Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2 УДК 511.3

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ И ПОВЕДЕНИЕ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ

О. А. Матвеева

Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Строится последовательность полиномов Дирихле, аппроксимирующих ¿-функции Дирихле, что позволяет эффективно

вычислять нули и высказать предположения относительно поведения ¿-функций Дирихле в критической полосе.

Ключевые слова: ¿-функции Дирихле, аппроксимирующие полиномы. ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается один из подходов к изучению таких аналитических свойств ¿-функций Дирихле в критической области, как распределение нулей, порядок роста модуля вдоль критической оси, свойство универсальности значений. В основе этого подхода лежит метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, основные положения которого были разработаны в работе [1]. Этот метод позволяет конструктивно строить последовательность полиномов Дирихле, которые сходятся к ¿-функциям Дирихле с показательной скоростью в любом прямоугольнике, лежащем в критической полосе. Это позволило [2] получить эффективную схему определения нулей ¿-функций. В данной работе показано, что численные эксперименты, связанные с поведением аппроксимирующих полиномов, позволяют сформулировать ряд задач для таких полиномов, решение которых позволит опрелить порядок роста модуля вдоль мнимой оси и получить доказательство свойства универсальности, отличное от приведённого в [3] для ¿-функций Дирихле.

1. КОНСТРУКЦИЯ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ПОЛИНОМОВ

Рассмотрим ¿-функцию Дирихле, заданную рядом Дирихле

те

¿(«> = £ ■ (1)

п=1

где х — неглавный характер Дирихле, и соответствующий степенной ряд:

те

д(г> = ^ Х(п>гп. (2)

П = 1

Так как д(г> — рациональная функция, регулярная в точке 1 и имеющая простые полюсы в корнях из 1 степени й, то существует последовательность полиномов Рп(х>, приближающих функцию д(х> на отрезке [0, 1] с показательной скоростью:

тех |д(х> - Рп(х>| = О (рП) , Р> 1- (3)

На основе свойств преобразований Меллина для функций ¿(в> и д(е-х>

рте

¿(в,х>Т(в>= д(е-х >х*-1 йх, Jo

1 лс+гте

д(е-х> = 2-:/ ¿(в,х>Г(в>х-в йв, х> 1,

Jс-гте

© Матвеева О. А., 2013

О. А. Матвеева. Аппроксимационные полиномы и поведение Ь-функций Дирихле

где Г(з) — гамма-функция Эйлера, в работе [4] показано, что полиномы Дирихле Тп(5), которые имеют те же коэффициенты, что и алгебраические полиномы Рп(х), приближают ¿-функцию Дирихле ¿(з,%) в любом прямоугольнике 0 < а0 < а < 1, 0 < £ < Т с той же скоростью, что и полиномы Рп(х) приближают функцию д(х) на отрезке [0, 1], а именно имеет место оценка вида

Щз,х) - Тп(5)| = о{-Рп) , (4)

где константа в символе «О» не зависит от п и а0. Отметим, что в зависимости от Т эта константа растёт как величина ет/л/Т.

В работе [2] указана вычислительная схема построения полиномов Рп(х), удовлетворяющих оценке (3), а следовательно, и полиномов Дирихле Тп(5), удовлетворяющих оценке (4). Показано, что в случае, когда д(г) регулярна в точке г = —1 в качестве полиномов Рп(х) можно взять частичные суммы разложения функции д(х) на отрезке [-1, 1] по полиномам Чебышёва. В противном случае нужно рассматривать разложение по сдвинутым полиномам Чебышёва. В любом случае константа р > 1 явно вычисляется.

2. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ПОЛИНОМОВ, НУЛИ КОТОРЫХ В ЗАДАННОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ СОВПАДАЮТ С НУЛЯМИ ¿-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ

Рассмотрим прямоугольник 0 <а0 < а < 1, 0 < £ < Т. Так как полиномы Дирихле Тп(в) равномерно сходятся к ¿-функции ¿(5,%), то в силу теоремы Гурвица [5] нули ¿-функции являются пределами нулей аппроксимирующих полиномов.

Важной задачей является задача определения такого числа п0, что при п > п0 нули полинома Тп(5), лежащие в данном прямоугольнике, совпадают с нулями ¿-функции. Остановимся на двух моментах, связанных с оценкой величины п0.

Во-первых, известно [6], что для числа N(Т) нулей ¿-функции, лежащих в прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < £ < Т, имеет место асимптотическая формула:

гр 1 гр

N (Т) = —— + АТ + О(1п Т). (5)

2п

Таким образом, среднее расстояние между нулями ¿-функции не меньше величины

= - (6)

е N(Т) ~ 1пТ. (6)

Выберем такую степень аппроксимирующего полинома, чтобы величина приближения в этом прямоугольнике не превосходила величины е. Тогда в силу (4) и (6) получим:

Т

п > :—. (7)

1п р

Во-вторых, функция

/(£)= Тп ^2+ й) (8)

1п п

является целой почти периодической функцией класса Л = ——. Как показано в [7], для числа нулей п(Т) этой функции, лежащих в нашем прямоугольнике, имеет место оценка

п(Т) < ЛТ + (9)

п

где <х>(£) — функция, ограниченная на отрезке [0, Т]. В силу (9) при предположении, что нули функции (8) в прямоугольнике с учетем кратности совпадут с нулями ¿-функции, получаем оценку

п > 2[Т] + 1. (10)

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2

В работе [2] было показано, что в результате численных экспериментов при условии

п> 2Т

(11)

нули аппроксимирующих полиномов Тп (5) в прямоугольнике 0 < а < 1, 0 < £ < Т, совпадают с нулями ¿-функций в этом прямоугольнике. В дальнейшем будем считать, что п > 2Т.

3. АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ПОЛИНОМЫ И ПОВЕДЕНИЕ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ

Отметим, что численная схема, приведенная в работе [2], основанная на построении аппроксимирующих полиномов, позволяет достаточно быстро определять нули ¿-функций, лежащие в критической полосе. Результаты численных экспериментов говорят в пользу расширенной гипотезы Римана. Покажем, что свойства аппроксимирующих полиномов позволяют говорить и о поведении ¿-функции в критической полосе.

Во-первых, рассмотрим проблему роста модуля ¿-функции на критической прямой. Аналогом известной гипотезы Линделёфа о порядке роста модуля дзета-функции Римана на критической прямой в случае ¿-функций Дирихле является следующее утверждение [8]:

LI 2+ it, X

= о №

где е — любое положительное число.

Легко показать, что это утверждение эквивалентно тому, что для любого е > 0 и для любого п

max

0<t<n/2

Tn\ 2+¿t

= O(ne).

Численная схема определения полиномов Tn(s) позволяет вычислять величины max |Tn(1/2 + it)|.

0<t<n/2

Результаты численного эксперимента для различных характеров говорят о том, что

max

0<t<n/2

T

n

1

+ it

= O(ln n).

Если это так, то

LI 2+ it, X

= O(ln |t|).

В этом направлении необходимо продолжить серию вычислений.

Во-вторых, можно описать область значений полинома Тп(з) в случае 5 = а+0 < а < 1, £ — любое. Она содержит круг (без нуля), радиус которого стремится к бесконечности, когда п ^ го. Отсюда сразу получается ряд утверждений относительно значений ¿-функций Дирихле в критической полосе, аналогичных утверждениям относительно значений дзета-функции Римана, приведенным в [9].

Рассмотрим известное свойство универсальности, сформулированное в следующем виде. Дан отрезок I = [а + ¿¿о, 1/2]. Пусть ^(з) — функция, регулярная в некоторой области, содержащей этот отрезок, и не равная нулю в точках отрезка. Тогда для любого е > 0 существует Т такое, что

|р(в) — ¿ (5 + ¿Т)| < е, 5 е I.

Это утверждение допускает переформулироку в терминах полиномов Тп(^): для любого е > 0 существуют такие п и Т < п/2, что

|ф(5) — Тп (5 + ¿Т)| < е, 5 е I.

Последнее условие легко доказывается с помощью теоремы Кронекера, если только величина почти периода I < п/2.

2

82

Научный отдел

О. А. Матвеева. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле

Результаты численных экспериментов говорят в пользу этого неравенства. Отметим, что аналогичные факты имеют место в случае целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Библиографический список

1. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 6. С. 805-812.

2. Коротков А. Е., Матвеева. О. А Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определённых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2011. Т. 24, вып. 17. С. 4753

3. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Ри-мана. М. : Физматлит, 1994. 376 с.

4. Кузнецов В. Н, Водолазов А. М. Аппроксимацион-ный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре,

теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Са-рат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 2-11.

5. Титчмарш Е. К. Теория функций. М. : Наука, 1980. 464 с.

6. Прахар К. Распределение простых чисел. М. : Мир, 1967. 511 с.

7. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М. : Изд-во техн.-теоретич. лит., 1956. 632 с.

8. Туран П. О новых результататх в аналитической теории чисел // Проблемы аналитической теории чисел. М. : Мир, 1975. С. 118-142.

9. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М. : Изд-во иностр. лит., 1953. 409 с.

Approximation Polynomials and Dirichlet / -functions Behavior in the Critical Strip

O. A. Matveeva

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83, [email protected]

In this paper a sequence of Dirichlet polynomials that approximate Dirichlet L-functions is constructed. This allows to calculate zeros of L-functions in an effective way and make an assumptions about Dirichlet L-function behavior in the critical strip.

Key words: Dirichlet L-functions, approximation polynoms.

References

1. Kuznetsov V. N. Analog of Szego's theorem for a class of Dirichlet series. Math. Notes, 1984, vol. 35, iss. 6, pp. 903-907.

2. Korotkov A. E., Matveeva O. A. Ob odnom chislennom algoritme opredelenija nulej celyh funkcij, opredeljonnyh rjadami Dirihle s periodicheskimi kojefficientami. [On a computing algorithm of calculation of zeroes of the integral functions]. Nauch. vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo un-ta. Ser. Matematika. Fizika, 2011, vol. 24, iss. 17, pp. 47-53 (in Russian).

3. Voronin S. M., Karacuba A. A. Dzeta-funktsiia Rima-na [The Riemann Zeta-Function]. Moscow, Fizmatlit, 1994, 376 p. (in Russian).

4. Kuznetsov V. N., Vodolazov A. M. Approksimacionnyj kriterij periodichnosti konechnoznachnyh funkcij natural'-nogo argumenta [Approximated criterion for periodicity of the finitely valued functions of a natural argument].

Issledovanija po algebre, teorii chisel, funkc. analizu i smezhnym voprosam : Mezhvuz. sb. nauch. tr., Saratov, Saratov Univ. Press, 2003, iss. 2, pp. 2-11 (in Russian).

5. Titchmarsh E. K. Teoriia funktsii [Function theory]. Moscow, Nauka, 1980, 464 p. (in Russian).

6. Prahar K. Raspredelenie prostykh chisel [Distribution of primes]. Moscow, Mir, 1967, 511 p. (in Russian).

7. Levin B. Ja. Raspredelenie kornej celyh funkcij [Distribution of roots of integer functions]. Moscow, Izd-vo tehniko-teoretich. literat., 1956, 632 p. (in Russian).

8. Turan P. O novyh rezul'tatath v analiticheskoj teorii chisel [On a new results in number theory]. Problemy analiticheskoj teorii chisel, Moscow, Mir, 1975, pp. 118142 (in Russian).

9. Titchmarsh E.C. Teoriia dzeta-funktsii Rimana [The Theory of the Riemann Zeta-Function]. Moscow, 1930, 409 p. (in Russian).