Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде решения задач Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3:62-50 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2

В. Э. Вишневский, О. А. Иванова, С. В. Чистяков

КОНФОРМНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИЯ ПАДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОШИ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Развивается методика, предложенная А. Пуанкаре [1] и В. И. Зубовым [2, 3], которые установили, что достаточно широкий класс систем аналитических дифференциальных уравнений при некоторых предположениях имеет решение задачи Коши, голоморфное в полосе |Imt\ < h, h> 0, и показали, как, используя конформные преобразования, интегрировать уравнения с помощью рядов, сходящихся при всех t: |Ret\ < те. Данная статья является продолжением нашей работы [4], в которой изучаются аналитические алгоритмы аппроксимации Паде решения задачи Коши, о которой известно, что оно голоморфно в некотором заданном множестве Dt(x0,to), вообще говоря, не конформно эквивалентному кругу. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, задача Коши, элемент Вейерштрасса, аппроксимация Паде, ряды Ли.

V. E. Vishnevsky, O. A. Ivanova, S. V. Chistyakov

CONFORMAL EQUIVALENCE AND PADE APPROXIMATION SOLUTIONS OF THE CAUCHY PROBLEM

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

This is a follow-up to a work by the same authors which studies the analytical algorithms of Pade approximation of solutions to the Cauchy problem, which is known to be holomorphic in a given set and, generally speaking, is not conformally equivalent to a circle. Bibliogr. 7. Keywords : approximation, differential equations, conformal equivalence polydisc.

1. Введение и постановка задачи. Построим аппроксимации решений для системы аналитических дифференциальных уравнений вида

x = f(t,x), teC\ х G С™, (1)

в которой координатная функция fK(t, x) - аналитическая функция t, x, являющаяся аналитическим продолжением элемента Вейерштрасса при к G 1 : п:

œ œ

sfK(t,x) = ]Т Y^jxH', (t,x) € Ut(Rt, 0) X Ux(Rx, 0), (2)'

UI=o i=o

Вишневский Вячеслав Эдуардович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Иванова Ольга Александровна — кандидат физико-математических наук; e-mail: ivanova112@ yandex.ru

Чистяков Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]

Vishnevskiy Vyacheslav Eduardovich — doctor of physical and mathematical sciences, associate professor; e-mail: [email protected]

Ivanova Olga Aleksandrovna — candidate of physical and mathematical sciences; e-mail: [email protected]

Chistyakov Sergey Vladimirovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: [email protected]

где Ut, Ux - полидиски радиусов Rt и Rx = (RXl,..., 7ZXn), int Ut ^ 0, int Ux ^ 0. Поскольку для к G 1: n элемент g/K в Ut x Ux задан абсолютно сходящимся рядом, то в Ut х Ux его можно переразложить в ряд по xj с переменными коэффициентами

■-■ (t), т. е. будем иметь при к G 1: п

ж

ifK(t,x) =Y, j (t) xj (t,x) € Ut(Rt, 0) X UX(RX, 0). (2)"

UI=o

Заметим, что однозначность f (t, x) в своей области определения не предполагается, хотя элементы gf и f однозначны в поликруге Ut X Ux.

Обозначим через (t) полную аналитическую функцию, полученную аналити-3 = («),

ческим продолжением из Ut(Rt,0) функции äj (t) для всех к G 1: п, \j\ ^ 0.

Введем обозначение для функционального элемента [5=0 (t)x5, с которым будем работать далее. Положим (с последующим уточнением ограничений на область изменения x), что

efK (t,x) =Y, aj\t)xß, x e U(R, 0). (2)

151=0

Ниже обусловим свойство int U(R, 0) = 0. Все три формы задания элементов функций fK(t,x), а именно (2)', (2)" и (2), часто используются при работе с уравнением (1). Из них выражение (2) в частном случае конечной суммы задает полиномиальную систему с переменными коэффициентами в виде формул. С аналитической точки зрения, все три формы - (2)'', (2)' и (2) - эквивалентны, с формальной - ряд следующих ниже условий удобнее формулировать в терминах элемента efK из выражения (2). Заметим, что efK (t,x) в отличие от gfK и ~fK условно можно считать полулокальным, поскольку его можно разложить в ряд Тейлора по (t-to)m для любой регулярной точки (to&Ut(Rt,0)) V (to € Ut(Rt, 0)).

Пусть коэффициенты ajK (t) обладают следующими свойствами, которые определяют свойства функции f (t,x) - векторного поля относительно времени t: для любых j, к G 1: п функции а-^ аналитичны в множестве Т> Aus (Ц^) Q С ;

для всякого

ж

t ер| (D (4К)}\ Aus(ajK))) = 0

ш

ряды из выражения (2) сходятся в поликруге U(R, 0) и существует аналитическое

продолжение элемента efK из U(R, 0) в множество (область) D(k) = Cn\ Aus (fK(t, x)).

Из предположений следует, что при xn+i = t «полулокальный» векторный элемент Вейерштрасса (2) для f = (fi, ...,fn,..., fn+i) в поликруге U (R, 0) х Un+i(r, хп+i) можно понимать как ряд Гартогса в U х Un+i. Всюду символом Aus (у) будем обозначать множество исключительных точек для у в том множестве, где рассматривается у (в частности, возможно, что Aus (у) = Sing (у) - множество особых точек функции у).

Для момента

й _п (Р(4я))\ Аив(Ц">)) С С1

к£1: n,|j|=0

будем изучать решение задачи Коши

x (t, x0 ,t0) = (xi(t,x0,to), ...,xn (t,x0 ,t0)),

x = ef (t,x), x(t0)= x e U(R, 0), (3)

в предположении, что существует его аналитическое продолжение из круга Sk(to, Rk), определенного теоремой Коши, в некоторое множество

D (x0,t0) = (D (x0,t0)\ Aus(x(t,x0,t0))) С D CC1,

которое, если есть необходимость практической реализации предлагаемого алгоритма, должно быть алгоритмически задано.

Примем следующее соглашение. Теорема Коши гарантирует и устанавливает при (t — t0) e Sk(0,Rk) элемент ex(t,x0,t0), удовлетворяющий задаче (3). В свою очередь, от этого элемента, соответствующего точке (x0,t0), зависит единственная аналитическая функция (его продолжение за круг SK(t0, Rk) по t) x(t, x0, t0), возможно, и неоднозначная в своей полной области определения dom x(^,x0,t0), которая, вообще говоря, не связана с векторным полем f (t,x) за поликругом Ut х Ux.

Действительно, поле f (t, x) может быть вовсе не определено вне области Ut х Ux. Однако, если f (t,x) означает полную аналитическую функцию, порожденную элементом ef из выражения (2)', то естественно связывать величину x(t',x0,t0) полной аналитической функции x(^,x0,t) при t' e dom x(^,x0,t0) со значениями f (t',x') (при том же t' и x' = x(t',x0,t0)) и производной x(t,x0,t) при том же t'. Если бы f и x(t, x0, t0) были однозначными, то такая детализация не нужна. Однако при введенных выше предположениях соответствие между значениями

x (t,x0,t0), x (t,x0,t) и f (t,x (t,x0,t))

необходимо и достаточно понимать в следующем смысле. Заметим, что в круге Sk (t0, Rk) Э t справедливо тождество

^x K(t,x°, t) = SfK(t, exi (t,x0,t), . . . ,exn(t,x° ,t))

при к € 1: п. В силу теоремы единственности это тождество сохранится при любом аналитическом продолжении элемента

ёхк(Ь,х0,Ьо) и ¿¡К(Ь, ёХЛ(Ь,х0 ,Ь0),...,ёХп{Ь,х0 ,Ьо))

по Ь вдоль любого допустимого пути 7: [0,1] ^ С^, 7(0) = ¿о, 7(I) = Допустимость пути 7 обусловливается возможностью аналитического продолжения вдоль него всех функций ж0,¿о) при к € 1: п из точки ¿о в точку Как известно, в качестве

всех таких путей 7 могут быть выбраны ломаные из конечного числа звеньев. Верно и обратное: так, если

И.ап 7 (7 :[0,1]^С1,Ь = ^(1)) из ёош х(^,х°,Ь0),

то

71 w pn

Ranr (Г : [0,l] x СП, x = x (t,xo,t0)) из dom f,

где при I e [0,l] по определению

Г(1) = (j(l), xl(1(l), x0, to), ■■■, xn(j(j), x0, to)),

а значение вектора х = х(Ь, х0, Ь) = х(7(I), х°получено аналитическим продолжением элемента ёх(Ь,х0 вдоль кривой И,ап 7, т. е. вектор-функция / аналитически продолжима из точки (Ьо,х°), где она определена элементом §/ из выражения (2)' вдоль пути Г = Г(7) в точку (Ь,х), где Ь = 7(I), х = х(7(1),х°,Ьо) и для любого к € 1: п справедливо хк(Ь,х° = х\(1, х°, ¿о), • • •, хп{Ь, х°, ¿о))- Поскольку теорема Коши определяет элемент §х(Ь,х0для всех (х°,1о) € их х и4, то указанные выше продолжения из V х их для §/(Ь,х) существуют для всех допустимых путей Г = Г(7), выходящих из точек поликруга V х Ьх. Всюду ниже символ / (Ь, х), если он

обозначает не функцию вообще, т. е. не эквивалентен /(•, •) = /, а значение / в точке (Ь,х) должно пониматься как аналитическое продолжение элемента / из V х их вдоль допустимого пути Г = Г(7), где 7 связано с семейством элементов §х(Ь,х0,Ьо) при всех (х°,Ьо) € их х Ut. Причем может оказаться, что в принятом соглашении значение /(Ь,х) не получено, хотя само по себе независимо от уравнения (1) и существует продолжение §/ из V х их в точку (Ь,х). Таким образом, предполагается сузить полную аналитическую функцию /(•, •) на область х(Ь, х0, Ьо) при условии, что

(х0,Ь0) € их х иг. Если Аи^ (•) = Аив(^)р| то условие Ь* € Аи^(х (Ь,х0,Ь0))

влечет, что Ь* - особая хотя бы для одной из координат хк(Ь, х0,Ь). Может оказаться, что существует аналитическое продолжение для х (Ь,х0,Ь0) за область О (х0,Ь0), но ниже этот вопрос не рассматривается. Множество Аи^(/К(£, х)) для к € 1: п зависит, вообще говоря, от величины Ь € О (х0 0). При непрерывной зависимости точка х*(Ь) € Аи8[(/к(Ь,х)) в Сп локально «заметает» не более чем топологически 2-мерное многообразие. Заметим, что

(к),

Ausi (a

1 к=1 |Л=0

U Ausi(xK(t,x0,to)) U U U AuslK

==>• х (í', ж0, ¿o) € U Ausi(/K(t',x)) = Ausif(t',x)

к=1

как следствие аналитической продолжимости всех efK по t и x в точку

(t',x(t',x0,to)) е D (x0,to) x f| D(K,

t'

к=1

в предположении, что значение x(t',x0,to) существует.

Далее построим и обоснуем аналитический алгоритм (в широком смысле) аппроксимации решения x (t,x0,t0) в «максимально» широкой области

Dapp(x0 ,t0) С D(x0,t0 )

при условии, что

Dapp{x°M) э ío и cl^iD(x°,to)3oo, и если clgiD(x°,ío) Э оо, то аппроксимации в любой конечной области

Dm(x°, t) С D(x0 ,t0), Dapp (x0,t0) С Dm(x°,t0).

В ряде случаев при естественных ограничениях на границу для D(x0, t0) оказывается, что

Dapp ( х°, ío ) = D (ж0, ío) mod (measO) при cl^iD (x°,to) Э 00

Dapp(x0, to) = Dm(x°,to) mod (measO) при cl^iD(x°,to) Э oo.

При выборе области Dm(x°,t0) С D (x0, t0) алгоритм сводится к случаю, когда clgiD (x°,tо) Э оо.

2. Ряды Ли. Поскольку to фиксировано, то положим по определению, что т = t — to. Тогда уравнение (1) перейдет в уравнение x = f (to + т, x), соответственно этому решение x(t,x0,to) - в x(to + T,x0,to), область D(x0,to) - в DT(x0,to) = D(x0,to) — to. Для xK(to + т,х°,to) при к G 1: n имеем представление

xK(to + T,x°,to) = YJ c(K)(x0, to)Ti, (4)

в котором все коэффициенты с(к)(х0,£°) - известные от х0, аналитические по ним функции. Ряд (4) сходится в некотором круге

^(ж<\«о)(°) = {т 6 И<рк(х°^о) = <ИзЬ(0, Аш(хк^о + т,х°^о)))}.

Очевидно, радиус рк(х°,Ь°) всегда не меньше, чем оценка из теоремы Коши, гарантирующая круг Бк(0, *Я-к). Тогда вектор-функция х(Ь° + т, х°, ¿°) представима рядом

x (to + t,x0,to) = c¿(xVo) t

i=0

где Cj = ..., xf1^) при j 6 0: oo, сходящимся в круге Sp{0) С DT(x°,to) радиуса p(x0,to) = min рк(xo,to).

Учитывая, что c(K)(xo,to) суть коэффициенты Тейлора для xK(to + т, xo,to), их можно вычислять по рекуррентным формулам в аналитическом виде в терминах коэффициентов а^ (t) при к G 1: п. В этом случае при к G 1: п имеем соотношения

^ (xo,to) = xK, c(K)(xo ,to) = i-1Ac^-\(xo ,to) = (i!)-1AixoK,

О n о

Таким образом, ciK)(xo,to) - ряды по величинам aiK)(to) и xo. Они перейдут в многочлены от xo, to, если элемент ef задать в поликруге {\xi — xo\ < ri, i G 1: n} x {|t — io| < i*n+i}- Учитывая выражение (5), решение x(to +T,x°,to) предста-вимо в круге S'p(xojio)(0) рядом, который там сходится, имеет вид

x (to + T,xo,to) = (exp (At))xo , xo G U (R, 0),

и называется рядом Ли [5]. Поскольку не исключено, что

Aus (x (to + т, xo,to)) П (D (xo,to) — to) = 0,

множество ßT(xo,to) оказывается многосвязным в С1. Это может оказывать влияние на реализацию алгоритмов и неустранимую погрешность, хотя бы и имеющую сколь угодно малую величину.

и

3. Основные случаи геометрии множества D (f). Пусть элемент Вейер-

штрасса для / (г) G С1 при т € С задан рядом

fe(T )=Y< Ci (fe) Ti, T € 5Й(0). (6)

i=0

Ряд (6) аналитически продолжим в некоторое множество

Dt (f) CC\

где DT(f) = D (f )\Z(f), Z (f) = cl^iZ (f), и, не нарушая общности, можно считать, что

Z (f) С clCi D (f) и Z (f ) = Za (f) U Zc, (f) П dCi Zc = 0, card Zff(f) < ж,

Zc = Aus (f) U Zpar, Aus (f) П Zpar = 0.

По смыслу исходной задачи множество Z (f) состоит из точек, которые либо не принадлежат dom f, либо вычисление значения f в них не требуется условием задачи. Введенные множества существенно связаны с f, исключением является лишь Zpar, которое условно можно считать управлением.

Случай 1°. D (f) = C1, card Zff (f) < ж,

Z(f) = Aus (f) = J pTi U U eTi = Za(f) U Zc = Za (f) U Zc, i=i i=i

причем Zpar = 0, где pTi и eTi - г-й полюс и существенно особая точка для f соответственно. Предполагается, что Zc не имеет точек сгущения в C1.

Случай 2°. C1 = D (f) = cl¿1 D (f) - односвязное с простой кусочно-гладкой границей FrD(f), а

M

Z (f) = Za (f) = У pTi С int D (f), M < ж и известно M = card Za.

i=i

Кроме того, предполагается, что

clciV(f) Эос, dist (Fr V(f), 2(f)) >0,

где величина z известна.

Случай 3°. То же, что и 2°, но cardZa(f) < M.

Случай 4°. То же, что и 3°, но известно только, что card Za(f) < +ж. Случай 5°. V(f) ^С1, clciV(f) Эоо,

M

Z (f ) = Za(f) U Zc, Zc = Aus (f), Za (f )=U pTi,

i=i

здесь либо M < ж и известно, либо M ^ M < ж и известно только M, либо M < ж и неизвестно; Fr clgi D (f) - простая кусочно-гладкая, связная и достижимая из int D (f).

Выделенные пять случаев являются в определенной степени «базовыми», поскольку к ним могут быть принципиально сведены другие более сложные случаи, которые рассмотрены ниже.

Случай 6°. Пт (/) такое, что для всякого е > 0 существует число N(е) < то и измеримое семейство множеств {^(е)}^;^, где оо ^^(^„(е) - односвязно в С1, а множество Ет Ои (е ) не содержит особых точек функции / и справедливы

е

соотношения ( р|^^ int Gv (е) э 0) и для всякого v

Mv (s)

Aus (/) P| int c/^i Gv{e) = IJ pTVi

i=i

для некоторого возможно и неизвестного числа

Mu(е) = M(e,Gv(е)) < ж,

причем measñ2 (DT(f )\|J^ Gu(е)) < е.

Случай 70. То же, что и 60, но имеет место равномерность по е, т. e. N(е) и M(е, Gv(е)) не зависят от е.

Таким образом, в случае 60 предполагается, что все особенности f сосредоточены на множестве меры нуль (3m D Aus (f) такое, что meas (m) = 0). Причем предполагается, что семейством {Gvизмеримых множеств, замыкание которых односвязно в С , можно «приблизить», вообще говоря, не односвязное множество DT(f) таким образом, чтобы

N

meas (Dt(f )\ U Gv) < е.

Для осуществления такого разбиения и зарезервировано некоторое измеримое меры нуль множество Zvar (речь идет о разбиении множества Вт(/)). Заметим, что в Аш (/) могут попадать любые точки, особые для функции /. Если известно, что есть требуемое выше семейство {Оито для каждого множества Ои существует аппроксимирующий частичную функцию /\а„ алгоритм. Если семейство {Ои}<=*1 предъявлено, то свойственный для него набор однотипных алгоритмов, каждый из которых аппроксимирует соответствующую /\ за исключением множества сколь угодно малой меры, может считаться предъявленным. В этом смысле проявляются свойства рекурсивности, аналогичные тем, которые имеют место при построении алгоритмов в узком смысле (при строгом понятии алгоритма).

Первые четыре случая подробно разобраны в работе [4], ниже рассмотрим пятый случай.

4. Пятый случай. Пусть множество с1 ¿и V (/) односвязно, множество V ( / ) -Ж-связно, т. е. РгТ> (/) = ик=1 7К, 7» П = 0 при г ^ для каждого к € 2 : N кривая жорданова, 71 = Ет с1^1 *0(/).

Будем считать, что если последовательность жордановых кривых {7К}^=1, N <

П с1С-1~!з = 0 такая' чт0 с 7« и (с1С1 7« П с1Сг |Х=2 7«) = 0-Это пока можно только предполагать, так как в целом ряде задач топологическая структура множества Zc настолько сложна, что гарантировать существование таких кривых невозможно. Таким образом, при типичном множестве 2С построение 7 не тривиально.

и

Пусть число N - наименьшее из всех возможных. Не нарушая общности, можно

считать, что О G U^li 7 к U U^li 7«- Поскольку граница Fr £%!?(/) достижима [6], то существует возможность продолжить каждую кривую 7К и 7„/ при к' ^ 2 до попарно отделимых жордановых кривых 7КU7^ar и пересекающихся (касающих-

ся) один раз с границей 71 = Fr clg T)(f)] все 7К и 7К считаются ориентированными от своего начала к концу и указанное выше продолжение происходит от конца каждой кривой 7К и 7к^2 таким образом, что ориентация кривых 7К U7^ar и 7К, а также 7к^2 U 7^>Г2 и 7к^2 совпадают соответственно. В терминах введенных обозначений множество ___

N N N

((U7JW U UTT и lbГ

к=1 к=1 к=2

по определению обозначается символом Zpar: причем Za[\ Zpar — 0. Таким образом, множество

N

(int cZci D (f))\ (Zpar U ZCU Yk )

par

k=2

- односвязная область, гомеоморфная открытому кругу единичного радиуса с радиальными разрезами, отделенными от центра и проходящими через границу круга, число которых N + N — 1.

Можно считать, что Zpar принадлежит измеримому множеству меры нуль в С1. Вопрос отрицания этого предположения рассматриваться не будет. Ниже примем, что и само множество Zpar измеримо и меры нуль (в силу полноты меры это никак не умаляет принятую общность).

Обозначим через Д = int clCi D(f) С Сш, а через ДЬ — множество всех одно-связных областей, полученных из Д исключением какой-либо кусочно-непрерывной кривой (разреза) Ь, не проходящей через точку ш = 0. Положим

N

Ь = Zpar U Zc ^ у yk-

k=2

Таким образом, можно считать кривую Ь образом некоторого промежутка [0,Л°) при отображении его кусочно-непрерывной функцией ш = у (Л), непрерывной справа и такой, что присоединение к Д\Ь множества Ь(Л') = {ш: ш = у(Л), 0 ^ Л < Л'}, 0 < Л' ^ Л0, приводит к односвязной области. Начало разреза Ь — точка у(0) € Д, а конец — у (Л0) € Fr Д, где у (Л0) = lim^ у (Л).

def

Рассмотрим семейство областей Д(Л) = Д\(Ь\Ь(Л)), где Л — произвольная точка промежутка Л = [0, Л0), которое (т. е. семейство) называется [7, с. 171] семейством областей Левнера для области Д и разреза Ь = {ш: ш = у (Л), Л € Л}. Как известно [7, с. 172], от семейства Д(Л) всегда можно перейти к так называемому стандартному (нормальному) семейству областей Левнера, обозначаемому условно символом ДЬ. Смысл привлечения такого объекта состоит в введении некоторой стандартной перепараметризации кривой Ь, т. е. в введении специального нового параметра T =f х(Л), где х: [0,Л0) —> [0, T0). Такого рода конструкция производится в терминах производящей и присоединенной функций. По теореме Римана есть единственное однолистное конформное отображение ш = ф(г,Л), ф(0, Л) = 0, ф'г (0, Л) > 0, единичного круга E = {z: \z\ < 1} на область Д(Л).

В частности, функция f(z) = ф(г, 0), f(0) = 0, f (0) > 0, осуществляет однолистное конформное отображение круга E на Д\Ь, при этом f(z) = lim ф(z,X), а однолистное конформное отображение круга E на Д дает функция g(z) = lim^ ф(z,\),

причем g(0) = 0, g'(0) > 0. Для каждого Л е Л функция ф^,Л) голоморфна в E. Функция ф(^,Л) называется производящей для f(z). Пусть Л е Л фиксировано, рассмотрим в Д(Л) обратную к ф(z, Л) функцию (очевидно, существующую) z = F(ш, Л); очевидно также, что F(0, Л) = 0, F' (0, Л) > 0. Функция F(ш, Л) называется присоединенной к f(z).

Семейство областей Левнера, обозначаемое условно через ДЬ, с параметризацией кривой Ь вида

Ь = {ш : ш = р (х-1 (T)), Те T =[0, Т0) }

такой, что F' (0, Т) = F' (0, 0) • exp(-T), называется стандартным (нормальным) семейством областей Левнера; при этом

Т0 = ln( g' (0) / f' (0)).

Пусть стандартная параметризация L = {ю\ ю = Тр(Т)Т е Т} порождает стандартное семейство областей Левнера Д(Т), 0 < Т < Т0; пусть {Tj- разбиение промежутка Т = [0,Т°) на систему полуинтервалов такую, что сужение G C(Tj)

для всех j е 1 N + N — 1.

Теорема (Левнера—Куфарева—Голузина [5]). Пусть ш = g(z), g(0) = 0, g'(0) > 0, однолистно и конформно отображает круг E на Д. Тогда существует кусочно-непрерывная функция ¡л(Т), 0 ^ Т < Т0, допускающая лишь разрывы первого рода в точках Tj — 0, [Tj,Tj+1) = Tj+i при j e 1 : N + N — 1, причем \ц(Т)\ = 1 и такая, что функция ш = f(z), f(0) =0, f'(0) = ß > 0 однолистно и конформно отображающая круг E на область Д\Ь, может быть представлена в виде f(z) = g (f(z, Т0)), где f (z, Т) - решение задачи Коши для уравнения Левнера

dc= М(Т) + С (

dT ^^(Т)-С'

0 < Т < Т0, Т0 = ln(g'(0)/ß),

С\г=о = z, z е E.

Решение задачи Коши на промежутке к T = [0, Т0) следует из более общего утверждения, касающегося вопроса существования и единственности решения задачи Коши для уравнения Левнера-Куфарева

§ = -С-Р«,П (8)

0 < т <т0

при р((,Т) £ Г(С,Т) = {р: ЕхТ —► Cl\p е С(Е х Tj), j е 1 : N + N — 1, где при фиксированном Те T функция p (•, T) е C (E) - класс Каратеодори}.

Функция л (Т), о существовании которой говорится в теореме, непосредственно связана со стандартно параметризованной кривой

N

Р = Zpar и и

к=2

и множеством Ет А = Ет с1 V (/).

В структуре рассматриваемой исходной задачи - аппроксимации частных решений аналитических дифференциальных уравнений вида (1) - вопрос построения функции ¡(Т) при ограничении |л(Т)| = 1, 0 ^ Т < Т0, такой, чтобы решение задачи Коши (8), обозначенное через Т), при Т —> Т0 удовлетворяло утверждению теоремы Левнера-Куфарева-Голузина и представляло собой комплексную скалярную задачу управления при ограничении на управляющую кусочно-непрерывную функцию л (Т)) вида Ц = 1 при 0 ^ Т < Т0. Приведенная выше теорема гарантирует существование и единственность требуемого решения. Г. М. Голузиным [6] предложены формулы вычисления коэффициентов разложения функции f ^), о которой говорится в теореме. Если считать, что

f ^)= fe(z) = z + C2Z2 + cзz3 + ..., (9)

то при п > 2 и 0 < Т < Т°

с„=_Ит с„(Т)=_1ш1 с„(0, Т), (10)

где при п ^ 2 выполняется равенство

7 п—1

сп(Т,Т) = -2е7п-^т / е-<-п-Ъа^1ъ{з,Т)цп-\з)<1з. (И)

•у- i=1

В случае, когда функция 0 < Т < Т°, известна, формулы (9)—(11) дает воз-

можность последовательно вычислять коэффициенты с„(Т, Т), после чего необходимо положить Т = 0 и устремить Т к Т°. Так, например, имеем, согласно работе [5],

т0

с2 = -2 ! в-8 л (в) ¿я, (12)

0

т

0 i T0

c3 = -2 J e-2sf2(s) ds + 4 J e-s f(s)d.

0

e ff(s)ds | и т. д.

0

Пусть f (z) = g (f (z, T )), f (0) = 0, f (0) = ß > 0, однолистно и конформно отображает круг E на область

N

int clCl D (f) \ ( Zpar U ZCU Yk) = Д \ L.

2

Вводя обозначение для разрезов, определяющих общий разрез L, вида

= 7к U 7Гг, <** = U 7Г, к € 1 : ЛГ, к G 2 : ЛГ, (13)

получим представление

ДГ N N N+~N-1

Zpar U IJ 7к = IJ äj IJ Оц = У (14)

k=2 j=1 i=2 v=1

Таким образом, в односвязной области, лежащей в С1, а точнее, в множестве

N+N-1 N+N-1

mtclCiV(f)\ У У^ = {г = ^(Т), Те[0,Т0)}, (15)

V=1 V=1

исходная изучаемая функция f (t) имеет свое особое множество - Za (f), cardZa < ж, множество, состоящее из конечного числа полюсов для f (T). Пусть

M

Za = У pTi.

i=1

С учетом формул (12)-(15) будем иметь коммутативную диаграмму

(^\L) \ UM=1 pTi)

f-1 // f \ f E\\J M=1 f-1(pTi)

Таким образом, поднимая отображение f до аналитического отображения

M

ф,ф(г) d= f о f (z), z e E \{J f-1(pTi),

i=1

за исключением M полюсов в круге E имеем аналитическую функцию ф(z), которая может быть в круге

M

^ (0) С E, rmin = dist (0, f-1^ pTi))

i=1

представлена элементом

Фе(z) = fe(Te(z)) = fe(fe(z)) = cm (фе)zm, (16)

m=°

где коэффициенты ат(фе) - известные для всех m ^ 0 числовые величины, являющиеся многочленами по коэффициентам Тейлора ci(ef) и cK(fe). Параметры cK(fe) вычисляются по формулам (10), (11).

Здесь cK(fe) зависят от функции разреза и(Т), 0 < T < T°, т. е.

ck (fe) = cK(fe, [ И ], T°), К > 0. (17)

Как показано Бранжем (гипотеза Бибербаха верна), для всех коэффициентов cK (fe) справедлива оценка | cK | ^ к.

Таким образом, имеем вытекающую из теоремы Монтессу [4], равномерную аппроксимацию на компактах из множества c/^iSi-gE (0) \ f-1(Ui=1 Рч)

ф(г) = lim [L/M], (18)

L—

где Se - сколь угодно малое положительное число. Эта аппроксимация подчиняется теореме Зина-Юстина.

Учитывая формулы (16)-(18), при SE ^ 0, SE > 0 множество f (Fr S1-gE (0)) в хаусдорфовой метрике стремится по области из формулы (15) к ее границе, т. е. к множеству

N+Ñ-l N+Ñ-l

Y1 U U ü = Fr (int c/ci D (f) \ U ü).

v=1 v=1

Для всякого e > 0 существует Se (e) > 0 такое, что

f (FrS1-SE(e)(0)) с U Se(0, (19)

eeo

где _

N+N-l

Ü d=f Y1 U {J üv. (20)

v=1

Это выполняется в силу конформности и однолистности f на E и достижимости границы области

N+Ñ-1 int c/C1D (f) \ U üv.

v=1

Поскольку ü компактна в C1, то e > 0 может быть выбрана такой, чтобы

meas (J Se (О) < е, (21)

где е - произвольная априори выбираемая величина (число).

Последнее определяет зависимость e = е(е) и Se = Se(e) = Se(e(e)). Так как функция f (т) регулярна на множестве

N+N-1

f (FrS1-SE (£) (0)) с int c/¿i D (f) \ \J ü

v

v=1

для 5е ^ 0, причем сама кривая f (Гт (е) (0)) регулярна, то определим интеграл Коши

Г1(г) = ^- I ref(mtS1_SE{e)(0)). (22)

f (Fr Бг-Е (е(ю) (0))

Учитывая формулы (19)—(21) и поскольку Ь = f ((1— 5е(е))-вгв), то при 0 ^ в < 2п получим из соотношения (22) интегральное представление вида

Г'М = 4- f =

г 2п J t — т

f(FrS1sE (е)(0))

2п

J_ [Ге((1-0Е(е)Ув)(1-0Е((е)Ув f ((1 — 6е( (е) )eie) — т

о

где т е f (int S1-Se(е) (0)).

С учетом формулы (17) имеем такую оценку:

Г/ \ 3=0 \ 0 /

i=0 \ о /

< е, (23)

где

е = £ (е), f ( z )= lim [ L/0], z е S1-se {e)/2 (0) С E,

L—

т е int clciD (f) \ f (El U (E \ S1_5e(e) (0))),

measf(fL U (ß\S,M£l (0))) < S. 1 2

Таким образом доказана следующая теорема:

Теорема. Последовательность [L/О^аппроксимаций Паде, а это последовательность многочленов

J2pL/0]( c (fe, [ И ]))zm,

m=0

равномерно в круге cl¿n (e)/2(0) сходится к

f = fe(z) = Z + C2Z2 + C3Z3 + ...,

при этом справедлива оценка (23).

Поэтому для всякого е > 0 оценивание в (23) интегралов Коши и явно заданных (уже вычисленных на данном этапе) коэффициентов аппроксимации Паде p[L0/M], q[L0/M] конструктивно определяет степень L(e), а значит, и коэффициенты

p[L(E/0] для [¿(е/0]-аппроксимации Паде функции f(z) в круге Si_gE(е)/2(0) так, что при подстановке в выражение (23) вместо f(z) ее [Ь(е/0]-аппроксимации оценка (23) заменится на е + е (в правой части).

Литература

1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / пер. с франц. Е. Леонтович, А. Майер; под ред. А. А. Андронова. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с. (Poincare A. On curves defined by differential equations.)

2. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Наука, 1984. 271 с.

3. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судпромгиз, 1970. 298 с.

4. Вишневский В. Э., Зубов А. В., Иванова О. А. Аппроксимация Паде решения задачи Коши // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. Вып. 4. С. 3-18.

5. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; под ред. А. А. Гончара. М.: Мир, 1986. 502 с. (Baker J., Graves-Morris P. Pade approximation.)

6. Голузин Г. М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 557 с.

7. Александров И. А., Соболев В. В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1984. 194 с.

References

1. Poincare A. O krivyh, opredeljaemyh differencial'nymi uravnenijami [On curves defined by differential equations]. Per. s franc. E. Leontovich, A. Maier; pod red. A. Andronov. Moscow; Leningrad, Gostechizdat Publ., 1947, 392 p. (in Russ.)

2. Zubov B. I. Ustojchivost' dvizhenija [Resistance movement]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 271 p. (in Russ.)

3. Zubov B. I. Analiticheskaja dinamika giroskopicheskih sistem [Analytical dynamics of gyroscopic systems]. Leningrad, Sudpromgiz Publ., 1970, 298 p. (in Russ.)

4. Vishnevsky V. E., Zubov A. B., Ivanova O. A. Approksimacija Pade reshenija zadachi Koshi [Pade approximation of solutions of the Cauchy problem]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2012, issue 4, pp. 3—18. (in Russ.)

5. Baker J., Graves-Morris P. Approximatsiya Pade [Pade approximation]. Per. s angl. Е. А. Rakhmanov, S. P. Suetin; pod red. А. А. Gonchar. Moscow, Mir Publ., 1986, 502 p. (in Russ.)

6. Goluzin G. M. Geometricheskaja teorija funkcii kompleksnogo peremennogo [Geometric function theory complex variable]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 557 p. (in Russ.)

7. Alexandrov I. A., Sobolev V. V. Analiticheskie funkcii kompleksnogo peremennogo [Analytic functions complex variable]. Moscow, High School Publ., 1984, 194 p. (in Russ.)

Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.