CC BY
13Краткие сообщения
УДК 510.25; 510.64
СЕМАНТИКА РЕАЛИЗУЕМОСТИ ДЛЯ КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ОСНОВАННАЯ НА ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРЕДИКАТАХ
А. Ю. Коновалов1
Определяется семантика реализуемости для формул языка теории множеств, основанная на гиперарифметических предикатах принадлежности. Доказывается корректность конструктивной теории множеств без аксиомы экстенсиональности относительно этой семантики.
Ключевые слова: конструктивная семантика, реализуемость, аксиоматическая теория множеств, конструктивная теория множеств, гиперарифметическая реализуемость.
A semantics of readability for formulas of the language of set theory based on hyperarith-metical predicates of membership is introduced. It is proved that the constructive set theory without the extensionality axioms is sound with this semantics.
Key words: constructive semantics, realizability, axiomatic set theory, constructive set theory, hyperarithmetical realizability.
1. В интуиционизме классическое понятие множества подвергается критике. Вместо множеств рассматриваются виды. Под видом понимают свойство, которое задается конкретной высказыва-тельной формой, а под элементами вида — объекты, обладающие этим свойством. При таком подходе есть виды, которые считаются разными, хотя и содержат одни и те же объекты в качестве элементов. Таким образом, экстенсиональность, которая имеет место для множеств, отсутствует для видов. Семантика реализуемости, предлагаемая в настоящей работе, основывается на видах, которые получаются из высказывательных форм Q(s,x), если Q — гиперарифметическое отношение на N. Множество всех таких видов отождествляется с некоторым подмножеством А множества всех Д]-индексов двухместных гиперарифметических отношений. При этом если а € А и Q — гиперарифметическое отношение с Д}-индексом а, то выражение Q(s,x) прочитывается в том смысле, что натуральное число s является свидетелем принадлежности х виду а. Перейдем к формальному изложению.
2. Фиксируем примитивно-рекурсивную взаимно однозначную функцию с, кодирующую пары натуральных чисел натуральными числами. Например, определим с как в [1, §5.3]: с(u,v) =
и2 + 2uv + v2 + 3-u + v). Тогда одноместные обратные функции pi и рг, где pi(a;) и рг(ж) суть первая и вторая компоненты пары с кодом х, т.е. c(pi(:r), Рг(ж)) = х, также примитивно рекурсивны. Для любого натурального п > Ос помощью функции с индуктивно определяется функция сп, взаимно однозначно отображающая Nra на N: с1 (ж) = ж; сп+1(х\,... ,хп+\) = с(сга(ж1,..., хп), хп+\). В выражениях вида g(t) мы иногда будем опускать скобки и писать просто gt. Кодирование всех конечных кортежей (включая пустой) натуральных чисел т* определим как в [1, §5.6]. А именно: т*(0) ^ 0, т*((ж 1,... ,хп)) ^ с(сга(ж1,... ,хп),п — 1) + 1. Если / — всюду определенная одноместная функция натурального аргумента, то, согласно [1, с. 482], функция / определяется так: 7(n) ^ т*«/( 0), ...,f[n- 1))), если и > 0, и /(0) ^ 0.
Отношения на N, которые принадлежат классу 11 \ аналитической иерархии [1, §16.1], называются П]-предикатами. Пусть Т^ суть (к + I + 1)-местные рекурсивные отношения на N, которые определяются в [1, §16.1, с. 483]. Определим (п + 1)-местные отношения Un следующим образом:
Un(z, xi,..., хп) ^ V/ 3w T^n(z, J(w) ,xi,...,xn).
Согласно fl, §16.1, теорема V], предикат Un(z,X\,... ,хп) является универсальным для класса всех n-местных П}-предикатов. Натуральное число z называют П}-индексом предиката Р(х\,..., хп), если имеет место Р(х..., хп) Un(z, х\,..., хп) для всех натуральных чисел х\,..., хп.
1 Коновалов Александр Юрьевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: alexandr.konovalQgmail.com.
Лемма 1. Если Р\(х), '%) — П{-предикаты, то Р\(х) АР2(х), Р\(х) У Р2(х), УуР\(х), ЗуР\(х) суть П\-предикаты, причем их П\-индексы могут быть найдены эффективно по П{-индексам предикатов Р\(х) и ?2(х).
Доказательство. Лемма следует из [1, §16.1, теоремы III, IV].
Отношение Pix) называют гиперарифметическим, если Pix) и -iPix) суть П}-предикаты. Через Гп обозначим множество таких натуральных чисел z, что для всех натуральных чисел х\,...,хп выполняется соотношение £/га(р2<г, Х\,..., хп) ^Un(piZ, Х\,..., хп). Для натуральных чисел z и п > 0 определим отношения Ф™ следующим образом: Ф™(х\,... ,хп) ^ Un(p2Z,X\,... ,хп). Если z € Гп, то нетрудно видеть, что отношение Ф™ является гиперарифметическим. Обратно: любое гиперарифметическое отношение есть отношение Ф™ для некоторого натурального числа z € In. Если z € Iй, то натуральное число z будем называть Д}-индексом отношения Ф™. В этом случае справедливы соотношения
Ф™(жь -^Univiz,xi, Un(p2z,xi,.. .,хп).
Таким образом, если z — Д}-индекс гиперарифметического отношения, то P2Z — его П}-индекс, а Piz — П}-индекс его дополнения. Там, где это возможно, верхний индекс в символах отношений Ф™, цп будем иногда опускать. Множеству I2 дадим также обозначение I.
3. Пусть а — счетный ординал. Множества Аа определяются трансфинитной индукцией по а следующим образом:
Д0 ^ {а е I | -.ЗвЗа:Ф0(в,а:)}, Да+1 ^ {а € I | Vs,x (Ф0(в,ж) ж € Да)}, Д„ ^ |J Aß,
ß<a
если а — предельный ординал. Объединение множеств Аа по всем счетным ординалам а обозначим через Д.
Трансфинитной индукцией по ß могут быть доказаны следующие утверждения:
1) А/3 С /;
2) пусть 3s Фа(з,ж) и а € Aß, тогда найдется такой ординал a<ß, что х € Да;
3) если а < ß, то Аа С Aß.
Следствием из утверждения 1 является включение Д С I. Докажем, что если а € /, то выполняется следующий критерий принадлежности натурального числа а множеству Д:
а£ Aö Уз,х (Фа(8,х) => х € Д).
Утверждение слева направо следует из утверждения 2 и определения множества Д. Предположим теперь, что выполняется соотношение Vs, ж(Фа(з, х) х € Д). Тогда если для натурального числа х верно ЗзФа^ж), то найдется такой счетный ординал ß(x), что х € Aß^xy Пусть а — такой наименьший ординал, что выполняется соотношение ß(x) ^ а для всех ординалов ß(x). Воспользовавшись утверждением 3 и определением множества Д«+1, получаем, что а € Д«+1, и, следовательно, а € Д.
Таким образом, если соотношение У,в,х (Ф(з,ж) х € Д) выполняется для гиперарифметического предиката Ф(з,ж), то все Д}-индексы предиката Ф(з,ж) суть элементы множества Д.
4. Формулы языка теории множеств строятся из предметных переменных, констант элементов множества Д, двухместных предикатных символов = и логических связок А, V, —кванторов V, 3 и скобок по обычным правилам. Формулы, которые не содержат свободных вхождений предметных переменных, будем называть замкнутыми. Пусть üq и а\ — различные элементы Д. При записи формул будем использовать следующие сокращения:
_L^a0=ai; -пФ ^ Ф ->• _L; Т ^ —■—I—;
3xGt Ф(ж) ^ 3x(x£t А Ф(ж)); Ух& Ф(ж) ^ \/ж(ж0 ->• Ф(ж));
Ух Ф ^ Уxi... Ухп Ф, где ж = жь ..., жга;
Формулами с ограниченными кванторами будем называть такие формулы языка теории множеств, все вхождения кванторов У которых имеют вид Ух& Ф, а кванторов 3 — вид Зх& Ф.
5. Пусть фиксирована вычислимая нумерация частично рекурсивных функций. Функцию п аргументов с номером z будем обозначать ip™. Вместо (р™ иногда будем писать <p>z там, где это не породит неоднозначности понимания.
Для всякого натурального числа е и произвольной замкнутой формулы Ф языка теории множеств определим отношение епФ (число е реализует формулу Ф) следующим образом. е R (а = b) ^ а = Ь] eR(b £ а) ^ Фа(е,Ь); е R (Ф Л Ф) ^ pie R Ф и р2е R Ф;
е Л (Ф V Ф) ^ (pie = 0 и р2е R Ф) или (pie = 1 и р2е R Ф); е R Эх Ф(ж) ^ pie € А и р2е R Ф(р1в);
е ü Vж (Ф —> Ф) ^ \/ж€А Vs (s R Ф => ipe(x, s) R Ф), при этом список переменных ж может быть пустым;
е R Ух Ф ^ е R Ух (Т —> Ф), если Ф ф Ух Ф1 и Ф ф Ф1 —> Ф2 для некоторых Ф1 и Ф2. Замкнутую формулу Ф языка теории множеств будем называть реализуемой, если найдется такое натуральное число е, что е реализует формулу Ф.
Лемма 2. Пусть Ф(ж1,..., хп) — формула с ограниченными кванторам,и. Тогда могут быть эффективно построены такие натуральные числа и zu, что выполняется соотношение
е R Ф (ai,... ,ап) е, аь ... ,ап) U(zn,e, аь ...,ап)
для любых натуральных чисел а\,..., ап € А и произвольного натурального числа е.
Доказательство. Индукция по построению формулы Ф(ж1,... ,хп). В каждом из случаев расписываем выражение е R Ф(ец, ..., ап) согласно определению реализуемости. Применяем предположение индукции для соответствующих подформул формулы Ф(ж1,..., хп), после чего требуемый результат следует из леммы 1. Лемма доказана.
6. В работе [2] П. Ацель определил интуиционистскую теорию CZF. Аксиомы ее неэкстенсионального варианта CZF- суть следующие:
(Al) Ух, у 3z Уи (и € z о (и = х V и = у))-,
(А2) Уж 3z Уи (и € z о Зу (у € ж А и € у));
(АЗ) Уж (Ууех Ф(у) ->• Ф(ж)) ->• Уж Ф(ж);
(А4) 3w(3qGw -1Зи (и € q) А Уже«; 3y£w Р(ж, у)), где Р(ж, у) ^ Уи (и € у о и € ж V и = ж);
(А5) УаЗбУж (ж€бож€аА Ф(ж)), где Ф(ж) — формула с ограниченными кванторами;
(А6) У а [Ужеа Зу Ф(ж, у) ->• ЗЪ (Уж€а ЗуеЬ Ф(ж, у) А УуеЬ Зх£а Ф(ж, у))};
(А7) Уа,ЬЗсУи [УжеаЗуеб Ф(ж,у, и) —> 3d£c (Уж€а 3y£d Ф(ж, у, и) А Уу€с?3ж€а Ф(ж, у, и))].
Аксиомы конструктивной теории множеств CZF содержат все аксиомы теории CZF-, а также аксиому экстенсиональности (А8): Ух, у (Vz (z £ ж о z € у) —> ж = у).
Обозначим через i натуральное число, удовлетворяющее соотношению (р-,( ж, s)=s для всех xas. Пусть а,Ъ € А, а ф Ь, а и b суть Д}-индексы одного и того же отношения. Например, а, Ъ € До-Тогда формула yz(z € а о z € Ъ) реализуема числом c(i, i). При этом формула (а = Ъ) нереализуема. Таким образом, получаем, что формула (А8) нереализуема. Теорема. Аксиом,ы теории CZF- реализуемы.
Доказательство. Аксиома (Al). Пусть фиксированы натуральные числа ж,у € Д. Используя лемму 1, можно получить, что эффективно строится такое натуральное число z(x,y) € А, для которого выполняется соотношение s R (и € z(x,y)) s R (и = x У и = у). Таким образом, число к, удовлетворяющее условию tpk{x,y,s) ~ c(z(x,y),c(\,\)), реализует формулу (Al).
Аксиома (А2). Используя лемму 1, можно доказать, что по каждому натуральному числу ж € А может быть эффективно построено такое натуральное число z(x) € Д, что выполняется соотношение sRu € z(х) о s R Зу (у € ж А и € у). Тогда число к, удовлетворяющее условию Lpk(x,s) ~ c(z(x), c(i, i)), реализует формулу (А2).
Аксиома (A3). Пусть / — такая общерекурсивная функция, что tpf(y^(x,s) ~ tpa(x,y). Согласно теореме о рекурсии [1, §11.2, теорема III], найдется такая общерекурсивная функция д, что ^/(й(а),а)(ж) s) — ^Рд(а){х18)- Таким образом, tfg^(x,s) ~ (ра(х,д(а)). Пусть формула Ух (У у€жФ(у) —>• Ф(ж)) реализуема натуральным числом а. Трансфинитной индукцией по всем счетным ординалам а докажем, что выполняется соотношение Уж€ДаУ§ [yfl(a)(x,s) ДФ(ж)].
1) Если ж € До, то имеет место д(а) R Уу€жФ(ж), так как формула Уу€жФ(ж) реализуема любым числом. Получаем, что тогда tpa(x,g(a)) R Ф(ж) и соответственно верно Vs [<рд(а)(x->s) Л Ф(ж)].
2) Если ж € Д7+ь то выполняется соотношение Vs, y(s Ry € ж у € Д7). Согласно предположению индукции VyeA7Vs [<рд(а) (У> s) R Получаем, что верно Уу, s (s Ry € ж => <рд(а)(,У> s) R Ф(у)) и, следовательно, число д(а) реализует формулу Уу£хФ(у). Таким образом, имеем (ра(ж, д{а)) R Ф(ж) и соответственно верно Vs \(pg^{x,s) R Ф(ж)].
3) Если ж € А« и а — предельный ординал, то найдется такой ординал /3 < а, что ж € Ар. Применяя предположение индукции, получаем требуемое утверждение.
Таким образом, если к удовлетворяет соотношению <£>fc(a) ~ д(а), то к реализует формулу (A3).
Аксиома (А4). Используя лемму 1, можно доказать, что по каждому натуральному числу ж € А может быть эффективно построено такое натуральное число у(х) € А, что выполняется соотношение s R (и € у{ ж)) <3>sR(u£xAu = x). Таким образом, число c(i, i) реализует формулу Р( ж, у{ ж)) при любом ж € А. Пусть о — произвольный элемент множества До- Определим рекурсивную функцию h{х) следующим образом: h{0) ^ о; h(n + 1) ^ y(h(n)), если п ^ 0. Пусть w — А}-индекс гиперарифметического предиката h(s) = ж. Легко видеть, что wgAhhRxGw^ h(n) = ж. Пусть число к удовлетворяет соотношению <рь(ж, п) ~ c(h(n),c(n + 1, c(i, i))). Тогда к RyxGw 3yGw P(ж, у). Ясно, что число I, равное с(о, с(0, 0)), реализует формулу 3q€w ->Эи (и € q). Таким образом, число c(w,c(l,k))) реализует формулу (А4).
Аксиома (А5). Пусть фиксировано натуральное число a € А. Используя леммы 1, 2, можно доказать, что по любому натуральному числу a € А эффективно строится такое натуральное число Ь(а) € А, что выполняется соотношение s R(ж € b(a)) s R(x € a А Ф(ж)). Тогда число к, удовлетворяющее условию ipj.(a,s) ~ c(b(a), c(i, i)), реализует формулу (А5).
Аксиома (А6). Пусть фиксированы натуральные числа а € А и е, такие, что е R Ух£аЭу Ф(ж, у). При помощи леммы 1 доказывается, что может быть эффективно построено натуральное число Ь(а,е) € А, такое, что c(s,x) Ry € b(a,e) (pi<pe(x,s) = у) А Фа(з,ж). Пусть к\(е) и ^(е) — такие натуральные числа, что (pkl^(x,s) ~ c(pi<pe(x, s), c(c(s, ж), P2iPe(x, s))) и (pk2^(y,c(s,x)) ~ с(ж, c(s, P2iPe(x, s))). Тогда k\{e) Ryx€a3y£b(a,e) Ф(ж,y) и ^(e) EVy€b(a, e) Зж€аФ(ж,у). Число к, удовлетворяющее соотношению <рь(а,е) ~ с(Ь(а, е), c(fci(e), ^(е))), реализует (А6).
Аксиома (А7). Пусть фиксированы натуральные числа а, Ъ € А. И пусть натуральное число е удовлетворяет соотношению £1а>ъ(е), где ^ Уж, s (Фа(«, ж) —>• = s) А Фг,(р1р2<г, Pi-г))).
Используя лемму 1, можно показать, что эффективно строится такое натуральное число d(a, е) € А, что c(s,x) R (у € d(a,e)) (р1^е(ж, s) = у) /\ Фа(«,ж). Так же при помощи леммы 1 доказывается, что может быть эффективно построено такое натуральное число с(а, Ъ) € А, что выполняется соотношение е R (d € с(а,Ъ)) (d = d(a,e)) A Пусть теперь число е реализует формулу Уж€аЗу€б Ф(ж, у, и). В этом случае выполняется условие &а,ь(е)- Пусть к\(е) и ^(е) — такие натуральные числа, ЧТО имеют место ^(е)^, s) ~ с(р1(/Ре(ж, s), c(c(s, ж), Р2Р2^е(ж, s))) И <Pk2(e)(y> c(s> ж)) — с(ж,c(s, Р2Р2^е(ж, s))). Тогда fci(e) RУж€аЗу€с?(а, е) Ф(ж,у,и) и ¿^(е) ЕУу€с?(а, е)3ж€а Ф(ж,у,и). И пусть /г(а) — натуральное число, удовлетворяющее следующему соотношению: <fik(a)(u>e) — c(d(a, е), с(е, c(fci(e), ^(е)))). Тогда число I, удовлетворяющее соотношению ^(a, b, s) ~ с(с(а, Ь),к(а)), реализует формулу (А7).
Теорема доказана.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 14-01-00127).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.
2. Aczel P. The type theoretic interpretation of constructive set theory // Log. Coll. 1978. 77. 55-66.
Поступила в редакцию 05.10.2016
