CC BY
29Логический анализ дефинициальной дедукции1
В. И. ШАЛАК
abstract. The article is devoted to analisis of definitions and their properties in type-free languages. In order to achieve this aim we define logic of definitional deduction. The single rule of this logic is replacement of terms according to their definitions. The resulting logic is definitionally equivalent to combinatory logic of Schonfinkel-Curry.
Ключевые слова: определение, дедукция, комбинаторная логика, неподвижная точка.
1 Введение
Если историю возникновения логики вести со времен Платона и Аристотеля, то окажется, что одновременно это была pi история теории определений, которая традиционно считается одним из разделов логики. Цель настоящей работы заключается в том, чтобы еще раз обратить внимание на роль определений в процессе познания и проанализировать возможности их использования в логических рассуждениях.
Достаточно распространено убеждение, что теория определений имеет вполне завершенный вид pi ничего принципиально нового дать нам не может, что основная ее задача — классифицировать определения по видам, уточняя условия правильности их применения. Как иронически замечает Дж. Браутт, " Чтобы вызвать зевоту у читателя, трудно найти более подходящую тему, чем определения" [1J.
Наиболее распространенными являются явные определения, которые имеют простую лингвистическую форму,
A =def B-
'Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант .V8 (18-03-0(1173а
Левая часть этого выражения, обозначенная буквой А, называется определяемым (дефитшепдумом), а правая часть, обозначенная буквой В, — определяющим (дефитшепсом). Символ =def " указывает, что принята конвенция считать, что выражение А означает то же самое, что и выражение Б" [2]. В левой часта определения обязательно присутствует новый так называемый определяемый термин, который вводится в язык, расширяя его.
Очень часто, если говорить о формальной стороне, явные определения рассматривают всего лить как некоторые сокращения других комбинаций символов.
" Определение - это декларация о том, что вновь введенный символ или комбинация символов означает то же самое, что и некоторая другая комбинация символов, значение которой уже известно'' [3J.
Поэтому они не могут привнести с собой ничего нового.
"После того, как посредством определения некоторый знак получил значение, он его отныне имеет, и определение переходит в предложение, в котором утверждается тождество. Конечно, это предложение содержит только тавтологию, которая не расширяет наше знание. Оно содержит истину, которая является настолько очевидной, что кажется бессодержательной. .. Действительно, посредством одних определений нельзя доказать истину, которая без них не была бы доказуема" [4|.
Это является, в свою очередь, обоснованием Pix применения в ходе рассуждений.
Если нами принято определение А =def Б, то в любом выражении языка T[А], в которое входит определяемое, мы можем заменить его на определяющее и получить выражение T[Б/А]. Это правило замены кажется настолько очевидным, что его широко используют люди, даже не знакомые с тем, что такое логика.
С формальной точки зрения, к явным определениям предъявляются два основных требования [о]. Во-первых, введение посредством определений в язык новых символов должно удовлетворять условию консервативности. То есть тте приводить к тому, что ранее недоказуемые утверждения языка L становятся
доказуемыми в расширенном языке Ь+. Во-вторых, мы должны иметь возможность сводить выражения языка Ь+ к выражениям языка Ь, заменяя определяемое на определяющее. Второе требование как раз и разрешает использовать правило замены в ходе рассуждений. В явной форме эти два требования были впервые сформулированы К. Айдукевичем и С. Лесттевским.
Логика, которую мы собираемся построить ниже, теспейптим образом СВЯЗЭ.НЭ. с комбинаторной логикой Шейпфипкеля-Карри и А-исчислением А. Чёрча [6].
2 Логика дефинициальноЗ дедукции
Чтобы приступить к анализу определений, мы должны фиксировать язык. Если мы возьмем стандартный язык первопоряд-кового исчисления предикатов, то на папти результаты могут повлиять те неявные предпосылки, которые в нем принимаются. Мы бы этого не хотели. Напта цель - исследовать определения независимо от возможной категориальной структуры языка и наполнения его конкретными дескриптивными терминами. Нам нужен в определенном смысле пустой язык, который впоследствии мог бы быть расширен в любом направлении. Основная идея заключается в том, чтобы рассмотреть язык логического субъекта, который еще не приступил к познанию окружающего его мира и потому даже никак не категоризовал его. Мы тте первые сталкиваемся с подобной проблемой, и ее стандартным решением является бестиповый язык. Отт не содержит ничего, кроме переменных, которые представляют всего лить возможные объекты мысли.
2.1 Исходные символы языка
1. Уат — множество переменных;
2. ОвизЬ — множество констант, которое изначально пусто;
3. — символ для введения определений;
4. ), ( — скобки.
Выражения этого языка будем называть термами. Они являются просто комбинациями переменных и констант, структурированными посредством скобок. Изначально констант в языке
ттет, по мы допускаем, что они могут быть введены в пего иоз-
2.2 Термы
Если x Е Var, то x — терм;
Если c Е Const, то c — терм; Если X и Y — термы, то (XY) - терм; 4. Ничто другое термом не является.
Терм вида (XY) не предполагает никакой подразумеваемой интерпретации. Это просто синтаксическая рядоположеппость двух термов, которым могут соответствовать любые два объекта мысли. Взятие термов в скобки всего лить па максимально абстрактном уровне отражает тот эмпирический факт, что выражения языка структурированы.
Поскольку при нашем определении терма он может содержать много скобок, будем для облегчения восприятия опускать лишние скобки, предполагая Pix ассоциацию влево при восстановлении. Например, терм ((((X)Y) Z)U) после опускания скобок может быть записан просто как XYZU, а терм ((X(YZ))U) при-X(YZ)U
В дальнейшем изложении будем использовать символ = для обозначения графического равенства термов как языковых выражений.
2.3 Одновременная подстановка
->
Посредством T [Zi/xi,..., Zn/xn ] ил и T [Zn/xn] будем обозначать результат одновременной подстановки термов Z\,.. .,Zn в терм T вместо всех вхождений переменных xi,.. .,xn, определяемый следующим образом:
• xi[Zn/xn] = Zj, где 1 < i < n
->
• y[Zn/xn] = y, где y — атомарный терм, отличный от xi, 1 < i < n
(XY )[Zn/x,n] = (X [ Zjx'n ])(Y [ Zjx'n]).
270
В. PI. Шзлйк
Кроме термов, объектный язык содержит конструкции, называемые определениями. Необходимо обратить внимание па то, что определения принадлежат не метаязыку, а именно объект-пому языку.
Константы, введенные определениями, pi составленные лить из них термы будем выделять жирным шрифтом.
Обозначим посредством FV(T) множество всех переменных, входящих в терм T.
2.4 Определения
Если T — терм, FV(T) С {xi,...,xn}, n > 0 и D — константа, то Dx1.. .xn =def T — определение.
В случае, когда n > 0, новый термин, представленный константой D, определяется вместе с контекстом его употребления. Такие определения называются контекстуальными. Если n=0
т.е. является неконтекстуальным.
Каждое применение операции определения приводит к расширению констант языка pi множества его термов. Чтобы отразить это в используемой нами символике, мы должны принять некоторые соглашения.
2.5 Соглашения
Пусть А — некоторое множество определений. Посредством Const(A) будем обозначать множество всех констант, введенных в язык определениями А, т.е. Const(A) = (D : Dxi...xn =def T e A}.
Посредством L(A) будем обозначать множество всех правильно построенных термов в языке с Const = Const(A).
Операцию введения определений представим в виде правила.
2.6 Правило введения определений
Если имеется множество определений А, терм T и константа D, удовлетворяющие ограничениям T e L(A) и D e L(A), то мы можем расширить множество A посредством нового определения Dxi.. .xn =def T.
(Б1) А, Т е ЦА),П /Ь(А) ^ А ир Х1 ...Хп =<е/ Т}
Мы должны учесть, что определения вводятся последовательно и поэтому в определенном смысле согласованы.
2.7 Согласованное множество определений
А
существует такая последовательность множеств < Ао,..Ап >, что п > 0 Ао = 0, Ап = А, и Для всех 0 < г <п множество А^ получено из А—\ путем применения правила введения определений 01.
С формальной точки зрения, посредством определений логический субъект всего лить запоминает, каким образом из переменных Х1,...,ХП, входящих в левую часть определения, и, возможно, уже содержащихся в языке констант, может быть построен терм, находящийся в правой части определения. Новая константа языка, определяемый термин, репрезентирует структуру определяющего. После принятия определения этот новый абстрактный объект вводится в универсум рассуждения и становится самостоятельным объектом мысли логического субъекта, а соответствующая ему константа может участвовать в построении новых термов. В обыденной практике, определив, что значит разделить одно число па другое, мы начинаем говорить об операции деления, которой овладели, как о самостоятельном объекте. Необходимо особо отметать, что новый абстрактный объект существует независимо от какой-либо интерпретации языка, так как его значением является структура языкового терма, который мы построили и выбрали па роль дефиттиепса.
2.8 Правило замены
Если Т)Х1.. .Хп =йе! Т - определение, а X{ОУ1.. .Уп} - терм, с выделенным конкретным вхождением терма ОУ1...УП, то
X{Т[Уп/хп]} есть результат замены ОУь . .Уп согласно опреде--►
Т[Уп/Хп]
(БЕ) Бх1...хп =Ле! Т, X {Б У.. .Уп} ^ X {Т [Уп/Хп]}
При кажущейся сложности формулировки правила замены оно не представляет ничего необычного. Вспомним, как мы вво-
дим в язык логики высказываний определение связки эквива-
V ^ д =е (р Э д)&(д Э р).
Встретив формулу А V (В ^ О) и пожелав устранить эквивалентно в соответствии с принятым определением, мы должны подставить в дефиттиепс вместо пропозициональной переменной р формулу В, подставить вместо переменной д формулу О, т.е. выполнить операцию одновременной подстановки ((р Э д)&(д Э р))[В/р, О/д], получить в результате формулу (В Э О)&(О Э В) и после этого произвести замену (В ^ О) на (В Э О)&(О Э В). Результатом замены будет формула А V ((В Э О)&(О Э В)). Именно эта последовательность шагов и отражена в нашей формулировке правила замены.
2.9 Дефинициальной дедукцией
(выводом) терма X из согласованного множества определений А и конечного множества термов £ С Ь(А) называется непустая конечная последовательность < Хо,...,Хп > термов, где Хп = X и каждый член которой либо является элементом £, либо получен по правилу БЕ из предшествующих термов после-
А
В дальнейшем изложении всякий раз, говоря о множестве определений, мы будем подразумевать, что оно является согласованным.
Запись А; £ > X будет означать, что существует вывод тер-
А£ А
это не может вызвать недоразумений, мы будем использовать сокращенную запись £ > X.
3 Свойства логики дефинициальной дедукции
ЛЕММА 1. Вывод А;£ > X имеет место, е. и т. е. для некоторого терма У Е £ имеет место вывод А; {У} > X.
Лемма доказывается простой индукцией по построению вывода. Базис индукции очевиден, а доказательство птага индукции следует из того, что посылка правила БЕ состоит из одного определения и одного терма.
Благодаря этой лемме при доказательстве свойств логики де-фиттициальпой дедукции нам достаточно рассматривать выводы лишь из одноэлементного множества термов £. В дальнейшем вместо А; {У} > X будем использовать запись А; У > X.
ЛЕММА 2. Логика дефинициалъной дедукции обладает свойством Чёрча-Россера. Если имеют место выводы А; X > У и А; X > Е, то существует такой терм и, что имеют место выводы А; У >и и А; Е > и.
Доказательство этой леммы выходит за рамки настоящей статьи.
Из свойства Чёрча-Россера следует, что в логике дефиттитдт-алытой дедукции отношение выводимости обладает функциональными свойствами и поэтому может быть использовано для представления функций.
Следующая теорема говорит о том, что какие бы определения мы пи принимали, это никогда не сделает логику противоречивой в смысле тривиальности.
ТЕОРЕМА 3 (петривиальпости). Для любого множества определений А существуют такие термы X и У, что вы вод А; X > У
Доказательство.
А
следует из того, что все выводы имеют вид 0; X > X.
А
бы одно контекстуальное определение вида Бхь . .Хп Т, где п > 0. Очевидно, что вывод А^ > (ОО) не имеет места, так
А
константе Б не применимо, ибо ее контекст не заполнен. д.Е.О.
Определения должны удовлетворять условию консервативности. Доказательство этого свойства является содержанием следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 4 (о консервативности определений). Если для множества определений А и термов X, У е Ь(А) не верно, что имеет место вывод А; X > У, то для любого нового определения Юх1.. .хп =йе! Т вывод А и {Их1...хп =йеЗ Т}; X > У также не будет иметь места.
274
В. Р1. Шзлйк
Доказательство.
Допустим, что для X, У Е Ь(А) имеет место вывод А и {Ох\.. .хп Т}; X > У. Покажем, что в этом случае также будет иметь место вывод А; X > У. Доказательство проводим индукцией по построению вывода Аи{ЮXI.. .хп =4е/ Т}; X > У. Базис, У = X.
Так как X Е Ь(А), то имеет место вывод А; X > X. Индукционный шаг. Достаточно рассмотреть случай, когда терм У имеет вид У {и Ек/хк ]} и получен по правилу БЕ из некоторого предшествующего терма последовательности У{WЕ1.. Ек} и определения Л¥хь ..хк и Е А и {Ох\...
хп —Т
По индуктивному допущению имеет место вывод А; X > У{W}, то в этом случае У{WЕ1.. .Ек} Е Ь(А) и, следовательно, ЛУхь.х^ и Е А. Отсюда получаем вывод А; X > У {и [Еф*к]}. д.Е.п.
Важнейшим свойством комбинаторной логики, Л-исчисления Чёрча и логики дефипитцтальпой дедукции является наличие неподвижных точек для любого терма и существование эффективного алгоритма для их нахождения.
ТЕОРЕМА о (о неподвижных точках). Для всякого множества определений А и всякого терма Г Е Ь(А) существует такой терм X Е Ь(А и {Аху =йе! у(хху)}), что имеет место вывод А и {Аху =4е/ у(хху)}; X > FX.
Доказательство.
Пусть Г Е Ь(А) — произвольный терм. В качестве искомого терма X возьмем ААГ.
ААГ
2. у(хху)[А/х, Г /у] — из 1 по БЕ
3. Г (А АГ) — из 2 по опр. 2.3
4. FX - из 1, 3
А
ний, а С — произвольный терм в языке Ь(А). Обозначим посредством в множество определений А и {С?хоХь . .хп =йе! С, Аху =йе! у(хху)}. Тогда существует такой терм I«1 е Ь(в), что для всяких термов Т1,...,Тп е Ь(в) имеет место вывод в;т.. .Тп > С [Р/х 0,Т1/Х1,.. ,Тп/Хп] ■
В качестве искомого терма Е возьмем ААв.
ААСТь..Тп
2. (у(хху)[А/х^/у])Т1.. .Тп — из 1 по БЕ С(ААС)Т1.. .Тп — из 2 по опр. 2.3
4. С[(ААв)/хо,Т1/Х1,.. ,Тп/хп] - из 3 по БЕ
5. С^/хо,Т1/х1,...,Тп/хп]-из 1-4
Для тех, кто специально не интересовался понятием неподвижной точки, необходимо пояснить, что это такое, и почему оно действительно представляет интерес.
Одной из стандартных задач арифметики является решение уравнений вида / (х) = 0. Очевидно, что это уравнение имеет в точности те же корни, что и уравнение /(х) = х — х, которое, в свою очередь, может быть преобразовано к виду /(х) + х = х. Обозначим /(х) + х посредством д(х). Получаем, что задача
/(х) = 0
д(х) = х х
значение функции д(х) совпадает со значением ее аргумента. Отсюда и появился термин неподвижная точка. Ряд глубоких теорем математики формулируется в терминах существования неподвижных точек.
Теорема о и следствие 6 говорят о том, что каждый терм де-фипициальпой логики имеет неподвижную точку, и эту точку (терм) можно эффективно построить. Благодаря этому мы можем расширить ттапту логику новым видом определений, которые позволяют вводить в язык новые константы посредством самореферетщии. В обычной логике таких определений стараются избегать, считая самореферетщито порочным кругом и ошибкой. Ограниченная форма определений посредством саморефе-
ретщии используется в математике под названием рекурсивных определений.
3.1 Определения через неподвижные точки
Если T — терм, FV(T) Q {xo,Xi,.. .,xn}, и D — константа, то Dxi...xn =dfp T[D/хо] — определение через неподвижную точку.
3.2 Правило введения определений через неподвижную точку
Если имеется множество определений Д, терм T и константа D, удовлетворяющие ограничениям T E Ь(Д) и D E ^Д), то мы
Д
ния Dx1.. .xn =dfp T[D/x0].
(DFI) Д, Te Ь(Д),Т> E Ь(Д) ^ Д U {Dxi.. .xn =dfp T[D/xo]}
Очевидно, что в том случае, когда переменная хо не имеет вхождений в терм Т, определения через неподвижную точку совпадают с обычными определениями.
3.3 Расширенное согласованное множество определений
Д
ванным, е. и т. е. существует такая последовательность множеств < До,..., Дп >, что n > 0 До = 0, Дп = Д и для всех О < i < n множество Дг получено из Д^-i путем применения правила введения определений DI или DFI.
3.4 Правило замены
xi . . .
xn =dfp T[D/xo] — определение, а X{DYi.. .Yn} — терм, с выделенным вхождением терма DY1.. .Yn, то X {T [D/xo, Yi /xi,..., Yn/xn]} результат замены DYi.. .Yn согласно определению на T[D/xo, Yi/xi,..., Yn/x.n]
(DFE) Dxi.. xn =dfp T[D/xo], X{DYi.. .Yn} ^ X {T ^/xo,Yi /xi,..,Yn/xn]}.
Нам остается показать, что определения через неподвижную точку не могут привести пи к чему плохому.
ТЕОРЕМА 7 (о консервативности определений через неподвижную точку). Если для множества определений А и термов X,Y е Ь(А) не верно, что имеет место вывод А; X > Y, то для любого нового определения Dxi.. .xn =dfp T[D/x0] вывод А U {Dxi.. .xn =dfp T[D/x0]}; X > Y также не будет иметь места.
Доказательство.
Допустим, что имеет место вывод AU{Dxi.. .xn =dfp T[D/xo]}; X>Y
А; X > Y
Обозначим посредством В множество определений Аи {Axy =def y(xxy),Gxoxi. . .xn =def T}.
Во всех термах вывода А U {Dx1.. .xn =dfp T[D/x0]}; X > Y замен»™ константу D па терм A AG. Покажем, что результатом
В; X > Y
Доказательство проводртм индукцией по построению вывода А U {Dxi.. .xn =dfp T[D/xo]}; X > Y.
a) Y = X.
Так как X е Ь(А), то В; X > X.
b) В выводе А U {Dx1.. .xn =dfp T[D/x0]}; X > Y терм Y
->
имеет вид Y{N[Zk/xk]} и получен по правилу DE из терма Y{SZ1.. .Zk} и ^^^^делепия Sx1.. .xk =def N е А. По ртпдуктртвпому допущепртто, имеет место вывод
В; X>U {S Vi...Vk },
где U Vi,..., Vk есть результат замены в термах Y, Zi,..., Zk
константы D на терм AAG. Из терма U{SVi.. .Vk} прпмененп-
->
ем правила DE получаем терм U{N[Vk/xk]} и соответственно ->
вывод В;X > U{N[Vk/xk]}.
c) В выводе А^Оxi.. .xn =dfp Tp/xo]}; X > Y терм Y имеет вид Y{N[S/xo, Zi/xi,..., Zn/xk]} и получен по правилу DFE из терма Y{SZi.. .Zk} и определения Sxi.. .xk =dfp N[S/x0\.
По ртттдуктртвному допущенртто, ртмеет место вывод
В; X>U ^ Vi...Vk },
где и, VI,..., Ук есть результат замены в термах У, Е1,..., Ек константы О на терм ААв. Из терма и {в VI.. V} применением правила ВБЕ получаем терм и{М[в/х0, VI/х1,.. , Vk/хк]} и соответственно вывод О; X > и{М[в/хо,^/х1,.. .^к/хк]}.
ё) В выводе Аи{0х1.. .хп =4/р Т[О/х0]}; X > У терм У имеет вид У{Т[О/хо, Е1/х1,..., Еп/хп]} и получен по правилу ОБЕ из терма У {О Еь . Еп} и определен ия Охь. .хп =$р Т[ /хо]
По индуктивному допущению, имеет место вывод
О;X > и{ААGVl...Vn},
где и, V!,..., ^ есть результат замены в термах У, Е1,...,Еп константы О па терм ААв. Продолжим этот вывод.
1. и{ААв^.. ^п} — заключительный терм предшествующего вывода
2. и{(у(хху)[А/х^/у]^.. .Vп} - из 1 по БЕ
3. и{С(ААG)Vl.. Уп} - из 2 по опр. 2.3
4. и{Т[ААв/хо, Vl/xl,.. , Уп/х,п]} - из 3 по БЕ
В результате мы получили вывод О; X > и{Т[ААСя/хо, Vl/xl,..,Уn/Xn\}■
Все случаи рассмотрены. Так как в выводе О; X > У по условию теоремы X, У Е Ь(А), то мы можем применить к нему теорему 4 и получить искомый вывод А; £ > У. С}.е.Б.
Из следствия 6 и теоремы 7 следует, что определения через неподвижную точку не расширяют дедуктивных возможностей дефипициальпой логики, так как всегда могут быть заменены обычными определениями в смысле 2.4. Вместе с теоремой 4 это означает, что определения через неподвижную точку являются полноправными определениями и при корректном их использовании ни к чему плохому привести тте могут.
Стандартной задачей арифметики является нахождение решения системы уравнений:
¡1(х1, ...,хп) = 0
¡п(х1, ...,хп) = 0
Эту задачу можно свести к задаче о нахождении множественных неподвижных точек для системы уравнений: fi(xi,...,xn) + xi = xi
fn(xi, ...j xn) + xn — xn
Следующая теорема является усилением теоремы о.
ТЕОРЕМА 8 (Теорема о множественных неподвижных точках). Для всякого множества определений А и термов Fi,..., Fn е Ь(А) существует такое множество определений В и термы Xi,...,Xn е Ь(В), что А С В и имеют место выводы А; Xi > (FiXi. ..Xn),..., А; Xn > (FX . .Xn).
Доказательство.
ВА
телыто добавлены следующие определения:
Vixi.. .xn =def xi
Vnxi.. .xn =def xn
Rx =dfp x(Fi(RPi).. .(RPn)).. .(Fn(KPi).. .(RPn))
В качестве терма Xi возьмем RPi-
RPi
2. x(Fi(KPi).. .(RPn))...(Fn(RPi).. .(RPn))[Pi/x] - из 1 no DFE
Pi(Fi(RPi).. .(RPn)).. .(Fn(BPi).. .(RPn)) - из 2 no onp. 2.3
xi[(Fi(KPi).. .^Pn))/xi,..., (Fn(RPi).. (BPn))/xn] - из 3 no DE
5. Fi(RPi).. .(RPn)) - из 4 no onp. 2.3
В настоящей статье мы не будем приводить точных формулировок и доказательств, но лить заметам, что из теоремы 8 по аналогии с теоремой о вытекает возможность принятия множественных определений через неподвижные точки. В арифметике
аналогом этого является одновременное определение нескольких функций посредством взаимной рекурсии.
ТЕОРЕМА 9. Логика дефинициальной дедукции эквивалентна исчислению редукций комбинаторной логики Шейнфинкеля-Карри [6].
Подробное доказательство этой теоремы выходит за рамки настоящей статьи. Дадим лить его набросок.
В логике дефинициальной дедукции мы можем определить два основных комбинатора исчисления редукций комбинаторной логики: Кху х Бхуг хг(уг)
После этого остается лить показать допустимость в дефитти-тцталытой логике правил вывода исчисления редукций комбинаторной логики.
Доказательство в обратную сторону использует тот факт, что правило введения определений В1 является аналогом свойства комбинаторной полноты исчисления редукций. Остается доказать допустимость в исчислении редукций правила БЕ. Это легко сделать индукцией по глубине вхождения терма БУь . .Уп в терм X{БУ1...Уп}.
4 Приложения логики дефинициальной дедукции
Удивительным свойством логики дефинициальной дедукции является то, что многие известные математические объекты и конструкции могут быть в ней просто определены, а не постулированы, как в обычной логике предикатов. Определения этих объектов и их существование не зависят от понятия модели, так как имеют чисто языковую природу.
4.1 Соглашения
1. Будем говорить, что терм, к которому не применимы правила БЕ и ББЕ, находится в нормальной форме.
Если из терма X выводим находящийся в нормальной форме терм У, то будем говорить, что терм X имеет, нормальную форму.
Из свойства Чёрча-Россера дл я дефипициалытой логики следует, что если терм имеет нормальную форму, то она единственна. Этот факт удобно использовать для представления функций.
Допустим, мы хотим определить в нашем языке некоторую функцию £ : Ап — Б, где А и В - некоторые множества. Для этого каждому элементу а Е А и каждому Ь Е Б необходимо сопоставить термы гап и ГЬП, которые будут их представлять. Должно быть соблюдено условие: если а\ Е А, а2 Е Аиа1 = а2, то Га1^ и Га2п имеют разные нормальные формы, т.е. не существует такого терма £ , что г а1П > £ и Га2п > Аналогично Ь1 Е Б Ь2 Е Б
4.2 Определимость функций
Функция £ : Ап — Б определима в логике дефипициалытой дедукции, если существует такой замкнутый терм Е, что для всяких а1,.. .,ап Е А имеет место вывод ЕГа^.. .Гап~Л > гf (а1,.. ап)п, где гf (а1,..ап)п представляет элемент ,..ап) Е Б. В этом случае будем говорить, что терм Е определяет функцию £
4.3 Определение истинностнозначных булевых функций
Определим две константы, которые будут представлять в ттаптем языке Истину и Ложь.
1. (Т ху) х
2. ^ху) у
Поскольку термы Т и Е находятся в нормальной форме и отличны друг от друга, то необходимые условия соблюдены. Определим теперь дополнительные коттстаттты, представляющие основные булевы функции.
1. (N01х)=е (хЕ Т)
2. (Апс!ху) =е (ху¥)
3. (Огху) =е (хТу)
4. (Impxy)=def (xyT)
Легко проверить, что они действительно представляют булевы функции. Проверим это па примере констант Not и And. Для остальных функций проверка аналогична.
(NotT) > (Т F Т) > F (Not f) > (F F T) > T
(And Т Т) > (Т Т F) > Т (And Т f) > (Т F F) > F (And F т) > (F Т f) > F (And F F) > (F F F) > F
Этот пример демонстрирует общую схему, как определяются функции в языке дефипициальпой логики. Подобным образом можно показать, что в пей определимы не только булевы, по и все (!) функции рекурсивной арифметики.
Поскольку исходный язык пуст, т. е. не содержит никаких дескриптивных терминов с заранее заданной интерпретацией, арифметика рекурсивных функций развивается за счет его внутренних ресурсов рт потому совместима с любыми будущими расширениями. Это явление может быть названо лингвистическим априоризмом.
Мы не можем остановиться лить па констатации данного факта, а должны дать ему какое-то рациональное объяснение. По-видимому, оно заключается в том, что многие структуры языка, не только искусственно нами построенного, по и естественных языков, являются древовидными. Эти структуры обнаруживаются при анализе слов, предложений, текстов. Их богатые выразительные возможности для кодирования информации и представления вычислений хорошо известны в математике. Поэтому совершенно не удивительно, что обнаружив Pix в языке, мы от-крылрт в себе способность с помощью операций введения определений (кодирования) и замены согласно определениям (декодирования) представлять разнообразные математические объекты PI конструкции. А поскольку наше знание мы всегда формулируем PI закрепляем в языке, то оно вынуждено подчиняться этим математическим структурам. Не в этом ли и заключается ответ па вопрос о том, почему математика столь успешно приложима к внешнему миру?
Литература
[1] Brown J.R. Philosophy of Mathematics. Routledge, 1999. P. 71.
[2] Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. Учебник. М.: Космополис, 1991. С. 201.
[3] Whitehead A.N., Russel П. Principia Mathematica. Vol. 1. Cambridge, 1910. P. 11. [1] Фрегк Г. Логика в математике. Избранные работы. М.: Дом интеллектуальной
книги, 1997. С. 101.
[5] Gupta A. Definitions // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/entries/definitions/>.
[6] Баркпдркгт X. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. М.: Мир, 1985.
