АНОМАЛЬНЫЕ МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ПРОТОНА И ЭЛЕКТРОНА КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭФФЕКТ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ю. Э. Зевацкий

АНОМАЛЬНЫЕ МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ПРОТОНА И ЭЛЕКТРОНА КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭФФЕКТ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Факт аномальных значений магнитных моментов протона и электрона до самого последнего времени играет в построении квантовых моделей важную роль. Общеизвестно, что рассматривая аномалию магнитного момента электрона как объективное явление, Швингер заложил основы релятивистской квантовой электродинамики [1]. Используя экспериментальные значения магнитного момента электрона при аналитическом решении релятивистского уравнения Дирака в работе [2] рассчитан с высокой точностью сдвиг Лэмба для некоторых переходов в спектрах водородоподобных ионов.

Наличие отклонений экспериментальных значений магнитных моментов протона и электрона от теоретических значений, предсказанных теорией Дирака, в настоящей работе предлагается рассматривать как следствие наличия угловых моментов у частиц в основных (самых низколежащих) состояниях. Косвенно об этом упоминал еще Борн [3], классифицируя отсутствие аддитивности при расчете момента ядра дейтерия по моментам протона и нейтрона как отсутствие чистого S-состояния против ожидаемого.

Рассматривая элементарную частицу как материальную точку с радиус-вектором г и импульсом Р, особого внимания заслуживает величина их скалярного произведения. Учитывая статистический характер в определении этих величин и вводя традиционное понятие среднего значения [4], можно записать

(г, Р) = (гср> Рср) + (Дт, ДР) (1)

где гср и Рср - вектора средних значений координаты и импульса соответственно. Квадрат второго члена суммы в правой части равенства (1) связан с произведением дисперсий координат и импульсов очевидным соотношением

На основе отношения неопределенностей Гейзенберга предложена бивекторная модель основного (гауссова) состояния элементарной частицы. Предложена новая трактовка наблюдаемой физической величины. Показано, что учет релятивисткой массы приводит к появлению дополнительного (углового) момента импульса у частиц в основном состоянии. Проведен расчет аномальных значений магнитных моментов протона и электрона, достигнуто приемлемое соответствие экспериментальным данным. Предложен иной подход к определению взаимосвязи спина, углового и полного моментов элементарной частицы.

Ог,БР ) = Бг2 хОР2 - Ог,БР ] (2)

По критерию устойчивости в среднем положении допустимо равенство

Ог, БРI2 = 0 (3)

Рассматривая стационарное движение частицы в полярных координатах, требуем, чтобы позиционная координата г2 была постоянной [5]. Это достигается при условии

(Гср, Рср) = 0 (4)

Согласно соотношению неопределенностей в формулировке Гейзенберга [4]

Бг2 хОР2 з й)/ (5)

причем равенство соблюдается в состоянии минимальной неопределенности, так называемом гауссовом. Таким образом, в стационарном гауссовом состоянии частицы имеет место следующее равенство:

Г, Р ) = >/ (6)

Здесь и в дальнейшем будут использоваться атомные единицы [6]. Тот факт, что вследствие принципа неопределенности частица в покое, в отсутствие взаимодействий обладает ненулевыми импульсом и координатой указывает, что эти величины нельзя рассматривать в виде обычных векторов в трехмерном эвклидовом пространстве. Иначе говоря, в квантовом рассмотрении для определения координаты и импульса недостаточно трех чисел, соответственно. Ниже приводится развитие этого положения, полагая импульсы и координаты бивекторами. В контексте данной статьи бивектор определен как пара векторов, имеющих общее начало в начале координат. При этом, любой из них может быть получен из второго ортогональным преобразованием координат. Следовательно, нормы указанной пары векторов по правилам эвклидовых пространств равны между собой. Норма бивектора при-

нимается равной норме составляющих его векторов. Далее предполагается, что существует некоторая неподвижная ось, проходящая через начало координат и вектор угловой скорости направленный вдоль неё таким образом, что

Р - mW ,г ] (7)

где т - масса частицы, и

^ ,W )=№2 (8)

Подставляя (7) в (6), а также используя (8), получим 2 2 2 2 г т2 1

т2 ^, Г.г])= т2И 2 Г, г]2 - ^ (д)

Это равенство свидетельствует сразу о трех фактах. Во-первых, следствием принципа неопределенности является невозможность выбора неподвижной системы координат с неподвижной в пространстве осью. Иными словами, фиксируя какое-либо направление, рассматривать квантовые явления необходимо с учетом вращения вокруг этого направления с некоторой конечной угловой скоростью. Второе - это то, что векторное произведение координаты самой на себя ни при каких условиях не обращается в нуль, что допустимо для бивекторов. Иначе говоря, скалярное произведение радиус-вектора квантовой частицы на себя в любой системе координат оказывается меньше квадрата его нормы. И последнее - неопределенность координаты по направлению (бивектор координаты) находится в плоскости, перпендикулярной выбранному фиксированному направлению.

Равенство (9) позволяет сделать некоторые предположения о характере измеряемой физической величины. Если некоторый параметр, имеющий физический смысл, может быть выражен как бивектор, то потенциально определяемой величиной этого параметра может являться скалярное произведение его самого на себя. Выражаясь в традициях копенгагенской школы, наблюдаемой физической величиной может только та, скалярное произведение которой самой на себя не обращается в нуль. Опираясь на это предположение, можно говорить, что импульс и координата частицы в стационарном гауссовом состоянии не наблюдаемы

Р,Р)= г, г )-0 (10)

несмотря на то, что нормы величин Р иг не равны нулю. В противоположность этому, момент импульса L, который определен как векторное произведение радиус-вектора на импульс частицы, наблюдаем всегда при не нулевой норме

Ь = т г, г ) (11)

(12) величина

Ь,Ь )= т2И 2г4 - -

Уравнение Эйнштейна в атомных единицах запишем следующим образом

2 ° (15)

гт о р2 с * -р еа 0

где а - постоянная Зоммерфельда (тонкой структу-

рл

гв

кинетический импульс частицы, т0

ры),

ее масса покоя. Принципиальным допущением в предлагаемой модели является определение связи между элементами равенств (14) и (15). Одним из вариантов является предложение рассматривать равными импульс, фигурирующий в левой части (14), и полный (релятивистский) импульс, стоящий в левой части (15). Выделяя константы, находим

" (16)

2 4т„2 W2 -— а4

что в точности совпадает с частотой так называемого дрожательного движения релятивистской частицы (Zitteгbewegung по Шредингеру). Энергия указанного движения по величине равна энергии массы покоя частицы. Введем обозначение А для компто-новской длины волны частицы в атомных единицах 1-7т (17)

Проводя алгебраические преобразования, получим следующее выражение для нормы момента

импульса I _

■ (18)

г,г )

14

Квадрат энергии вращения частицы существенно положительная

^ - 4 м)(13)

т. к. даже при нулевом моменте импульса (в стационарном гауссовом состоянии) не равна нулю. Это значит, что находясь на самом низшем вращательном уровне, частица обладает некоторой конечной энергией вращения, аналогично тому, как ведет себя квантовый осциллятор на нулевом колебательном уровне. Последнее обстоятельство устраняет давнее противоречие между старой квантовой теорией и закономерностями, обнаруженными во вращательных (ИК) спектрах молекул [7].

Аналогичное равенство получаем для скалярных и векторных произведений импульсов, сумма квадратов которых не обращается в нуль

р4 - р, р )2 + р, р] - т^ г, г)) (14)

е 2 0

Рассматривая скалярное произведение бивектора на себя как наблюдаемую в экспериментах величину, можно сопоставить ей полное сечение частицы при упругом рассеянии на такой же частице, получаемое в пределе нулевой кинетической энергии движения г,г )-и хз (19)

где и - безразмерный постоянный коэффициент. Основания для этого очевидны и заключаются в малости возмущения, вносимого в основное состояние частицы при взаимодействии с одноименной частицей с низкой кинетической энергией М Второе - это то, что указанное рассеяние целиком определяется нулевой фазой п0 S-рассеяния, причем полное эффективное сечение равно [8,9]

з- 4р°2 - тк™2 ь" (20)

Длина рассеяния а не зависит от энергии налетающей частицы М Третье основание базируется на том, что при столкновении одинаковых частиц сечение рассеяния определяется исключительно параметрами их строения.

Экспериментальные данные по длине рассеяния медленных протонов на протонах из работ [9-12] приведены ниже в таблице 1:

Источник арр, фм погрешность, фм

[9] - 7,784 0,030

[10] -7,7856 0,078

[11] -7,802 0,004

[12] -7,66 0,05

среднее -7,75

Таблица 1

Используя среднее значение в (20) и полагая и = 2,34х10-4в(19), получим по формуле (18) для протона

^ -1,97 (21) Указанная величина углового момента с учетом ^-фактора, равного 1, дает вклад в магнитный мо-

мент протона в размере 1,97 ядерного магнетона. Это менее чем на 9,7 % отличается от экспериментального значения 1,792847337 [13].

Данные по электрон-электронному рассеянию в литературе приводятся в виде зависимости дифференциальных сечений от кинетических энергий электронов. В этом случае длины рассеяния могут быть получены путем экстраполяции по методу эффективного радиуса [9,14]. Переход от дифференциального сечения к нулевой фазе рассеяния п0 рассчитывали в приближении рассеяния барьером ку-лоновского поля [9]. В таблице 2 приводятся результаты расчетов по экспериментальным данным [15-17] с указанием интервала энергий падающих электронов.

г 2Р2

■Ь2 +1 4

(26)

целое число полно-

Источник Эвв, фм интервал энергий 1/К, МэВ

[15] -186 0,47 - 1,16

[16] -150 0,6 - 1,7

[17] -160 0,6 - 1,2

среднее -165

1 1 сге . 1 1 О ./. ---+с] * = ] ( +1)

2 2 2 2 0

^ + 2 О= Ц +1) + ^ + ^ 0

Таблица 2

Подставляя это значение в (20), а затем в (19) и (18) при и = 2,34х104, получим

4 = 0,00107 (22)

что с учетом ^-фактора, равного 1 дает вклад в магнитный момент электрона 0,00107 магнетона Бора. Сравнение с экспериментально определенным значением - 0,0011596521869 [13] обнаруживает расхождение в 7,7 %.

По формулам (14) - (16) и (18) можно найти значения релятивистских коэффициентов в - отношения кинетического импульса к полному импульсу частицы, при которых расчетные значения угловых моментов будут соответствовать экспериментальным. 4

V14 + 0,25 (23)

При подстановке значений моментов из [13], получим

Ь = 0,00232 (24)

для электрона и

Ь, = 0,963 (25)

для протона. Такое существенное отличие доли кинетического импульса протона от аналогичной доли у электрона может быть истолковано с помощью концепции Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии [18] следующим образом. Рассматривая импульсы и моменты в основных состояниях частиц как результат скрытых движений по циклическим координатам, иначе говоря, в квантовой терминологии, исключая степень свободы частицы, связанную со спином, мы получим наличие потенциального поля, весьма существенного в случае протона и незначительного в случае электрона. Радиус действия сил указанного поля порядка комптоновской длины волны частицы, обсуждение характера данного поля выходит за рамки настоящей статьи.

Последнее замечание касается еще одного вывода из формулы (6). При наличии у частицы не нулевого момента импульса в стационарном гауссовом состоянии имеет место следующее соотношение, вытекающее из векторных правил

Вводя, согласно Дираку,} го момента, имеем

ж. 10 т 2 1 г! + — = Ь + —

Г 20 4 (27)

Отсюда непосредственно вытекает закон квантования для оператора квадрата углового момента частицы

ь2 = °

- ■" ' (28)

Вводя для состояний, в которых не достигается минимальная неопределенность [4], спиновое целое число э, выражение (27) преобразуется к виду

" 1 О2

(29)

где I - целое число углового момента, б = 0 для гауссовых состояний. Полученное равенство равносильно общепринятому закону о сложении квадратов операторов моментов, выраженному через собственные значения операторов

] ] + 1) = 1( + 1)+5 ( + 1) (30)

Таким образом, связывая величину спина частицы со скалярным произведением импульса и координаты в гауссовом состоянии частицы, получены достоверные соотношения, связывающие квадраты полного, углового и спинового моментов.

Выводы

Допускается рассматривать спин не только как оператор в виде матриц Паули, но и как скалярное произведение импульса и координаты частицы в стационарном гауссовом состоянии. Это допущение не идет в разрез с рядом экспериментальных фактов и с некоторыми положениями квантовой теории. Преимущество данного предложения заключается в наглядности правила квантования углового момента, при этом нет нужды определять норму углового момента как л/1(1+1) при максимальном значении I - его проекции на пространственную ось.

Аномальные значения магнитных моментов электрона и протона можно рассматривать как проявление угловых моментов в основных состояниях, связанных со спином исключительно релятивистским эффектом изменения массы.

Для физических величин, представимых в виде бивекторов, предлагается ввести понятие наблюдаемого значения. Численно это значение равно квадратному корню из скалярного произведения величины на себя. Вследствие принципа неопределенности это значение далеко не всегда в точности равно норме. Равенство имеет место всегда в пределе - -- 0.

Показано, что невозможно выбрать не вращающуюся систему отсчета с неподвижной в пространстве осью при описании состояний квантовой частицы. Величина частоты вращения системы равна частоте дрожательного движения (Zitterbewegung).

К очевидному недостатку предлагаемой модели стоит отнести то, что в ней подразумевается наличие у частицы некоторой гипотетической массы покоя т0, которой она обладала бы в пределе в — 0. Для электрона эта гипотетическая масса покоя сравнима с наблюдаемой и составляет 0,999997 атомных единиц массы. Что касается протона, то ему следует приписать массу покоя

в 3,72 раза ниже наблюдаемой, т. е. примерно 493 а. е. м. К сожалению, проверить данное положение в настоящее время автору не представляется возможным.

Точность метода планируется увеличить, путем установления более строгой связи между величинами, фигурирующими в (14) и (15), т. е. между наблюдаемыми и релятивистскими значениями импульсов. Кроме того, в качестве наблюдаемой величины (г, г) можно предложить использовать какой-либо другой экспериментальный параметр, связанный с линейными размерами частицы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Рамзей Н. Молекулярные пучки. М.: ИЛ, 1960. С. 229.

[2] А. В. Андреев // Оптика и спектроскопия, 2004. 96. № 5. С. 711-715.

[3] Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1965. С. 244.

[4] А. С. Холево Статистическая структура квантовой теории. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. С. 14, 33, 41.

[5] Ф. Р. Гантмахер Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2002. С. 249.

[6] В. А. Фок Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. С. 193.

[7]Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. М.: ИЛ, 1949. С. 56.

[8] Мак-Даниель И. Процессы столкновений в ионизированных газах. М.: Мир, 1967. С. 115.

[9] Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969. С. 50, 51, 60, 279, 286.

[10] Brolley J.E. // Aust. J. Phys., 1969. Vol. 22. P.

332.

[11] Howell C.R. // AIP Conf. Proc. (Application of Accelerators in Research and Industry: 17-th Int. Conference), 2003. № 680. P. 261.

[12] Jackson J.D., Blatt J.M. // Rev. Mod. Phys., 1950. Vol. 77. № 22. P. 109.

[13]Mohr P.J., Taylor B.N. // Physics Today, 2003. № 8. BG. 9,10.

[14] Хастед Дж. Физика атомных столкновений. М.: Мир, 1965. С. 87.

[15] Page L.A., Woodward W.M. // Phys. Rev., 1950. Vol. 79. № 1. Р. 228.

[16]Page L.A. // Phys. Rev., 1951. Vol. 81. № 6. Р. 1063.

[17]Ashk/n A., Page L.A., Woodward W.M. // Phys. Rev., 1954. Vol. 94. № 2. Р. 360.

[18] Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 243.