = {seB : 3y.s = °ф(x,y)°, где x - фиксированное множество из D. VseRx3y. s = °ф(x,y)°, а тогда (в силу внешней схемы аксиом собирания (collection)), 3HxVseRx3yeHx. s = °ф(x,y)°. Так как существует верхняя грань элементов °ф(x,y)° по yeHx (в силу существования °3yф(x,y))°) и равна последней, то полагаем H = {(1,y) : y«z (a,p) л zeHx} для некоторого x такого, что °xea° ^ 0}. Нетрудно видеть, что для всякого x (°xea° ^ (°3y(yeH л ф(x,y))o) > p, а тогда истинность схемы аксиом собирания равна 1. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Драгалин А.Г. Функциональные алгебраические модели. // Семиотика и информатика, М.: ВИНИТИ, 1979, Вып.ХШ , С. 184-195.

2. Kleene S.C. Realizability: a retrospective survey.// Lecture Notes in Math.1973, N.337, P. 96

3. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М.: Наука, 1979, С.60-61.

4. Хаханян В.Х. Функциональная алгебраическая модель, эквивалентная штрих-реализуемости Клини. // Матем. заметки, т.75, январь 2004, Вып.1, С. 155- 157.

5. Хаханян В.Х. Функциональная алгебраическая модель, соответствующая штрих-реализуемости Клини. // М.: Наука,2003, Логические исследования. Вып. 10,С.198-203.

6. Хаханян В.Х. Функциональные алгебраические модели для неклассической теории множеств. // М.: Наука,1997, Логические исследования. Вып. 4, С. 192-195.

7. Khakhanian V.Kh. Functional algebraic models for non-classical set theory. // Bulletin of the Section of Logic, !998, / (march-june), v. 27, P. 53-54.

8. Расёва Е.,Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука,1972.

9. Feferman S. Arithmetization of mathematics in general setting.// Fundamenta Mathematica, 1960, N.49, P.35-92

10. Beeson M. The nonderivability in intuitionistic formal system of theorem on

the continuity of effective operations.// The Journal of Symbolic Logic, 1975, v.40, N.3, P.321-346.