Об одном достаточном условии сильной конструктивизируемости атомных булевых алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2000, Том 2, Выпуск 2

Юрию Леонидовичу Ершову к его шестидесятилетию

УДК 510.6

ОБ ОДНОМ ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ СИЛЬНОЙ КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМОСТИ АТОМНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР

В. Д. Дзгоев

Настоящая работа посвящена доказательству сильной конструктивизируемости фактор-алгебр конструктивной булевой алгебры относительно идеала при условии, что множество номеров, соответствующих этому идеалу, хорошо расположено в арифметической иерархии. Этот результат был доложен автором на IV Всесоюзной конференции по математической логике в 1976 году в Кишиневе и анонсирован в [1]. Однако полное доказательство до сих пор так и не было опубликовано.

Настоящая работа посвящена доказательству сильной конструктивизируемости фактор-алгебры конструктивной булевой алгебры относительно идеала при условии, что множество номеров, соответствующих этому идеалу, хорошо расположено в арифметической иерархии. Этот результат был доложен автором на IV Всесоюзной конференции по математической логике в 1976 году в Кишиневе и анонсирован в [1]. Однако полное доказательство до сих пор так и не было опубликовано.

Автор сознательно сохранил стиль, терминологию и прочие особенности текста двадцатипятилетней давности, как напоминание о необыкновенной творческой обстановке семинаров Ю. Л. Ершова, на которых автор постигал идеи теории конструктивных моделей.

Необходимые сведения из теории счетных булевых алгебр и теории конструктивных моделей имеются в [2], [3] и [4].

В доказательстве основной теоремы нам понадобится известный и весьма простой факт из теории рекурсии.

Лемма 1. Если множество А является -множеством арифметической иерархии, то существует вычислимая последовательность { И, / С- }■ конечных множеств такая, что для любого п £ ш существуют t\,t2 G ш, удовлетворяющие условию: если n е А, то n е Bt>, /' > /1. а если n ^ А, то n ^ Bt> для t > /•_>.

(С) 2000 Дзгоев В. Д.

< Так как Л!_! = M!J Г I l!j. то существуют рекурсивные предикаты Р и Q такие, что

(3x)(Vy)Q(n, х, у) <—у n £ А, (Эж) (Vy)P(n, ж, у) <—у n е А. Определим функцию / так:

/(га, у) ^ fix[(Vy' < y)P(n, X, у') V (уу' < y)Q(n, х, у')].

Очевидно, что / — рекурсивная функция. Пусть Bm ^ {га | га < m & (V// < m)P(n, f(n, m), y)}. Покажем, что {Вт}т£ш — искомая последовательность. Пусть n (г /1. тогда существует такое число //о > га. что для у > уо имеем (Vy' < у) P(n,f(n,y),y') и, следовательно, га Е Ву. Наоборот, пусть га £ А. Тогда существует у\ такое, что yi > га и для у > у\ верно

(Vy' < y)Q(n, /(га, у), у') k ^(Vy<y)P(nJ(n,y),yf).

Допустим, что существует у > у \ и га (г Ву. Тогда по определению В у имеем (УУ < у)Р(п, /(га, у), у), что противоречит выбору числа у\. >

Нам понадобится техника деревьев, предложенная М. Г. Перетятькиным (см. [5]). Определим частичный порядок =<! на натуральных числах с помощью следующих рекурсивных функций:

Р[п]

га

2

Полагаем

га

L(ra) ^ 2га + 1, 11(n) ^ 2га + 2,

^ | „ + 1, есш n нечетное,

^ га — 1, если га четное,

а(п, 0) ^ га, а(п, m + 1) ^ Р(а(п, т)).

m ^п

m

|а(т, г) — п\ = 0.

i=О

Понятно, что =<: — рекурсивное отношение, (N,^4) — частично упорядоченное множество, которое будем называть полным деревом. Множество ОСЫ будем называть деревом, если выполнены условия: (1) если в е I), п ^ ш, то т 6 1);

1

(2) если V е I). Iо п' е

В терминах частичного порядка =<! функции Р, К, I, можно понимать следующим образом. Р(п) — непосредственный последователь элемента п, Ь(п) — непосредственный левый предшественник элемента п. Я(п) — непосредственный правый предшественник элемента п, п' — несравнимый с п элемент, но имеющий с п один и тот же последователь.

Множество тг;//] = {.г I) .г Ь //}• назовем цепью, содержащей п. Тупиком дерева назовем п (г I) такое, что Я(п) ^ I). Понятно, что полное дерево тупиков не имеет.

Лемма 2. Пусть I) — дерево, тогда I) — рекурсивно тогда и только тогда, когда множество тупиков 'Г{¡У) рекурсивно.

< Доказательство очевидно. >

Лемма 3. Если I) — рекурсивно перечислимое дерево и 'Г{¡У) — множество тупиков рекурсивно перечислимо, го I) — рекурсивно.

< Перечисляем одновременно I) и '/*( /)). Если п £ ш принадлежит I). то через конечное число шагов вычистится в I). Если п ^ I). то через конечное число шагов в Т{И) вычистится элемент га такой, что га < п и га п.

Покажем, как по дереву I) каноническим образом строится булева алгебра, будем ее обозначать <Вп (см. [5]). Пусть А — бесконечное множество. Определим отображение / : ш —'Р(Л) индуктивно. Пусть /(0) = А. Предположим, что = Ап уже определено, причем ,1„. бесконечно. Пусть ,11. ,1_> — разбиение ,1„. на два бесконечных непересекающихся подмножества. Полагаем /(Ь{п)) = А1, ¡(Я(п))=А2.

Зафиксируем функцию / и будем обозначать через Ап. Обозначим А(П) ^ {Ап | п е В}и{0}. Непосредственно проверяется, что семейство А(П) замкнуто относительно конечных пересечений и дополнение Ап е Л(1У) до А равно некоторому конечному объединению множеств из А(О).

Обозначим посредством В (В) С 'Р(А) семейство множеств, порожденное семейством А{И) с помощью операций П, и, —Тогда

ъ„ = {/;(/».г.и. .0.,1)

является булевой алгеброй. Пусть I) — рекурсивно перечислимое дерево и (! : ш ГА/)) — гёделева нумерация всех конечных подмножеств дерева I). Определим отображение ь>о '• ^ ^ В{Б) следующим образом:

^ \JlAs | 8 е С(п)}.

В [5] доказано, что (®г>,^г>) — конструктивная булева алгебра.

Покажем теперь, как по конструктивной булевой алгебре (25, и) построить рекурсивно перечислимое дерево D такое, что (25, и) изоморфно (25d^d)- Построение по индукции. На шаге п будем строить конечное дерево Dn и ч. р. ф. / такие, что /.),,.+1 ^ Dn и функция / определяется на шаге п на элементах дерева 1)„.

Шаг 0. Пусть ь>По = 1. Тогда положим, Д, ^ {0} и /(О) = //(,. На других элементах / на шаге 0 не определяется.

Шаг п + 1. Рассмотрим все концевые вершины дерева 1)„. пусть это пь ..., пк и пусть f(m) = шь ..., f(nk) = mk.

Положим Dn+1 ^ Dn U {Ь(щ), Я{щ) | 1 < i < к & v{n) П ^(m¿) Ф 0 & -ii>(n) П Ф 0}. На элементах Dn функция / определяется по-старому и

если ni G Dn+i\Dn, то

í f(P(m)) п если L(P(m)) = m,

fífil) ;—^ ч

\ f(P(m)) П -in, если R(P(m)) = m.

В силу эффективности построения I) = (J l)„ — рекурсивно иеречисли-

п

мо и легко проверить, что (25изоморфно Важно заметить для

дальнейшего, что атомам булевой алгебры 25 соответствуют тупики дерева I) и наоборот, тупики I) переходят в атомы булевой алгебры 25/.). >

Приступим к доказательству основного утверждения этой статьи.

Теорема 1. Пусть (25. /у) — конструктивная булева алгебра и J — идеал 25. Если В = i^1 ( ./) является AÍJ множеством арифметической иерархии, то существует сильно конструктивизируемая атомная булева алгебра 21 такая, что 25/./ изоморфна 21/Ф, где Ф — идеал Фреше.

< Пусть I) = (J; D¡ — рекурсивно перечислимое дерево такое, что 25/.) = 25 и для любых п, m е ш, если m е !)„.+ \. то V(A) £ Dn. Пусть {Bi \ i < ш} — вычислимая последовательность конечных множеств, существование которой доказано в лемме 1.

По индукции строим рекурсивно перечислимое дерево /)'. которое будет порождать искомую алгебру 21, т. е. 21 25/.)'. По индукции будет строиться также частично рекурсивная функция ip(x,y), которая будет порождать изоморфизм булевых алгебр и рекурсивно перечислимый предикат А, который совпадает с множеством тупиков дерева D'.

Построение дерева /У.

Шаг 0. D' ^ 0, ip(0, 0) ^ 0, Л(0) ф 1.

Шаг 2п — 1. Пусть е £ /.),,.+1 — наименьшее число такое, что е £ Вп, метка е не стоит на элементах /.),,.+1 • и выполняются следующие два условия.

(1) Существует тупик а £ /.),,.+1 такой, что элементы цепи 7г[а] не помечены никакими метками и е ^ 7г[а].

(2) Для любого элемента т е /.),,.+1 • тп У е, не помеченного никакими метками, существует тупик к такой, что т Ь /,: & с. к и элементы 7г[&] не помечены метками.

Тогда помечаем меткой е все числа ж е £)п+ъ х ^ е.

Пусть //(,. п |...../>.ч — тупики дерева /)', такие, что ,1(//,-) ^ 1, i < е. Пусть

щ = у>(2п, га»), г < 5. Тогда полагаем £>2п+1 ^ В'2п и (Д(пг), Ь(пг) \ г < /Х„.+1 ^ />>„.+1 и {Ь(Д(пг)), К(К(щ)) I Д(шг) е £>п+1 и Д(шг) не помечено метками (г < §)}.

Определяем функцию <р так:

ср(2п + 1, чщ) ^ <р(2га + 1, Ь(ггц)) = Ь(К(щ)),

у>(2га+ 1,Д(т*)) = ЩЩщ)).

Для £ е Ь(тп{), | г < полагаем у>(2п + 1,£) = <¿>(2п, £),

А{Ь{щ)) = 1 для г < е. Для всех А; ^ у>(2п + 1,е) полагаем = 1 если

к является тупиком дерева \ ■ Переходим к следующему шагу.

Шаг 2п + 2. Пусть р — наименьший из элементов /.),,.+1 таких, что р по, вместе с тем р е Вп. Тогда пусть га е /Х(|+ \ — наименьший

мечен меткой

р

элемент относительно порядка =<! со следующим свойством:

/и е тт[<р(2п + 1. //)] и существует а — тупик дерева,

(*)

0!2п+1 такой, что а =<! га, А(а) Ф 1. Пусть а — наименьший элемент с таким свойством. Определяем

®2п+2 ^ I )•>,,.+1 и {ж | ж е -О™},

где /)''/ — конечное поддерево полного дерева с вершиной, совпадающей с элементом а, которое изоморфно дереву И (<?), где д определяется равенством га = <р(2п + 1,д),

Оп+Ля) Пп+1 | ж 4 д].

Полагаем ,1(//) = 1 для всех у, которые являются тупиками /Х(|+, и выполнено (-1 у 4 а & у =<! га). Для всех х е полагаем у>(2п + 2, ж) = у, где у —

образ элемента х при изоморфизме Оп+1(д) на поддерево Б™.

Для остальных х е !)„.+ \ определяем у('2п + 2, ж) ^ <р(2п + 1, х). Метку Г/7

снимаем со всех элементов /.),,.+1 • Если какое-то условие шага не выполняется, то переходим к следующему шагу, полагая <¿>(2п + 2, х) ^ у>(2п + 1. .г) для ж е £)п+1. Построение закончено.

Замечание (1) Если число ж Е Ип помечено меткой е и у -¡, ж, то у также

помечено меткой е

(2) Если £ Е ш, ж -< у, то <р(2£ + 1, х) -< <у?(2£ + 1, у).

(3) Число х Е И помечается меткой тогда и только тогда, когда -0'(Р(<£>(£, ж))) ^ {|/ Е | М — конечное множество для Ь Е ш такого, что у>(£, ж) определено.

(4) Число ж Е ш является тупиком дерева 1У тогда и только тогда, когда Л (.г ) = 1.

Для завершения доказательства теоремы 1 потребуется еще несколько вспомогательных фактов.

Лемма 4. Для любого п Е ю метка п ставится не более конечного числа

раз.

< Предположим, что метка е ставится бесконечное число раз и снимается бесконечное число раз. Рассмотрим возрастающую последовательность £ = {•//; / < л! }• таких натуральных чисел, что на шаге 2щ + 1 метка е ставилась,

а на шаге 2щ+1 + 2 метка \ ё\ снималась с элементов дерева. Из построения следует, что е е Вгн и е ^ Вп.+х, для щ Е Это противоречит лемме 1, выбору {Bi\i < ш}. >

Лемма 5. Для любого ж Е ш существует шаг, начиная с которого, если х Е В, то метка [ж] ставится и не снимается, если ж ^ В, то метка ж снимается и больше не ставится.

< В силу выбора последовательности {Вг}г<ш для любого ж Е ш существует п Е ш такое, что, если х Е В, то х Е Н„. п > п: если ж ^ В, то ж Н„. п > п.

Начиная с шага 2п — 1. метка ж либо установится и сниматься не будет, либо вообще не будет ставиться. >

Лемма 6. Для любого ж е /Д П существует Ь Е ш такое, что у>(£, ж) определено.

< Пусть ж е /Д I! и существует I Е ш, что </?(£, ж) определено. Предположим, что /.(.'•) Е 1)\И. Пусть п — наименьшее число такое, что Ь(ж) Е /.Д+ \. Если на шаге 2п+ 1 Ь(ж) не помечено никакой меткой, то </?(2п+ 1, Ь(х)) определено. Пусть число /.(.'•) на шаге 2п — 1 помечено меткой. Так как Ь(ж) ^ В, то по лемме 5 существует шаг /.: такой, что на этом шаге и далее число Ь(ж) никаких меток не получит. Тогда на шаге 2/.: — 2 определится <^(2/.: + 2, Ь(ж)). Для /|'(.г) доказательство аналогично. >

Лемма Т. Для любого элемента у Е Ю', не являющегося тупиком, существуют х Е И и £ Е ш такие, что у = </?(£, ж).

< На каждом шаге п Е ш, если у не становилось тупиком дерева /У. то с добавлением у к /Д. указывалось х Е И такое, что (р(п, ж) = у. >

Лемма 8. Для любого ж Е /Д П не являющегося тупиком дерева I). существует такое, что при £ < £о выполняется </?(£, ж) = </?(£о,ж), т. е. (р стабилизируется.

< Если х Е В на разу не получало меток, то утверждение следует из определения шага 2п + 1. Пусть х ^ В, но на х ставились и с ж снимались метки. Для любого .г е I). если х ^ В, то либо Ь(х) ^ В, либо Я(х) ф В. Рассмотрим два случая:

(г) Ь(х) $ В, Я(х) Е В, (гг) £(х) £ В, Я(х) £ В.

Случай Я(х) ^ В, Ь(х) Е В аналогичен (г) и мы его не рассматриваем.

(г): В силу леммы 5 и 6 существует шаг п\, после которого на ж и Ь(ж), не ставится никакая метка, ^( п \. .г) определено, на Я(ж) поставлена метка и больше не снимется. Предположим, что <р(п1,х) Ф 1р{п\ + для некоторого / Е о-'. Это означает, что на каком-то шаге 2к, 2к > п\ наименьшее га Е 1Уп. удовлетворяющее условию (*) шага 2к, равно ж. Но так как Я(х) помечено меткой, то, если ж удовлетворяет условию (*), то Ь(ж) тоже удовлетворяет (*). Следовательно, га =<! Ь{ж) и <р(т,х) = (р(п1 + £, ж) для любого Ь Е ш.

(гг): Пусть П2 — шаг, после которого на элементы ж, Ь(ж), Я(х) не ставится меток. Тогда в силу условия У2 шага 2/.: — 1. для любого п > //•_> и дереве /.),,.+1 существуют тупики Л;о? такие, что элементы цепи тг[к^, г < 1, не помечены метками и к\ =<! Ь(ж), ^ Я(х). В силу замечания 3 существуют бесконечные цепи 7Го, 7Гх в дереве В' такие, что <р(п2, Ь(х)) Е щ, <р(п2, Я(х)) Е тг-_>. Это гарантирует, что на любом шаге 2 к минимальное относительно порядка ^ число га е /)'•_>/,•• удовлетворяющее условию (*), не равно ж и, следовательно, <р(п2,х) = (р(п2 + £, ж) для любого £ е ж. >

Окончание доказательства теоремы 1. Для любого ж е 23г>, если ж ^ J существует щ Е 1)\Н. щ С ж. С другой стороны, если ж С у, то [ж] С [у] Следовательно, I ^ {[ж] е | а; 6 ®\В} — плотное множество в 21 /«/

Очевидно, что X порождает /.)/./. Применяя теорему 2.9 главы 1 из [9] получаем, что булева алгебра 03/Д./ изоморфна алгебре , где 1)\ — дерево порожденное множеством Г)\В.

Пусть У {[у] Е ®\Ф | у Е И' и существуют .г Е I) и /о Е такие, что у = <р^о,х) и для любого £ е и) выполняется ^(¿0,ж) = у>(£о + либо, если такого ¿о нет, то любое ¿ей;, что у = у>(£, ж)}.

Покажем, что У плотно в <В/.)'\Ф. Из леммы 6 следует, что для любого // Е /У. если у — не тупик, то существуют .г Е I) и I Е I) такие, что у = у>(£, ж). Пусть ¿о — наименьшее число такое, что у (¿о, ж) = у (¿о + Ь Е ш. Если ¿о = 2п + 1, то у(Ъ) + 1,ж) -< ■■'')• Если ¿0 = 2п + 1, то пусть ш — наименьшее относительное порядка =<! число, удовлетворяющее условию (*) шага 2п + 2, га = <р(2п + 1, д).

Из определения шага 2п + 2 имеем, что

[ш] = Ь(2гг + 1,д)] = Ь(2гг + 2,д)]

и

9?(£о, х) ^ (р(2п + 2, q). Следовательно, Y плотно в 23/.)>\Ф. Из лемм 7 и 8 следует, что Y порождает

®£>/\Ф.

Зададим функцию / следующим образом,

/([U{пъ ..., rae}]) ^ [U{<p(i, щ),..., ip(t, гав)}],

где t — наименьшее число такое, что <p(t, щ) = <p(t + />:. />,-). fc е w, г < s, либо, если такое не существует, то произвольное.

Из определения дерева и способа построения по дереву I) булевой алгебры 23 д можно получить, что для любого х G 23/.). .г = U{pi,...,p<j}, имеется единственное представление минимальной длины s. Это позволяет легко проверить корректность определения функции /.

Применяя леммы 7 и 8, легко доказать, что / задает биекцию X на Y с сохранением включений. Применяя теорему 2.9 главы 1 из [9], имеем, что булевы алгебры 23d//Ф и 23д/Ф изоморфны. Теорема 1 доказана. >

Теорема 1 позволяет доказать одно достаточное условие сильной коиструктивизируемости атомных булевых алгебр.

Теорема 2. Если (23. //) — конструктивная атомная булева алгебра, Ф — идеал Фреше алгебры 23. 1 (Ф) 6 A!J. го 23 — сильно конструктивизируема.

< По теореме 1 существует сильно конструктивизируемая атомная булева алгебра 25' такая, что 23'/Ф изоморфна 23/Ф. Из предложения 2.6 главы 1 из [9] следует, что 23' изоморфна 23. >

С помощью теоремы 1 можно доказать

Следствие 1 [7]. Пусть 23 — конструктивизируемая булева алгебра. Тогда существуют сильно конструктивизируемые булевы алгебры 231 и 23-_> такие, что 231 = 23•_>. 23|/Ф = 23 . 231 23-_>. Здесь 21 =г £ ^ булевы алгебры рекурсивно изоморфны.

Следствие 2 [5]. Пусть 23 — атомная булева алгебра. Тогда, если 23/Ф — конструктивизируема, го 23 — сильно конструктивизируема.

< Для доказательства нужно воспользоваться критерием автоустойчивости булевых алгебр. >

Литература

1. Дзгоев В. Д. О коиструктивизируемости булевых алгебр // В кн: IV

Всесоюзная конференция по математической логике. Тезисы докладов.—

Кишинев, 1976.—С. 42.

2. Гончаров С. С. Счетные булевы алгебры и разрешимость.—Новосибирск:

Научная книга, 1996.

3. Гончаров С. СЕршов Ю. Л. Конструктивные модели.—Новосибирск: Научная книга, 2000.

4. Ершов ДО. Л. Определимость и вычислимость.—Новосибирск: Научная книга, 1996.

5. Перетятькии М. Г. Сильно конструктивные модели и нумерации булевой алгебры рекурсивных множеств // Алгебра и логика.—1971.—Т. 10, № 5.— С. 535-557.

6. Гончаров С. С. Некоторые свойства конструктивизаций булевых алгебр // Сиб. мат. журн,—1976,—Т. 17, № 2. С. 257-282.

7. Remmel J. В. Recursive isomorphism types of recursively presented Boolean algebras // Notices Amer. Math. Soc.—1978, V. 25, № 7, A-706.

8. Дзгоев В. Д. Декартовы степени конструктивных моделей // В кн: V Всесоюзная конференция по математической логике. Тезисы докладов.— Новосибирск, 1979.—С. 43-44.

9. Дзгоев В. Д. Конструктивизации алгебраических конструкций.—НГУ, Новосибирск: Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1980.

г. Владикавказ

Статья поступила 29 апреля 2000 г.