Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. К о блиц Н. раднческпе числа, раднческпй анализ и дзета-функции. М.: Бибфизмат, 1981.

3. Кузнецов В. В. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36. Вып. 6.

4. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Тр. 3-ей Сарат. зимней шк. по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Т.2.

5. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2003. Вып. 1.

6. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита L-функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1.

УДК 511.3

В.Н. КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, А.Е. КОРОТКОВ,

А.А. ЕРМОЛЕНКО

Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений Ь^функций Дирихле в алгебраических точках на

положительной полуоси

В данной работе излагаются основные положения, так называемого, аппроксимационного подхода в задаче о трансцендентности значений Ь-функций в алгебраических точках на положительной полуоси, суть которого заключается в построении полиномов Дирихле с алгебраическими

коэффициентами, приближающими Ь-функцпю на числовой оси с показательной скоростью. Это сводит задачу о трансцендентности значений Ь-функции в алгебраических точках к оценке скорости роста высот значений таких многочленов в алгебраических точках в зависимости от их степени.

В основе построения аппроксимирующих многочленов лежат отдельные моменты конструктивной теории метода редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, разработанных в работах [1-4], который сводит задачу аналитического продолжения рядов Дирихле:

то

f («) = £ Пп, а = *+«

п= 1

к задаче о граничном поведении степенных рядов с теми же коэффициентами, что и у ряда (1).

Так, в работе [4], на основании идей метода редукции к степенным рядам показано, что Ь-функцию Дирихле в полосе: * > 0 Щ < Т можно приблизить полиномами Дирихле с показательной скоростью. Более того, такие полиномы допускают явную конструкцию. Действительно, степенной ряд, отвечающий Ь-функции Дирихле:

то

д (г) = £ х(п)гп (2)

п=1

определяет функцию, регулярную в точке г =1. Тогда, в силу известных результатов теории приближений [5], существуют алгебраические полиномы Рп(г), приближающие функцию д(г) па отрезке [0; 1] с показательной скоростью. Как показано в [5], в качестве таких полиномов можно взять полиномы Бернштейна:

п

Рп(х) = £ Ск Тк (х), (3)

к=0

где Tk (x) — полиномы Чебышева на отрезке [—1; 1], а

2 Г1 1

ck = -J g(t)Tk(t)dt. (4)

Запишем полиномы (3) в обычном виде:

n

k

Pn(x) = £ akx. k=0

Тогда, как показано в [4], полиномы Дирихле вида:

n

Qn w = Е ks' ^

k=i

будут аппроксимировать L-функцию Дирихле с показательной скоростью.

an

следующее утверждение

an

полю K = Q(^1), где d — период характера х L функции, Дирихле.

Доказательство

В формуле (4), для вычисления коэффициентов Ck, сделаем замену: t = arccos Тогда получим:

1 Г

ck = — g(cos () coskf df. - J-n

В последнем интеграле положим z = вг(р. Тогда имеем:

-¿КИ))! (=k+¿)

где G — окружность с центром в точке z = 0 и радиусом равным 1. Но:

~ Pd-i(t) d-1 Aj

g(t) = Ex(n)tn = 1 +td-i= E

n=1 j=1

где aj G K.

Следовательно,

* а 1))=2 23

2 \" ' г)) г2 — а3 г + 1

з=1

Отсюда, в силу (6) и интегральной формулы Коши для к-той произ-

водной, окончательно получаем:

1

ск = V — [ -1-*йг =

пг г2 — аз г + 1 гк

з=1

й-1

2 А3

1

V --^ - = у^ 2Аз 1зк (аз).

3=1 (к — 1)! [г2 — а.г + 3=1 3 зк (з)

к-1 й—1

з=1

Последнее значение принадлежит полю К, что и завершает доказательство теоремы 1.

а

|Ь(а,х) — Яп(а)| = , р> 1, (7)

где Qn(s) — полипом Дирихле вида (5).

В силу теоремы 1, 0п = Qn(а) — алгебраические числа, принадлежащие полю К1 = Q( Па) = К (а).

Обозначим через И#п высоты этих чисел. При данных обозначениях имеет место

а

торого последовательность высот, Идп удовлетворяет условию:

Ивп << рп, для, любого р > 1 (при п ^ ж). (8)

Тогда, значение Ь-функции: Ь(а,х) является трансцендентным числом.

Доказательство

В силу теоремы Левека [5], которая утверждает, что если в ~ алгебраическое число, то неравенство:

|в — 0| ^ И—к, к> 2,

имеет конечное число решений из фиксированного алгебраического поля K. Отсюда, в силу (7) и (8), сразу следует утверждение теоремы 2.

Замечание. Теорема 2 сводит задачу о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических, положительных точках к задаче оценки высот Hßn алгебраических чисел, определяемых коэффициентами многочленов Бернштейна. В связи с этим, представляет интерес построение других многочленов с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих рациональную функцию g(x) на отрезке [0; 1] с показательной скоростью.

Библиографический список

1. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36. Вып. 6.

2. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Тр. 3-ей Сарат. зимней шк. по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Т.2.

3. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2003. Вып. 1.

4. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2.

5. Шидловский A.B. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во МГУ, 1982.