CC BY
19
УДК 519.651 О.Б.НОВ1КОВА
АПРОКСИМАЦ1Я ФРАКТАЛЬНИХ КРИВИХ ЗА ДОПОМОГОЮ СПЛАЙН1В
Розглядаеться застосування фракталiв у задачах апроксимаци кривих складно1 форми. Описуеться задача сгагисгичного оц1нювання парамегрiв фракгальних моделей для даних, що мають потенцiйно сплайнову природу. Вказуються особливостi побудови фрактального сплайну з лшшною залежшстю вiд парамегрiв, а також особливосп розрахунк1в методу найменших квадратiв для сплайнового фракталу. Наводиться алгоритм апроксимаци кривих фрактальними сплайнами. Показуються приклади апроксимацiï фрактальним сплайном модельних фрактальних даних з адитивною випадковою похибкою та реального часового ряду.
Вступ
Апроксимащя контур1в складних природних об'ектш е важливим питанням, що потребуе виршення для задач вщновлення i представлення даних у р1зних предметних областях, зокрема таких як медичш зображення, представлення мультимедшних даних та САПР (системи автоматизованого проектування та розрахунку). Останшм часом отримали розви-ток фрактальш сигнали в радютехшчних системах та системах зв'язку [1].
Хоча фрактальш ггерацшш функцiï були формалiзованi бiльше, нiж десятилiгтя тому, 1'х широке застосування спостерiгаеться лише у комп'ютернш графiцi. К.Вiгтенбрiнк [2] впер-ше використав фрактальнi функцп для позначення невизначеностi у вiзуалiзацiï наукових даних. Використання систем гсерацшних функцiй (IFS) для апроксимаци кривих рашше було дослiджено у [3], але не застосовано для вщновлення конкретноï кривоï. Серед iнших пiдходiв до використання фракталiв для виршення «зворотно1' задачЬ> до iнтерполяцiï слщ вiдзначити роботу К.Беркнера [4], який використав вейвлет-трансформаци, щоб отримати точну реконструкщю кривих. Математичними питаннями фрактально1' апроксимацiï щка-виться украшський науковець Д.Ю.Мтн [5, 6]. Зв'язок фрактально1' розмiрностi та якостi апроксимацiï дослщжуе В.В.Ванiн [7] тощо.
Питання побудови фрактальних кривих дослщжеш досить добре. Проте не менше значення мае й задача апроксимаци гшотетично фрактальних сигналiв i процешв фрактальними моделями. В бшьшосп випадкiв - це складна процедура, часто ггерацшна, нелшшно1' оптимiзацiï. Це ускладнюе статистичне оцшювання параметрiв моделi в умовах наявносп завад в даних.
Ми пропонуемо новий пщхщ до апроксимацiï фрактальних кривих з використанням фрактальних сплайшв. Метою роботи е отримання способу оцшювання параметрiв фрактальних сплайшв за методом найменших квадрата. Необхщно виконати тестування моделi як на синтетичних (генерованих програмою), так i на природних (валютний курс) часових рядах.
1. Фрактальна апроксимацiя
Нехай маемо набiр вхщних точок {(1;,х;}i=0, де t0 < t1 < ... < tN, N- кiлькiсть точок. Тодi апроксимуючою функцiею назвемо таку неперервну функщю F : [х0, х N ], яка дозволяе
представити вхщш данi з кшьюстю трансформацiй, суттево меншою за N. У загальному випадку вважаемо, що кшьюсть точок даних перевищуе кшьюсть степенiв свободи у представленнi. Для оцшки якостi фрактально1' апроксимацiï будемо використовувати вщстань
Хаусдорфа. Нехай A i A' - двi скiнченнi множини у метричному просторi (х, d), тодi Хаусдорфова вiдстань мiж ними визначаеться як:
dH (A, A ') = max |max(min d(p, q)), max(min d(p, q)) | (i)
VpeA qeA' peA' qeA ' ' vV
У випадку однаково! кшькосп точок у множинах можна користуватися спрощеною формулою для розрахунку вщсташ:
N
Б(Л,Л') = ^ ё(Л1,Л') . (2)
1=0
2. Фрактальш сплайни
Фрактальний сплайн - це функщя, яка складасться з сплайн-функцiй рiзного масштабу, що зберiгають самоподiбнiсть[8, с. 162]. Як i звичайний сплайн, фрактальний сплайн характеризуемся ступенем, кшьюстю вузлiв, крайовими умовами. Вiд фракталу вш перейняв такi характеристики, як кшьюсть масштабiв i фрактальна розмiрнiсть.
Масштабом будемо називати кiлькiсть вкладених рiвнiв самоподiбних сплайнiв.
Для того аби сплайн став фракталом, необхщно, щоб кожен iз Я фрагмента також був
сплайном, подiбним до оригшального. Тодi сплайн на к -му масштабi буде складатися з Як фрагментiв. Подiл кожного фрагмента сплайну збертае пропорцiю нульового масштабу. Неперервнють похiдних i значень у точках стикування забезпечуеться, якщо сплайн перю-дичний, тобто значення у першому й останньому вузлах однаково
Фрактальний сплайн нульового масштабу зб^аеться зi звичайним сплайном та! ж сте-пенi.
Розглянемо процес отримання фрактального сплайну к -го масштабу зi сплайну (к — 1) -го масштабу. Нехай на нульовому масштабi маемо таку матрицю вузлiв сплайну:
0Ти = [1иоо,1и1,о,...,1ик+1о], (3)
де - 1-й вузол сплайну; j - масштаб, причому 1и0,0 = ^ i 1;ик+1,0 = tN .
Наступне перетворення визначае матрицю вузлiв на к -му масштаба
1
^ к(ти) = ти:
(4)
tu1 — tu1—1
тут Ю1 = ^и^^^и;. (
Кожне перетворення у к горизонтально звужуе (у Як разiв) базовий фрактальний сплайн
на iнтервалi О = i перетворюе його на фрагмент фрактального сплайну к-го
масштабу на iнтервалi О1 = 1]. Неперервне i гладке стикування у вузлах забезпе-чуеться граничними умовами:
= 1, у +1) = (6)
Якщо вщомий вектор значень сплайну нульового масштабу у вузлах, тодi легко отрима-ти значення фрактального сплайну у довшьнш точцi. Для ермiтових сплайшв цi значення збiгаються iз значеннями сплайну у вузлових точках нульового масштабу. Таким чином, можна записати систему рiвнянь для знаходження штерпольованих (м1ж вузлами) значень фрактального сплайну.
Ощнювання параметрiв фрактального сплайну можна вважати задачею, зворотною до штерполяцп, де за вщомими значеннями у точках штерполяцп (можливо з похибкою) слiд знайти вузловi значення. У випадку сплайн-штерполяцп зворотна задача зводиться до пошуку матриц коефiцiентiв базисного сплайну. Звичайно для цього використовуеться метод найменших квадрата.
Вважаемо, що емшричш даш е сумою деякого фракталу 0 та некорельовано! випадково! складово! 8 :
ю.
®К+1
X = e + s. _ (7)
Також вважаемо, що фрактальна функцiя з достатньою точнiстю § апроксимуеться фрактальним сплайном:
IIpa -e|<§. (8)
Розв'язок «зворотно1 задачЬ> за методом найменших квадратiв полягае у знаходженш оцiнок вектора параметрiв:
A' = (PTP)-1PTX, (9)
де Р - матриця планування фрактального сплайну.
Особливютю МНК для фрактального сплайну очевидно е його матриця планування. Розглянемо побудову тако1 матрищ Для отримано1 матрищ k TU масштабу k на множинi вхiдних точок {(tjjXj }}0 розраховуемо матрицю планування kP. Значення j-го стовпця матрищ k P е значеннями j -ï функцiï форми на iнтервалi D = [t0, tN ]. Внаслщок локальних властивостей функцп форми матриця k P е блочно^агональною [9, с.100] :
P =
0 Go
GN,0 GN-1,1 ••• 0 0 GN,1 ••• G0,R+1
(10)
де Оу — матрицi-стовпцi, котрi складаються з вiдлiкiв базису на вiдповiдних сумiжних фрагментах. Якщо зобразити ненульовi елементи матрищ планування точками, то вони матимуть характерний вигляд, показаний на рис. 1. Фрактальна матриця планування е
самоподiбною. Матриця к-го масштабу е котею матрицi (к — 1) -го масштабу, зменшена в 1/Я рази.
10
20
30
UP =
50
60 -
10
20
30
50
60
10
20
30
50
60
0 5 nz = 116
0 S nz= 108
5
; 86
а б в
Рис 1, Внутршня структура матриць планування: а - нульового масштабу; б - першого масштабу;
в - другого масштабу
Оскшьки фрактальний сплайн е сумою звичайних сплайшв р1зних масштаб1в, що збер1га-ють самопод1бшсть, результуюча матриця планування р1вна:
P=0P+1P + ^P^ (11)
3. Алгоритм апроксимащ*1 фрактальними сплайнами
Апроксимацiя фрактальними сплайнами передбачае послiдовне виконання таких пунктш:
1. Перевiрити вхiдний часовий ряд на фрактальнють, обчисливши фрактальну розмiрнiсть.
2. Роздщити вхiднi данi на к iнтервалiв, що не перетинаються. Кiнцевi точки iнтервалiв
формують (К +1) вузлiв базисного фрактального сплайну.
3. Розрахувати матрицю планування для матриц вузлш базисного сплайну за формулою (10).
4. Розрахувати матрицю коефщенпв за формулою (9).
5. Побудувати фрактальний сплайн першого масштабу за формулою
0Б=0Р * А . (12)
6. Визначити коефiцiент деталiзацil (масштаб фрактального сплайну).
7. Визначити систему перетворень кожно! точки фрактального сплайну 8 -го масштабу
у точку фрактального сплайну (8 +1) -го масштабу.
8. Ггерацшно застосувати отриману систему перетворень на вс сегменти фрактального сплайну.
9. Ощнити якють апроксимаци за формулою (2).
10. Якщо якють апроксимаци достатня - завершити, iнакше виконати пункт 2 для шшо! схеми вузлiв.
4. Тестування
З метою тестування метод було випробувано на часових рядах двох тишв. Перший тип - фрактальний сплайн штерполяци з додаванням бшого шуму. Модельний фрактальний сплайн для нульового масштабу мае вузли {0,16,32,48,64} та значення у вузлах {1,10,10,10,1}. Для побудови фракталу використано три масштаби. До отриманих значень дода-валися некорельован випадковi числа, розподшеш за нормальним законом з одиничною ди спершею.
Результати тестування представлеш на рис. 2, а математичш розрахунки - у табл. 1.Хаусдорфова вщстань 1\>пж вхщним 1 вихщним рядом стан овить 62,73 од.
Рис. 2. Апроксимащя зашумленого фрактального сплайну. Точками позначено початковi данi, суцшьною лiнiею - фрактальний сплайн.
Таблиця1
Задан1 значення 1 10 -10 10 1
Отримам значення 1,69 11,05 -9,35 10,11 1,68
Абсолютна похибка -0,69 -1,05 -0,65 -0,11 -0,68
Середня абсолютна похибка за 20 експерименпв 0,6 0,6 0,5 0,55 0,63
Середьоквадратичне в1дхилення за 20 експеримент1в 0,3 0,33 0,26 0,34 0,25
Другий тип - часовий ряд природного або соцiально-економiчного походження, який необхщно апроксимувати. Як тестовий обрано економiчний ряд шдексу Доу-Джонса. Вибiр обумовлено низкою дослщжень, наприклад [10], ям доводять наявнiсть у таких рядах фрактально! природи. Результата апроксимацп представлен! на рис. 3 1 у табл. 2.
Рис. 3. Апроксимащя часового ряду iH^Kcy Доу-Джонса. 0рим кольором позначено початковий
ряд, чорним - фрактальний сплайн
Таблиця 2
Задан значения 0,8 0,7 0,55 0,75 0,94 0,5 0,75
Отримаш значення 0,77 0,71 0,59 0,72 0,93 0,5 0,77
Абсолютна похибка 0,03 -0,01 -0,04 0,03 0,01 0 -0,02
Звичайно, у випадку реальних даних результат апроксимацп не настшьки хороший, як у попередньому випадку. Це зумовлено тим, що фрактальний сплайн мае ще низку пара-метр1в, ям слщ адаптувати до даних: число фрагмент1в та схема !х розмщення, кщькють масштаб1в. Однак слщ зауважити, що навгть за досить довшьного вибору вказаних пара-метр1в фрактальна сплайн-модель дуже вдало передае характер реального процесу.
Висновки i пропознцп
Застосування фрактального сплайну у поеднанш 1з методом найменших квадрат1в дозво-ляе отримати ефективш лшшш ощнки параметр1в модели При цьому слщ вщмгтити, що число параметр1в для фрактального сплайну значно менше, шж для звичайного сплайну, що описав би под1бний процес. За рахунок зменшення числа параметр1в, що ощнюються, пщвищуеться достов1рнють оцшок. При цьому збер1гаеться властива сплайнам простота розрахунюв.
Для реальних даних устштсть застосування фрактального сплайну може суттево змшюватися залежно вщ таких додаткових фактор1в, як число фрагмента сплайну, схеми !х розмщення та кшькосл масштаб1в.
Наукова новизна досл1дження полягае у розробщ методу фрактально! апроксимацп без використання систем гтерацшних функцш, що дозволило значно зменшити обсяг розра-хунк1в без втрати точности Практична значущ1сть алгоритму полягае у можливосл використання для систем стиснення шформаци, валютного трейдшгу, радюлокаци, у комп'-ютернш графщ1 та шших системах, що працюють з фрактальними сигналами.
Подальш1 досл1дження алгоритм1в роботи з фрактальними сплайнами полягають у розробщ ефективних способ1в адаптаци фрактального сплайну до даних шляхом змши розмщення фрагмента сплайну та масштаб1в.
Список лiтератури: 1. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Университетская книга, 2005. С. 15-18. 2. CraigM. Wittenbrink. IFS fractal interpolation for 2D and 3D visualization. In Proc. IEEE Visualization '94. Р. 77-83, Oct. 1995. 3. Zair C.E. andTosan E. Computer-aided geometric design with IFS techniques. In Fractal Frontiers (Proc. Fractals '97). Р. 443-452, Singapore, 1997. World Scientific. 4.
K.Berkner, "A Wavelet-Based Solution to the Inverse Problem for Fractal Interpolation Functions", in Fractals in Engineering '97, eds. J.Levy Vehel, E.Lutton and C.Tricot (springer, London, 1997). Р. 81-92. 5. MimiH Д.Ю. Хаусдорфова фрактальна апроксимащя функцш // Доповвд НАН Укра!ни. 2009. №6. С.26-28. 6. MimiH Д.Ю., НазаренкоМ.О. Поточкова фрактальна апроксимащя функцш // Проблеми теори наближення функцш та сумiжнi питання: Зб. праць 1н-ту математики НАН Укра!ни. 2007. 4, №1. С.200-211. 7. Вант В.В., Залевська О.В. Точшсть фрактально! апроксимаци структури поверхневого шару близько! до фрактально! // Пращ ТДАТУ. 2011. Вип. 4. Т.50. С.52-55. 8. NavascuesM.A., SebastianM. V. Fractal Splines. Monografías del Seminario Matematico Garcia de Galdeano 33 (2006). Р. 161-168. 9. Шеле-вицький 1.В. Методи та засоби сплайн-технологи обробки сигналiв складно! форми. Кривий Pir: £вро-пейський утверситет, 2002. С.100-104. 10. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004. 304с.
Надшшла до редколегИ 16.03.2012 Новикова Ольга Бориавна, астрантка Нащонального авiацiйного ушверситету. Науковi iнтереси: сплайни, фрактали, розробка програмного забезпечення. Адреса: Укра!на, 50055, Дщпропетровська обл., Кривий Piг, вул. Кириленка, буд. 27, кв. 92, тел.: 050-907-85-99.
