Пример вычисления дискретного логарифма Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_

2. Емелин, И.В. К теории некорректных задач / И.В. Емелин, М.А. Красно-сельский // Докл. АН СССР. -1979. - Т. 244, № 4. - С. 805-808.

© Матысик О.В., Минзер Е.И., 2017

УДК 519.1

С.С. Прокудина

Бакалавр, студент магистратуры СГУ им. Н.Г. Чернышевского г. Саратов, Российская Федерация

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМА

Аннотация

Широкое использование в криптографии. Вычисления дискретного логарифма. Алгоритм Полига— Хеллмана. С помощью алгоритма Полига-Хеллмана можно найти дискретный логарифм. Если не учитывать, что p-1 раскладывается на простые сомножители то криптосистема будет ненадежной.

Ключевые слова Дискретный логарифм. Алгоритм Полига-Хеллмана. Криптография.

Проблема дискретного логарифмирования одна из самых важных в криптографии. Рассмотрим вычисления дискретного логарифма с помощью алгоритма Полига-Хеллмана.

Пусть дано:

ах = b(mod р) (1)

где p — простое число, имеющие эвристическую оценку сложности Lp [^;c] при некоторых значениях постоянной с. Мы будем считать,

что a(mod p) имеет порядок p - 1. Алгоритм Полига—Хеллмана.

1 шаг. Для каждого простого числа q, q|p - 1, составляем таблицу чисел

КР-1)

r[q,j} = а q (mod p) , j = 0,...,q-1.

2 шаг. Для каждого простого q, qalp - 1, находим logab(mod qa). Пусть

x = Zo,gab(mod qa) = x0+ x1q+...+xa-1qa-1(mod qa), где 0 < %i <q - 1. Тогда из (1) следует, что

Р-1 Xo(p-1)

b ч = а ч (mod p) С помощью таблицы 1 шага находим Тогда выполнено сравнение

p-1 Xj(p-1)

(Ъа-Хо) ч2 = а <г (mod p) По таблице находим х1, и так далее. Значение х1, находится из сравнения

p-L xi(p-i) (ba-xo-xiq+...+xiql-1)qi+i = а q (mod p)

3 шаг. Найдя logab (mod qi)ai, i = 1,...,s, находим logab (mod p-1) по китайской теореме об остатках. Подробнее см. в [1,с 35-36]. Конец алгоритма.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070_

Пример: Найти дискретный логарифм 18 по основанию 2 в ^9,используя алгоритм Поллига-Хеллмана.

Решение: Пусть b=18, a=2, p=19.

19-1 = 18 =p-1

Рассмотрим p-1= 2^3 ^9. По алгоритму Полига-Хеллмана нам подходят только простые числа, то есть 2,3. Тогда q=2 и q=3

1 шаг. Составляем таблицу чисел. По малой теореме Ферма:

218 = 1(mod 19);

При q=2,j = 0,1:

г{2,о} = 20 (mod 19), Г{2,о} =1 (mod 19)

9.

18

{2,1} = 2 2 (mod 19), Г{21} = 29(mod 19), Г{21} = -1(mod 19)

Получаем, Г{2,л = {1;-1} Теперь q=3,j=0,1,2;

Г{з,о} = 20 (mod 19), Г{з,о} =1 (mod 19)

18

Г{3Д} = 2Т (mod 19), Г{31} = 7(mod 19),

218 3

{3,2} = 2 3 (mod 19), Г{3,2} = 212(mod 19), Г{з,2} = 11(mod 19),

Получаем, Г{3,У} = {1,7,11}.

2 шаг. Рассмотрим qa :21, 31, 32. Рассмотрим p=2:

x = /o,g218(mod 2)

Тогда: Получаем: Рассмотрим p=3: Найдем х0:

Тогда: Найдем :

Тогда: Получаем: 3 шаг. Получили

18Т = 2*°'Т (mod 19), 189 = -1 (mod 19)

Хо= 1

x = 1 (mod 2)

x = /o^218(mod 9) = х0 + 3x1

18 18 18 з = 2х°'з (mod 19), 189 =1 (mod 19)

Xo= 0

18 18 18T = 2*rT (mod 19), 189 =1 (mod 19)

Xo = 0

x = 0 (mod 9)

(x = 1(mod 2) [x = 0 (mod 9)

Модули 2,9 попарно взаимно просты. Надо найти такой x, чтобы оба сравнения выполнялись. Это x =

Дискретный логарифм можно найти с помощью алгоритма Полига-Хеллмана, но если учитывать его особенность. Поскольку если не учитывать, что p-1 раскладывается на простые сомножители то

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-2/2017 ISSN 2410-6070

криптосистема будет ненадежной.

Список использованной литературы:

1. Василенко О. Н. О дискретном логарифмировании по составному модулю // IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 10- 15 сентября, 2001 / Тезисы докладов. С. 35-36.

© Прокудина С.С., 2017

УДК 510

Р.Х. Хайруллина

Учитель математики и физики ООШ Новобиктовский филиал МБОУ СОШ с. Иванаево с. Новобиктово, Российская Федерация

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ Аннотация

Различные виды внеклассной работы в их совокупности содействуют развитию познавательной деятельности учащихся. Внеклассная работа помогает формированию творческих способностей. Некоторые виды внеклассной работы позволяют детям глубже понять роль математики в жизни.

Ключевые слова Занимательность, внеклассная работа, математика, задача.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топоры и нож. И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять [1, с. 5].

Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в V в. до н.э. в древнегреческой науке существовало два направления. Представители первого из них, возглавляемые Пифагором, считали знания предназначенными только для посвященных. Никто не имел права делиться своими открытиями с посторонними. Последователи этого направлениями назывались акузматиками (акузма - священное изречение). Второе направление возглавлял Гиппас Метапонтский. Последователи Гиппаса, напротив, считали, что математика доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя математиками. Победило второе направление [3, с. 10].

Чтобы возбудить интерес к внеклассной работе, прежде всего к внеклассным занятиям по математике, надо постараться не только привлечь внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызвать у ребят удивление. У детей удивление возникает тогда, когда они видят, что сложившаяся ситуация не совпадает с ожидаемой. Привлечь внимание детей и вызвать их удивление - это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко; труднее удержать интерес к внеклассной работе по математике и сделать его достаточно стойким [2, с. 8].

Интерес к математике поддерживается занимательностью самих задач, вопросов, заданий. Говоря о занимательности, подразумевается не развлечение детей пустыми забавами, а занимательность содержания математических заданий либо формы, в которые они облекаются. Педагогически оправданная занимательность имеет целью привлечь внимание детей, усилить его активизировать их мыслительную деятельность. Занимательность в этом смысле на внеклассных занятиях всегда несет элементы остроумия, игрового настроя, праздничности. Занимательность служит основой для проникновения в сознание ребят чувства прекрасного в самой математике. Благодаря занимательности многие древнейшие задачи (о