CC BY
23из теоремы Даффина и Шеффера [3], которая утверждает, что из ограниченности функции
то
) =
п=0
где ап — конечнозначные коэффициенты, в некотором секторе единичной
ап
следует утверждение 1 теоремы 2.
Замечание. Отметим, что гипотеза Н.Г. Чудакова до сих пор остается открытой.
Библиографический список
1. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.
2. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР, 1987. Т. 73.
3. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.
УДК 511.3
В.Н. КУЗНЕЦОВ, А.Е. КОРОТКОВ, Д.С. СТЕПАНЕНКО
К вопросу о трансцендентности значений рядов Дирихле с периодическими алгебраическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана,
в точках й = 2к, к = 1, 2, 3,...
Рассмотрим ряд Дирихле:
то
f м = Е Пп • 5 = а+Й, а)
п=1
с периодическими алгебраическими коэффициентами, который определяет функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению вида:
^ Ш ™ = (к)^ (Ч^) * - *
где а — некоторая алгебраическая константа; £ и £1 — величины, равные либо 0, либо 1; к — период последовательности коэффициентов; /(в) — функция, определенная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряженными к коэффициентам ряда (1).
Известно [1], что функциональному уравнению вида (2) удовлетворяет достаточно широкий класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, включающий класс Ь-функций Дирихле.
Известно также [2], что Ь-функции Дирихле принимают трансцендентные значения при четном натуральном значении аргумента. Последнее следует из явных формул, которые можно получить для значений Ь(2к). Например, для дзета-функции Римана эти формулы имеют вид [2]:
о2к—1 / В \
«») = (—1^ёЬ-Ц! (—§0 , к = 1'2,3— (3)
где В2к — числа Бернулли, которые являются рациональными числами. Нужно отметить, что вывод формулы (3) является непростой задачей.
В данной работе аналогичный факт доказывается для рядов Дирихле с периодическими алгебраическими коэффициентами. В отличие от случая Ь-функций Дирихле, в основе доказательства этого факта лежат результаты, полученные в процессе развития метода редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле — метода, который задачу аналитического продолжения рядов Дирихле сводит к задаче о граничном поведении степенных рядов с теми же коэффициентами что и ряды Дирихле. Основные положения этого метода были получены в работах [3,4]. В работах [5,6] этот метод получил свое дальнейшее развитие.
Основным результатом работы является следующее утверждение
Теорема 1. Ряд Дирихле с периодическими алгебраическими коэффициентами, удовлетворяющий функциональному уравнению римановского типа (2), в точках в = 2к, к = 1, 2,3,..принимает трансцендентные значения.
Доказательство Рассмотрим степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (1):
то
д (г) = Е (^п. (4)
п=1
Он определяет рациональную функцию. Действительно:
я (*) = £ * £ z= £ а, z' f zmk = P-f. (5)
1=1 m=0 1=1 m=0
Следовательно, степенной ряд (2) определяет функцию, которая либо регулярна в точке z = 1, либо имеет в этой точке полюс первого порядка, как показано в [3]. Отсюда следует, что ряд Дирихле (1) аналитически продолжим на всю комплексную плоскость как мероморфная функция с единственно возможным полюсом первого порядка в точке s = 1. В работе [3] показано, что:
an = Ress=-n [f (s)r(s)] = , (6)
где
an = lim g(n)(x), n = 2k - 1, k = 1, 2, 3,... . (7)
x—^ 1—0
В силу (5) из условий (6), (7) получаем, что f (—n), n = 2k — 1 k = = 1, 2, 3, . . .
f(s)
уравнению (2), получаем утверждение теоремы 1.
Библиографический список
1. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.
2. К о блиц Н. раднческпе числа, раднческпй анализ и дзета-функции. М.: Бибфизмат, 1981.
3. Кузнецов В. В. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36. Вып. 6.
4. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Тр. 3-ей Сарат. зимней шк. по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Т.2.
5. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2003. Вып. 1.
6. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита L-функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1.
УДК 511.3
В.Н. КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, А.Е. КОРОТКОВ,
А.А. ЕРМОЛЕНКО
Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений Ь^функций Дирихле в алгебраических точках на
положительной полуоси
В данной работе излагаются основные положения, так называемого, аппроксимационного подхода в задаче о трансцендентности значений Ь-функций в алгебраических точках на положительной полуоси, суть которого заключается в построении полиномов Дирихле с алгебраическими
