CC BY
15
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_
В) КРОМе ТОГО, 8(5,ß)^0, 5,ß^0 и 6(8,ß)>d(| 8 + 1 |C||ßp), Оде
d > 1, p G (0,1), то
lim \\zm — xll = 0.
8,ß^0 m "
Список использованной литературы:
1. Емелин, И.В. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач / И.В. Емелин, М.А. Красносельский // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 12. - С. 59-63.
2. Матысик, О.В. Итерационная регуляризация некорректных задач / О.В. Матысик. - Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. -188 с.
© Матысик О.В., Мялик А.И., 2017
УДК 519.6
О.В. Матысик
К. ф.-м. н., доцент, БрГУ имени А.С. Пушкина
г. Брест, Беларусь E-mail: matysikoleg@mail.ru Е.И. Минзер
студентка 4 курса, БрГУ имени А.С. Пушкина
г. Брест, Беларусь E-mail: priclmath@brsu.brest.by
АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ЯВНОЙ ДВУХШАГОВОЙ ИТЕРАЦИОННОЙ СХЕМЕ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Аннотация
В гильбертовом пространстве для решения некорректных уравнений с положительным ограниченным и самосопряженным оператором предлагается явная итерационная двухшаговая схема с правилом останова по невязке. Решен численный модельный пример
Ключевые слова
Некорректная задача, положительный ограниченный и самосопряженный оператор, спектр, гильбертово
пространство, останов по невязке
Для решения линейного операторного уравнения Ax = y5, где A — ограниченный, положительный, самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве и ||y — — 8, предлагается двухшаговая
5
итерационная схема явного типа с итерационным шагом tt G
0,
4 A
2 2
*я,5 = 2(Е - оА)Хп-1,5 _ (Е -оА) хп_2£ + а АУ5, ^ = х1,5 = 0 (!)
Здесь Е - тождественный оператор. Рассматриваемая задача некорректна, так как 0 £ SpA. Зададим уровень останова 8 > 0 и момент останова т для процедуры (1) определим условиями [1-2]
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070
АхпЪ - У 5 > 6 (n < т),
Axm,5 - y5
<6,
s = b5, b > 1.
(2)
Предполагаем, что при начальном приближении Хр 5 невязка достаточно велика, больше уровня
останова s, т. е.
Ax0,5 - У5
> 8. Метод (1) с остановом (2) является сходящимся, если
1т
mf
5^0 V т
x xm,5
= 0. Справедлива
Теорема. Пусть А = А > 0, А < М и пусть момент останова т = т(5) в методе (1) выбирается по правилу (2). Тогда итерационный процесс (1) сходится.
Рассмотрим в пространстве ^ (0,1) задачу в виде уравнения Фредгольма I рода
1
| К(Х,5)х(б= у(Х), t е [о, 1] с симметричным положительным ядром К (Х, з) =
1
. В
0
качестве
точного
решения
1 +100(/ - s)z сформулированной задачи
выберем функцию x( s) =
s, 0 < s < 1, 2
1
1 - s, -< s < 1. 2
1
С использованием метода правых прямоугольников при т = 32, И = — была вычислена в точках
т
Ху = IИ, I = 1, т правая часть у(Х) рассматриваемого уравнения. Данная задача относится к классу обратных задач теории потенциала, и она некорректна. Обычно на практике мы не знаем точной функции у(Х), а вместо нее известны значения приближенной функции у (Х) в некотором числе точек с
определенной, часто известной погрешностью 5, и по этим приближенным данным требуется приближенно найти решение. Чтобы имитировать эту ситуацию, будем считать заданными значения уу,
Л
I = 1, т, полученные следующим образом уу = [ у (Ху) • 10 + 0,5] / 10 , квадратные скобки означают целую часть числа и к = 3. Будем решать задачу методом (1), который в дискретной форме запишется
x(n) = 2x(n-1) -2a ¿K(t,,sj)hx(n-1) -x(n-2) +a2 ¿K(t,,sj)h~j + 2а£к(t,,sj)hxf-2) j=1 j=1 j=1
m
m
m / \[ m s >
a2 Z K(t,, sj )h X K(tj, sk )hxkn-2)
(0) (1) л • i-
х^ = x,J = 0 , , = 1, m.
7=1 V к=1
При счете используется а = 0,8. Для решения задачи дополнительной информации на гладкость точного решения не потребовалось, так как здесь воспользовались правилом останова по малости невязки (2), выбрав 8 = 1,5 5. Итак, при 5 = 0,001 для достижения оптимальной точности при счете явным двухшаговым итерационным процессом потребовалось 14 итераций.
Список использованной литературы: 1. Вайникко, Г.М. Итерационные процедуры в некорректных задачах / Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенников. - М. : Наука, 1986. - 178 с.
>
<
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_
2. Емелин, И.В. К теории некорректных задач / И.В. Емелин, М.А. Красно-сельский // Докл. АН СССР. -1979. - Т. 244, № 4. - С. 805-808.
© Матысик О.В., Минзер Е.И., 2017
УДК 519.1
С.С. Прокудина
Бакалавр, студент магистратуры СГУ им. Н.Г. Чернышевского г. Саратов, Российская Федерация
ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМА
Аннотация
Широкое использование в криптографии. Вычисления дискретного логарифма. Алгоритм Полига— Хеллмана. С помощью алгоритма Полига-Хеллмана можно найти дискретный логарифм. Если не учитывать, что p-1 раскладывается на простые сомножители то криптосистема будет ненадежной.
Ключевые слова Дискретный логарифм. Алгоритм Полига-Хеллмана. Криптография.
Проблема дискретного логарифмирования одна из самых важных в криптографии. Рассмотрим вычисления дискретного логарифма с помощью алгоритма Полига-Хеллмана.
Пусть дано:
ах = b(mod р) (1)
где p — простое число, имеющие эвристическую оценку сложности Lp [^;c] при некоторых значениях постоянной с. Мы будем считать,
что a(mod p) имеет порядок p - 1. Алгоритм Полига—Хеллмана.
1 шаг. Для каждого простого числа q, q|p - 1, составляем таблицу чисел
КР-1)
r[q,j} = а q (mod p) , j = 0,...,q-1.
2 шаг. Для каждого простого q, qalp - 1, находим logab(mod qa). Пусть
x = Zo,gab(mod qa) = x0+ x1q+...+xa-1qa-1(mod qa), где 0 < %i <q - 1. Тогда из (1) следует, что
Р-1 Xo(p-1)
b ч = а ч (mod p) С помощью таблицы 1 шага находим Тогда выполнено сравнение
p-1 Xj(p-1)
(Ъа-Хо) ч2 = а <г (mod p) По таблице находим х1, и так далее. Значение х1, находится из сравнения
p-L xi(p-i) (ba-xo-xiq+...+xiql-1)qi+i = а q (mod p)
3 шаг. Найдя logab (mod qi)ai, i = 1,...,s, находим logab (mod p-1) по китайской теореме об остатках. Подробнее см. в [1,с 35-36]. Конец алгоритма.
