Научная статья на тему 'ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ'

ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
35
12
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Зевацкий Юрий Эдуардович

В эвклидовом тетрамерном пространстве получены уравнения, согласующиеся с кинематическими релятивистскими соотношениями и уравнениями электродинамики. При переходе к унитарному тетрамерному пространству получены перестановочные отношения Борна - Йордана.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ»

УДК537.56.561

Ю. Э. Зевацкий

Посвящается Генриху Рудольфу Герцу, к 150-летию со дня рождения

ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

В эвклидовом тетрамерном пространстве получены уравнения, согласующиеся с кинематическими релятивистскими соотношениями и уравнениями электродинамики. При переходе к унитарному тетра-мерному пространству получены перестановочные отношения Борна - Йордана.

Сформированная в прошлом веке релятивистская квантовая теория методически разрабатывалась из положений квантовой (волновой или матричной) механики. Критерием применимости уравнений или операторов традиционно являлась ковариантность относительно лоренцовых преобразований [1]. Таким образом, была установлена приемлемость уравнений Дирака и Максвелла в форме Майорана [2], 5-матрицы Фейнмана - Дайсона [3], а также ряд других. Многочисленные эксперименты подтвердили большинство положений как квантовой электродинамики (КЭД), так и квантовой теории поля [4,5]. Тем не менее, бесспорная справедливость основ релятивистской квантовой теории не всегда приводит к столь же успешному применению в практике физико-химических исследований [6]. Причина, как представляется, кроется не в недостатке вычислительных возможностей, а в некоторой перегруженности фундаментальных уравнений (например, релятивистского гамильтониана [7]), что исключает аналитические решения без применения приближений [8]. Благодаря трудам Паули, Дирака, Швин-гера и их последователей ни у кого не вызывает сомнений наличие глубокой связи между квантовыми явлениями и релятивистскими эффектами. Поэтому представляется целесообразным сформулировать решенную задачу иным образом. Не содержится ли в положениях специальной теории относительности (СТО) информации о возможной дискретности наблюдаемых величин? Уточнение данного вопроса могло бы привести к упрощению аппарата релятивистской квантовой теории. В свою очередь, это позволило бы избавиться от ряда приближений (к примеру, изобилующих в квантовой химии [9]), которые не позволяют в должной мере воспользоваться достижениями квантово-механического описания.

Вообще, для достижения лоренц-инвариантности не обязательно вводить мнимые оси. Для доказательства этого утверждения рассмотрим ортонормирован-ный базис в тетрамерном эвклидовом пространстве. Положение частицы определено четырьмя линейно независимыми координатами:

э = w + г (х, у, = w + х + у + ъ, (1)

три из которых пространственные (x, y, z), а w -скрытая, обладающая свойствами местного времени частицы. Опыты Майкельсона и Морли, нашедшие свое отражение в постулате о постоянстве скорости света могут быть сформулированы в виде принципа постоянства перемены положения (модуля полного дифференциала координаты)

ds2 = dw2 + dx2 + dy2 + dz2 = const. (2)

Указанный скаляр (квадрат перемены положения) принимается инвариантом для любой из частиц, рассматриваемых в указанной системе отсчёта. Равномерное перемещение частицы может быть определено как постоянство перемены положения (вектора ds). Выбор системы отсчета, связанный с равномерно перемещающейся материальной точкой, представляет собой ортогональное преобразование осей координат WXYZв такие WXYZ', что ось W'коллинеарна вектору dS. Вводя импульсы, сопряженные координатам как величины, пропорциональные их переменам (полным дифференциалам), в силу постулата об эквивалентности равномерно перемещающихся систем отсчета можно записать

P2 = P2

(3)

где Р - полный (релятивистский) импульс частицы, Р0 - скрытый импульс, ортогональный всем трём компонентам кинетического импульса Рх, Ру и Р2. Очевидно, что выражение (3) соответствует основному релятивистскому уравнению

E 2

= P2 + Py2 + P2 + (mc )2,

(4)

где т - инвариантная масса частицы, если ее полную энергию Е принять равной Рс, а Р0 = тс. Из постулата о постоянстве инвариантной массы следует, что

P0 = const.

(5)

В этом случае координата ш, сопряжённая с импульсом Р0 является циклической, что справедливо в отсутствие взаимодействий. Уравнения (1)-(3) и (5) полностью согласуются с кинематическими уравнениями, вытекающими из СТО. Следует подчеркнуть,

z

2

c

что метрический тензор пространства, где соблюдаются указанные уравнения, соответствует символу Кро-некера

= ■ (6)

Для установления первых интегралов f в данном базисе достаточно, чтобы было соблюдено равенство:

*Р0 + *РХ + £Р + = 0 ■ (7)

ох оу 02

Один из первых интегралов очевиден. Для этого можно воспользоваться утверждением Ланцоша [10], сделанным на основании вариационных принципов в применении к релятивистской механике. «Наличие скаляра потенциальной энергии эквивалентно увеличению массы частицы на величину потенциальной энергии, отнесенной к квадрату скорости света». Таким образом, если и - потенциальная энергия частицы, то выражение (3) преобразуется к виду

и 2

Рх2 + Ру2 + Р2 + 2 ти + — = /,

у с

(8)

что в классическом пределе (с - достаточно велико) соответствует закону сохранения энергии. Уравнение (3) дает еще одно важное следствие. Полный дифференциал релятивистского импульса сР, отнесенный к модулю перемены положения Сб (являющегося инвариантом), связан с самим значением Р линейным косо-симметричным оператором Ж <Р

= ЖР'

<¿5

где матрица оператора Ж имеет вид:

Ж =

0 - № 10 - № 20 - №

10 0 —№ 21 —№

20 № 21 0 —№

30 № 31 № 32 0

30

31

32

(9)

(10)

В применении к задаче электродинамики три пространственные компоненты указанной величины в (9) пропорциональны силе, действующей на заряд е в электромагнитном поле

^ СР

у

-=е е-

Сг(X, у, 2)

Н

(11)

СР^

Ся СЯ Ся

где Е и Н - экспериментально наблюдаемые значения напряженностей электрического и магнитного полей, сСи - модуль дифференциала по скрытой координате. Учитывая пропорциональность импульсов переменам по сопряженной координате, выражения для матричных элементов оператора Ж имеют следующий вид:

10

21 ■

еЕх

сРо

еИ

: 20

_еЕу сРо

сР0

еИу

№ 31 =-У

0

сР0

30

32

.еЕ.

сР0 еИ

(12)

сР0

0

где Po - модуль импульса Р0. Условие существования оператора, обратного Ж состоит в неравенстве нулю определителя матрицы оператора Ж

ёй Ж = -

'' (Е, Н)2

с2 р2

ф 0'

(13)

При соблюдении данного условия имеет место следующее равенство

р =

сР

-0 ^Р,

г(Е, Н ) Л

(14)

где Ш - линейный кососимметричный оператор, матричные элементы которого имеют вид:

'10

= НX

= -Е,

'20 = Ну

= Е„

30

= Н

(15)

= -Е„

0 21 =-Е2 0 31 = Еу 0 32'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Согласно предположению о существовании тэ-травектора A(A0, А, Ay, Az) электромагнитного поля [11], выражение (14) можно представить в следующем виде

ь

(Е. Н)

СРо

^ .V, А

С?

ср0/

/ сЪ

д/

/ дw

Ао

сР

]

сР

сР

'¿к

'дх

'С-

ду

/ сЪ

д /д2

А,

.(16)

Знаком «набла» обозначен тетрамерный дифференциальный оператор

„ д . д . д . д, , (17)

У=—И + —1 +—3 + —к' ^ '

дw дх ду д2

где И, ¡, j и к - единичные орты осей ш, х, у и 7. соответственно. Компоненты вектора А связаны с напря-женностями Е и Н следующими из (14)-(16) соотношениями

Н (, Н,, Н

У'

,) = го? (Аг (Ах, Ау, Аг))

(18)

Е

(Ех. Еу,Е ) = ёга<*А Аг (Ах' АУ'А)

Отличие от общепринятой записи [11] заключается в знаке + перед градиентом скалярного потенциала тэтравектора А. Однако, с учетом калибровочной инвариантности уравнений электромагнитного поля, это различие не является противоречием. Принципиально важным следствием из уравнения (16) является факт ортогональности полного импульса и указанного дифференциального оператора (17)

УР = аълг (Рх, Ру, Р2) + = 0. (19)

Данное равенство представляет собой не что иное, как условие непрерывности потока [11]. Таким образом, предложенная динамическая модель СТО в тетрамерном эвклидовом пространстве в ряде принципиальных моментов согласуется с представлением в виде пространства-времени Минковского.

Для поиска квантовых условий в базисе (1) целесообразно рассмотреть линейный оператор И такой, что

в = ЕР. (20)

Нетрудно показать, что матрица указанного оператора имеет вид

Е =-

' а -^10 -^20 - ¿30 '

1 ¿10 а - ¿21 -¿31

Р2 ¿20 ¿21 а - ¿32

ч ¿30 ¿31 ¿32 а )

(21)

где Q - скалярное произведение (5,Р), а Ц - определители, составленные из циклических перестановок компонент координат и импульсов, являющиеся со-

гласно условию (7) первыми интегралами, если импульсы явно не зависят от координат

L0 = xP0 - wPx ¿20 = Ур0 - wPy ¿30 = zP0 - wPz .(22)

¿21 = ypx - xPy L3\ = zPx - xPz ¿32 = zPy - ypz

При вещественных и хотя бы одном ненулевом Lj (далее это условие называется как общий случай) найдутся корни характеристического многочлена оператора И - комплексные. Это является необходимым и достаточным условием несамосопряженности оператора И. Сам по себе этот факт в эвклидовых пространствах ничего не несет, но позволяет обосновать использование унитарного пространства вместо эвклидова в целях нахождения квантовых условий. Следует отметить, что ниже эта замена проводится исключительно в целях удобства. Исследование оператора И в эвклидовом пространстве точно так же приводит к принципу, носящему имя Вернера Гейзенберга. Однако необходимость рассматривать бивектора вместо векторов и матрицы 2x2 вместо скалярных собственных чисел лишает этот путь некоторой наглядности.

Далее приводится не везде строгое рассуждение. Для несамосопряженного (неэрмитова) оператора И в унитарном пространстве в общем случае

(EP,P) ф (P,EP), (23)

в эвклидовых пространствах равенство имеет место всегда вне зависимости от вида оператора. Кроме того, необходимым и достаточным условием несамосопряженности оператора в унитарном пространстве является наличие мнимой составляющей

Im(EP,P) ф 0. (24)

Можно показать, что в унитарном пространстве для неэрмитова оператора в общем случае соблюдается

Re [(EP, P) - (P, EP)] = 0, (25)

что по форме совпадает с перестановочными отношениями Борна - Йордана

(s, P) - (P, s) = i ■ const. (26)

Комплексную ось в тетрамерном унитарном пространстве, следуя Минковскому, можно определить осью w. Выбор скрытой оси в качестве комплексной целиком оправдан, т.к. нет очевидных оснований применять мнимые величины для пространственных координат. По правилу скалярного произведения в унитарном пространстве коммутатор (26) преобразуется к виду (черта над символом обозначает комплексное сопряжение)

(s,P) - (P,S) = 2i(Pr - wRPQI), (27)

где wR и w/ - вещественная и мнимая компоненты координаты w, P0R и P0/ - вещественная и мнимая компоненты импульса Р0. Следует обратить внимание, что в пространстве Минковского, где нет вещественной компоненты по временной координате, перестановочные отношения будут тождественны нулю. Утверждение того, что коммутатор (27) является интегралом движения, имеет следующее обоснование. Ориентация базиса вещественной и мнимой осей относительно координаты и импульса может быть произвольной. Таким образом, вещественные и мнимые компоненты векторов w и Р0 должны быть инвариантны относи-

тельно групп вращений координат, что влечет за собой постоянство определителя в правой части (27). Установленный факт свидетельствует об отсутствии линейной независимости между вещественной и мнимой осями скрытой координаты ш. Кроме того, для коммутатора (27) не выполняются условия Коши - Ри-мана в теории функций комплексной переменной. Следовательно функция вида (27) не аналитическая. Это означает, что операция дифференцирования по скрытой координате не определена.

Для соблюдения уравнения (20) в унитарном пространстве вид оператора И будет изменен в связи с тем, что квадрат релятивистского импульса как инвариант в уравнении (3) будет представлять собой произведение сопряженных величин

Е =

(P,P)

Q - ¿10 —¿20 - ¿30

¿10 Q - ¿21 - ¿31

¿20 ¿21 Q - ¿32

¿30 ¿31 ¿32 Q

Л

(28)

Опираясь на теорему о единственности сопряженного оператора, можно сделать следующее предположение. Частицы, у которых оператор преобразования импульса в координату из (28) неэрмитов являются фермионами, а у которых оператор из (28) эрмитов - бозонами. Следует отметить, эрмитовость оператора И приводит к равенству нулю определителя в правой части (27). Это может быть достигнуто двумя путями. Равенством по модулю нулю Р0 (фотон вне взаимодействий) и линейной зависимостью ш и Р0 (нейтральные частицы).

Предлагаемая схема вывода квантовых условий из СТО является развитием концепции Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии [12]. В настоящем виде эта концепция рассматривается более широко. Вне полей нет квантов. Скрытые координаты и импульсы либо чисто мнимые (пространство Минков-ского), либо строго вещественные (эвклидово пространство). Оператор преобразования импульса в координату из (20) всегда самосопряженный. Наблюдаемые величины могут принимать непрерывный спектр значений. В присутствии прочих тел потенциальная энергия реализуется как кинетическая по скрытой координате. Вещественное в явном виде обратимо заменяет вещественное в скрытой форме. Таким образом, и импульс, и координата (уже не всегда циклическая) из мнимых преобразуются в комплексные. Оператор И может быть неэрмитовым, перестановочные отношения имеют место.

Возможно, приведенная формулировка квантовых условий найдет свое место в трактовке ЭПР-парадоксов. Свободные частицы вне полей (вне измерений) не подчиняются квантовым законам. Для них сохраняются классические интегралы движения. Сам по себе процесс измерения - есть взаимодействие. Следовательно, частица попадает в действие поля. В поле измерительного прибора возникают дополнительные квантовые условия, что не отменяет соблюдение законов сохранения.

Литература

1. Бьёркен, Дж. Д. Релятивистская квантовая теория / Дж. Д. Бьёркен, С. Д. Дрелл. - М. : Мир, 1978. Т. 1, - 296с.

1

2. Ахиезер, А. И. Квантовая электродинамика / А. И.

Ахиезер, В. Б. Берестецкий - М. : Наука, 1981. -432с.

3. Уравнения квантовой электродинамики / И. В. По-

лубаринов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2003. - Т. 34. - с. 737.

4. Тейлор, Б. Фундаментальные константы и кванто-

вая электродинамика / Б. Тейлор, В. Паркер, Д. Лангерберг. - М. : Атомиздат, 1972. - 324с.

5. Фундаментальные физические константы: роль в

физике и метрологии и рекомендованные значения / С.Г. Каршенбойм // Успехи физических наук. - 2005. Т. 175. - с. 271.

6. Квантово-химические модели / Попл Дж.А. // Успехи физических наук. - 2002. - Т. 172. - с. 349.

7. Кемпфер, Ф. Основные положения квантовой меха-

ники. / Ф. Кемпфер. - М. : Мир, 392 с.

8. Унитарные преобразования в релятивистской кван-

товой теории поля / А.В Шебеко, М. И. Широков // Физика элементарных частиц и атомного ядра-2001. Т. 32. - С. 31.

9. Майер, И. Избранные главы квантовой химии. / И.

Майер. - М. : БИНОМ, 2006. - 384с.

10. Ланцош, К. Вариационные принципы механики. / К.

Ланцош. - М. : Мир, 1965. - 408с.

11. Ландау, Л.Д., Е.М. Теоретическая физика. Т. II.

Теория поля. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1988. - 512с.

12. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой

связи. / Г. Герц. - М. : Изд-во АН СССР, 1959. 387с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.