Аномальные величины коэффициента Пуассона для наночастиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

АНОМАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ДЛЯ НАНОЧАСТИЦ © Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва, Россия, e-mail: lisovenk@ipmnet.ru

Ключевые слова: ауксетики; отрицательный коэффициент Пуассона; кристаллы; анизотропная упругость. Проанализирована одноосная деформация монокристаллов от макро до наноразмеров с отрицательными значениями коэффициентов Пуассона (ауксетиков).

Линейная упругость изотропных материалов определяется двумя постоянными коэффициентами упругости. Причем положительность энергии деформации требует положительности модуля Юнга и ограничений коэффициента Пуассона вида - 1 < V < 1/2. Для

большинства изотропных сред V > 0 .

В случае анизотропных материалов количество определяющих упругих модулей возрастает. Причем коэффициент Пуассона оказывается зависящим по величине и знаку от ориентации растягиваемого образца. Общие термодинамические ограничения становятся менее жесткими.

В этой работе для анизотропных кристаллов (кубических, гексагональных, ромбоэдрических, тетрагональных и орторомбических) дается анализ изменений коэффициентов Пуассона с изменением углов ориентации растягиваемых кристаллических образцов, используя экспериментальные данные для упругих постоянных кристаллов, собранные в таблицах ЬаМоИ-Вог^ет [1].

Общий вид зависимостей модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V от продольного вектора растяжения П, поперечного вектора т и коэффициентов податливости 5^ [2]

3) направлений = (0,0,1), m(2) = (sinу ,

- cos у ,0), n = (cos у , sin у ,0) и углом поворота у от главной оси в плоскости 12;

4) направлений m(j) = 1/V6(1,1,-2),

m(2) = 1/-\/2(-1,1,0), n = 1/73(1,1,1) для кубических кристаллов.

При растяжение стержней с орторомбической кристаллической структурой матрица податливостей выглядит следующим образом:

(

(3)

511 512 513 G G 0 >

512 2 2 5 2 5 G G 0

513 523 533 G G 0

G G G 544 G 0

G G G G 555 0

G G G G G 566 у

Для угловых зависимостей Е, ^), при пово-

роте в плоскости 23 с частной ориентацией 1) имеем

1 2 ,

E(n)= WinJnanp , n = 1,

v(n m)= -E(nK«n,njmamp , m2 = 1

1 = S22 + S33 + §1 + §2 o0 §1

(2)

в дальнейшем будет использоваться для частных ориентаций, а именно:

1) направлений шщ = (1,0,0), Ш(2) = (0, - sin 9 , cos 9), n = (0, - sin9 , cos 9 ) с главной кристаллофизической осью (0,0,1) и углом поворота 9 от главной оси в плоскости 23;

2) направлений шщ = (0,1,0), Ш(2) = (- cosф ,0, sinф ), n = (sinф ,0,cosф) и углом поворота ф от главной оси в плоскости 13;

+ — +—cos20—^cos40, E 2 В 2 В

- 2 —(1) = (13 + 512 ) + a cos20),

E

--— = 523 - — + —cos40,

E В В

§1 = 544 - 5зз + 2523 - s22 , §2 = 5зз - 522 :

a = (513 - 512М513 + 512 )•

При повороте в плоскости 13 с частной ориентацией 2) имеем

1 *^11 + 5зз §1 §2 г\ §1 .

— = —---------33+ — +—соз2ф—-cos4ф ,

Е 2 8 2 8

С- 1,6

1,2 - -

0,8

0,4--

-0,4 - -

•(а) * * , / * ' * # 'V' /--V- */■ * \

7^ -Г— \ А /' \ ~г 1 — сЛ°зн* ■ - • CuAINi AgTISe СаН,04НТ1 -н 1 1 1—

\ / - - —. 1 ) 1 1 1 1 1 1-

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

2,5 3,0

6, рад

Рис. 1.

е, рад е, рад

Рис. 3.

- 2 -() = (512 + $23 X1 + а С052ф), Е

) 5і 8і

---— = $13-------1 +-1С0Б4ф.

Е 8 8

§1 = $55 - $33 + 2$13 - $:

82 = $33 - $11 ;

а = ($23 - $12 М$23 + $12)•

При повороте в плоскости 12 с частной ориентацией 3) имеем

1 $11 +$22 §1 §2 ^ 8і л

— — _л---22 + ^ + ^С0з2ш—-С0з4ш,

Е 2 8 2 8

- 2 “^ = (^13 + $23 Х + а С052ф),

Е

У(2) §1 §1

—Ьт = $12 -~ +-^034^,

Е

88

§1 = $66 - $11 + 2$12 - $22 , §2 = $11 - $22 ;

а = ($13 - $23)/($13 + $23)•

Среди орторомбических кристаллов найдено достаточно большое количество ауксетиков. На рис. 1 представлены угловые зависимости коэффициентов Пуассона некоторых материалов при повороте в плоскости 13 с частной ориентацией 2). Период этих функций п , и они симметричны относительно п / 2 .

Минимальные значения коэффициента Пуассона существенно изменяются при других ориентациях. Например, при повороте в плоскости 23 с частной ориентацией 1) имеем минимальные значения -0,7 (для СиЛ1№), -0,57 (для С6К203Ы6), -0,32 (для AgTlSe), -0,24 (для С6Н404НТ1).

В случае шестиконстантной тетрагональной кристаллической системы матрица податливостей упрощается в силу дополнительных соотношений: $п = 5*22 ,

$13 = 5*23, 5*44 = 655 . Для Е, V((), тогда имеем в

частном случае 1)

(4)

(5)

1 611 + $33 Д1 Д 2 _ „ Д1 . „

- __л-----33 +—1 +—2С0з29-------^03 49 ,

Е 2 8 2 8

- 2 —— — ($13 + $12 )(1 + а С0329),

Е

- М — $ -А + ^^49,

Е 8 8

д = $44 - $33 + 2$13 - $п , Л2 = $33 - $11 ,

а = ($13 - $12 Х/($13 + $12 )•

Такие же угловые зависимости для Е, у(), )

получаются при повороте в плоскости 13.

В случае поворота в плоскости 12 с частной ориентацией 3) Е, У(), у^2) принимают вид

—— — $13, —— — $12-----1 +—^С0з4ф

У(1) = $ у(2) =

13 2

Е 13 Е д, = $66 - 2$ц + 2$

Д1 Д1

88

12

На рис. 2 представлены угловые зависимости для некоторых из них для поворота в плоскости 23 с частной ориентацией 1). Наименьшее значения коэффициента Пуассона утіп = -1,02 наблюдается у Щ^і^, что меньше нижней границы для изотропных материалов. Также минимальное значение, близкое к -1, наблюдается у (V тіп =-0,96) и (Утіп =-0,91).

При повороте в плоскости 12 с частной ориентацией 3) Щ^і^ и Щ2С12 не являются ауксетиками, а у Hg-I-минимальное значение коэффициента Пуассона отрицательно: Утіп =-0,19. В обсуждаемом случае угловые зависимости для модуля Юнга и коэффициентов Пуассона периодичны с периодом п и симметричны относительно п / 2 .

При гексагональной симметрии упругие свойства кристаллов определяются пятью коэффициентами податливости $11 — $22 , $33 , $12 , $13 — $23 , $44 — $55 . Общие угловые зависимости (1), (2) для Е, У(), )

для гексагональной структуры совпадают с (4), (5) для поворотов в плоскостях 13 и 23. При повороте в плоскости 12 с частной ориентацией 3) коэффициенты Пуассона принимает постоянное значение

у() — $13/$11, у(2) = $12/$11.

(6)

На рис. 3 представлены в гексагональном случае угловые зависимости для коэффициентов Пуассона при повороте в плоскости 23 с частной ориентацией 1). Наименьшее значение коэффициента Пуассона оказывается у MoS- (-0,28 ). Максимальное значение V на рис. 3 превосходит верхнюю границу для изотропных материалов. В рассматриваемом случае угловые зависимости периодичны с периодом п и симметричны относительно 9 — п / 2 .

При ограничении классами симметрии с шестью константами упругости ромбоэдрической (тригональ-ной) системы количество независимых модулей податливости равно шести: $п — $—, $33, $— , $13 — $23,

$44 — $55 и $14 — -$24 — 0,5$56 . Для E, V(-), у2) при повороте в плоскости 23 с частной ориентацией 1) тогда имеем

1 $11 + $

Е

п—зз +А +А2С0329-8 2

2

Д $

^“81С0з49 + -14' (25іп29 - зіп49).

-2

у0)

Е

— ($13 + $12 )(1 + а С0329)-$14 зіп29,

- ЛІ — $13 -А. + ДІС0з4Є + $14зіп4Є.

Е

8 8

1 д1 д1 .

— — $11 +— ------С0з4ш ,

Е 8 8

Период для этих периодических функций равен п . Симметрия относительно п /2 в ромбоэдрическом

4

0,8

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Є, рад

-0,2-1—і—і—і—і—I—ь

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Є, рад

Рис. 4.

0, рад

—і—I—і—I—і—I—і—I—і—I—і—I—

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

6, рад

Рис. 5.

(а)

^ Ч

^ — ч. — —^

'■ / Х X ^ . * . * * -- ♦ ‘ • ч - - . Ч * * т « * % * *

Sm075Y0 25S ' ' -Tma99Se ~ “ Sm0576Y0 424S — - USe

і t 1 1 і ► і 4 * 1 1 t—I

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Є, рад

-0,8-1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—b 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

9, рад

Рис. б.

случае из-за дополнительных членов с $14 нарушается (рис. 4).

При повороте в плоскости 13 угловые зависимости модуля Юнга и коэффициентов Пуассона не содержат члены с $14 . Следовательно, угловые зависимости для модуля Юнга и коэффициентов Пуассона становятся симметричными относительно п / 2 .

В случае поворота в плоскости 12 с частной ориентацией 3) коэффициенты Пуассона принимают постоянные значения и совпадают с (6).

На рис. 4 представлены угловые зависимости коэффициентов Пуассона для некоторых материалов при повороте в плоскости 23 с частной ориентацией 1). Минимальное значение коэффициента Пуассона -0,99 наблюдается у КаЫО3. У мышьяка диапазон изменения коэффициента Пуассона > 2, что больше, чем для изотропных материалов.

Для кубических кристаллов упругие свойства определяются тремя коэффициентами податливости:

$11 = $22 = $33 , $12 = $13 = $23 , $44 = $55 = $66 . Угловые зависимости модуля Юнга и двух коэффициентов Пуассона и имеют вид для частных ориента-

ций 1), 2) и 3)

E (0)= (s11 - А / 4 + А cos 40 /4) 1, v()(0) = - s12E(e) v(2)(0)=-(s12 + s11 )e (0) +1

12

А = s11 - s12 - G,5s44

Для перечисленных характеристик угловые зависимости периодичны с периодом п /2 и симметричны относительно 9 = п / 4 .

Поведение коэффициента Пуассона при растяжении кристаллов с кубической атомной решеткой существенно зависит от знаков коэффициента анизотропии Д ( Д = % - $!2 - 0,5$44 ) и коэффициента податливости ,$12 ■ Согласно экспериментальным данным, коэффициент податливости ^ в большинстве случаев отрицателен.

Минимальное значение коэффициента Пуассона при $!2 < 0, Д > 0 , меньшее -0,5 , наблюдается у ЕеР(! и Л1№ (рис. 5). При этом максимальные значения для этих материалов превосходят 1. Полный диапазон изменения коэффициента Пуассона для ЕеР(! и Л1№ превосходит 2. При справедливости $12 < 0, Д > 0 коэффициент Пуассона V(2) отрицателен в кубических

кристаллах с большой анизотропией Д > 2| $1^ ■ Среди

кубических кристаллов обсуждаемого типа наблюдается наибольшее количество ауксетиков.

В случае кубических кристаллов с Д< 0, $12 < 0 отрицательность коэффициента Пуассона не обнаружена.

В ситуации $12 > 0, Д< 0 имеем особую группу ауксетиков, для которых в большой области углов коэффициент Пуассона являются отрицательными (рис. 6). Коэффициент Пуассона ^) для подобных материалов при всех углах отрицателен.

Все кристаллы с $12 > 0, Д > 0 должны были быть ауксетиками уже благодаря первому неравенству. Однако удается обнаружить лишь один такой кристалл -кристалл бария. Для него vmin = -0,45 , vmax = -0,05 .

При частной ориентации 4) в направлении [111] коэффициенты Пуассона принимают постоянные значения

1 3s12 +А

E=- 2А, v(1) = vra = - 1s—2А

(7)

Значение коэффициента Пуассона при s12 < G, А > G стало бы отрицательным при выполнении условия А > 3 s12| . Однако согласно экспериментальным данным для кубических кристаллов, собранным в [1], таких ауксетиков не было обнаружено.

В случае кубических кристаллов с А<G, s^ <G согласно (7) отрицательность коэффициента Пуассона не будет наблюдаться.

В ситуации s12 > G, А< G будут обнаруживаться

ауксетики при выполнении неравенства |а| < 3s12. Наименьшее значение коэффициента Пуассона -G,34 наблюдается у SmG,75YG,25S.

Наконец, кристаллы с s12 > G, А > G будут являться ауксетиками. При этом обнаружен лишь один такой кристалл - кристалл бария. Для него vmin = -G,37 .

Таким образом, многие из рассмотренных анизотропных кристаллов в широких угловых диапазонах ориентации могут иметь большие положительные и существенно отрицательные значения коэффициентов Пуассона. Причем положительные и отрицательные значения могут выходить за рамки известных для изотропных материалов ограничений.

Отметим также, что анализ упругого растяжения выявляет различия в поведении политипов однотипных монокристаллов. Например, коэффициент Пуассона, всегда положительный для гексагонального графита, в случае ромбоэдрического графита может быть отрицательным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Landolt-Bdrnstein - Group III: Crystal and Solid State Physics. V. 29a.

Second and Higher Order Constants. Berlin: Springer, 1992. P. 1-2G9.

2. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.:

Наука, 1975. 68G с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 21.

Поступила в редакцию 15 апреля 2010 г.

Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Abnormal values of Poisson’s ratio of nanoparticles. The uniaxial deformation of crystals of various systems with the negative values of Poisson’s ratio is analyzed.

Key words: auxetics; negative Poisson's ratio; crystals; anisotropic elasticity.