CC BY
51
УДК 539.3
АНОМАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ДЛЯ НАНОЧАСТИЦ
© Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва, Россия, e-mail: lisovenk@ipmnet.ru
Ключевые слова: ауксетики; отрицательный коэффициент Пуассона; кристаллы; анизотропная упругость. Проанализирована одноосная деформация кристаллов различных систем с отрицательными значениями коэффициентов Пуассона (кратко именуемых в литературе ауксетиками).
Отличительной упрощающей особенностью линейной упругости изотропных материалов является то, что она полностью определяется двумя постоянными коэффициентами. Причем термодинамическое требование положительной определенности квадратичной формы энергии деформации накладывает на них ограничения. Например, модуль Юнга должен быть положительным, а коэффициент Пуассона может меняться только в пределах - 1 < v < 1/2. Для большинства изотропных материалов оказывается v > 0 .
В случае анизотропных веществ имеет место усложнение упругого поведения. Количество определяющих упругих модулей возрастает. Коэффициент Пуассона, понимаемый как отношение поперечного сжатия к продольному растяжению образца, зависит по величине и знаку от ориентации растягиваемого образца. Для монокристаллических материалов общие термодинамические ограничения на коэффициенты Пуассона оказываются отсутствующими.
В работе на примерах анизотропных кристаллов (кубических, гексагональных, ромбоэдрических, тетрагональных и орторомбических) дается краткий анализ изменений коэффициентов Пуассона с изменением углов ориентации растягиваемых кристаллических образцов относительно их кристаллофизической системы координат. Анализ коэффициентов Пуассона для наноусов проводился для нескольких частных ориентаций на основе обширного материала по экспериментальным значениям упругих постоянных различных кристаллов, приведенного в известных таблицах Lan-dolt-Bomstein [1]:
1) двух поперечных направлений (0, - sin 9 , cos 9) и (1,0,0) в случае кристаллофизической системы координат с главной осью (0,0,1);
2) двух поперечных направлений (0,1,0) и (- cos ф ,0, sin ф ) в случае кристаллофизической системы координат с главной осью (0,0,1);
3) двух поперечных направлений (0,0,1) и ( sin у , - cos у ,0) в случае кристаллофизической системы координат с главной осью (cos у , sin у ,0);
4) двух поперечных направлений для кубических кристаллов с главной осью в направлении [111].
Во многих обсуждаемых случаях коэффициент Пуассона оказывается либо отрицательным (такие материалы в литературе именуются ауксетиками), либо достигающим больших положительных значений (больших 0,5 и даже единицы). Выяснены угловые области подобного экстремального поведения этого упругого коэффициента.
Аномальное упругое поведение без ограничения знака оказывается широко распространенным среди кубических кристаллов. Поведение коэффициента Пуассона при растяжении кристаллических стержней с кубической атомной решеткой существенно зависит от знака коэффициента анизотропии Д
( Д — ^11 — ^12 — 0 ,5544) и коэффициента податливости 512 . Согласно экспериментальным данным для кубических кристаллов, собранным в таблицах Ьапііоіі;-Вбгміеіп, коэффициент податливости 512 в большинстве случаев отрицателен.
Такие материалы, как литий, натрий и свинец при 512 < 0, Д > 0 имеют максимальные значения коэффициента Пуассона, превосходящие единицу. Минимальное значение коэффициента Пуассона, меньшее - 0,5, наблюдается, например, у лития. Однако у всех этих металлических кристаллов коэффициент Пуассона может быть отрицательным. Более того, не менее половины металлических кристаллов кубической симметрии характеризуются отрицательностью коэффициента Пуассона. Кубические кристаллы с 512 < 0, Д> 0 являются наиболее представительными. Другие кубические кристаллы представлены меньшим количеством кристаллов.
В случае кубических кристаллов с отрицательным коэффициентом анизотропии Д< 0, 512 < 0 отрицательность коэффициента Пуассона не обнаружена. Для кубических кристаллов при 512 < 0, Д> 0 и Д< 0,
512 < 0 не обнаружено отрицательного значения среднего коэффициента Пуассона. В ситуации 512 > 0, Д < 0 имеем особую группу ауксетиков, для которых в большой области углов коэффициент Пуассона является отрицательным. Для целого ряда кристаллов, в данной ситуации, средние коэффициенты
Пуассона оказываются отрицательными при любых ориентациях растягиваемого стержня.
Наконец, все кристаллы с s12 > 0, А > 0 уже благодаря первому неравенству были бы ауксетиками. Удается обнаружить лишь один такой кристалл, и это кристалл бария. Для него как средний коэффициент Пуассона, так и коэффициенты до осреднения отрицательны.
Многие из рассмотренных анизотропных кристаллов в широких угловых диапазонах ориентации могут иметь большие положительные и существенно отрицательные значения коэффициентов Пуассона. Причем положительные и отрицательные значения выходят за рамки известных для изотропных материалов ограничений, возникающих в силу положительной определенности упругой энергии деформируемого кристалла.
Анализ упругого растяжения выявляет различия в поведении политипов однотипных монокристаллов. Например, коэффициент Пуассона всегда положительный для гексагонального графита в случае ромбоэдрического графита может быть отрицательным.
В то время как вид угловых зависимостей коэффициентов Пуассона для кубических, гексагональных,
тетрагональных и орторомбических кристаллов симметричен, в случае ромбоэдрических кристаллов симметрия нарушается. Это обязано значительному вкладу, связанному с коэффициентом податливости s14 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Landolt—Bornstein - Group III: Crystal and Solid State Physics. V. 29a. Second and Higher Order Constants. Berlin: Springer, 1992. P. 1-209.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 21.
Поступила в редакцию 15 апреля 2010 г.
Goldstein R.V., Gorodtsov V.A., Lisovenko D.S. Abnormal values of Poisson’s ratio of nanoparticles.
The uniaxial deformation of crystals of various systems with the negative values of Poisson’s ratio is analyzed.
Key words: auxetics; negative Poisson's ratio; crystals; anisotropic elasticity.
