CC BY
225. Crochemore М., Ilie L., Rytter W. Repetitions in strings: algorithms and combinatorics // Theor. Comput. Sci. 2009. 410, N 50. 5227-5235.
6. Crochemore M., Rytter W. Squares, cubes, and time-space efficient string searching // Algorithmica. 1995. 13, N 5. 405-425.
Поступила в редакцию 17.10.2014
УДК 510.25; 510.64
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ И БАЗИСНАЯ ЛОГИКА
А. Ю. Коновалов1
Определяется абсолютная арифметическая реализуемость предикатных формул. Доказывается, что интуиционистская логика не является корректной относительно этой семантики, тогда как базисная логика корректна.
Ключевые слова: конструктивная семантика, реализуемость, абсолютная реализуемость, формальная арифметика, арифметическая реализуемость, базисная логика, интуиционистская логика.
Absolute arithmetical realizability of predicate formulas is introduced. It is proved that the intuitionistic logic is not sound with this semantics, but the basic logic is sound.
Key words: constructive semantics, realizability, absolute realizability, formal arithmetic, arithmetical realizability, basic logic, intuitionistic logic.
Будем считать, что язык формальной арифметики LA содержит обозначения для всех примитивно-рекурсивных функций, а также константы для обозначения всех натуральных чисел. Атомарные формулы суть выражения вида t\ = ¿2) где ti и ¿2 — термы. Более сложные формулы строятся по стандартным правилам при помощи логических связок Л, V, и кванторных символов 3, V.
Пусть фиксировано натуральное число п ^ 1. Униформизацией формулы Ф(х\,..., хп, у) языка LA, не содержащей параметров, отличных от х\,... ,хп,у, будем называть формулу
Ф(жь • • •, хп, у) Л (Vz < у) -1ф(ж1,.. -,xn,z),
которую обозначим Фи (х\,... ,хп,у). Каждая такая формула задает частичную функцию / : Nra —> N, где f(k\,..., кп) = к, если и только если N |= Фи(к\,..., кп, к), т.е. формула Фи(к\,..., кп, к) истинна в стандартной интерпретации. Пусть фиксирована гёделева нумерация всех формул языка LA. Формулу с гёделевым номером к будем обозначать Ф&. Через ГФП будем обозначать гёделев номер формулы Ф. Если к — гёделев номер такой формулы LA, которая не содержит параметров, отличных от xi,..., хп, у, то посредством ^ обозначим n-местную частичную функцию, задаваемую формулой Ф^. Вместо <р\ будем писать ip^. Опираясь на лемму 19 в работе [1, §52], можно доказать, что композиция арифметических функций есть арифметическая функция, номер которой вычисляется примитивно-рекурсивно по номерам исходных функций. Также с помощью той же леммы устанавливается справедливость s — m — п-теоремы для предложенной нумерации арифметических функций.
Представляет интерес рассмотрение варианта конструктивной логики, основанной на понятии арифметической вычислимости. Понятие арифметической реализуемости для языка LA можно определить по аналогии с рекурсивной реализуемостью Клини [1, §82]. Однако нетрудно убедиться, что возникающая при этом семантика совпадает со стандартной классической семантикой языка LA. Поэтому более уместным представляется рассмотрение арифметической реализуемости сразу в контексте абсолютной реализуемости предикатных формул [2].
Предикатные формулы строятся из атомарных формул Т, 1 и P(vi,...,vn), где Р есть n-местная предикатная переменная; v\,... ,vn — предметные переменные. Наряду со стандартными
1 Коновалов Александр Юрьевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandr.konovalQgmail.com.
правилами построения формул при помощи логических связок Л, V, —>■ и квантора 3 имеются два правила для использования квантора V. Первое правило, применяемое в интуиционистской логике предикатов, стандартно: если А — формула, v — предметная переменная, то \/г> А — формула. Согласно второму правилу, используемому в базисной логике предикатов, формулой является выражение Vv (А —>■ В), где A m В — формулы, v — список предметных переменных.
Пусть фиксированы примитивно-рекурсивные двухместная функция с, которая взаимно однозначно нумерует все пары натуральных чисел, и одноместные обратные функции pi и р2, так что выполняются соотношения pi(c(a;,y)) = х и р2(с(х,у)) = у. В выражениях вида g(t) мы иногда будем опускать скобки и писать просто gt.
Следуя [2], п-местным обобщенным предикатом будем называть всякую функцию типа Nn —>■ 2n. Пусть А — предикатная формула, / — отображение, которое каждой предикатной переменной из А ставит в соответствие обобщенный предикат соответствующей валентности. В этом случае отображение / будем называть оценкой формулы А. Временно введем в язык логики предикатов константы для обозначения всех натуральных чисел. Формулы с этими константами будем называть предикатными формулами расширенного языка.
Для каждого натурального числа е, произвольной замкнутой предикатной формулы расширенного языка А и оценки / определим отношение е гаг А (число е реализует А при оценке /):
1) е ra¡ Т ^ е = 0;
2) для всякого е неверно, что е гar _L;
3) е rj Р(а\,..., ап) е £ f(P)(a\,..., ап), если Р есть n-местная предикатная переменная, di,... ,ап — натуральные числа;
4) е га/ (А AB) ^ [pie га/ А и р2е га/ В]-
5) е rar (AV В) ^ [(pie = 0 и р2е rar А) или (pie = 1 и р2е гаг В)\,
6) е га/ (А^В)^ Va (a га/ А [\<ре(а) и <ре(а) га/ В])-
7) е ra¡ ЗхА(х) ^ р2е rj А(pie);
8) erjrVx (А(х —> В(х)) ^ Vk, к (кгагА(к) => к) и к)га/В(к)}), где х = хъ ..., хп, к = к\,..., кп (для формул базисной логики предикатов);
9) erагУх А(х) ^ Ук (\ípe(k) и ípe(k) гаг А(к)) (для формул интуиционистской логики предикатов).
Будем говорить, что замкнутая предикатная формула А абсолют,но арифметически реализуема, если для любой оценки / формулы А найдется такое натуральное число е, что е гar А.
Теорема 1. Существует замкнутая предикатная формула, выводимая, в интуиционистском исчислении предикатов, не являющаяся абсолют,но арифметически реализуемой.
Доказательство. Рассмотрим выводимую в интуиционистском исчислении предикатов формулу
УуУхЗг P(x,y,z) —> УхУуЗг P(x,y,z). (1)
Определим оценку / этой формулы следующим образом: f(P)(x,y,z) = {0}, если \{\ipy(x) и <ру(х) = z) или (-■!(ру(х) и z = 1)], в противном же случае положим f(P)(x,y,z) = 0. Докажем, что при данной оценке формула (1) не может быть реализуема никаким натуральным числом. Для этого достаточно показать, что формула УуУхЗг Р(х,у, z) реализуема при данной оценке, а формула УхУуЗг Р(х, у, z) — нет. Рассмотрим функцию к, которая каждому натуральному числу е ставит в соответствие гёделев номер арифметической формулы, выражающей отношение
(■у = с(1, 0) А -.!ре(ж)) V (у = С(ре(ж), 0)Л!ре(ж)).
Согласно лемме 19 из работы [1, §52], функция к примитивно-рекурсивна. В качестве реализации УуУхЗг Р(х, у, z) может быть взято число гу = к(ж)п.
Докажем, что при оценке / формула УхУуЗг Р(х,у, z) нереализуема. Для этого достаточно доказать, что нереализуемой является формула расширенного языка УуЗг Р(0, у, z). Предположим противное: пусть эта формула реализуется числом d. Рассмотрим функцию ф(х) ~ pi(ipd(x)). Непосредственно проверяется, что
■00*0 = если
Ив противном случае.
Заметим, что в случае, когда х — гёделев номер замкнутой арифметической формулы, функция <рх или нигде не определена, если формула Фж ложна, или тождественно равна нулю, если Фж истинна.
Отсюда видно, что при помощи отношения ф(х) = 1 предикат истинности для арифметики может быть выражен в языке арифметики, что невозможно по теореме Тарского. Теорема доказана.
Базисная логика предикатов в виде секвенциального исчисления ВС^С описана в [3]. Мы будем рассматривать вариант исчисления ВС^С в языке без предметных констант, функциональных символов и равенства. Этот фрагмент задается следующими схемами аксиом, где х, у, t — списки предметных переменных:
А1) А => А; А2) А => Т; АЗ) _1_ => А; А4) А А Зж В => Зж {А А В), где переменная х не свободна
в А;
А5) А Л (В V С) => (А Л В) V (А Л С); А6) Ух (АВ) Л Ух (В -»■ С) Ух (А -»■ С); А7) Ух (А -»■ В) А Ух (Л -»• С) => Ух (А -»■ ВАС)-, А8) Ух (В -»■ А) А Ух (С -»• А) Ух {ВМС -»• А); А9) Ух(Д(х) —>■ В(х)) => Ух(Д(Ч) —>■ где t — список переменных, каждая из которых
свободна для соответствующей переменной в формулах А(х) и В(х)\
А10) Ух(Д(х) —>■ В(х)) => Уу(Д(х) —>■ В(х)), где каждая переменная из списка у не входит свободно в левую часть секвенции;
А11) Ух, х (В —> А) => Ух (Зж В А), где переменная ж не свободна в А. Исчисление ТЮС имеет следующие правила вывода: шч А ^ В В =» С. А=> В С. А =» В АС ¡.л А =» В А С А^С ' К2) А^ВАС 'А^В А^С
В =» АС А. Б УС=> Л ^ БуС=>Л
116) ^^ ^ Д(^) ' каж^ая пеРеменная из списка t свободна для соответствующей перемен-
ной из списка х в формулах А(х) и В(х)\ в А;
п ^ 4 г]™ о ^ л
К-7) где переменная ж не свободна в А; 118) ■ гДе переменная ж не свободна
119) ^ С)' кажДая переменная из списка х не свободна в А.
Понятие абсолютной арифметической реализуемости распространим на секвенции по аналогии с определением примитивно-рекурсивно реализуемой секвенции из работы С. Салехи [4]:
е га/ А(х) 5(х) ^ е га/ Ух (Л(х) -»• 5(х)).
Теорема 2. Всякая выводимая, в базисной логике предикатов секвенция является абсолют,но арифметически реализуемой.
Доказательство. Теорема доказывается индукцией по построению вывода секвенции $1 => $2-Для произвольной оценки / укажем такое натуральное число е, что => $2- Будем считать, что
свободные переменные всех формул, которые встречаются в процессе доказательства, составляют список г = п,..., Г1-
Рассмотрим случай, когда секвенция $1 => $2 представляет собой одну из аксиом.
Аксиома А1: е = Гу = Жг+1П.
Аксиома А2: е = гу = СР.
Аксиома АЗ: в этом случае в качестве е подойдет любое натуральное число.
Аксиома А4: е = гу = с(р1р2жг+1, с(р1жг+ь ргргжг-н))"1.
Аксиома А5: е = гу = с(р1р2жг+ь с(р1Жг+ь р2р2жг+1))~|.
В последующих аксиомах будем считать, что х есть список переменных х\,... ,хп.
Аксиома А6: е = гу = к(р1Жг+1, , где к — такая примитивно-рекурсивная функция, что
Рщ^^хх,... ,хп,хп+1) ~ рпс+1{хъ ... ,хп,рг^г1{х\,... ,жга,жга+1)) для любых натуральных чисел Ъ,с.
Аксиома А7: е = гу = к(р1Жг+1, , где к — такая примитивно-рекурсивная функция, что
^к(ь,с)(Ж1' •• • ^хп1хп+1) ^ с((р^+1(х1,...,хп,хп+1),(р^+1(х1,...,хп,хп+1)) для любых натуральных Ь, с.
Аксиома А8: е = гу = к(р1Жг+1, , где к — такая примитивно-рекурсивная функция, что
для любых натуральных чисел Ъ, с
{<^+1(жъ ...,хп, р2жга+1), если р!Жга+1 = 0; (р'с+1( XI, ...,хп, р2жга+1), если р!Жга+1 = 1; не определена в остальных случаях.
Аксиома А9: пусть список t имеет вид г^,..., r,-fc, ..., Xin_k и k — такая примитивно-рекурсивная функция, что а. ,Xn,Xn+i) - {ajli ■ ■ ■ > ajk > xh > • • • ,хг„^к,хп+1) ДЛЯ ЛЮбых натуральных чисел d,(ij1, ■ ■ ■ ,djk- В этом случае е = гу = к(xi+i,xjlt... ,Xjk)n.
Аксиома А10: пусть список у состоит из переменных х^,... ,Xik, входящих в список х, и переменных 2/1,... ,ут, не входящих в список х; пусть Xjly... ,Xjn_k — все переменные из списка х, не вошедшие в список у (тогда они входят в список г). В этом случае е = гу = k{xi+i^xj1^... ,Xjn_k)~l, где к — такая примитивно-рекурсивная функция, что для любых натуральных чисел a, Xj1,..., Xjn_k имеет место условное равенство
<(akxl\-.,x3n_k )(yi,---ym,Xll,...,Xlk,z) ^ <Pa+1 (х, z).
Аксиома All: е = гу = к(х1+\)^, где к — такая примитивно-рекурсивная функция, что для любого натурального числа а имеет место условное равенство
• • • ixn,Xn+i) ~ (fa+2(x 1, ...,Хп, PlXn+i, p2Xn+l).
Теперь рассмотрим случай, когда секвенция Ф | => Ф2 получается по одному из правил вывода. Правило R1. Пусть arar А => В и сгагВ => С. Тогда е — гёделев номер арифметической формулы,
выражающей отношение у = ..., xi, <£>а+1(жi,... ,xi,xi+1)).
Правило R2. Пусть brarA => В и crj А => С. Тогда е — гёделев номер арифметической формулы,
выражающей отношение у = c{tpl^l{xi,... ,xi,xi+\), iplr+1(x\,... ,xi,xi+\)).
Правило R3. Пусть d гаг А => ВАС. Тогда е — гёделев номер арифметической формулы,
выражающей отношение у = ..., xi, xi+\) в случае (а) и у = p2t^+1(a;i,..., xi, xi+\) в
случае (б).
Правило R4. Пусть brar В А т сгаг С => А. Тогда для некоторого натурального е
{<^+1(жь ...,xi, p2xi+i), если pia;i+i = 0; iplr+1(xi,...,xi,p2xi+i)), если pi^+i = 1; не определена в остальных случаях.
В данном случае число е искомое.
Правило R5. Пусть d г аг В V С => А. Тогда е — гёделев номер арифметической формулы,
выражающей отношение у = tpl^l{xi,... ,xi,c{0,xi+\)) в случае (а) и у = tpl^l{xi,... ,xi,c{l,xi+\)) в случае (б).
Правило R6. Список t имеет вид г^,..., Vjn. Пусть d rar А(х) => В(х). Тогда е — гёделев номер арифметической формулы, выражающей отношение у = Lpr^+l(xj1,... ,xjn,xi+i).
Правило R7. Пусть все свободные переменные формул A m В содержатся среди х\,... ,хп,х, и пусть d raJ В => А. Тогда е — гёделев номер формулы, выражающей отношение у = ..., хп,
Pl^n+l, P2^„+l).
Правило R8. Пусть все свободные переменные в А и В содержатся среди х\,..., хп, х и drar3x В => А. Тогда е — гёделев номер формулы, выражающей отношение у = (р^+1(х..., хп, с(хп+\, хп+2))■ Правило R9. Пусть все свободные переменные формул А, В и С содержатся среди х, хп+\,..., хп+т и d rj А А В => С. Тогда е = гу = s(a?i,... ,xm,xm+i)~>, где s — примитивно-рекурсивная
функция, такая, что ^(¡ь1...,ат,ат+1)(х ь • • ->хп,хп+1) ^ <f2+m+1(xi, ...,хп,(11,... ,ат,с(ат+1,хп+1)) для любых а 1,..., ат, ат+\. Теорема доказана.
Если в базисной логике предикатов BQC выводится секвенция Т А, то в этом случае говорят, что формула А выводится в BQC. Следующая теорема получается как следствие из теоремы 2.
Теорема 3. Всякая замкнутая предикатная формула, выводимая, в базисной логике предикатов, является абсолют,но арифметически реализуемой.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант №14-01-00127).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.
2. Плиско В.Е. Абсолютная реализуемость предикатных формул // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47, №2. 315-334.
3. Ruitenburg W. Basic predicate calculus // Notre Dame J. Formal Logic. 1998. 39, N 1. 18-46.
4. Salehi S. Primitive recursive realizability and basic arithmetic // Bull. Symbol. Logic. 2001. 7, N 1. 147^148.
Поступила в редакцию 08.12.2014
УДК 515.124.2, 515.126.4
О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ ТИПА НУРА
С ПОГРЕШНОСТЯМИ В ВЫПУКЛОМ КОНИЧЕСКОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Т.Н. Фоменко1, К. С. Ястребов2
Доказывается критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (Noor-type) с погрешностями для аппроксимации общих неподвижных точек трех последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в себя замкнутого выпуклого подмножества полного выпуклого конического метрического пространства.
Ключевые слова: итерационная схема типа Нура, коническая метрика, квазилипши-цево отображение, выпуклость в метрическом пространстве, общие неподвижные точки.
A convergence criterion of the Noor-type iteration scheme with errors is proved for the approximation of common fixed points of three sequences of uniformly quasi-Lipschitzian self-mappings of a closed convex subset in a complete convex cone metric space.
Key words: Noor-type iteration scheme, cone metric, quasi-Lipschitzian mapping, convexity in a metric space, common fixed points.
В работе fl] получен критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (Noor-type) с погрешностями для аппроксимации общих неподвижных точек трех последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в себя замкнутого выпуклого подмножества полного выпуклого метрического пространства. В настоящей работе рассматривается аналогичная задача для случая полного выпуклого конического метрического пространства. В силу особенностей конической метрики найденное нами необходимое и достаточное условие сходимости отличается от необходимого и достаточного условия, полученного в [1]. Из основного результата (теорема ниже) следует аналогичный критерий сходимости итерационной схемы типа Ишикавы (Ishikawa) с погрешностями для двух последовательностей равномерно квазилипшицевых отображений в полном выпуклом коническом метрическом пространстве, который исправляет ошибочный результат работы [2].
Введем необходимые обозначения и определения. Пусть Е - нормированное векторное пространство.
Определение 1 [3]. Непустое подмножество Р С Е называется конусом,, если Р непусто, замкнуто, Р ф {в}, Р П {—Р} = {в}, а также для любых а, Ъ € М+ = [0, оо) и любых х,у € Р верно ах + Ьу € Р.
В пространстве Е с конусом Р определен частичный порядок А именно будем считать, что х у, если у — х € Р\ х -< у означает, что х < у, но х ф у.
Конус Р называется телесным,, если его внутренность intP ф 0. В случае телесного конуса будем говорить, что х <С у, если у — х € intP.
Теория пространств с конусом и их применений восходит к работам М. Г. Крейна, а также М. А. Красносельского, П. П. Забрейко и других математиков воронежской школы (см. в связи с этим, например, [3, 4]).
1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex .ru.
2Ястребов Кирилл Сергеевич — студ. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: yastrebovksQgmail.com.
