О конструктивной теории перечислимых видов Текст научной статьи по специальности «Математика»

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2017. №2

13

УДК 510.25, 510.54

О КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕЧИСЛИМЫХ видов

В. Е. Плиско1

Определяется конструктивная семантика языка теории множеств с атомами, основанная на интерпретации переменных по множествам как перечислимых видов. Полностью исследован вопрос о корректности аксиом теории множеств Цермело-Френкеля относительно введенной семантики.

Ключевые слова: интуиционизм, теория множеств, вид, перечислимое множество, рекурсивная реализуемость.

A construcrive semantics for the language of the set theory with atoms based on interpreting set variables by enumerable species is defined. The soundness of the axioms of the Zermelo-Fraenkel set theory with this semantics is completely studied.

Key words: intuitionism, set theory, species, enumerable set, recursive readability.

1. Универсум перечислимых видов. В интуиционистской математике одним из аналогов понятия множества является вид как точно сформулированное условие, которому могут удовлетворять некоторые математические объекты (см. [1]), называемые в этом случае членами вида. Один из простейших способов задания вида, членами которого могут быть натуральные числа, — указание алгоритма, позволяющего установить, что данное число есть член этого вида. Таким образом, совокупность членов такого вида является перечислимым множеством2. При этом существенно, что условие, задающее вид, само должно пониматься интуиционистски. Это означает, что число х является членом вида у (х € у), если имеется обоснование того факта, что х удовлетворяет условию, задающему вид у. Следуя идее Клини, лежащей в основе рекурсивной реализуемости (см. [3, § 82]), будем считать, что число х может рассматриваться как член данного вида у только вместе с числом е, кодирующим обоснование утверждения ж € у, так что на самом деле речь должна идти об упорядоченной паре (е,х).

Идея интерпретации языка теории множеств посредством трактовки отношения т € п как т € Wn, где Wn — перечислимое множество с гёделевым номером п, не нова. Она обсуждается, например, в [2, § 11.4]. В частности, там отмечается, какие из аксиом теории множеств Цермело-Френкеля и при каких условиях выполняются в такой интерпретации. Подход, развиваемый в настоящей работе, характеризуется, во-первых, несколько иной трактовкой отношения т € п и, во-вторых, использованием конструктивной семантики языка теории множеств.

Пусть фиксирована взаимно однозначная примитивно-рекурсивная нумерация т всех пар натуральных чисел, так что каждой паре (х,у) сопоставлен ее номер т(х,у), причем обратные функции 7Го и 7Ti, которые по номеру пары (х,у) выдают числа х ж у соответственно, также примитивно-рекурсивны. Вместо т(х,у) будем писать (х,у), а вместо tiq(z) и тт\(z) — соответственно (z)o и {z)\. Условимся также вместо ((z)i)j, где i,j € {0,1}, писать (z)ij. В результате мы приходим к представлению о перечислимом виде у как о перечислимом множестве W, причем ж € у, если и только если (е, х) € W для некоторого е.

Пусть фиксирована главная нумерация класса всех одноместных частично-рекурсивных функций, основанная на подходящей нумерации алгоритмов. На ее основе зададим нумерацию перечислимых множеств натуральных чисел, полагая Wn = D(ipn), где ipn — частично-рекурсивная функция с номером п. В дальнейшем запись lip(x) будет означать, что функция ip определена в точке х. Если функция / задается явным выражением f(x), из которого извлекается алгоритм ее вычисления, то через Ax.f(x) будем обозначать номер функции /, соответствующий этому алгоритму.

Итак, мы имеем два типа объектов — натуральные числа и перечислимые виды, членами которых могут быть натуральные числа. Объекты первого типа будем называть объектами уровня 0 или атомами и представлять их как упорядоченные пары вида (0, х), где х — произвольное натуральное число. Объекты другого типа — перечислимые виды, членами которых могут быть атомы, — будем

1 Плиско Валерий Егорович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vepliskoQyandex.ru.

2 Определения используемых в работе понятий, относящихся к теории алгоритмов, можно найти в книге [2].

называть объектами уровня 1 и представлять их как упорядоченные пары вида (1 ,п), причем атом х является членом объекта у = (1 ,п), если и только если (е, х) € Шп для некоторого е.

Пусть для некоторого натурального т ^ 1 и каждого г < т определены объекты уровня г, которые кодируются натуральными числами вида (г,п). Тогда натуральные числа вида (т,п) будем называть объектами уровня т и будем считать, что объект х уровня г < т, является членом объекта (т,п), если и только если (е, х) € Шп для некоторого е. Таким образом, для каждого т, объекты уровня т кодируются натуральными числами. Объекты уровня т ^ 1 будем называть перечислимым,и видам,и уровня т.

2. Язык теории множеств с атомами. Язык теории множеств с атомами — это элементарный язык с равенством, сигнатура которого содержит двухместный предикатный символ е и одноместный предикатный символ А. Для определения реализуемости введем в язык константы 0,1, 2,... для всех натуральных чисел. Таким образом, термам,и этого расширенного языка являются (предметные) переменные и натуральные числа. Ат ом арные формулы имеют вид [¿1 £¿2] и [¿1 = ¿2]) где ¿1, ¿2 — термы. Формулы строятся по следующим правилам: 1) всякая атомарная формула есть формула; 2) если Ф — формула, то ^Ф — формула; 3) если Ф и Ф — формулы, то [Ф&Ф], [Ф V Ф], [Ф I) Ф], [Ф = Ф] суть формулы; 4) если Ф — формула, х — переменная, то Ух Ф и Эх Ф суть формулы. Замкнутые формулы будем называть также высказываниям,и. При написании формул мы будем иногда опускать скобки [ и ] в атомарных формулах и в некоторых других случаях, считая, что подразумеваемый порядок выполнения логических операций такой: -1,&,\/,1),=. Условимся о следующих обозначениях: если и = и\,...,ип — список различных переменных, то вместо Уи\... Уип будем писать \/и.

Определение 1. Отношение " натуральное число е реализует замкнутую формулу Ф", кратко обозначаемое егФ, определим индукцией по количеству логических символов в Ф:

0) егА(к) ^ (к)о = 0;

1) ег[к = 1} ^ к = I;

2) е г [к е 1} ^ [(к)о < (/)о & <е, к) €

3) е г [Ф0 & Фх] ^ [(е)о г Ф0 & (е)1 г Ф:];

4) е г [Фо V Ф1] ^ [(е)0 = 0&(е)1гФо У(е)0 ^0&(е)1гФ1];

5) ег [Ф0 Э Ф1] ^ У а [агФ0 => ЭЬ(сре(а) = ЬкЬ ГФ1)];

6) е г -1Ф0 ^ УЬ -1 [Ь г Ф0];

7) е г [Фо = Ф1] ^ ег [[Фо =) Фх] &; [Фх Э Ф0]];

8) егБх Ф0(х) ^ (е)1 г Ф0((е)0);

9) егУхФо(х) ^УкБЬ[(ре(к) = ЬкЬгФ0(к)}.

Высказывание Ф называется реализуем,ым,, если существует такое число е, что егФ. В этом случае будем писать гФ.

Введенное понятие реализуемости не отличается от рекурсивной реализуемости по Клини в трактовке логических операций, поэтому имеет место следующая теорема о корректности интуиционистского исчисления предикатов 1<ЗС.

Теорема 1. Каковы бы ни были множество замкнутых форм,у л, Г и замкнутая формула Ф; если Г Ь|<зс Ф; то по реализациям, формул, из Г можно эффективно построить реализацию формулы Ф.

3. Редуцированные виды. Если а — объект уровня т ^ 1, т.е. имеет вид (т, п), то для любого объекта Ь уровня г < т высказывание Ъеа реализуемо, если и только если (е, Ъ) € Шп для некоторого е. Однако множество Шп может содержать и такие пары (е, с), где с не является объектом уровня г < т. Сейчас мы покажем, что можно обойтись более экономными редуцированными, видами.

Перечислимое множество Ш назовем г-редуцированным,, если Ух (х € Ш =5- (ж)ю < г)- Очевидно, что О-редуцированным является только пустое множество.

Предложение 1. Существует такая двухместная общерекурсивная функция р, что для всех г, п

1) множество И7^^) является г -редуцированным,;

2) ^(г.га) = если, множество Шп является г -редуцированным,.

Доказательство. Рассмотрим трехместную функцию /, заданную следующим образом:

не определено в противном случае.

Очевидно, что функция / вычислима. По свойству параметризации существует такая двухместная

тотальная вычислимая функция р, что для любых г, п, ж имеет место — п)х)• Очевидно,

что р — искомая функция. Предложение доказано.

Объект (т, п), где т ^ 1, назовем редуцированным, если Шп есть т-редуцированное перечислимое множество. Если х = (т, п), где т ^ 1, то через <т(ж) будем обозначать объект (т, р(т, п)). Очевидно, что а — вычислимая функция и всякий объект вида (т, р(т, п)) является т-редуцированным.

Предложение 2. Каковы, бы ни были объект а уровня т ^ 1, а также произвольные объект Ъ и натуральное число е, имеет место ег [Ъе а] тогда и только тогда, когда ег [бе <г(а)].

Доказательство. Пусть даны число т ^ 1, объект а = (т,п) и произвольный объект Ъ. Пусть ег [Ьеа]. Это означает, что (6)о < т и (е, Ь) € Шп. Но тогда (е, Ь) € т.е. ег[Ьеа(а)]. Обратно,

если ег[Ьеа(а)], то (6)о < т и (е, Ь) € И7^^. Но тогда (е,Ь) € т.е. ег[6еа]. Предложение доказано.

4. Элементы теории множеств в конструктивной семантике. Введем следующие сокращенные обозначения для некоторых формул: Е(ж) ^ -лА(х) & -1 Зу [у е х]; N(3?) ^ Зу [уеж]; х = {у} ^ У г [г е х = г = у]; х = {у, г} ^ V« [и е х = и = у V и = г]; х = (у, г) ^ 3-й 3-и [и = {у}&у = {у,г}&х = {и,у}]-, ж = и у ^ -¡А(х) & У г [г е ж = Зи [и е у & г е и]]; ж С у ^ -¡А(х) &\/и[иёа;Эи£1/]; у = Т>{ж) ^ [г е у = г С ж];

Рп(ж) ^ \/у [у еж I) Зи 3-и [у = (и, -и)]] & Уи, v,«;, у, г [у = (и,у) = (и,«;) ¡к у еж & г еж I) v = ъи]. Теорема 2. Следующие формулы реализуемы:

1) Зж Е(ж);

2) Уу,гЗх[х = {у, г}]]

3) Ух,у1,гг,у2,г2 [ж = {уг,гг}&х = {у2,г2} Э [[у1 = У2 Vyl = г2] & [¿1 = Уг V ¿1 = г2] &

& [У2 = У\ V 2/2 = ¿1] & [¿2 = 2/1 V 22 = 21]];

4) УуЗж [ж = {у}];

5) \/ж,у,г[ж = {у}кх = {г} э у = г}]

6) \/у, 2 Зж [ж = (у, г)];

7) \/ж,У1,21,У2,22 [ж = (уЬ21)&ж = (у2,22) I) у\ = у2 &¿1 = г2];

8) \/у Зж [ж = и у].

Доказательство. 1) Пусть а — такое число, что \¥а = 0- Очевидно, что формула Зж Е(ж) реализуема числом ((1, а), (0,0)).

2) В силу определения 1 достаточно описать алгоритм, который по всяким объектам а и Ь строит такой объект с, что г Уи[иес = и = а V и = Ъ]. Пусть И^ = {(0, а), (0, Ь}}. Нетрудно убедиться, что можно взять с = (тах((а)о, (Ь)о) + 1, - Таким образом, существует алгоритм, который для любых объектов а уровня ¿и Ь уровня ] строит такой объект с уровня тах(г, ]) + 1, что реализуемо высказывание с = {а, Ь}.

3) Требуется доказать, что для любых а, Ъъ Ъ2, сь с2, таких, что (а) г [а = {Ь^сг}], (б) г [а = {Ь2,с2}], имеет место {61,01} = {62,с2}. Условия (а) и (б) означают, что высказывания Уг[геа = г = Ь\ V 2 = с\] и У г [геа = г = 62 V 2 = с2] реализуемы. Из реализуемости первого из них вытекает г [Ь\ е а], а отсюда и из реализуемости второго высказывания вытекает Ъ\ = Ъ2 V Ъ\ = с2, т.е. Ь1 € {Ь2,с2}. Аналогично доказывается, что С1 € {Ь2,с2}, а также, что Ъ2 € {61,01} и с2 € {61,01}.

4) Реализуемость этой формулы вытекает из реализуемости формулы 2, теоремы 1 и того факта, что формулы ж = {у} и ж = {у, у} эквивалентны в исчислении 1<ЗС. Таким образом, существует алгоритм, который для любого объекта а уровня г строит такой объект 6 уровня г + 1, что г [6 = {а}].

5) Реализуемость этой формулы вытекает из предыдущего замечания и реализуемости формулы 3.

6) Реализуемость этой формулы вытекает из теоремы 1 и того факта, что данная формула выводится в исчислении IО С из формул 2 и 4. Заметим, что существует алгоритм, который для любых объектов а уровня гиб уровня ] строит такой объект с уровня тах(г, ]) + 2, что реализуемо высказывание с = (а, Ъ).

7) Реализуемость этой формулы вытекает из теоремы 1 и того факта, что данная формула выводится в исчислении IОС из формул 3 и 5.

8) Требуется описать алгоритм, который для всякого числа а строит такое число Ъ, что г —*А{Ь) и

г Ух [х е Ъ = Зи,[и,еакх ей]]. Если а — атом, то в качестве Ь возьмем такой объект, для которого г Е(6). Пусть а = (г, с), где г > 0. Рассмотрим одноместную функцию ф, принимающую только значение 0 и такую, что \ф(х) Зу ((ж)ю < (у)ю <гк 1<рс(у) к (х))• Очевидно, что функция ф вычислима.

Пусть (рл = ф. Несложно убедиться, что можно взять Ь = (г,с1). Теорема доказана. Теорема 3. Следующие формулы нереализуемы:

1) Уу,хЗхУи[иех = и = {у} У и = {у,г}];

2) УхЗу [у = Т{х)].

Доказательство. 1) Пусть для натуральных чисел а и Ь существует натуральное число с, такое, что г Уи[иес = и = {а} V и = {а, Ь}]. Тогда высказывание к ее должно быть реализуемо для всех таких к, что реализуемо одно из высказываний к = {а} и к = {а, Ь}. Из реализуемости высказывания к ее следует (к)о < (с)о- С другой стороны, условию г [к = {а}] удовлетворяют числа к, для которых (к)о может быть сколь угодно большим.

2) В силу теоремы 2 существует объект а, для которого гЕ(а). Легко доказывается, что для такого а нереализуемо высказывание Зу [у = Т>{а)\. Теорема доказана.

5. Аксиомы теории множеств с точки зрения конструктивной семантики. Мы берем за основу систему аксиом теории множеств с атомами Ъ¥К, описанную, например, в [4], но не используем константу для обозначения пустого множества, а вместо константы А используем одноместный предикатный символ. В этой ситуации аксиоматика 7Г А выглядит следующим образом.

I. Аксиома пуст,ого множества: ЗжЕ(ж).

II. Аксиома для атомов: Ух \А(х) = -'Е(ж) & -1|\1(ж)].

III. Аксиома, экстенсиональности: Ух, у \-*А(х) & ~>А{у) I) [ж = у = Уи [иех = -иеу]]].

IV. Аксиома регулярности:

Ух [1\1(ж) Э Зу [у ехк, \zexkzey]]]. (1)

V. Аксиома пары: Уу, г Зх [ж = {у, г}].

VI. Аксиома суммы: Ух Зу [ж = и у].

VII. Схема аксиом, выделения:

\/и, ж Зу ЬА{у) к Ух [х е у = г е ж к Ф(г, и)]], (2)

где Ф(г,и) — произвольная формула, не содержащая свободных вхождений переменных ж и у.

VIII. Аксиома степени: Ух Зу [у = /Р(ж)].

IX. Аксиома бесконечности: Зх [Зи [Е(-и) к и е ж] к Уу [у е ж I) Зу[у е ж к Уги [к; е V = и) е у\/из = у]]]].

X. Схема аксиом, подстановки:

Ух [Уи, V, IV [к; еж к Ф(-ш, и) к Ф(-ш, у) э и = у] э Зу \-^А(у) к Уу [и е у = Зи [и е ж к Ф (и, -и)]]]], (3)

где Ф(и, у) — произвольная формула.

XI. Аксиома выбора: Ух [-¡А(х) I) 3/ [Рп(/) к У у [у ехк 1\1(у) э Зх [г е у к Зу [у е / к у = (у, -г)]]]]]. Теорема 4. Реализуемы следующие аксиом,ы, системы ИРА: аксиома, пуст,ого множества, аксиома для атомов, аксиома, пары, аксиома, суммы, аксиома, выбора.

Доказательство. Реализуемость аксиомы пустого множества, аксиомы пары и аксиомы суммы следует из теоремы 2. Легко доказать, что аксиома для атомов реализуется следующим числом: Лг.(Ла.(0, 0), (Л6.0)). Для доказательства реализуемости аксиомы выбора опишем алгоритм, который по всякому объекту а, не являющемуся атомом, строит такой объект /, что реализуемы высказывания Рп(/) и

Уу[уеакЩу) =) Зх [хеу к Зу [у е / к у = (у,х)]]. (4)

Пусть дан объект а = (г, к), причем г ^ 1. Опишем алгоритм построения объекта / с указанными свойствами. Если г = 1, то в качестве такого объекта можно взять произвольный объект /, для которого имеет место гРп(/). Рассматриваем случай, когда г > 1.

Лемма 1. Существует такая частично рекурсивная функция ф, что для любого п имеет место ф{п) € Шп, если, Шп ф 0.

Доказательство. Рассмотрим двухместную функцию д, заданную следующим образом:

, , _ ГО, если вычисление (рп((ж)о) завершается за ^ (ж)1 шагов; 1 в противном случае.

Эта функция вычислима. Теперь положим ф(п) ~ (рх.[д(п, ж) = 0])о- Очевидно, что ф — искомая функция. Лемма доказана.

Лемма 2. Каков бы ни был объект Ъ = {j,l}, такой, что rN(6); имеет место (d)o г [(d)i е Ъ], где d = ф(р(з,1)), ф — функция из леммы 1, р функция из предложения 1.

Доказательство. Пусть дан объект b = (j,l), причем 3e(erN(6)). Это означает, что j ^ 1 и (e)i г [(е)о eb], т.е. (е)оо < j и ((e)i, (е)о) € Wj. Следовательно, ф 0. Тогда определено значение

ф(р(],1)), где ф — функция из леммы 1. Пусть d = ф(р(у,1)). Таким образом, ((d)o,(d)i) € причем (с?)ю < j. Это означает, что (d)o г [(d)i е <т(Ь)]. Тогда в силу предложения 2 имеет место (d)о г [(d) 1 eb], что и требовалось доказать. Лемма доказана.

Положим ф(Ь) ~ ф(р((Ь)о, (6)i))- В силу леммы 2 если г N(6), то значение ф(Ь) определено и при

этом

{фт^ШЪ^еЪ]. (5)

В силу теоремы 2 существует такая двухместная вычислимая функция h, что для произвольных объектов а и b имеет место

(h(a,b))1r[(h(a,b))o = (a,b)], (6)

причем

(h(a, b))оо = max((a)o, (6)о) + 2. (7)

Положим х(х) — (h(x, (ф(х))i))o-

Пусть дан объект а = (г, к), причем г > 1. Положим

Wm = {{0,х) \ 3y,z((y,z) eWkkx = X(z))}, f = (г + 2, т).

Легко доказать, что реализуемо высказывание Fn(/). Остается доказать реализуемость высказывания (4). Для этого опишем алгоритм вычисления такой двухместной функции д, что для любых b и е если er [beak N(6)], то

g(b,e)r3z[zeb&3v[v = (b,z)kvef]]. (8)

Для произвольных b и е положим

д(Ь, е) с (mb))i, ШЪ))о, ШЬ, (V(b))i))o, (0, h(b, (V(b))i)}»>,

Где — функция, удовлетворяющая условиям (6) и (7). Пусть er [6ea& N(6)]. Тогда (а) (e)or[6ea] и (б) имеет место г N(6). Докажем утверждение (8), которое означает следующее:

{ф{Ь)\хШЬ))хеЬ1 (9)

0r [(h(b, (ф(Ь))\))о € /], (10)

онь, (^(b))i)i г тъ, (тюо = (ь, да))1)]- (п)

Утверждение (9) есть в точности (5) в силу условия (б). Утверждение (11) следует из условия (6). Легко доказывается и утверждение (10). Теорема доказана. Теорема 5. Аксиома экстенсиональности нереализуем,а.

Доказательство. Достаточно указать такие объекты а и Ь, что реализуемы формулы -iА(а), -1 А(Ь) и Уи[иеа = ueb], но а ф Ъ. Очевидно, что можно взять а = (1 ,с), b = (1 ,d), где end — различные номера пустого множества. Теорема доказана.

Очевидно, что с конструктивной точки зрения ни о какой экстенсиональности речи быть не может. Если же ввести равенство так, чтобы формула k = I, где к и I не являются атомами, была реализуема тогда и только тогда, когда реализуема формула V-u [и е к = и е I], то нарушатся логические аксиомы равенства. Так, в этом случае нереализуема формула Vx,y,z[x = у D [xez D у ez]]. Действительно, если а = (1 ,с), Ъ = (1 ,d), где cad — различные номера пустого множества, то высказывание а = b в рассматриваемом контексте реализуемо. Пусть теперь We = {(0, а)} и / = (2, е). Тогда высказывание а € / реализуемо, а b € / — нет.

Теорема 6. 1) Аксиома регулярности нереализуем,а.

2) Реализуем следующий, ослабленный вариант аксиом,ы, регулярности:

\/ж[1\1(ж) D ^Зу[у ex & ^3z[z ex & z еу}}}. (12)

Доказательство. 1) Если е реализует формулу (1), то

VA: <pe(k) г Щк) D 3y[yekk^3z[zekkzey]]].

Пусть Wa = {(0,(0,п)) I п € N}. Рассмотрим двухместную функцию /, заданную следующим образом:

{0, если х = (0, (1, а));

1, если \fin(ri) и х = (0, (0,ípn(n)))]

не определено в остальных случаях.

Эта функция вычислима. По свойству параметризации существует такая одноместная тотальная вычислимая функция s, что Vn, х (fis(n)(x) — f(n>x))- Очевидно, что

w = Í {(°> <!>«))> <0> (0,<Рп(п)))}, если !fin(n); s(n) I {(0, (1, а))} в противном случае.

Положим а(п) = fie((2,s(n))), /3 = ((1,а),0), 7(ri) = <ра(п)(Р)- Тогда

Vn (а(п) г [N((2, s(n))) D Зу[уе (2, s(n)) к -.3z [z e (2, s(n)) к z е у]]]).

Формула N((2, s(n)}) имеет вид Зу [у е (2, s(n)}]. Можно доказать, что Vn (/3 г N((2, s(ri)))). Поэтому в силу определения 1

Vn7(n) г Зу [у е (2, s(n)) к ~i3z [ze{ 2, s(n)} kzey]].

При каждом n число 7 (n) имеет вид (f(n),g(n)), где g (ri) г [/(n) е (2, s(n)) к ~i3z [z e (2, s(n)) kze f(n)]] Таким образом, при каждом n реализуемы формулы f(n) e (2, s(n)) и

^3z[ze(2,s(n))&ze/(n)]. (13)

Реализуемость первой из них означает, что (/(п))о < 2 и 31 (I, f(n)) € Пусть число п таково,

что -i \fin(ri). Тогда для f(ri) возможно только значение (1 ,а). Заметим, что при этом формула (13) реализуема. Если же lfin(n), то для f(ri) возможны значения (1,а) и (0,fin(n)). Если f(ri) = (1, а), то формула (13) нереализуема. Значит, f(ri) = (0,fin(n)). При этом формула (13) реализуема. Таким образом, мы имеем вычислимую функцию /, такую, что если \fin(ri), то (f(ri))о = 0, а в противном случае (f(n))о = 1, что невозможно.

2) Несложно доказать, что формула (12) реализуема числом Лж.Ла.0. Теорема доказана. Понятие Х-формулы определяется индуктивно следующим образом: 1) атомарная формула есть Х-формула; 2) если Ф и f суть Х-формулы, то [Ф к Ф] и [Ф V Ф] также Х-формулы; 3) если Ф есть Х-формула, х — переменная, то Зх Ф есть Х-формула.

Теорема 7. 1) Существует такая формула Ф(г,и); что формула (2) нереализуем,а. 2) Всякая формула вида (2), где и) есть Т,-формула, реализуема.

Доказательство. 1) Пусть Ф(z,u) есть -¡[геи]. Несложно доказывается, что в этом случае формула (2) нереализуема.

2) Утверждение доказывается рутинным образом индукцией по построению Х-формулы Ф(г, и). Теорема доказана.

Таким образом, схема аксиом выделения в общем случае не имеет места с точки зрения конструктивной семантики, но верна для Х-формул и).

Теорема 8. 1) Аксиома степени и аксиом,а бесконечности нереализуемы. 2) Существует такая формула Ф(u,v), что формула (3) нереализуема.

Доказательство. 1) Аксиома степени нереализуема в силу теоремы 3. Докажем нереализуемость аксиомы бесконечности. Допустим противное. Тогда для некоторого а реализуемы формулы Зи [Е(-и) кие а] и My [yea D 3v [v e a к Vw [w e v = wey\Jw = y]]]. Несложно доказывается по индукции, что в этом случае для всякого п найдется такой объект Ъп, что (а) (Ьп)о ^ п и при этом (б) г [Ьпеа]. Эти условия противоречат друг другу, так как из (б) и определения 1 следует, что (Ьп)о < (а)о-

2) Пусть Ф(и, v) есть A(v) к [v ей]. Легко доказать, что в этом случае формула (3) нереализуема. Теорема доказана.

Таким образом, схема аксиом подстановки и аксиома бесконечности в ее традиционной формулировке не имеют места с точки зрения рассматриваемой семантики. С другой стороны, можно доказать существование такого объекта со, что высказывание a eco реализуемо тогда и только тогда, когда г А(а), т.е. для бесконечно многих а.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 14-0Ю0127).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гейтлтг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

2. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.

3. Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

4. Иех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973.

Поступила в редакцию 01.06.2016

УДК 519.716.32

ОЦЕНКИ ЧИСЛА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, РЕАЛИЗУЕМЫХ ИНИЦИАЛЬНЫМ БУЛЕВЫМ АВТОМАТОМ С ТРЕМЯ КОНСТАНТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

Л. Н. Сысоева 1

Рассматривается задача о реализации булевых функций инициальными булевыми автоматами с константными состояниями и п входами, т.е. автоматами, такими, что в любом из состояний функция выхода совпадает с одной из булевых констант 0 или 1, зависящих от п переменных, п ^ 1. Получена точная оценка максимального числа булевых функций от п фиксированных переменных, реализуемых инициальным булевым автоматом с тремя константными состояниями, где п > 1.

Ключевые слова: булева функция, инициальный автомат, реализация булевых функций.

The problem of realization of Boolean functions by initial Boolean automata with constant states and n inputs is considered. Initial Boolean automaton with constant states and n inputs is an initial automaton with output such that in all states output functions are n-ary constant Boolean functions 0 or 1. The exact value of the maximum number of n-ary Boolean functions, where n > 1, realized by an initial Boolean automaton with three constant states and n inputs is obtained.

Key words: Boolean function, initial automaton, realization of Boolean functions.

Пусть P2(n) — множество всех булевых функций, зависящих от фиксированных переменных Х\, х2, ■ ■ ■, хп, п ^ 1. Под булевым автоматом будем понимать автомат V = ({0,1}, {0,1}, Q, F, G) с произвольным числом входов, входным алфавитом {0,1}, выходным алфавитом {0,1}, алфавитом состояний Q, функцией перехода G и функцией выхода F. Определения автомата и инициального автомата можно найти в [1,2]. Пусть п — число входов автомата V. Без ограничения общности будем полагать, что входы автомата V занумерованы от 1 до п и на г-й вход автомата V подается значение булевой переменной Xi. Тем самым можно считать, что в каждый момент времени на входы автомата V подается некоторый двоичный набор значений переменных х\,х2,... ,хп и для любого состояния q € Q функция выхода F(q,xi,x2,... ,хп) является булевой функцией от переменных х\,х2,... ,хп. Булев автомат V будем называть булевым автоматом с константными состояниями, если для любого q € Q функция F(q,x\,х2,..., хп) является константной булевой функцией 0 или 1.

Пусть Vqi = ({0,1}, {0,1}, Q, F, G,q\) — инициальный булев автомат с начальным состоянием q\ и п входами. Пусть С = (/3i,/32,..., f32™) — упорядоченная последовательность всех двоичных наборов длины п, п ^ 1. Будем говорить, что автомат Vqi с последовательностью С реализует булеву

1 Сысоева Любовь Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s-lubaQmail.ru. 10 ВМУ, математика, механика, № 2