Почти периодические функции и свойство универсальности l - функции Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-368-376

Почти периодические функции и свойство универсальности L —

функции Дирихле

Кузнецов Валентин Николаевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа, Саратовский государственный технический университет им. Ю. А. Гагарина. e-mail: [email protected]

Матвеева Ольга Андреевна — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского. e-mail: oiga, matveeva. Овдтай. com

Аннотация

Термин "универсальность"для функций был введен в начале 70-х годов Е.М. Ворониным и смысл, который вкладывается в это понятие, заключается в том, что весьма общий класс аналитическихческих функций допускает приближение вертикальными сдвигами данной функции. В 1975 году С.М. Воронин доказал свойство универсальности для дзета-функций Римана, а в 1977 году для L-функции Дирихле.

В данной работе предлогается доказательство свойства универсальности для L-функций Дирихле отличное от доказательства С.М. Воронина, основанное на быстром приближении в критической полосе L-функций Дирихле полиномами Дирихле.

Ключевые слова: свойство универсальности, аппроксимационные полиномы Дирихле, почти периодические функции.

Библиография: 15 наименований. Для цитирования:

В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева. Почти периодические функции и свойство универсальности L - функции Дирихле // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. 368-376.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-368-376

Almost periodic functions and property of universality of Dirichlet

L-functions

Kuznetsov Valentin Nikolaevich — doctor of technical sciences, professor, professor of the department of applied mathematics and systems analysis, Saratov State Technical University. e-mail: [email protected]

Matveeva Olga Andreevna — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of computer algebra and number theory, Saratov State University. e-mail: olga. matveeva. 0@gmail. com

Abstract

The term "universality"for functions was introduced in the early 1970s by E.M. Voronin and the meaning that is embedded in this concept is that a very general class of analytic functions admits approximation by vertical shifts of a given function. In 1975, S.M. Voronin proved the universality property for Riemann zeta-functions, and in 1977 for the Dirichlet L-function.

In this paper we propose a proof of the universality property for Dirichlet L-functions that is different from SM's proof. Voronin, based on a rapid approximation in the critical band of Dirichlet L-functions by Dirichlet polynomials.

Keywords: universality property, approximate Dirichlet polynomials, almost periodic functions.

Bibliography: 15 titkes. For citation:

V. N. Kuznetsov, O. A. Matveeva. 2018, "Almost periodic functions and property of universality of Dirichlet L-functions" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2. P. 368-376.

1. Введение

В 1975 году в работе fl] С.М. Воронин впервые доказал, что вертикальные сдвиги дзета-функции Римана с любой точностью приближают аналитические не равные нулю внутри круга — 41 < г где 0 < г < | и непрерывна на границе этого круга функции. Это свойство дзета-функции Римана С.М. Воронин назвал свойством универсальности. Позднее С.М. Воронин доказал свойство универсальности для достаточно широкого класса эйлеровых произведений, включая L-функций Дирихле см.[2],[3]. В основе доказательства свойства универсальности лежат тонкие результаты, полученные С.М. Ворониным относительно определенных функциональных рядов в пространстве Харди

В данной работе предлагается иной подход при доказательстве свойства универсальности L-функций Дирихле. В основе этого подхода лежат результаты полученные авторами (как [4]-[7]) относительно возможности „быстрого" приближения L-функции Дирихле в критической полосе полинома Дирихле. В этой работе показано, что „быстрое"приближение полиномами Дирихле позволяет перенести отдельные свойства почти периодических функций, каковыми являются полиномы Дирихле на L-функции Дирихле, что и позволило получить новое доказательство свойства универсальности L-функции Дирихле.

Заметим, что предложенный здесь аппроксимальнный подход позволяет сразу получить результаты о совместном приближении конечного числа функций общими сдвигами L-функции Дирихле, а также получить свойство универсальности для конечной линейной комбинации L-функции Дирихле.

Нужно отметить, что в последние годы были получены результаты относительно приближения дискретными сдвигами (как [8]-[12]). Но в данной работе возможности аппроксимальн-ного подхода к решению таких задач не рассматривались.

2. Аппроксимационные полиномы Дирихле и некоторые свойства L-функции Дирихле

Рассмотрим L-функцию Дирихле

L(s,x) = Е Щт- ,s = а + ü> w

п= 1

где х(п) неглавный характер Дирихле.

В работах ([4]-[6]) указан алгоритм построения полиномов Дирихле Qn(s) которые в любом прямоугольнике Dt :0 <сто < а < 1, |i| < Т, приближают L-функцию (1) с показательной скоростью, т.е.

т

\\Hs,X) — Qu{s)\\dt < ^, (2)

где величина q > 1 и определена периодом характера х(п)-

В этих работах изучались такие свойства полиномов Qn(s) которые определяют соответствующие свойства L-функции (1).

В работе [7] изучались свойства полиномов Qn(s) характерные для почти периодических функций и выяснилось в какой степени эти свойства отражаются в поведении L-функций Дирихле. Укажем здесь ряд утверждений относительно свойств полиномов Дирихле, приведенных в работе [7].

Лемма 1. Для любого е > 0 в прямоугольнике Dt неравемст,во

\\L(s,x) — Qu{s)\\dt < £ (3)

имеют место при

Т + |lnd- lnT

п >-|—^--4

ln

Замечание 1. Результаты численного эксперимента (см. [4] — [6]) показывают,, что при малых периодах характеров неравенство (3) имеет место при

п > 2[Т] + [|lnе|]

Отметим,что полиномы Дирихле Qn{s) являются почти периодическими функциями в смысле Бора (см. [13], [14]) и для, них имеют место все свойства, присущие почти периодическим, функциям,. Приведем некоторые из этих свойств, которые характерны полиномам Дирихле.

Рассмотрим отдельные понятия и введем, ряд обозначений, связанных с этими понятиями. Обозначим через т(е)- е-почти период почти периодической функции, то есть

|f(x + т(е)) — f(x)l <е

Пусть г](е) - обозначает число, характеризующее равномерную непрерывность функции f (x), m,о есть

|xi — Х2| < v(z) ^ l f(xi) — f (X2)| < £ Пусть Qn,a(t)- почти периодическая функция вида

п

Qn,* (t) = Е ln kt (5)

k=0

При данных обозначениях имеет место (см,.[7\)

Лемма 2. Для заданного е > 0 для всех полиномов вида (5) существует общий е- почти период т(е), для, которого имеет место оценка,

\ТШ< ^ + С, (в)

где константа С не зависит, от, п, а зависит только от, величины е.

Замечание 2. При достаточно большой п величина, С значительно меньше, чем В связи с тем, что многочлен Qn,aявляется суммой периодических функций, значение

этого многочлена.

[\

2.

Теорема 1. Для любого е > 0 и любого положительного числа, Т найдется такое положительное число т, где т < уП^Т' что всех 8 > лежащих в прямоугольнике Ит ■ 0 < (Г\ < а < 1, \£| < Т, и таких, ч то в + г те Ит , для Ь-функции Дирихле ,х) выполняется неравенство

\Ь(з + гт,х) -Ь(з, х)| <£ (7)

Замечание 3. Свойство Ь-функции Дирихле, приведенное в теореме 1, является ана-

почти периодических функций оценка, (7) имеет место только для ограниченной области.

Далее, в работе [7\ доказаны, следующие результаты. Пусть полином Дирихле Qn{s) приближает в прямоугольнике Ит Ь-функцию (1) с точностью до величины е. В этом случае имеют место утверждения.

Лемма 3. Для константы г)(е) равномерной непрерывности полинома Qn(s) в прямоугольнике Dt имеет место оценка,

С • е Ф) < --г,

ln п • Т 2

где константа С не зависит, от, п,е и Т.

Теорема 2. Для L-функции Дирихле для константы равномерной непрерывности 'ц(е) в прямоугольнике Dt выполняется неравенство

. , С • е Ф) < --г,

ln Т • Т 2

где константа С не зависит, от, Tue.

3. О свойстве универсальности L-функции Дирихле

Рассмотрим интервал [ai, 1^, где ai > 2, и пусть <р(&) функция непрерывная и отличная от нуля на этом интервале. В этом разделе докажем следующие утверждения для L-функций Дирихле L(s,x)-

Теорема 3. Для любого е > 0 найдется такая величина, т > 0; что для всех а : а1 < а < 1, будет выполняться неравенство

Ща + гт, х) — <р(а)1 < е

Замечание 4. Приведенные в теореме 3 свойство L-функции Дирихле будем также называть свойством универсальности. Отметим, что рассуждения,приведенные при доказательстве теоремы 3, позволяют доказать и свойство универсальности L-функции Дирихле, приведенные в работе [3], но соответствующие выкладки будут более громоздкими.

Замечание 5. При доказательстве теоремы 3 мы используем следующий, результат относительно значений L-функций Дирихле на прямой а = а0, где 1 < а0 < 1,: - для, любого е > 0 существует такое Т0, что для любого а = <р(&о) найдет,ся, t0, |i0| < Т0, что выполняется неравенство

lL(ao + ito,x) — а\<£

Доказательство этого результата проводится так же, как и доказательство соответствующего результата для, значений дзета-функции Римана, приведенное в книги Е.К. []

хле, занимают, больший объем, в изложенном материале и поэтому не приводятся в данной работе.

Доказательство. Обозначим, согласно замечанию 5, через To такую величину, что для

любого а = ¥>(&), и £ [&i, 1], существует t, |i| < To для которого выполняется неравенство

£

lL(a + it,x) — а\ < ^

Рассмотрим прямоугольник Dt0 : oi < и < 1, |i| < To, и многочлен Qn(s), который согласно лемме 1 приближает L-функцию Дирихле в соответствующем прямоугольнике Dt : v1 < о < 1, |i| < Т, Т > Т0 с точностью до |.

Разобьем интервал [щ, 1] на N частей: щ < < ... < ан, где N таково, что константа равномерной непрерывности г](|) полинома $п(з) в прямоугольнике От0 удовлетворяет оценке леммы 3 и одновременно выполняются неравенства:

£

\^(аг) — <р(а)\ <

2'

где

& € ^г+1].

Согласно лемме 3 можно считать, что N при достаточно большом п является числом

1п п-Тр 6

порядка

Разбиение отрезка [щ, 1] определяет N полиномов (Ь),г = 1, N. Обозначим через тг сдвиг ДЛЯ полинома (¿):

+ = Яп,(Ц + ¿г^

где

\Ъ(Ог + Иг,х) - <Р(Ъ)\ < 2. Обозначим через |) константу равномерной непрерывности полинома (1) и через

2) величину вида

£ £ ^(2) = т1п ^г(2)

Рассмотрим два полинома (¿) и Qn,ai+1 Пусть тг = п1^,тг+1 = где щи п2 -

целые числа.

Тогда \тг — тг+1 \ = \щ\ < То и , следовательно, п может принимать только конечное число значений п3,8 = 1,т.

Пусть, далее т° и почти периоды этих полиномов. Как показано в лемме 2,2"

почти периоды полиномов (Ь) не зависят от а^ Поэтому можно считать (см. [7]), что т° — т°+1 = т.е. щ = 1. Увеличивая число точек разбиения отрезка [щ, 1] можно добиться

ТОГО, ЧТО Тг — Тг+1 =

Таким образом будет выполняться равенство

Положем

Тг — П+1 = Тг — Т1+1

Т = П — ^ = Тг+1 — Гг+1

Легко видеть, что т является общим 2 сдвигом для много членов и Яп,<п+1 ($)■ Проведя

соответствующие рассуждения N — 1 раз мы построим общий 2 - сдвиг для всех многочленов {Яп^^в)} ,ъ = 1, т.е. для любого аг:

(2 + т) (2 + ^г)

£ < 2

(8)

Учитывая (8) и тот факт, что общий 2 период многочленов (^ не зависит от и удовлетворяет оценке леммы 2, для общего 2 сдвиг а т всех многочленов имеет место следующая оценка

\т\< То ■ N1 + --=

1п П £

Сп Т06 1п п С ■ п

+

1п п '

где константа С не зависит от п.

Из оценки 9 следует, что при достаточно большом п имеет место оценка

(9)

\т\ < Т,

(10)

£

7

где величина Т определяется степенью полинома Qn(s), приближающего Ь-функцию Дирихле в прямоугольнике Ит с точностью до |

Взяв в качестве сдвига для многочлена величину т, равную общему | сдвигу для

системы полиномов Qn,ai(^,1 = 1, Ж,получим оценку вида

£

\Яп(<г + гт) - <р(а))\ < ^.

т

3.

Замечание 6. Отметим, что доказательство теоремы 3 позволяет получить явную т

работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронин С.М. Об универсальности дзета-функции Римана // Изв. АНСССР, Серия Математика, 1975, Т. 39, №3, С. 457 - 486

2. Воронин С. М. О функциональной независимости L- функции Дирихле// Acta Arith., 1975, Т. 27, С. 493-503.

3. Воронин С.М. Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектов: Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. п., MIIAII СССР — М.: 1977, 90 с.

4. Матвеева O.A. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Сарат. ун-та. Математика, Механика. Информатика — Саратов,изд-во СГУ, 2013, Вып. 4, ч. 2, С. 80 - 84.

5. Кузнецов В. И., Матвеева O.A. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, Вып. 3, С. 115 - 124.

6. Кузнецов В. И., Матвеева O.A. Аппроксимационный подход в некоторых задачах теории рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, Вып. 4, С. 124 - 131

7. Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы Дирихле и некоторые свойства L-функций Дирихле // Чебышевский сборник — Тула, 2017, Т. 18, Вып. 4, С. 296 -304.

8. Mishou Н. The joint distribution of the Riemann zeta-function and Hurwitz zeta-function // Lith. Math J., 2007, vol. 47, №1, P. 32 - 47.

9. Laurincikas A., The universality of zeta-functions// Acta Appe. Math., 2003, vol. 78, №1-3, P. 251-271.

10. Kacinskait R., Laurincikas A., The joint distribution of periodic zeta-function // Studia Sei. Math. Hungar., 2011, vol.48, №, P. 257-279.

11. Buivvdas E., Laurincikas A., A discrete version of the Mishou theorem // Ramanujan J., 2015, vol. 38, №2, P. 331-347.

12. Laurincikas A., Garunkstis R., The Lerch Zeta-function // Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.

13. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости - М.: Изд-во МГУ, 1998, 480 с.

14. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций - М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956, 632 с.

15. Титчмарш Е. К.,Теория дзета-функции Римана - М.: И.Л., 1953, 407 с. REFERENCES

1. Voronin S. М. 1975, "Ob universal'nosti dzeta-funkcii Rimana", Izv. ANSSSR, Serija Matematika, Ш, vol. 39, pp. 457 - 486.

2. Voronin S. M. 1975 "On the functional independence of the Dirichlet L-function", Acta Arith., Vol. 27, p. 493-503.

3. Voronin S. M. 1977 "Analytic properties of generating Dirichlet functions of arithmetic objects" MIAN SSSR: Thesis for the academic degree of the Dr. of Science, pp. 90.

4. Matveeva, O. A. 2013, "Approksimacionnve polinomv i povedenie L-funkcij Dirihle v kriticheskoj polose", Saratov: izd-vo SGU, Izvestija Sarat. un-ta. Matem,atika, Mehanika. Inform,atika., iss. 4, vol. 2, pp. 80 - 84.

5. Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, "O granichnom povedenii odnogo klassa rjadov Dirihle s mul'tiplikativnymi koj efficient ami", Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 17, pp. 115 - 124.

6. Kuznetsov, V. N. Matveeva, O. A. 2016, "Approksimacionnvj podhod v nekotorvh zadachah teorii rjadov Dirihle s mul'tiplikativnymi koj efficient ami ", Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 17, pp. 124 - 131.

7. Kuznetsov, V. N., Matveeva, O. A. 2017, "Approximation Dirichlet polynomials and some properties of Dirichlet L-functions" Tula: izd-vo TPGU, Chebyshevskij sbornik., iss. 4, vol. 18, pp. 296 - 304.

8. Mishou H. 2007 "The joint distribution of the Riemann zeta-function and Hurwitz zeta-function" Lith. Math J., vol. 47, №1, pp. 32 - 47.

9. Laurincikas A., 2003 "The universality of zeta-functions" Acta Appe. Math,., vol. 78, №1-3, P. 251-271.

10. Kacinskait R., Laurincikas A., 2011 "The joint distribution of periodic zeta-function" Studia Sci. Math. Hungar., vol.48, №2, pp. 257 - 279.

11. Buivvdas E., Laurincikas A., 2015 "A discrete version of the Mishou theorem" Ramanujan ,J., vol. 38, №, pp. 331 - 347.

12. Laurincikas A., Garunkstis R., 2002 "The Lerch Zeta-function" Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.

13. Demidovich B. P. 1998, "Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti" Moscow, MSU publ, pp. 480.

14. Levin В. Ja. 1956, "Raspredlenie kornej celvh funkcij" Izd-vo tehniko-teoreticheskoj literatury., pp. 632.

15. Titchmarsh, E. K. 1953 "Teorija dzeta-funkcii Rimana" Moscow, I. L., pp. 407.

Получено 08.06.2018 Принято в печать 17.08.2018

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-377-388

Вполне разложимые однородные факторно делимые абелевы

группы

Гордеева Екатерина Вячеславовна — Московский педагогический государственный университет.

e-mail: [email protected]

Фомин Александр Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский педагогический государственный университет. e-mail: alexander.fomin@mail. ru

Аннотация

Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга было начато в работах Л.С. Понтрягина [1], А.Г. Куроша [2], А.И. Мальцева [3], Д. Дерри [4], Р. Бэра [5], Р. Быомонта и Р. Пирса [6,7]. В частности, Быомонт и Пирс в [6] ввели понятие факторно делимой группы без кручения. Понятие факторно делимой группы было расширено на случай смешанных групп в работе [8]. В этой же работе [8] было доказано, что категория смешанных факторно делимых групп с квазигомоморфизмами является двойственной категории групп без кручения конечного ранга также с квазигомоморфизмами. Новая версия категории [8] была получена в [9, 10]. Категории групп с квазигомоморфизмами были заменены на категории групп с отмеченными базисами и с обычными гомоморфизмами такими, что их матрицы относительно отмеченных базисов состоят из целых чисел. Двойственность [8] была также расширена в статье С. Бреаза и Ф. Шультца [11] на класс самомалых групп. Смешанные факторно делимые группы, также как и самомалые группы, находятся в настоящее время в фокусе внимания [12-35].

В данной статье мы доказываем две теоремы об однородных вполне разложимых факторно делимых смешанных группах. В первой теореме мы показываем, что для любого базиса такой группы существует разложение этой группы в прямую сумму групп ранга 1 такое, что элементы данного базиса сами являются базисами в соответствующих группах ранга 1. Более того, для любых двух базисов такие разложения изоморфны. Во второй теореме мы показываем, что любая точная последовательность смешанных факторно делимых групп 0 ^ В ^ А ^ С ^ 0 расщепляется, если группа А является однородной вполне разложимой. Эта теорема является дуализацией следующего классического результата Бэра. Любая сервантная подгруппа однородной вполне разложимой группы без кручения конечного ранга выделяется прямым слагаемым в этой группе.

Ключевые слова: абелевы группы, прямые разложения, двойственные категории.

Библиография: 37 названий.

Для цитирования:

Е. В. Гордеева, А. А. Фомин. Вполне разложимые однородные факторно делимые абелевы группы // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. 377-388.