Априорная оценка погрешности определения суммарного содержания аналитов с учетом индивидуальных коэффициентов чувствительности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ХИМИЯ

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 113-117.

УДК 543.422.3 В.И. Вершинин

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУММАРНОГО СОДЕРЖАНИЯ АНАЛИТОВ С УЧЕТОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ*

При определении суммарного содержания ряда аналитов в пересчете на один из них (стандартное вещество) различия в чувствительности определения индивидуальных аналитов ведут к появлению систематической погрешности, зависящей от выбора стандартного вещества и состава анализируемой пробы. Предложен алгоритм априорной оценки этой погрешности. С его помощью можно оптимизировать выбор стандартного вещества, а в некоторых случаях - повысить точность анализа.

Ключевые слова: спектрофотометрический анализ, определение суммарных содержаний, интегральные показатели, априорная оценка погрешностей.

Суммарное содержание (С£) однотипных аналитов в объектах сложного состава часто находят спектрофотометрическим методом, измеряя оптическую плотность неразделенной смеси аналитов при фиксированной длине волны. Результат анализа получают, пользуясь градуировочным графиком1, заранее построенным с помощью эталонных растворов одного из аналитов («стандартного вещества»). Примером может быть определение суммарного содержания фенолов (в пересчете на СбИбОИ) в сточных водах после превращения всех фенолов в соответствующие азокрасители по реакции Грисса [1]. Обычно коэффициенты чувствительности аналитического сигнала к индивидуальным аналитам (компонентам анализируемой смеси) довольно близки, но не одинаковы. Некоторые из них достоверно отличаются от коэффициента чувствительности (Л"ст), характеризующего стандартное вещество, поэтому полученный по градуировочному графику результат анализа (С ) будет отличаться от С& являясь лишь интегральным показателем состава, т. е. приближенной и субъективной (зависящей от выбора стандартного вещества) оценкой С£. Очевидно, систематическая погрешность такой оценки должна зависеть от состава пробы (в частности, от природы и соотношения концентраций аналитов, а также соотношения их коэффициентов чувствительности). Неоднократно обсуждалось, какое стандартное вещество лучше использовать при определении того или иного интегрального показателя (например, при оценке содержания нефтепродуктов в сточных водах [2] или при оценке суммарного содержания антиоксидантов в пищевых продуктах [3]). Однако в общем виде проблема выбора стандартного вещества ранее не рассматривалась, а способы прогнозирования вышеуказанной погрешности с учетом индивидуальных коэффициентов чувствительности в известной нам химико-аналитической литературе не описаны.

* Работа выполнена в рамках госконтракта П1103.

© В.И. Вершинин, 2011

Целями настоящей работы были создание алгоритма прогнозирования вышеуказанной погрешности и разработка практических рекомендаций, направленных на ее уменьшение. Отметим, что систематические погрешности, вызванные разными факторами (неодинаковая чувствительность сигнала, отклонения от закона Бугера - Ламберта - Бера, отклонения от аддитивности светопоглощения [4] и др.), должны некоторым образом суммироваться. Однако в настоящей работе учитывается только первый фактор. Предполагается, что исследуемые смеси веществ аддитивны, их светопоглощение подчиняется закону Бугера - Ламберта -Бера, а случайные погрешности измерений пренебрежимо малы. Этот несложный в теоретическом отношении случай на практике реализуется наиболее часто.

Теоретические выкладки. Пусть в пробе присутствуют однотипные аналиты Х\, Х2, Х3 .... Хп, в том числе стандартное вещество Хст. Их молярные концентрации в растворе пробы обозначим как С1, С2, С3 ... Сп. Суммарная концентрация анали-тов (С,) равна Е С 1. Измеренные в одинаковых условиях коэффициенты чувствительности аналитического сигнала для разных аналитов далее обозначаются К1( К2, К3 ... Кп . Различная чувствительность сигнала проявляется в виде «веера» градуировочных графиков (см. рис.).

«Веер» градуировочных графиков при определении суммарного содержания пяти однотипных аналитов

Аналиты нумеруем так, что К1 < К2 < < К3 < ... < Кп. В простейшем случае (определение веществ по их собственному поглощению, измеренному в односантиметровой кювете относительно чистого растворителя) К = Е[ , где Е[ - молярный коэффициент поглощения 1-го аналита при выбранной длине волны. В более сложных

случаях (при проведении фотометрических реакций) значения К1 зависят не только от молярного коэффициента поглощения продукта соответствующей реакции, но и от стехиометрии этой реакции, выхода продукта и толщины слоя фотометрируемого раствора.

Оптическая плотность аддитивной смеси аналитов (А,) является суммарным аналитическим сигналом

А _£ КС (1)

Здесь и далее операции суммирования ведут в пределах от 1 = 1 до 1 = п.

В отсутствие случайных погрешностей использование аналита Хст в качестве стандартного вещества приводит к следующему результату

4 _Е КС

с * _■

(2)

К К

ст ст

Перейдем от абсолютных значений С/ и К к относительным (безразмерным) величинам г1 и р1, нормируя концентрации разных аналитов по концентрации Хст в растворе данной пробы (Сст), а коэффициенты чувствительности - по коэффициенту чувствительности сигнала к Хст:

Г _ С, (3)

Р _

С

ст

К

К

(4)

Теоретически возможны любые положительные значения п (относительной концентрации Х) и pi (относительной чувствительности определения Х ), но на практике область допустимых значений г1 ограничена растворимостью Х и границами линейного участка соответствующей градуировки.

Подстановка (3) и (4) в (2) дает

С _ Сст Е Р Г. (5)

Аналогичным образом представим действительное значение суммарного содержания аналитов:

С, _Е с _ Сст Е Г. (6)

Из (5) и (6) можно найти абсолютную (Д) и относительную (б) погрешность оценки суммарного содержания аналитов:

Д _ С* - С, _ Сст (Е РГ-Е г). (7)

с * - с

8_-

С

Е рг-Е г Е г( р-1)

Е г

Е г

Из (8) следует, что С* (оценка суммарного содержания) будет точно соответствовать С, (действительному значению

оцениваемой величины) только при выполнении условия

Е рг _Е г. (9)

которое выполняется в двух случаях. Первый случай тривиален: ё = 0, если все р1= 1, т. е. коэффициенты чувствительности всех аналитов одинаковы и равны Кст. Соотношения концентраций аналитов и выбор стандартного вещества в этом случае значения не имеют. Реализовать первый случай можно, подбирая аналитическую длину волны, при которой коэффициенты чувствительности всех аналитов одинаковы, или проводя фотометрическую реакцию замещения, в ходе которой разные аналиты дают один и тот же окрашенный продукт, причем с одинаковым выходом. Однако, как правило, добиться этого на практике невозможно.

Второй случай более интересен. Из (8) следует, что погрешность оценки суммарного содержания аналитов может равняться 0 и при различающихся коэффициентах чувствительности р/ ф 1). Но в таком случае стандартное вещество должно быть выбрано так, чтобы часть аналитов имела значения р1 больше единицы, а другие - меньше единицы. Если в качестве стандартного вещества взять Х1 (аналит с минимальным коэффициентом чувствительности), все значения р будут больше единицы, за исключением р1 = 1. Независимо от соотношения концентраций аналитов в исследуемой смеси, это приведет к ё > 0, т. е. оценка суммарного содержания аналитов окажется завышенной. Если же стандартным веществом сделать Хп (аналит с максимальным коэффициентом чувствительности), все значения pi окажутся меньше единицы (кроме рп = 1). Анализ приведет к ё < 0, т. е. к заниженной оценке суммарного содержания аналитов.

Очевидно, для уменьшения (по модулю) рассматриваемой погрешности стандартным веществом должен стать аналит с некоторым промежуточным значением коэффициента чувствительности, отвечающим условию К1 < Кст < Кп. Однако для обеспечения нулевой погрешности этого недостаточно. Выполнение условия (9) зависит и от значений г , .т. е. от соотношения концентраций аналитов в данной пробе. В частности, из (8) следует, что если все г будут равны единице, то суммар-

ное содержание аналитов будет определяться правильно (<5 = 0) лишь при выполнении дополнительного условия ^ рі = П.

Последнее маловероятно и может стать возможным лишь за счет случайного совпадения чисел. Из (8) следует также, что подбор стандартного вещества нельзя проводить без учета соотношения концентраций аналитов. В частности, подбор стандартного вещества с помощью эмпирических условий Кст = 0,5 (К + КП) или Кст П 11К не гарантирует правильность оценки С%.

Пример расчета погрешности. В табл. 1 приведены концентрации и коэффициенты чувствительности компонентов гипотетической пятикомпонентной смеси. Указаны также относительные значения тех же величин при использовании анали-та Хз в качестве стандартного вещества.

Таблица 1 Состав гипотетической смеси и коэффициенты чувствительности компонентов

Хі К Рі С, моль/л Гі Рі Гі

Хі 100 0,67 0.010 0,25 0,17

Х2 120 0,80 0,020 0,50 0,40

Хз 150 1,00 0,040 1,00 1,00

Х4 220 1,47 0,020 0,50 0,73

Х5 250 1,67 0,010 0,25 0,42

Суммы - 5,61 0,100 2,50 2,72

Рассчитанные по этим данным значения Е Г и Е р Г показаны в нижней

строке. Поскольку они не равны, оценка суммарного содержания компонентов в пересчете на Х3 будет содержать систематическую погрешность:

2.72 - 2.5° _ 0,088.

2,50

Таким образом, при использовании Х3 в качестве стандартного вещества и указанных в таблице концентрациях аналитов результат анализа окажется завышенным примерно на 9 % отн. Аналогичные расчеты показывают (табл. 2), что при использовании других стандартных веществ (например, Х2 или Х4) погрешности будут еще большими по модулю, причем они будут различаться и по знаку.

Как уже отмечалось, на величину погрешности влияет не только выбор стандартного вещества, но и соотношение концентраций компонентов. Так, если бы содержание стандартного вещества Х3 в данной смеси снизилось до 0,004 моль/л, а концентрации остальных аналитов ос-

тались прежними, то при тех же коэффициентах чувствительности ожидаемая погрешность анализа выросла бы с 8,8 до 13,6 % Напротив, если бы содержание Х3 выросло до 0,40 моль/л, погрешность анализа снизилась бы до 2 % Снижение погрешности при использовании основного компонента пробы в качестве стандартного вещества можно подтвердить и путем алгебраических выкладок.

Таблица 2 Оценки суммарного содержания аналитов в гипотетической смеси при разном выборе стандартного вещества

Стандартное вещество С*, моль/Л 5,%

Хі 0,163 63

Х2 0,136 36

Хз 0,109 9

Х4 0,074 -26

Х5 0,065 -35

Примечание: действительное значение

Се = 0,100 моль/л.

Проверка алгоритма. Для проверки правильности прогнозов, которые можно получить с помощью вышеописанного алгоритма, измеряли оптические плотности модельных смесей, содержащих три аро-

матических углеводорода - нафталин (Н), антрацен (А) и толуол (Т). Растворитель -н-гексан. Измерения проводили на приборе СФ-26 в односантиметровой кювете. В табл. 3 приведены концентрации и коэффициенты чувствительности компонентов двух смесей с одинаковым набором компонентов и близким соотношением их концентраций, но с достоверно разной суммарной концентрацией. Указаны также относительные значения тех же величин, рассчитанные относительно нафталина (стандартное вещество). Рассчитанные по этим данным значения

Iе- • I Г и I РГ показаны в строке

«Суммы». В нижней части таблицы сопоставлены прогнозируемые и реально найденные в эксперименте значения систематической погрешности. «Экспериментальную» погрешность рассчитывали по

формуле 5 = 100 (С -1 е1) /1 ег При

этом С вычисляли как частное от деления измеренной оптической плотности смеси на молярный коэффициент поглощения нафталина.

Таблица 3

Проверка правильности предложенного алгоритма при определении суммарного содержания аренов при А = 260 нм

Х, Чувствительность Смесь № 1 Смесь № 2

К Ю3 Рі С . 104 моль/л Гі Рі Гі Сі . 104 моль/л і~і Рі і~і

Толуол 0,20 0,15 5,10 3,64 0,55 4,30 7,17 1,08

Нафталин 1,30 1,00 1,40 1,00 1,00 0,60 1,00 1,00

Антрацен 8,93 6,87 0,12 0,09 0,62 0,08 0,13 0,89

Суммы 8,02 6,62 4,73 2,17 4,98 8,30 2,97

б, % Прогноз по (8) -54,1 - 64,2

Эксперимент -52,6 -56,8

Примечание: АЕ1 = 0,440; АЕ2 = 0,280.

Из табл. 3 видно, что оценки погрешностей, прогнозируемые по предлагаемому алгоритму, довольно хорошо совпадают с результатами эксперимента. Небольшие расхождения связаны с влиянием случайных погрешностей и округлением промежуточных данных. Хорошее совпадение прогнозов и экспериментальных данных наблюдали и при измерении суммарного сигнала смеси этих ароматических углеводородов на других длинах волн, а также при использовании других наборов углеводородов.

Проверка правильности выведенных формул и следующих из них практических рекомендаций начата и на модельных смесях других типов (смеси лекарственных веществ, смеси антиоксидантов и т. п.). Результаты этой проверки будут приведены в следующих сообщениях.

Практические рекомендации. Следует раздельно рассматривать два часто встречающихся случая.

1. Анализ объектов с приблизительно неизменным соотношением концентраций аналитов. Будем называть такие объекты смесями первого типа. Примером может быть определение меняющегося в разные дни суммарного содержания нефтепродуктов в природной воде при единственном источнике их выброса. Другой пример -мониторинг суммарного содержания антиоксидантов в многокомпонентной биологически активной добавке, имеющей заданный номинальный состав и серийно выпускаемой на некотором предприятии.

2. Анализ объектов с м,еняющимся от пробы к пробе качественным составом и/или непредсказуемым соотношением концентраций разных аналитов (смеси

второго типа). Примером может быть оценка суммарного содержания ароматических соединений в бензинах по свето-поглощению в УФ области. Известно, что индивидуальный состав бензинов не постоянен. Соотношение бензол/толуол

сильно меняется даже у товарных бензинов, выпущенных в разное время одним и тем же производителем, поскольку для достижения заданного октанового числа в бензин иногда добавляют толуол [5].

Из формулы (8) следует, что для смесей первого типа погрешность оценки Се не зависит от действительного значения оцениваемой величины (при неизменной длине волны и использовании одного и того же стандартного вещества). В связи с этим переход от одной пробы к другой (с приблизительно тем же соотношением концентраций аналитов) почти не повлияет на величину относительной погрешности. Это видно и из данных, приведенных в табл. 3. Систематическая погрешность анализа, вызываемая различной чувствительностью определения индивидуальных аналитов, для смесей первого типа является мультипликативной. Следовательно, ее можно уменьшить или исключить, используя заранее найденный по пробам известного состава эмпирический поправочный коэффициент (к):

С ~ к С*

Точность анализа в этом случае должна повыситься.

Для смесей второго типа систематическая погрешность оценки суммарных содержаний будет непредсказуемо меняться от пробы к пробе. Прогнозировать ее по (8) невозможно, поскольку для таких смесей неизвестны значения г. В подобных случаях лучше перейти к принципиально иным способам расчета Се, например к применению хемометрических алгоритмов [6; 7].

В любом случае выбор стандартного вещества существенно повлияет на величину погрешности, оцениваемой по формуле (8). Следует руководствоваться правилом: стандартное вещество должно давать градуировочный график, лежащий внутри «веера градуировок», характеризующих чувствительность определения разных компонентов исследуемой смеси. Кроме того, в случае анализа смесей первого типа в качестве стандартного вещества желательно использовать компонент, присутствующий в пробах в большей концентрации, чем другие аналиты.

Длина волны, при которой измеряется суммарный аналитический сигнал, существенно влияет на коэффициенты чувствительности, а значит и на точность оценки суммарного содержания аналитов. Традиционный критерий выбора аналитических длин волн - как можно меньшая ширина «веера градуировок» [2]. Этот эмпирический критерий не противоречит выведенным нами формулам и безусловно правилен. Однако в случае смесей первого типа для оптимизации методики анализа (выбора оптимальной длины волны) можно применять и другой, теоретически более обоснованный критерий (9).

Автор благодарит за участие в экспериментальной проверке теоретических выкладок студентов ОмГУ М. Харькову и Н. Бриленок, а за активное обсуждение результатов работы -доцентов С.Е. Макарова, И.В. Власову и Т. Г. Цюпко.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Нередко стандартное вещество не входит в состав исходной пробы или известное количество стандартного вещества вносят в пробу уже в процессе анализа. Эти случаи мы пока что не рассматриваем.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Лурье Ю. Ю., Рыбникова А. И. Химический анализ производственных сточных вод. М. : Химия. 1974. 335 с.

[2] Семенов, А. Д., Страдомская А.Г., Павленко Л. Ф. Количественное определение нефтепродуктов в поверхностных водах // Методы анализа природных и сточных вод. Проблемы аналитической химии. Т. 5. М. : Наука, 1977. С. 203-209.

[3] Яшин Я. И, Рыжнев В. Ю., Яшин А. Я, Черно-усова Н. И. Природные антиоксиданты. Содержание в пищевых продуктах и их влияние на здоровье и старение человека. М. : Транслит, 2009. 212 с.

[4] Власова И. В., Вершинин В. И, Цюпко Т. Г. Методология спектрофотометрического анализа смесей органических соединений. Проблема неаддитивности светопоглощения // Журн. ана-лит. химии. 2011. Т. 66. № 1. С. 24-33.

[5] Топлива, смазочные масла, технические жидкости. Ассортимент и применение : справочник / под ред. В. М. Школьникова. М. : Техинформ, 1999. 596 с.

[6] Власова И. В., Вершинин В. И, Шелпако-ва А. С. Хемометрические алгоритмы в спектрофотометрическом анализе неразделенных смесей органических веществ // Вестн. Ом. унта. 2010. № 2. С. 14-24.

[7] Quansheng C, Jiewen Z, Muhua L., et al. Determination of total polyphenols content in green tea using FT-NIR spectroscopy and different PLS algorithms // J. of Pharm. Biomed. Analysis. 2008. V. 46. № 3. P. 568-573.