CC BY
61М. И. Шейнфинкель и комбинаторная логика1
В. И. ШАЛАК
abstract. In the article we review the famous paper of Moses Schönfinkel and it's influence on subsequent development of combinatory logic and A-calculus.
Ключевые слова: ТТТейнфинкель, комбинаторная логика, ламбда-исчисление.
Прошло более 80 лет с момента публикации па немецком языке статьи Моисея Исаевича Шейпфитткеля "О кирпичах математической логики"2. Все это время в Советском Союзе она была труднодоступной. Остается лить сожалеть, что люди, которым мы обязаны переводом па русский язык многих зарубежных монографий по логике pi основаниям математики, в свое время тте обратили па нее должного внимания. Возможно, именно по этой причине тематика комбинаторной логики и А-исчис-леттия не пользуется у пас той же популярностью, что pi в остальном мире. Публикуя перевод статьи М. Шейпфитткеля, мы хотам восполнить этот пробел.
Несмотря па широкую известность имени М. Шейпфитткеля, о самом авторе мы зттаем па удивление мало - две статьи, одна сохранившаяся фотография pi скудные биографические данные. Известно, что отт родился 4 сентября то ли 1887, то ли 1889 года в городе Екатерртпославе (пытте Днепропетровск па Украине). Изучал математику в Одессе в университете, который тогда назывался Новороссийским. Его руководителем был
'Работа поддержана РГНФ. Грант .V® ()8-()3-()()173а.
2 Schönfinkel М. Über die Bausteine der mathematischen Logik // Mathematische Annalen. 1924. Bd. 92. S. 305-316.
Самуил Осипович Шатуттовский - известный российский математик, много внимания уделявший вопросам геометрии и ее оснований. Нет ничего удивительного в том, что в 1914 г. М. Шейтт-фитткель приезжает в математическую Мекку того времени - в Геттиттгеп к Д. Гильберту. Известность пришла к М. Шейпфитт-келто благодаря докладу, который он сделал 7 декабря 1920 г. перед Математическим обществом Геттиттгепа. Д. Гильберт рекомендовал доклад к публикации, которая и была осуществлена четырьмя годами позже в известном математическом журнале "Mathematische Annalen". Помощь в подготовке публикации оказал Г. Бематт.
В Геттиттгетте М. Шейпфитткель тестю общался с П. Берттай-сом, который был его ровесником. В 1929 г. ими была подготовлена совместная публикация3, посвященная проблеме разрешимости для одного частного класса формул исчисления предикатов. К этому времени М. Шейпфитткель уже вернулся в СССР. Последние годы жизни отт провел в Москве, где страдал от нищеты, лечился от психического расстройства и умер в 1942 г. в госпитале. Ни точттая дата смерти, тти место погребения неизвестны. Во время войны, чтобы хоть как-нибудь согреться, бывшие соседи М. Шейттфитткеля сожгли все его рукописи в печи.
Это все, что мы о ттем зттаем.
М. Шейпфитткель поставил перед собой задачу уменьшить число исходных понятой, используемых в логике, и избавиться от связанных переменных, поскольку они тте имеют самостоятельного значения, а являются всего липть "знаками того, что определенные аргументные места и операторы принадлежат к одному типу".
Если посредством определения a\b = —a V —b ввести в язык классической логики новую связку, штрих Шеффера, то окажется, что ее одной достаточно для определения всех остальных связок.
—a = a\a, a V b = (a\a)\(b\b)
M. Шейпфитткель замечает, что аналогичным образом можтто определить обобщенный штрих Шеффера
3Bernays Р., Schönfinkel М. Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik // Mathematische Annalen. Bd. 99. S. 342-72.
f(x)\xg{x) = (x)—(f(х) & g(x)), посредством которого выразимы не только связки, по и квантора = a\xa, a V b = (a\ya)\x(b\yb), (x)f (x) = (f (x)\y f (x))\x(f (x)\y f (x)).
Далее оп показывает, каким образом можно свестрт функции от нескольких аргументов к функциям одного аргумента.
Пусть дана функция F (x, y). Для различных фиксированных x
Gx (y) от y. Если представить различные функции G как значения некоторой повой функции f, то G = fx, и исходная функция F(x, y) может быть представлена в виде (fx)y. " Таким образом, fx
x
со значением F(x, y)), а опять приводит к функции, аргумен-
yf
аргумент которой никак не ограничен, а ее значением вновь является некоторая функция". Функции могут быть не только значениями других функций, но и занимать аргументные места.
Записывая функцию (((fx)y)z) в виде fxyz, а ((f(xy))z) в виде f (xy)z, мы будем по умолчанию предполагать левую ассоциацию скобок при Pix восстановлении.
М. Шейпфртпкель вводит еще пять специальных функций, которые позднее получили название комбинаторов:
x=x xy = x xyz = xzy xyz = x(yz) xyz = xz(yz)
Они нужны для того, чтобы определять другие функции и представлять Pix свойства. Например, коммутативность сложения x + y, которое будем записывать как Axy, может быть представлена в виде Axy = Ayx = ТAxy а после опускания x и y A = A
Эти функции не являются независимыми. Достаточно оставить лить Сив, так как остальные выразимы через них следующим образом:
I = всс г = 8(С8)С т = 8(ггз)(сс)
Вместо обобщенного штриха Шеффера М. Шейттфитткель вводит функцию несовместимости и/д = /х\хдх. В левой части определения связанные переменные уже не фигурируют. С помощью и и функций С и в выразимы все логические формы. Например, формула логики предикатов второго порядка (/)(Ед)(х)—(/х & дх) может быть записана как и[8^1ГО)и]
[8(гии)и].
В последнем параграфе М. Шейпфитткель показывает, что достаточно даже не трех, а всего лить одной функции Я, с помощью которой можно выразить все остальные. Она определяется
следующим образом:
=
=
х = х
Легко проверить, что имеет место «О = 8, Л(ЛЛ) = Лв = С,
л[л(лл)] = лс = и.
Возможно, это смутило даже его, так как далее он замечает, что в силу произвольного характера этой функции "она едва ли имеет существенное значение''.
Очевидно, что полученные М. Шейпфитткелем результаты имеют не только математическое, по и глубокое философское значение, так как относятся к глубинным основам математической деятельности. Возможно, это лить случайное совпадение, но Д. Гильберт, который после знаменитого выступления па Математическом конгрессе 1900 г. основное внимание стал уделять вопросам физики и ее аксиоматизации, именно зимой 1920-1921 гг., когда и был М. Шейттфипкеля, вновь
заинтересовался основаниями математики.
При всей ясности изложения результаты М. Шейттфипкеля были настолько необычны, что требовали глубокого осмысления. Отт всего лить заложил первый камень в исследования по
комбинаторной логике, но не успел оформить Pix в законченную систему. Ее современным видом pi самрш термином мы обязаны Хаскеллу Бруксу Карри, который самостоятельно переоткрыл комбинаторную логику''1 pi вдохнул в нее жр13пь°.
В одной небольшой статье невозможно изложить всю picto-ррпо комбртаторпой логики. Тем более что к пей были причаст-ны лтодр! с такртмр! громкими именами, как Х.Б. Карри, А. Чёрч, С.К. Клрпш, Дж. Россер, А. Тыорртпг, У. Куайп, Ф. Фрттч. Поэтому мы приведем лрптть современную формулировку комбшта-
А
мулртруем полученные в tipix основные результаты pi дадим доступную библиографию, которая позволит читателю более подробно ознакомиться с данным предметом pi, возможно, заинтересоваться PiM с целыо дальнейшего глубокого изучения.
1 Исчисление редукций чистой комбинаторной логики
1.1 Исходные символы
1. Var — множество переменных;
2. К, S — атомарные комбинаторы;
3. ), ( — скобки.
Все термы языка комбртаторпой логики принадлежат одному типу
1.2 Термы
Если x Е Var, то x — терм; 2. К pi S — константные атомарные термы; Если X и У — термы, то (XY) — терм;
4. Нртчто другое термом не является.
4 Curry H.B. Grundlagen der kombinatorischen Logik // American Journal of Mathematics. 1930. Bd. 52. S. 509-536, 789-834.
° Curry H.B., Feys В.. Combinatory Logic. Vol. 1. Amsterdam, 1958.
Терм вида (XY) называют аппликацией (применением) терма (функции) X к терму Y. В этом принципиальное отличие комбинаторной логики от современной теории категорий. Теория категорий строится па основе понятия композиции функций, а комбинаторная логика - на основе понятия применения функции к аргументу.
Термы, составленные лить из константных термов К и S, будем называть комбинаторами и выделять в тексте жирным шрифтом. Поскольку при таком определении терма он может содержать много скобок, будем для облегчения восприятия по возможности опускать липшие скобки, предполагая их ассоциацию влево. Например, терм (((XY)Z)U) после опускания скобок может быть записан просто как XYZU, а терм ((X(YZ))U) X(YZ)U
В современной комбинаторной логике для обозначения комбинаторов М. Шейпфитткеля I, С, Т, Z, S используют символы I, К, С, В, S.
В исчислении редукций комбинаторной логики изучают отношение редутцтруемости между ее термами, которое обозначают посредством символа >. Это отношение можно рассматривать как аналог отношения выводимости между формулами классической логики.
1.3 Аксиомы
X > X X
XY > X XYZ > XZ(YZ)
1.4 Правила вывода
1. X > Y ^ XZ > YZ
2. X > Y ^ ZX > ZY
3. X > Y, Y > Z ^ X > Z
1.5 Определение доказательства. Последовательность редукций < Ri,..., Rn > называется доказательством, если для
любого г < п редукция Кг либо является аксиомой, либо получена из предшествующих редукций последовательности по одному из правил вывода. В этом случае редукция Яп, называется доказуемой.
Иногда к приведенным выше трем правилам вывода добавляют еще одно
4. X > У ^ У > X
В этом случае говорят о чистой комбинаторной логике и вместо символа > часто используют =*.
1.6 Соглашения
Будем использовать символ = для обозначения графического равенства термов как языковых выражений.
Будем называть термы вида КХУ и SXYZ редексами, а X и, соответственно, XZ(YZ) - их свертками.
Будем говорить, что терм X находится в нормальной форме, если в пего не имеет вхождения пи один редекс.
->
Посредством Т\Z\jx\,..Zn/xn] или Т^п/хп] будем обозначать результат одновременной подстановки термов Zl,Zn в терм Т вместо всех вхождений переменных
х\,.. .,хп, определяемый следующим образом: ->
(a) х^п/хп] = Zi 1 < г < п
->
(b) у^п/хп] = у у — атомарный терм, отличный от хг, 1<г<п
(c) (XV)-п/хп] = (X[гпм)(У-п/хп])
Посредством ЕУ (Т) будем обозначать множество всех пеТ
Можно показать, что редукция X > У доказуема, е. и т. е. терм У либо графически равен X, либо существует такая последовательность термов < Xo,.. .,Xn >, что Xo = X, Xn = У и для всякого г > 0 терм Xi получен из терма Xi_l путем единичной замены вхождения некоторого редекса па его свертку.
В. PI. XIIäiJIäiK
Исчисление редукций и сама комбинаторная логика обладают рядом важных свойств. Мы приведем Pix лить для исчисления редукций, так как для комбинаторной логики они формулируются аналогичным образом.
1.7 Комбинаторная полнота. Для любого терма Т, все переменные которого содержатся среди {xi,.. .,xn}, существует такой комбинатор D, что доказуема редукция Dxi.. .xn > T.
Комбинаторная полпота является аналогом неограниченной свертки в наивной теории множеств. Благодаря этому свойству исчисление редукций обладает большими выразительными возможностями.
Известно несколько алгоритмов нахождения комбинатора D. Приведем самый простой.
xT [x].T терм, полученный в результате применения следующего алгоритма:
• [x].x = SKK
• [x].X = КX, если X не содержит вхождений переменной x
• [x].XY = S ([x].X)([x].Y)
Определим терм [xi,..., xn].T с помощью рекурсии [xi,..., xn].T = [xi].([x2,.. .,xn].T). В этом случае будем говорить, что терм [xi,.. .,xn].T получен из терма T посредством функциональной xi , . . ., xn [xi, . . . , xn] .T
Yi , . . ., Yn
редукция: ([xi,.. .,xn ].T)Yi.. .Yn > T [Yi /xi,.. ,Yn/x,n}-
X>
Y и X > Z, то существует такой терм U, что доказуемы редук-Y > U Z > U
YZ
ной форме, то Y = Z. Это позволяет представлять в исчислении редукций функциональные отношения. Из свойства Чёрча-Россера следует также, что исчисление редукций непротиворечиво в смысле петривиальпости.
1.9 Представимость рекурсивных функций. В исчислении редукций представимы все рекурсивные функции.
1.10 Стандартная форма доказательств. Если доказуема редукция X > У, где Y находится в нормальной форме, то терм Y либо графически равен X, либо существует такая последовательность термов < Xo,.. .,Xn >, что Xo = X, Xn = Y и для всякого i > 0 терм X¿ получен из терма X¿_i путем замены самого левого вхождения редекса его сверткой.
Существование стандартных форм доказательств очень важно с точки зрения приложений. Если мы представили некоторую вычислимую функцию посредством терма исчисления редукций, то существует стандартный алгоритм ее вычисления.
Алгебраическими моделями комбинаторной логики являются комбинаторные алгебры, которые еще называют комбинаторно полными аппликативттыми структурами.
1.11 Структура M =< X, * > называется аппликативной, если * — бинарная операция на множестве X.
Очевидно, что это определение совпадает с определением группоида..
1.12 Комбинаторная алгебра - это аппликативпая структура M =< X, *,k,s > с двумя выделенными элементами k, s, удовлетворяющими равенствам
kxy = x, sxyz = xz(yz)6.
"Аксиомы комбинаторных алгебр порождены не алгебраическими соображениями, а анализом рекурсивных процессов. ... эти структуры - патологические с алгебраической точки зрения" '. Нетривиальные комбинаторные алгебры некоммутативны, пеассоциативпы, пекопечпы и нерекурсивны.
Возникновение комбинаторной логики было связано с поиском новых оснований математики. X. Карри надеялся найти Pix в обобщенной теории функциональности, которой по своей сути
6Барендрегт X. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. М.: Мир, 1985. С. 103.
7Там же. С. 105.
pi должна была стать комбинаторная логика. Добавив к ней комбинаторы, соответствующие импликации pi кванторам, он по-строртл иллативную комбинаторную логику. В 1934 г. С.К. Кли-tipi pi Дж. Россер показали, что в этой логике имеет место аналог парадокса Ррпттара. Проанализировав причины возтшкпове-НР1Я парадокса, X. Карри пррпттел к выводу о несовместимости свойства комбинаторной полноты pi свойства дедуктивной пол-поты, выражаемого хоропто известной теоремой дедукции. Это позволило ему сформулировать новый парадокс, получивший впоследствии имя парадокса Карри.
2 Чистое А-исчисление Чёрча
Одновременно с X. Карри поисками новых функциональных ос-пованрш математики занимался Алопзо Чёрч8. С его именем связано появление А-исчисления. Если теоретико-множественное представление функций является экстенсиональным, то в А-ис-чртслепрш oiiPi трактуются интенсионально, как некоторые предписания. Привычное еще со школьной скамьи представление функций в виде формул как раз pi является таким вычислительным предписанием.
2.1 Исходные символы
1. Var — множество переменных; А
3. ), ( — скобки.
А
пому типу.
2.2 Термы
Если х Е Var, то х — терм;
Если X и У — термы, то (XY) — терм;
Если x Е Var, У — терм, то (АхУ) — терм;
8 Church А. A set of postulates for the foundation of logic // Annals of Math. 1932. Vol. 33. .V 2. P. 346-366 and Annals of Math. 1933. Vol. 34. P. 839-864.
4. Ничто другое термом не является.
Оператор абстракции связывает переменные. Очевидным образом вводятся понятия свободных и связанных переменных, области действия оператора абстракции, подстановки терма вме-
Т
бодной переменной х в терм У, обозначаемую посредством У[Т/х], налагается обычное ограничение, что ни одна свободная Т
заппой. Операция подстановки всегда определена, поскольку в А-исчислении возможно переименование связанных переменных по аналогии с тем, как это делается в исчислении предикатов. А
=
2.3 Аксиомы
1. ((АхУ)Z) = У^/х\ — ^-конверсия
2. X = X — для атомарных термов X
2.4 Правила вывода
1. X = У ^ У = X
2. X = У ^ XZ = YZ
3. X = У ^ ZX = ZY
4. X = У, У = Z ^ X = Z
5. X = У ^ (АzX) = (АгУ) — правило £
Определение доказательства очевидно.
А
термы вида ((АхУ)Z) редексами, а А-термы вида У^/х] — их
А (АхУ)
вычислительное предписание, то А-терм вида У^/х] является результатом применения этого предписания к терму Z.
А-исчисление обладает свойством Чёрча-Россера, оно непротиворечиво, и для пего также имеет место теорема о стапдарт-
А
биттаторпой логике, представимы все рекурсивные функции. Будучи построены независимо друг от друга, комбинаторная А
2.5 м — функция перевода термов комбинаторной логики в тер-А
1. М(х) = хх
2. <р(К) = (Ах(Аух))
3. Ф) = (Ах(Ау(Аг((хг)(уг)))))
4. У) = &&му ))
2.6 ф — функция перевода термов А-исчисления в термы комбинаторной логики.
1. ф(х) = х х — переменная
2. ф(Х¥) = (ф(Х)ф(У))
3. ф(АхУ) = [х].ф(У)
Имеет место следующая теорема.
2.7 Теорема. Если в чистой комбинаторной логике доказуемо X = У, то в чистом А-исчислении доказуемо м(X) = м(У).
Обратная теорема не имеет места, так как в комбинаторной логике не выполняется аналог ^-правила X =* У ^ [г]Х =* [г]-У. Тем не менее, X. Карри показал, что имеется конечный набор редукций, добавление которых в качестве новых аксиом приводит к тому, что если X = У доказуемо в чистом А-исчислении, то ф(X) = ф(У) доказуемо в комбинаторной логике.
В 1936 г. А. Чёрч средствами чистого А-исчисления получил результат, который сделал его знаменитым9. Он доказал существование неразрешимых проблем. Отсюда следовали неразрешимость арифметики pi неразрешимость исчисления предикатов первого порядка.
А
волртл А. Чёрчу выдвинуть тезртс, что класс всех функций, которые являются вычислимыми с интуитивной точкр1 зрения,
А
А
совпадает с классом функций, определимых в его собственном формализме. Это явилось первым подтверждением тезиса Чёрча.
А
речивым pi потому А. Чёрч перестал им заниматься. Это не верно. Так же, как pi X. Kapppi, А. Чёрч занимался поисками новых
А
раз pi преследовало эту цель. Как pi X. Kapppi, он добавил к нему специальные логические аксиомы, pi это получившееся в результате исчисление оказалось противоречивым. Попытка построить бестртовую логику высших порядков, pi3 которой можно было бы вывестрт всю математику, потерпела неудачу Само же чртстое А
комбинаторная логика. В отличие от X. Карри, после обнаружения противоречий А. Чёрч действительно стал заниматься другими вопросами, pi долгое время, почтрт тррт с липшим деся-
А
рабатывал лить очень ограниченный круг ученых. Все изменилось в конце 50-х годов прошлого столетия в связрт с развитием вычислительной техники pi теоретртческого программирования.
Первым предложил использовать комбинаторы в программировании еще X. Карри10, по в то время это не получило должного отклика. Следующим был Ф. Фрттч11. В конце 50-х pi на-
9Church A. An unsolvable problem of elementary number theory // American Journal of Mathematics. 1936. Vol.58. P. 345-363.
10 Curry H.B. The logic of program composition // In Applications Scientifiques de la Logique Mathématique, Actes du Deuxieme Colloque International de Logique Mathématique, Paris, 1952. P. 97-102. Gauthier-Villars, Paris, 1954.
11 Fitch F.B. Representation of sequential circuits in combinatory logic //
чале 60-х годов Дж. Маккарти создает язык символьного про-
А
исчислеттия, в частности — механизм функциональной абстракции. Им был предложен новый способ организации программ, получивший впоследствии название функционального программирования^2. В начале 60-х годов П. Ландитт предлагает ис-А
ка программирования А^о1-6013. В 1963 г. отт же описывает абА
ваемых как программы11. Дальнейший рост интереса к комби-А
важттых теоретических и практических результатов, перечислить которые в одной небольшой статье не представляется возможным.
Выше мы говорили липть о бестиповых исчислениях, по были разработаны и такие, в которых каждому терму сопоставлен его тип. Комбинаторная логика с типами оказалась тесно связанной с импликативпой интуиционистской логикой. На это обратил внимание в 1934 г. X. Карри10 . В 1958 г. он отметил16, что типам комбинаторов соответствуют доказуемые формулы интуиционистской логики.
Дальнейшие исследования1' привели к новым результатам. В настоящее время эта тема активно разрабатывается, так как находит применение тте только в теоретическом, по и практическом программировании, а само соответствие получило название изоморфизма Карри-Говарда.
Связь между типами базовых комбинаторов и формулами им-
Philosophy of Science. 1958. Vol. 25. P. 263-279.
12McCarthy J. A basis for a mathematical theory of computation // Proc. of 1961 Western Joint Computer Conference.
}3Landin P.J. A correspondence between ALGOL 60 and Church's lambda notation // Communications of the ACM. 1965. Vol. 8. P. 89-101, 158-165.
uLand,in P. J. The mechanical evaluation of expressions // The Computer Journal. 1964. Vol. 6. P. 308-320.
Curry H. Functionality in Combinatory Logic // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1934. Vol. 20. P. 584-590.
u'Curry H.B., Feys B.. Combinatory Logic. Vol. 1. Amsterdam, 1958.
17Howard W.A The formulae-as-types notion of construction // To H. B. Curry, Essays on Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism. Academic Press, London, 1980. P. 479-490. Manuscript circulated 1969.
пликативттого вида позволила по-повому взглянуть па отношение между различными логиками pi дать Pix стройную классрт-фрткадрпо18.
3 Логика дефинициальной дедукции19
Существует определенный перекос между болытшм рттересом, который проявляют к комбинаторной логике и А-исчислению представрттелр! computer science, pi совершенно пезпачрттельпым ртптересом со стороны логртков-фртлософов. Этому есть две nppi-чр1пы. Во-первых, nppi ртзложепрш этртх ртсчргслетшй, как праврт-ло, указывают па Pix предполагаемую функциональную интерпретацию, которая гораздо интереснее именно представителям computer science, а не логикам-философам. Во-вторых, они очень
А
же отпугнуть своей сложностью.
Оказывается, возможен третий чртсто логический pi гораздо более простой подход к представлению этртх же структур. В его основе лежат две хорошо известные логические операции — аналога введения определений pi замены па Pix основе.
3.1 Исходные символы языка
1. Var — множество переменных;
2. Const — множество констант, которое изначально является пустым;
3- =def — символ для введения определений; 4. ), ( — скобки.
3.2 Термы
Если x Е Var, то x — терм; Если c Е Const, то c — терм;
шКарпвнко A.C. Классификация пропозициональных логик // Логические исследования. Вып.4. М.: Наука, 1997. С. 107-133.
Шалак В.И. Логический анализ двфинициэльнои дедукции // Логические исследования. Вып.15. М.: Наука, 2008.
Если X и Y — термы, то (XY) — терм; 4. Ничто другое термом не является.
Терм вида (XY) не предполагает никакой подразумеваемой
XY
а просто рядоположеппость двух термов, которым могут соответствовать любые два объекта мысли.
Кроме термов, объектный язык содержит конструкции, называемые определениями.
3.3 Определения
1. Если T — терм и FV(T) С [xi7.. .,xn}, то Dx\.. .xn =def T — определение, где D — новая константа.
2. Ничто другое определением не является.
Принятие определения pi введение в язык повой константы D влечет за собой расширение множества правильно построенных термов. Примем дополнительные соглашения.
3.4 Соглашения
Пусть А — некоторое множество определений. Посредством Const(A) будем обозначать множество всех констант, вве-
А
Const(A) = [D : (Dxi.. .xn =def T) G А}. А)
А)
3.5 Согласованное множество определений
1. Пустое множество определений является согласованным;
А
определений A U {Dxi.. .xn =def T}, где T G L(A), но D G L(A), также является согласованным;
3. Ничто другое согласованным множеством определений тте является.
Смысл, который вкладывается в понятие согласованного множества определений, достаточно очевиден. Отт заключается в том, что определения принимаются последовательно, и потому ранее принятые определения тте могут содержать констант, которые будут введены в язык позже.
3.6 Правило замены по определению. Если Бх\.. .хп
Т - определение, а X. ^п} - терм, с выделенным вхож-►
дением терма DZl.. то X{Т^п/х„\} есть результат замены
-►
DZl.. согласно определению па Т^п/хп].
Dxl.. .хп =<и/ Т, X. ^п} ^ X{Т^п/хп]}
3.7 Дефинициальной дедукцией (выводом) терма У из согласованного множества определений А и терм а X £ Е(А) называется такая непустая конечная последовательность термов < Xo,..., Xn >, что Xo = X, Xn = У и для всякого г > 0 терм XI получен из терма XI-1 по правилу замены.
Можно показать, что это исчисление в строго определенном смысле дефиттицальпо эквивалентно исчислению редукций чистой комбинаторной логики. Отсюда следует, в частности, что в логике дефинициальной дедукции представимы все рекурсивные функции арифметики. Удивительно здесь то, что в этой логике изначально пет пи одной аксиомы и пи одного дескриптивного термина, как в комбинаторной логике. В этом смысле ее язык пуст и ничего кроме переменных и термов, построенных из них, не содержит. В то же время в этой логике пет связанных переменных, как в А-исчислении, что делает ее гораздо более простой и понятной. Субъект дефипициальпой логики всего лить обладает способностью вводить определения и производить замену согласно им. Тем не менее, эти базовые логические операции, к которым мы привыкли относиться как к техническому приему, приводят к нетривиальным результатам.
4 Библиография
Выпте уже упоминалось, что па русском языке очень мало публикаций, посвященных комбинаторной логике и Л-исчислению. Поэтому мы посчитали необходимым привести список работ, которые легко доступны pi прртгодпы для начального озпакомлетшя с предметом.
4.1 В 1987 г. в ртздательстве "Mpip" была ртздапа ктшга Э. Эп-гелера "Метаматематика элементарной математики". В ее третьей главе очень доступно излагаются основы комбипатор-
Л
4.2 В 1985 г. в издательстве "Мир" вышла книга X. Барепдрегта "Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика". Ее по пра-
Л
Л
прртводятся доказательства всех основных теорем, полученных в данной области. Большое количество упражнений позволяют использовать ее как превосходный учебник. Для тех, кто впервые открывает эту книгу, кажущаяся сложность изложения компенсируется логически строгими pi полными доказательствами теорем. Автор сам заботится о том, чтобы облегчить ее чтение.
4.3 На механико-математическом факультете МГУ много лет исследованиями в области комбинаторной логики pi оснований математики занимается A.B. Кузичев. На его персональной странице в сетрт Интернет по адресу http://kuzichev.booiri.ru можно найти много полезной информации.
4.4 Тем, кто не решится тратить свое время па изучение книги X. Барепдрегта, можно порекомендовать паписатшое им в соавторстве с Э. Барепдсепом небольшое по объему "Introduction
Л
E.Barendsen/onderwijs/sl2/materiaal/lambda.pdf.
Л
можно найти в "Lecture Notes on the Lambda Calculus"' Петера Селипджера, которое также доступно для скачивания по адресу http://www .mscs .dal .ca / ^selinger / papers/lambdanotes .pdf
4.6 Истории А-исчисления и комбинаторной логики посвящена глава "History of Lambda-calculus and Combinatory Logic", написанная P. Хртпдлрт pi Ф. Кардопе для пятого тома Handbook of the History of Logic. Текст доступен по адресу http://www-iriaths.swan. ас .uk/stafi'/jrh/papers /JRHHislairiWeb.pdf.
4.7 Еще одну работу по ртсторрш " The Logic of Curry and Church", iianpicaiiiiyro также для пятого тома Handbook of the History of Logic Дж. Селдрпгом, можно скачать по адресу http://people. uleth.ca/^Ejonathan.seldin/CCL.pdf.
