CC BY
29
В заключение отметим, что предложенный алгоритм расчета состава ряда импульсных СП позволяет обоснованно выбрать число типов СП, что дает большой экономический эффект при массовом производстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поля некий КМ. Алгоритм выбора ряда стандартнь к модулей средств электропитания. Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: Мат. меж. н-практ. конф.: Новочеркасск: ЮРГТУ. 2000. Ч. 10. 57с. С.37-38.
2. Полянский КМ. Многомерная модель алгоритма выбора ряда стандартных модулей средств электропитания. Мат. меж. н- практ. конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве.» Новочеркасск. 2000.
3. Источники вторичного электропитания/В. А. Головацкий и др.; Под редакцией Ю. И. Конева. 2-е изд., переработанное и доп. М.: Радио и связь, 1990. 280с.
4. Букреев С.С. Силовые электронные устройства. Введение в автоматизированное проектирование. М.: Радио и связь, 1982. 256с.
УДК 316.343.6
В.М. Тарануха
АППАРАТУРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАКРООПЕРАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МНОГОУРОВНЕВОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
Рассмотрим организацию вычислительного процесса макрооперации дифференцирования по пространственным координатам на основе многоуровневой вертикальной арифметики с использованием предложенного универсального оператора распараллеливания вычислительного процесса [1]
П1...Пт
Еи(ХМ,.,т ).
І\...Іт
Здесь и (хІ І І ) - многомерная функция, представленная в виде подматриц
г1,г2.-гт
т
размерностей пь п2...пт, а (пгх п2х...хпт)^2пІ - степень распараллеливания
І-1
вычислительного процесса [1].
Представим смешанную частную производную т-го порядка многомерной функции и(х^ г- І ) в виде:
п1.. пт д т
У----------д---и(Хг г г ).
Н дхп Эх”2...ЭхИт І1,І2. ІтУ
1 т 1 2 т
Здесь и (х^ г. І ) - является функцией многомерных переменных (х^ г. І ), представленной в виде подматриц размерностей п1г п2, ...пт,а (п;х п2х...хпт) - раз-
мер массива исходных данных [56], считая, что функция и(х. . . ) непрерывна
Ч,*2 1т
и дифференцируема в каждой точке х. , х. ...х. , 1е(1112...1т}. При этом, сме-
41) г(2) г( т)
шанная частная производная порядка т от функции и (х. . . ) , взятая п1 раз по
Ч,*2 •лт
причем п1+п2+...+пт=т. Например, сме-
X- , п2 раз по х■ и т.д. до пт раз по х.
-1 -( т)
шанную производную второго порядка
п д2
и:
ХА
-1-2
дх дх-
можно представить в виде одномерной матрицы:
Или иначе можно представить в виде
V д2и V д2и
і дхі дх1 ~ дхі дх2
-1 -і 1 -1 -1 2
д 2и д 2и д 2и
дх1дх1 д2и дх1дх2 д12и2 дх1дхп д2и
дх2 дх1 дх2 дх2 дх2дхп
д2и д 2и д2и
дхп дх1 дхпдх2 дхп дхп
V
д2и дх дх„
,
д 2и ^ д 2и
У-------+ У
I I
дхдх1
-1 1
-1 дх,1 дх2
+
д 2и
УУ
д 2и
На основании приведенных выражений, и используя известные формулы дифференцирования, можно написать разностные формулы приближенного численного многомерного дифференцирования в форме, удобной для многоуровневой
.
Предлагаемый метод дифференцирования на принципе многоуровневой вер. , -раллельно вычисляются первые частные производные путем многократного дифференцирования в каждой точке вектора приращений функций многих переменных по разностям первого порядка. На втором уровне параллельно дифференцируются п-приращения частных первых производных в каждой точке одномерной матрицы по разностям второго порядка. На третьем уровне параллельно дифференцируются п-
по разностям третьего порядка и т.д.
Операция дифференцирования на первом уровне сводится к п-кратному дифференцированию приращений переменных U(х^ ) по д х{ в соответствии с выражением
U'(x,l) = £
VU
, —x,
il il
VU
дu
где V______s V uu - первая производная;
t Vxt t dxt
h t li h
Ux(i), Ux(„) - вычисленные переменные в точках (xj), (x„) соответственно;
Ux(i-h), Ux(n-h) - переменные, вычисленные в предыдущих точках; h = xt (1) — xt (2) = const - приращение между точками вектора (xj...xn).
На втором уровне в точках x^(1)...xt(n) выполняется n-кратное вычисление
производных U' по dxt в соответствии с выражением
U" = У-
x,l x,2 /—і
Vx, і і дxi дxi
2 i2 i2 il il i2
Vx
- вторая производная;
u;»)= і
3U
и дxi il il
дU
- xi (l) ;
x„(l)
u;< ..=z 3-
" r 3x,
il il
- xi ( n)
x„ (n)
их(1_ю, и'х(п-И) - первые частные производные, вычисленные в предыдущих точках;
И = х,2 (1) — х2 (2) = пИ = И2 - вторые разности (приращения) между точками в одномерной матрице размером (пхп).
Представленный алгоритм дифференцирования в векторно-матричной форме реализуется разработанным универсальным алгоритмом многоуровневой вертикальной арифметики параллельной обработки матричных макроопераций [1]:
2
2
2
n
£ І П 2''+".
і,є{н...пт }0<'р<М„ рє{і,2,...М }
Здесь Т П X' ^ 21р - сумма произведений Мчисел, М=2,3,..
Х1 ^ 2 р - разряды сомножителей; ре(1,...М} - размер массива сомножителей;
1ке(п1...пт} - размер массива равнозначных разрядов вертикальных срезов сомножителей (слагаемых);
I 2'* -
разрядные суммы равновесных разрядов вертикальных срезов
сомножителей - цифры в к-ичной системе счисления. Алгоритм является универсальным.
При р=2 операция вычисления первой производной иХ = / -
Хі1 / ^
предложенном алгоритме дифференцирования производится в виде
К = ІКІІ Х',і,2'‘ *') Х,„2 '2 *\
і2 '2 Ч 'і
Ух,.
где
Уихі = І Х'ііі 2‘ , х,іН є {ОД}, уХ-' = X х,я2'" .
'і '2
Эта операция является базовой операцией вычисления производных на принципе многоуровневой вертикальной арифметики. Производные второго, третьего и более высокого порядка описываются суперпозицией функций базовой операции вычисления производных.
Предложенная дифференцирующая структура имеет регулярную структуру и состоит из многоуровневых преобразователей кодов.
Сущность предложенного подхода организации вычислительного процесса многоуровневой вертикальной арифметики состоит в том, что исходный массив данных в виде равновесных кодов вертикальных разрядных срезов приращений переменных Уи , т -
, т=3
X X • Х121 ■ Х 221 ' '' Х1п21 • • Х 2 П2І Х11п3 Х 21 п3 Х12 п3 • Х 22 п3 • • • Х іп2п3 • • Х 2 п^щ
Хпі11 Хп121 ' • • Х , П1П2І Х пііпз Х • пі2 пз • • Х піп2п3
Здесь столбцы подматриц - равновесные коды на первом уровне преобразуются в разрядные суммы[1]
р
в
п4 П П2 к
ЕЕЕЕ х,„з., 2 г, е{с0с,...с,1)
.4 .3 . 2 г1
- в виде кгичных цифр (г1)с основанием 2к1, к, = 1о§2 п,, число которых определяется размером масста(п2хп3хп4). Степень параллелизма на первом уровне определяется как (п2хп3хп4) ^2п;. Распараллеливание процесса вычислений зависит от основания системы счисления [1]. Весовые разряды этих цифр С0С,...Ск являются элементами зеркально-отраженных матриц, которые умножаются на вектор-строку весовых разрядов кгичных цифр (х0.^, х,. ,...хк.2 ) приращений Ух-1
-
Сг
хп
хи
х-,
С 2 2
С] 22
С 0 22
где
С,
С,
С
- - - , -
менты которой представлены в обратном порядке в виде векторов (С0 С} С2).
На втором уровне преобразователями параллельно вычисляются двоичные суммы равновесных разрядов частичных парных произведений
г(2) = V х с 2
0 V 0.2 0
п2 ,
г,(2) = £ х0;
С! 21
х1 2
С0 21
г
(2)
хх
С2 22
С1 22
С0 2 2
в виде к2-ичных цифр, k2=1og2n1n2,
х
х
2
2
0
х
2
2
(ед...^0 (ед...^1
(ед...^к
число которых определяется размером массива {п4хп3).
Вычисленные к2-ичные цифры являются элементами зеркально-отроенных блочно-диагональных матриц, которые умножаются на вектор-строку цифр
(х0г. ,х1г. ,...хк1 ) приращений Ух"1 - дифференциатора, представленных в виде
Х0г'з ХИ3
7 (2) ^1
7 (2)
0
х.
7 (2) 2 22
7 (2) ^1 22
7 (2) 0 22
где
7.
(2)
7 (2) ^1
7
(2)
- - - ,
элементами которой являются векторы ( 7 02) 71(2) 7 22)).
На третьем уровне преобразователем параллельно вычисляются суммы равновесных разрядов частичных парных произведений трех чисел:
«3
7(3) _ 7(2)х 20
0 _ 0 0,3 ’
'3
«3
70) _ £(г'2|х„з + 7(2)Х0,з)-2\
'3
«3
722> _ Х(42)Х2,3 + 7(2)Х„3 + 7™Х0,3 )22,
3
В виде кз-ИЧНЫХ цифр, kз=\og2«l«2«3,
(73 ) ^
(С 0 С^.С^0 (С0 С1..АХ (С0 С1...Ск!)20
(С0 С1...Ск1)21 20 (С 0 С1...Ск1)21 21 (С0 С1...Ск1)21 • 2 к3
(С0 С^.С^ к2 (С 0 С^.С^ )2 к2 (С0 С^.С^ к2
..
2
и
Таким образом, полученный результат да-мерной матрицы в виде кгичных цифр разрядных сумм представляет блочно-диагональную матрицу, элементами :
♦ весовые двоичные разряды для кричных цифр разрядных сумм, к1 _ 1о§2 «1;
♦ векторы для к2-ичных цифр двойных разрядных сумм, k2=log2«1«2;
♦ матрицы для к3-ичных цифр тройных разрядных сумм, k3=log2«1«2«3.
Если просуммируем элементы блочно-диагональной матрицы, то получим результат в обычной двоичной системе счисления.
Выводы. Разработаны параллельные алгор итмы вычисления макроопераций, дифференцирования функций многих переменных на основе многоуровневой параллельной вертикальной арифметики, позволяющие достигнуть высокой призво-
2-3
к-
цифрами сжатых разрядных срезов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тарануха В.М. Теоретические основы и принципы построения вычислительных средств параллельной вертикальной арифметики. Таганрог: Изд-во «Таганрог». 1996. 140с.
