Аппроксимация Паде решения задачи Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.3:62-50

В. Э. Вишневский, А. В. Зубов, О. А. Иванова АППРОКСИМАЦИЯ ПАДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

В настоящей работе изучаются аналитические алгоритмы аппроксимации Паде решения задачи Коши, о которой известно, что оно голоморфно в некотором заданном множестве Dt(x0 ,to), вообще говоря, не конформно эквивалентному кругу. Данная работа развивает методику, предложенную в работах А. Пуанкаре [1] и В. И. Зубова [2, 3], где было установлено, что достаточно широкий класс систем аналитических дифференциальных уравнений при некоторых предположениях имеет решение задачи Коши, голоморфное в полосе |Imt\ < h, h > 0, и показано, как, используя конформные преобразования, интегрировать уравнения с помощью рядов, сходящихся при всех t: |Ret\ < ж>.

1. Постановка задачи. Построим аппроксимации решений для системы аналитических дифференциальных уравнений вида

x = f(t,x), teC1, хеСп, (1)

в которой fK(t,x) - аналитическая функция t, x, являющаяся аналитическим продолжением элемента Вейерштрасса при к G 1: п:

ж ж

efK(t,x) = ]Т Y^j(t,x) € Ut(Rt, 0) X Ux (Rx, 0), (2)'

UI=o i=0

Вишневский Вячеслав Эдуардович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 40. Научные направления: дифференциальные уравнения, теория управления, теория возмущения в задачах небесной механики. E-mail: VVapmath©yandex.ru.

Зубов Афанасий Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедры математической теории микропроцессорных систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 130. Научные направления: дифференциальные уравнения, теория управления, теория устойчивости и стабилизация движения. E-mail: a_v_zubov©mail.ru.

Иванова Ольга Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории микропроцессорных систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 30. Научные направления: дифференциальные уравнения, теория управления, математическое моделирование. E-mail: ivanova112©yandex.ru.

© В. Э. Вишневский, А. В. Зубов, О. А. Иванова, 2012

где Ut, Ux - полидиски радиусов TZt и TZX = (TZXl,... ,TZXn), int Ut ^ 0, int Ux ^ 0. Поскольку для к G 1: n элемент g/K в Ut x Ux задан абсолютно сходящимся рядом, то в Ut х Ux его можно переразложить в ряд по xj с переменными коэффициентами äj \t), т. е. будем иметь при к G 1: п:

ж

if (t,x) =Y, j (t) xj, (t,x) e Ut(Rt, 0) X Ux(Rx, 0). (2)"

UI=o

Заметим, что однозначность f (t, x) в своей области определения не предполагается, хотя элементы if и f однозначны в поликруге Ut х Ux.

Обозначим через a-K\t) полную аналитическую функцию, полученную аналитиче-

(К),

ским продолжением из £/((0) функции а^ (£) для всех к € 1: п, \Л ^ 0.

Введем обозначение для функционального элемента ^ ^=о Ц^^Х', с которым будем работать ниже. Положим (с последующим уточнением ограничений на область изменения х), что

efK(t,x)=J2 x е U(R, 0). (2)

151=0

Обусловим свойство int U(R, 0) = 0. Все три формы задания элементов функций fK(t,x), а именно (2)', (2)" и (2), часто используются при работе с уравнением (1). Из них выражение (2) в частном случае конечной суммы задает полиномиальную систему с переменными коэффициентами в виде формул. С аналитической точки зрения все три формы - (2)'', (2)' и (2) - эквивалентны. С формальной же ряд следующих ниже условий удобнее формулировать в терминах элемента efK из выражения (2). Заметим, что efK(t, x), в отличие от gfK и -fK, условно можно считать полулокальным, поскольку его можно разложить в ряд Тейлора по (t-to)m для любой регулярной точки

(to€Ut(nt,0))V (t0 G Ut(nt,0)).

Пусть коэффициенты a5K)(t) обладают следующими свойствами, которые определяют свойства функции f (t, x) - векторного поля относительно времени t: для любых j, к G 1: п функции аналитичны в множестве Т> Aus (Ц^) Q С ; для всякого

ж

t eQ (D ЦК))\ Aus (аЗк) ))=0

I з I

ряды из выражения (2) сходятся в поликруге U(R, 0) и существует аналитическое продолжение элемента efK из U(R, 0) в множество (область) = Cn\ Aus(fK(t, x)).

TT - Д J. -

Из предположений следует, что при xn+i = t «полулокальный» векторный элемент Вейерштрасса (2) для f = (fi,...,fn,...,fn+i) в поликруге U(R, 0) х Un+i(r, xn+i) можно понимать как ряд Гартогса в U х Un+i. Всюду далее символом Aus (р) будем обозначать множество исключительных точек для р в том множестве, где рассматривается р (в частности, возможно, что Aus (р) = Sing (р) - множество особых точек функции р). Для момента

ж

to eD = f| (Z?(4K))\ Aus(4k))) С с1

К

el: n,\j\=0

будем изучать решение задачи Коши

x (t, x0 ,t0) = (xi(t, x0,to),...,xn (t,x0 ,t)),

x= ef (t,x), x(t0) = x0 e U(R, 0), (3)

в предположении, что существует его аналитическое продолжение из круга S^(t0, Rk), определенного теоремой Коши, в некоторое множество

D (x0,t0) = (D (x0,t0)\ Aus(x(t,x0,t0))) С D С С1,

которое, если есть необходимость практической реализации предлагаемого алгоритма, должно быть алгоритмически задано.

Примем следующее соглашение. Теорема Коши гарантирует и определяет при (t —10) e Sk(0, Rk) элемент ex(t, x0,t0), удовлетворяющий задаче (3). В свою очередь, этот элемент, соответствующий точке (x0,t0), определяет единственную аналитическую функцию (его продолжение за круг SK(t0, Rk) по t) x(t,x0,t0), возможно, и неоднозначную в своей полной области dom x(^,x0,t0), которая, вообще говоря, не зависит от векторного поля f (t,x) за поликругом Ut х Ux.

Действительно, поле f (t,x) может быть вне области Ut х Ux. Однако если f (t,x) означает полную аналитическую функцию, порожденную элементом f из выражения (2)', то естественно связывать величину x(t',x0,t0) полной аналитической функции x(^,x0,t0) при t' e dom x(^,x0,t0) со значениями f (t',x') (при том же t' и x' = x(t', x0,t)) и производной x(t, x0, t0) при том же t'. Если бы f и x(t, x0, t0) были однозначными, то такая детализация не нужна. Однако при введенных выше предположениях соответствие между значениями

x (t,x0,t0), x (t, x0,t0) и f (t,x (t,x0,t0))

необходимо и достаточно понимать в следующем смысле. Заметим, что в круге SK(t0, Rk) Э t справедливо тождество

Sx K(t, x0, t) = efn (t, x (t, x°,t0), ..., sxn(t, x0,t))

при к € 1: п. В силу теоремы единственности это тождество сохранится при любом аналитическом продолжении элемента

ёхк(Ь,х0,Ьо) и ¿¡К(Ь, ¿хл(Ь,х0,Ь0),...,ёХп{Ь,х0,г0))

по Ь вдоль любого допустимого пути 7: [0,1] ^ С], 7(0) = ¿о, ^(1) = Допустимость пути 7 определяется возможностью аналитического продолжения вдоль него всех функций ёХк(Ь, ж0, ¿о) при к € 1: п из точки ¿о в точку Как известно, в качестве всех таких путей 7 могут быть выбраны ломаные из конечного числа звеньев. Верно и обратное: так, если

И.ап 7 (7 : [0,1] ^ С], £ = 7(I)) из ёош х(•, х°, ¿0),

то

71 w pn

x

Ranr (Г : [0,l]^Cl1 х СП, x = x (t,x[i,t0)) из dom f, где при l e [0,l] по определению

Г(1) = (y (l), xi(Y(l), x0, t0),..., xn(Y(l), x0, t0)),

а значение вектора x = x(t,x0,to) = x(j(l),x0,to) получено аналитическим продолжением элемента gx(t,x0,to) вдоль кривой Ran 7, т. е. вектор-функция f аналитически продолжима из точки (to,x0), где она определяется элементом gf из выражения (2)' вдоль пути Г = Г(7) в точку (t, х), где t = 7(/), х = х°, t0) и для любого к G 1: п

справедливо xK(t,x0,to) = fK(t,xi(t,x0,t0),...,xn(t,x°,t0)). Поскольку по теореме Ко-ши находится элемент gx(t,x0,to) для всех (x0,to) G Ux x Ut, то указанные выше продолжения из Ut x Ux для gf (t,x) существуют для всех допустимых путей Г = T(y), выходящих из точек поликруга Ut x Ux. Всюду символ f (t,x), если он не обозначает

функцию вообще, т. е. не эквивалентен f (•, • ) = f, а обозначает значение f в точке (t, x), должен пониматься как аналитическое продолжение элемента gf из Ut x Ux вдоль допустимого пути Г = Г(7), где 7 связано с семейством элементов gx(t, x0,to) при всех (x0,to) G Ux x Ut. При этом может оказаться, что в принятом соглашении значение f (t,x) не определено, хотя само по себе независимо от уравнения (1) и существует продолжение gf из Ut x Ux в точку (t, x). Таким образом, предполагается сузить полную аналитическую функцию f (•, •) на область значений x(t,x0,to) при условии,

что (x0,t0) G Ux x Ut. Если Ausj(^) = Aus (•) П Sing(^), то условие t* G Ausj(x (t, x0, t0)) влечет, что t* - особая хотя бы для одной из координат xK(t,x0,to). Может оказаться, что существует аналитическое продолжение для x (t,x0,to) за область D (x0,to), но здесь этот вопрос не рассматривается. Множество Ausj(/„(t, х)) для к G 1: п зависит, вообще говоря, от значения t G D (x0 ,to). При непрерывной зависимости точка x*(t) G Ausi(fK(t, x)) в Cn локально «заметает» не более чем топологически 2-мерное многообразие. Заметим, что Vt'G

U Ausi(xK(t,x0,to)) U U и Ausi(aj

¿к)-у ' 3

-Л к = 1 j\ = 0

==>• х (t', х°, to) G U Ausi(/K(t',x)) = Augj/ (t', x)

к=1

как следствие аналитической продолжимости всех efK по t и x в точку

(t',x(t',x0,to)) G D (x0,to) x f| D(t;)

к = 1

в предположении, что значение x(t',xo,to) существует.

Далее построим и обоснуем аналитический алгоритм (в широком смысле) аппроксимации решения x (t,xo,to) в «максимально» широкой области

Dapp(x0,to) С D(x0,to)

при условии, что

Dapp(x°,to) Э to и cl^iD(x°,to)3oo; и если clgiD(x°,to) Э оо, то аппроксимации в любой конечной области

Dx(x°,to) С D(x0,to), Dapp(x0,to) С Dm(x°,to).

В ряде случаев при естественных ограничениях на границу для D(x0, to) оказывается, что

Dapp (х°, to) = D (ж0, to) mod (measO) при clgiD (x°,to) Э 00

Dapp(x0, to) = Dx{x°,to) mod (measO) при cl-^iD (x°,to) Э oo.

При выборе области Dж(ж0,to) С В (х0,^) алгоритм сводится к случаю, когда с1-£\В (х°, ¿о) Э оо.

2. Ряды Ли. Поскольку ¿о фиксировано, то положим по определению, что т = t — ¿о- Тогда уравнение (1) перейдет в уравнение х = ](¿о + т, х), соответственно этому решение х(£, х0, ¿о) в х(Ьо + т, х0, ¿о), область В(х0,£о) в Вт(х0, ¿о) = В(х0,£о) — ¿о- Для а^к^о + ж0, ¿о) при к 6 1: п имеем представление

ж

хк(1о + т,х°М) = ^ с*К)(х0,МЛ (4)

в котором все коэффициенты с(к)(х0,¿0) - известные от х0, ¿о аналитические по ним функции. Ряд (4) сходится в некотором круге

5')9к(ж°,4о)(0) = {'г е С : |т| < рк(х°, io) = dist (0, Aus (xK(to + т, х°, ¿о)))}-

Очевидно, радиус рк(х0,¿0) всегда не меньше, чем оценка из теоремы Коши, гарантирующая круг £к(0, Як)- Тогда вектор-функция х(Ьо + т, х0, ¿0) представима рядом

ж

х (¿0 + т, х0 ,¿0) = ^2 Сг(х0^о) т1,

i=0

где Cj = ...,х^) при г G 0: оо, сходящимся в круге Sp(0) С DT(x°,to) радиуса p(xo,to) = min pK(x0,to).

l^K^n

Учитывая, что c(K)(x0,to) суть коэффициенты Тейлора для xK(to + т, xo,to), их можно вычислять по рекуррентным формулам в аналитическом виде в терминах коэффициентов aiK\t) при к G 1: п. В этом случае имеем соотношения при к 6 1: п

4"> (xo,to) = xK, c<KV> ,to) = ¡-1At'!li(xo ,to) = (iirU'x'K,

»

Таким образом, c\K\x°,to) - ряды по величинам a^K)(to) и xo. Они перейдут в многочлены от ж?, to, если элемент е/ задать в поликруге {\xi — х®| < rj, г G 1: п} х {|t —to| < ^n+1}. Учитывая выражение (5), решение x(to +т, xo, to) представимо в круге Sp(xo,to) (0) рядом, который там сходится, имеет вид

x (to + T,xo,to) = (exp (4t))xo, xo e U (R, 0),

и называется рядом Ли [6]. Поскольку не исключено, что

Aus (x (to + т, xo,to)) П (D (xo,to) - to) = 0,

множество DT(xo,to) оказывается многосвязным в С1. Это может оказывать влияние на реализацию алгоритмов, на неустранимую погрешность, хотя бы и имеющую сколь угодно малую величину.

и

3. Основные случаи геометрии множества D (f). Пусть элемент Вейерштрасса

для / (г) G С1 при г G С1 задан рядом

ж

fe(T )=£ Ci (fe) Ti, T € 5Й(0), (6)

¿=0

который аналитически продолжим в некоторое множество

Dt (f) С C1,

где

Dt(f ) = D (f )\Z(f), Z (f ) = cCZ (f), и, не нарушая общности, можно считать, что

Z (f) С cCD (f), Z (f ) = Z,(f) U Zc, Zff(f) П cCZc = 0, cardZa(J) < те,

Zc = Aus (f) U Zpar, Aus (f) П Zpar = 0.

По смыслу исходной задачи множество Z (f) состоит из точек, которые либо не принадлежат dom f, либо вычисление значения f в них не требуется условием задачи. Введенные множества существенно связаны с f, исключением является лишь Zpar, которое условно можно считать управлением.

Случай 1°. D (f) = C1, card Zff (f) < те,

ОО ОО

Z(f) = Aus (f) = J pTi U J eTi = Za(f) U Zc = Zff(f) U Zc,

¿=1 ¿=1

причем Zpar = 0, где рт\ и ет\ - г-й полюс и существенно особая точка для f соответственно. Предполагается, что Zc не имеет точек сгущения в C1.

Случай 2°. C1 = D (f) = cC D (f) - односвязное с простой кусочно-гладкой границей FrD(f), а

M

Z (f) = Za (f) = У pTi С int D (f), M < те и известно M = card Za.

¿=1

Кроме того, предполагается, что

dciV(f) Эос, dist (Fr 2? (/),.£(/)) > 0,

где величина z известна.

Случай 3°. То же, что и 2°, но cardZa(f) < M.

Случай 4°. То же, что и 3°, но известно только, что card Za(f) < +те. Случай 5°. V(f) ^с1, cIqiT> (/) э'оо,

M

Z (f ) = Za(f) U Zc, Zc = Aus (f), Zff(f ) = U pTi,

¿=1

где либо M < ж и известно, либо M ^ M < ж и известно только M, либо M < ж и неизвестно; Fr clgiD (f) - простая кусочно-гладкая, связная и достижимая из int D (f).

Выделенные пять случаев являются в определенной степени «базовыми», поскольку к ним могут быть принципиально сведены другие более сложные случаи, которые рассмотрены ниже.

Случай 60. DT (f) такое, что для всякого е > 0 существует число N(е) < ж и измеримое семейство множеств где оо(ЁdgiGvie) - односвязно в С1, а множество Frcl^i Gv(е) не содержит особых точек функции f и справедливо отношение ( Пint Gv (е) э 0) и для всякого v

Mv (s)

Aus (/) P| int с/гi Gv{ e ) = IJ pTVi

i=i

для некоторого возможно и неизвестного числа

Mv(е) = M(e,Gv(е)) < ж,

причем measñ2(Dt(f )\U^=1 Gu(е)) < е.

Случай 70. То же, что и 60, но имеет место равномерность по е, т. е. N(е) и M(е, Gv(е)) не зависят от е.

Таким образом, в случае 60 предполагается, что все особенности f сосредоточены на множестве меры нуль (3m D Aus (f) такое, что meas (m) = 0). Причем считается, что семейством измеримых множеств, замыкание которых односвязно в С ,

можно «приблизить», вообще говоря, не односвязное множество DT(f) таким образом, чтобы

N

meas (Dt(f )\[J Gv) <е.

v=1

Для осуществления такого разбиения и зарезервировано некоторое измеримое меры нуль множество Zpar (речь идет о разбиении множества DT(f)). Заметим, что в Aus (f) могут попадать любые точки, особые для функции f. Если известно, что имеется требуемое выше семейство {Gv}<=°i, то для каждого множества Gv существует аппроксимирующий частичную функцию f\gv алгоритм. Если семейство {Gv}<=°i предъявлено, то существующий для него набор однотипных алгоритмов, каждый из которых аппроксимирует соответствующую f\ gv , за исключением множества сколь угодно малой меры, может считаться предъявленным. В этом смысле проявляются свойства рекур-сивности, аналогичные тем, которые имеют место при построении алгоритмов в узком смысле (при строгом понятии алгоритма).

Рассмотрим первые четыре случая, остальные предполагается опубликовать позже.

4. Первые четыре случая. Первый случай основан на известных теоремах о свойствах аппроксимации Паде [6, 7]. Остальные случаи основаны на свойствах однолистных конформных отображений, уравнениях Левнера-Куфарева и аппроксимации Паде.

Лемма. Пусть множество

ж

XT={(x°,t0)e U(К, 0) х (С\ U Aus Цк))) : 3 к G 3(L, М) < ж (0) = 0}.

Тогда meas^2^+2 XT = 0.

Доказательство. Величины Я(к/М] (т) вычисляются согласно [6] по формулам

с<ь-м +1 (х°,¿о) ••• (х0,¿о)

Я

[Ь/М] ,, А

(к)

(т) =

с(к-М+2 (х0, ¿0) ••• с<Ь+2(х° ,^0)

(к) („0

с(к )(х0, ¿о) ......сЬ+м(х0М

„( к)

ГМ

(7)

Положим С(к)(Ь/М) А /М](0). Числа С(к)(Ь/М) определяют так называемую С( к)-таблицу. Учитывая выражение (5) и то, что согласно формуле (7) уравнение

яЬ/М](0) = 0

относительно величин х0, ¿о задает аналитическое множество

Ш{К){Ь/М) = {{х°М) : д[^М](0) = 0} с С" х С1 ,

имеем, что ХТ = иж=о м( к)(Ь/м). Поскольку

теавд2^+2 М( к)(Ь/М) = 0,

следует, что

теавД2^+2 ХТ = 0,

что и требовалось доказать.

Таким образом, допустимым множеством для начальных данных Коши (х0,^) является С^-множество Сп х С \ХТ. Заметим, что множество всех точек (ж0,¿о), на которых «обнуляются» все знаменатели дробей Паде /М](0), есть аналитическое множество вида Пк=1 ПЖ=0 Пм=0 М( к)(Ь/М). Согласно теореме Гильберта о базисах оно эквивалентно конечному пересечению, т. е. существуют ¡1 < те и ¡2 < те такие, что

п оо оо

П ¡! 12

м = П П П М(к)(Ь/М)= П П Й Ш(к)(Ь/М) С ХТ•

к=1 Ь=0 М=0 к = 1 Ь=0 М=0

Поэтому Ш замкнуто и нигде не плотно в Сп х С . Всюду предполагается, что точка (ж0, ¿о )ёХТ.

Пусть хк(¿о + т,х0,го) = /(т), /(т) - элемент для /(т) из формулы (6), сД/е)

л

с(к)(х0,^) и случай 10 для пары /е, /. Тогда с точностью до принятых выше обозначений справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (Поммеренке [6]). Для любых е > 0, 6 > 0 найдется число М0 такое,

1

что при M ^ M0 аппроксимация Паде [L/M] лучевой последовательности, соответствующей L = Л ■ M, (Л = 0, Л = ж), существует и удовлетворяет неравенству

| f (т) - [L/M] | <е

при

г G 1С G comp С ,

где

K Р| Em = 0, measß2 Em < S.

При этом использованы обозначения из [6]:

[L/M] = A[L/M] (т)/B[L/M (т), B[L/M (0) = 1,

A[l/m(T) = P[L/M] (т)/Q[l/M(0),

B[l/m(T ) = Q[l/m(T )/Q[l/m(0).

Многочлен P[L/M] (т) вычисляется согласно формуле (7) при условии, что нижняя строка заменяется на новую строку вида

L-M L-M+1 L \

\i=0 i=0 i=0 )

Оценку близости аппроксимации Паде [L/M] к f (т), где последовательно полагается

при к G 1 : п, что /(т) = xK(to-\-r, х°, to), можно выписать на основе результатов работы [7] аналогично тому, как было сделано в [4]. Заметим, что в случае I0 функция f (т) оказывается однозначной.

Сохраняя обозначение f (т) = xK(t0 + T,x°,t0) и fe(T) из выражения (6) при ci(fe) = (x0, t) рассмотрим случаи 20-40. Первая часть алгоритма для них общая и связана с конформным преобразованием. Поскольку множество cl^iDT(f) = cl-^iV(f) = V(f) односвязно и его простая кусочно-гладкая граница Fr DT (f) содержит более двух строчек, по теореме Римана существует однолистное конформное отображение

V : D(f) Sr(0) = { z eC1 | |z| < r}, v(0) = 0,

которое связано только с геометрией множества D(f). Это отображение v, v(0) = 0 единственно. Если предъявлена (т. е. игнорируется вопрос вычислимости) функция Грина g (т, 0, int D(f)), то по ней можно предъявить функцию v(t, 0), отображающую однолистно и конформно область int D(f) на круг int Sr(0) так, что v(0, 0) = 0. Действительно, по функции

7 (т, 0)= g (т, 0, int D(f)) - ln T| , (8)

гармонической в intD(f), предъявляется сопряженная с ней гармоническая функция Ys(t, 0). Тогда искомая v будет предъявлена в виде

V (т, 0) = exp [y (t, 0) + i Ys (t, 0)] т. (9)

Входящее в Ys(t, 0) произвольное постоянное слагаемое £ определяется из условия у'т(т, 0)|т=0 > 0. Функция Грина g (т, 0, int D(f)) является решением задачи Дирихле (или 1-й краевой задачи теории потенциала) в области int D(f), т. е. это гармоническая в int 2?(/) и непрерывная в cl-^iV(f) функция, которая на FrV(f) совпадает с заданной функцией Ф, а Ф в данном случае связана с границей круга Sr(0). Функция Грина gu(z, 0) для круга \z\ < R с граничной функцией p(ff) рассчитывается по формуле

2п

0(г, 0, intS'H(0)) = e.(i- е") = ^ J g «+г, («0,

0

для любойp(6), p(*) G C(Fr SR(0)), причем g„(R-ei ö) = p($). После этого вычисляется конформное отображение круга Sr (0) на область D(f) с помощью тех же формул (8), (9).

Таким образом, имея пару однолистных конформных отображений у: D(f) —> Sr (0) и u = у-1: Sr (0) —> D(f) таких, что у о u = Idrpf) и u о у = Idsr(о), отображение f можно поднять до аналитического отображения ф согласно коммутативной диаграмме

cl¿i (D(f) \Z(f)) f С

\ u / ф

clci (Sr (0) \ p(Z(f)))

Функция ф аналитична в (int Sr(0)) \ р ( Z(f)). Следовательно, она аналитична в любом множестве ( cl-^i Sra<r(0)) \ <р ( Z(f)). Пусть произвольное е > 0 и с/^iVe (/) <■= D (f), причем предположим, что справедлива оценка

meas (D (f)\Ve (f)) < e, e << 3

(не умаляя общности, можно считать, что Z (f) С De (f)). Тогда найдется ra < r такой, что

y>(Ve(f)) <ё Sra (0) <■= i S^ (0) <s Sr (0)

и отображение ф аналитично в ( cl^i STa (0)) \ ip(Z (/)). Но величина card^ ( Z(f)) = M < ж известна. Причем в силу аналитичности р в De (f) точка из р (Z (f)) оказывается всегда полюсом для ф. По построению отображений р и u точка 0 не является полюсом для ф. Следовательно, элемент

ж

Фе (z) = fe ( Te (z)) = fe (ue (z)) = ]T Cm (фе) Z™, (11)

Я

m V re ¡

0

где степенной по г ряд сходится в круге Srmin (0) при

гт1П = (о,^(z(/))) > о.

Коэффициенты Тейлора

ст (фе) = ст ( с (/е), Ск (ие)), т = 0,1,..., (12)

являются известными функционалами от коэффициентов Тейлора с^(/е) и ск(ие) из соотношений (6) и (10). Существенно то, что и (0) = 0 и ие(г) = ^ст (ие ) -

ряд, сходящийся при \г\ < (0, (2 (/))), так как имеет место сходимость при И < Я.

Возникает вопрос, не ухудшает ли сходимость ряда из выражения (11) за счет «плохой» (если таковая имеет место) сходимости ряда, задающего ие(г). Для однолистных голоморфных в круге функций из класса Б [8] в 1984 г. Бранжем было доказано, что справедлива гипотеза Бибербаха, т. е. имеет место оценка \ет\ ^ т для всех т ^ 0. Поэтому ряд для ие(г) сходится не медленнее, чем ^т ■ \г\т при \г\ < 1. Далее можно заметить, что в круге Бр (хо ^}(0) для /(т) = хк (Ьо +т, х0,Ьо) сходится ее элемент

/е(т )=Е ~ =о ст(/е) ■ тm, поэтому коэффициенты

ст(Фе) = ИГ1^*) = ИГ^М*)), =

Таким образом, имеем, что

Со('фе) = Со(/е),

d du

С1Ш = ' Tz

= ci(fe) • ci(ue)

1 (du dd d d2u

с2Ш = 2[т-тт1{и)+т1{и)т^

= С1 (/е) ■ С2(ие) + С2(/е) ■ с\(ие)

и т. д. Поэтому коэффициенты Ст (фе) - многочлены по величинам С^(/е) и Ск(ие) при 0 ^ г ^ т, 1 ^ к ^ т, с целыми коэффициентами и вычисляются точно на столько, на сколько точно известны С^(/е) и ск(ие). При этом нет необходимости использовать формулы Тейлора вида

1 [ /(и(г)) ■ dz

в,

-Ш =

~тУге> ~ 2тгг J z™+1

Yp

В случае 20 справедлива теорема аппроксимации.

Теорема 2. Равномерно на компактах, принадлежащих множеству

( clgi БГа (0 ))\ip(Z(f)),

справедливо равенство ф(z) = lim [L/M], где величины [L/M] определены выше.

L—

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы Монтессу [6], а также леммы 1, обеспечивающей существование знаменателей дробей Паде, отличных от нуля. В случае 30 справедлива такая теорема.

Теорема 3. Пусть M ^ card ф ( 2 (f)). Рассмотрим строку аппроксимации Паде [M/L], где L ^ ж. Пусть .заданы произвольные положительные е и д.

Тогда найдется номер L0 такой, что \ф(z) — [L/M]| < ö при всех L > L0 и всех \z\ < ra, за исключением z G EL, где EL — измеримое множество точек, меры меньше 6. Доказательство вытекает из теоремы 6.5.1 работы [6]. В случае 40 справедлива теорема.

Теорема 4 (Зинна-Юстина). Пусть qM — число нулей полинома QM(z) при \z\ < ra. Если lim M• qM • ln M = 0, то аппроксимации Паде [M/M] сходятся по мере

М^ оо

к ф{г:) в круге \z\ < га ■ (л/З)-1.

2

Доказательство вытекает из теоремы Натолла-Зинна-Юстина, являющейся следствием теоремы Поммеренко [6].

Таким образом, в случае 40 при известной оценке количества полюсов у ф(г) в круге \z\ ^ г сходимость дробей Паде гарантируется лишь в (круге) Sr где £ -

измеримо и meas E < S; положительное S - априорное данное.

Оценки на количество приближений нетрудно получить из приведенного в [6] доказательства соответствующих теорем. Так, например, в случае теоремы 3 получим следующую оценку:

\ф(г) - [L/M]| < откуда следует оценка

Lo > ln [е/С]

l+m+1

K-rM ■ 3M ■ (2ra)

\M

П

M '+m

ln max z

—

ze£l ra

1

-M - 1,

(13)

где

л

M

С = K^rM ■ 3M ■ (2rari ■ [V

K= ( 1 -

z

ra

1

M '+m\

1

sup \ф(13)\,

\P\=ra

El - измеримо и meas El ^ nrj1 <5, M ^ M', M' - количество тех корней zi знаменателя QM(z) дроби [L/M], для которых \zi\ < 2ra.

Таким образом, если положительные е и S заданы, то в случаях 30 и 20 при Lo(e, S), определяемом согласно выражению (13), имеем оценку

Ер[

[Lo/M] ,

ф(z) -

M

[Lo/M ]

zj

j=o

< e, ze£l, meas £l < 5,

где коэффициенты и при i G 0 : Lo, j G 0 : M являются известными

числовыми величинами, явно вычисляющимися по коэффициентам Тейлора для фе^), т. е. по числам cm(фе) из выражения (12) согласно формулам (7). Последние, в свою очередь, рассчитываются методом Q — D разностей.

Пусть Д =f meas (u (ELo)), тогда

при r G (<%i2?(/))\u(5Lo). Но

Е РLo/M]■ Ы(т )]i

ф (Ы(т)) —

0

M [L

Е qj

j=0 J

meas(2?(/)\(cki2?(/)\u(5Lo

Ыт )j

< е

meas u (ELo) = Д.

(14)

При фиксированном е > 0 имеем, что для всякого А' > 0 найдется ö'(A') > 0 (S' зависит в целом только от и, ф и D(f ) ), а по паре (е, ö'(A')) согласно теореме 3 найдется число L'0(e,ô'(А')) такое, что на множестве точек (reu(£L' ))&(т G V(f )), где meas u(£L>) < А', будет справедливо выражение (14) при всех L ^ L'.

Приведенные утверждения следуют из [8]. Действительно, если последовательность измеримых множеств Вк, к = 1, 2,..., такова, что BK \ El0 при к ^ ж, то measEl0 = lim meas Вк. Тогда

measu(ELo)= lim measu(BK) = lim / \u'(z)\ • d/.

к—к—/ /

Вк

Пусть

Мк = sup \u'(z)\; *евк

при этом заметим, что, начиная с некоторого места по к ^ ж, все Вк С Sra (0), так как El0 С int Sra (0). Тогда в силу принципа максимума модуля, начиная с некоторого места по к ^ ж, вытекает, что Мк+1 ^ Мк ^ ... Поэтому

measu(ELo) < measu(BK) = JJ \u'(z)\2 • d/ < М2к • measВк, (15)

Вк

следовательно, при lim meas £(т) = 0 будем иметь, что

m—>оо 0

meas

BÍm) 0,

т. е.

meas и ( ^ ) —> 0.

m—

Таким образом, из выражения (14) получаем, что при

г G (<%I2?(/))\u(5Lo), где meas u ( El0 ) < S, выполняется соотношение

LoM)

Е vf0lM\cm (Фе )) • ИТ

/W = -

J2qlL0lM](Cm (Фе )) • [И(Т )]j j=0 J

при L0(e, S), оцениваемом по формуле (13). Записьp\(ст(фе)) и qj (ст(фе)) означает, что имеет место зависимость от коэффициентов

сг(ф е ) •>...•> cm (Ф е) cm(c i (fe), ск (ue ))

и т. д. согласно соотношению (12).

В общем случае предъявить «простые» формулы, определяющие однолистное конформное отображение и : D (f) —> Sr(0), не представляется возможным по объективным причинам, связанным со сложным тополого-аналитическим строением множества

к—>CXJ

D (f), а точнее, его границы - FrD (f). В случае, когда D (f) - многоугольник, можно использовать интеграл Кристофеля-Шварца [9]. Однако если пренебречь в рассматриваемом случае некоторой малой по мере (meas) частью множества D(f), то, используя интеграл Коши, можно дать аналитическое представление однолистного конформного отображения р: D(f) —> Sr(0). Согласно выражениям (8) и (10) получим из формулы (9) соотношение для u: Sr(0) —> D(f) (напомним, что u = р-1)

u(z, 0) = exp[r(z, 0) + г ■ Г3 (z, 0)] ■ z,

где

r(z, 0) = fl„(z, 0, int Sr(0)) - ln |z|. Пусть rm < R, lim rm = R. Тогда окружность

m—

C(m) : r(m) == rm ■ егв, 0 < в < 2n,

переходит в замкнутую кривую

u (rm ■ exp гв,0) = u ( C(m), 0) С D (f).

Причем имеем

distHausd( u ( C(m), 0), Fr D (f))-^ 0

согласно соответствию границ. Ориентация окружности C(m) определяет ориентацию кривой u(C(m), 0) С D(f) для всякого m ^ 1, на которой существующее отображение р : D(f) —> Sr(0) оказывается аналитичным. Для любого т* G u (C(m), 0) вытекает, что р (т*) G C(m). При этом u (р (т *), 0) = т* и р (u(z*)) = z* G C(m). Следовательно, внутри контура u(C(m), 0)

ip(T,0) = (2m)-1 J (t-т)-1 -p(t,0)dt, T€u(C(m), 0) (16)

У ^ "-

0)

или, поскольку t = u (rm ■ ei0, 0),

2п

2ni J u(rm ■ elti, 0) — т 0

Интегральное представление (16) для p внутри контура u (C(m), 0) корректно, так как справедлива теорема существования требуемого p : D (f) —> Sr(0) (старое r переобозначено через R). Если внутренность контура u (C(m), 0) обозначить через Dm(f), то

lim meas (D(f) \Dm(f)) = 0,

m—

так как oo£ cl-^iV(f) и справедлива оценка (15).

Поэтому для всякого Д® > 0 найдется m ( S® ) такое, что при m ^ m (Д®) будет справедливо неравенство

гг„/дл. . . . Í - 2П„ „ie .i

sr JL°/Mb/, \\ J- í rm-eie-u'e(r^-eie,0) dd ¿^ Pj VA'Pe)) ' I 27H ' J u(rr[b-ei0 ,0)—t rf N _ 3=0_V 0_

' M / 1тт \ 1

„[Lo/M], , , u ( 1 r rm-e^-u'e(rm-e^,0)-de )

Чк \c\We)) ■ I 2-кг ' J u(rm-eiti,0)-t \

к=0 \ 0 /

< £

при условии, что

Т е D (f) \ u ( £lo U ( SR(0) \ Srm (0))),

где

meas u (£l0 U ( Sr(0) \ Srm (0))) < A' + Av.

Литература

1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / пер. с фр. Е. Леон-тович, А. Майер. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с.

2. Зубов В. И. Устойчивость движения: методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа, 1984. 271 с.

3. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

4. Вишневский В. Э. Лучевая аппроксимация Паде—Шенкса преобразований Ли—Депри полиномиальных систем дифференциальных уравнений. Деп. в ВИНИТИ от 13 мая 1985 г., № 3870—85. 32 с.

5. Филатов А. Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. 112 с.

6. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина. М.: Мир, 1986. 502 с.

7. Гончар А. А. О сходимости аппроксимации Паде // Матем. сб. 1973. Вып. 92, т. 1. С. 152—164.

8. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

9. Голузин Г. М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 21 июня 2012 г.