ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК537.56.561

Ю. Э. Зевацкий

Посвящается Генриху Рудольфу Герцу, к 150-летию со дня рождения

ВЫВОД КВАНТОВЫХ УСЛОВИЙ ИЗ ПОЛОЖЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

В эвклидовом тетрамерном пространстве получены уравнения, согласующиеся с кинематическими релятивистскими соотношениями и уравнениями электродинамики. При переходе к унитарному тетра-мерному пространству получены перестановочные отношения Борна - Йордана.

Сформированная в прошлом веке релятивистская квантовая теория методически разрабатывалась из положений квантовой (волновой или матричной) механики. Критерием применимости уравнений или операторов традиционно являлась ковариантность относительно лоренцовых преобразований [1]. Таким образом, была установлена приемлемость уравнений Дирака и Максвелла в форме Майорана [2], 5-матрицы Фейнмана - Дайсона [3], а также ряд других. Многочисленные эксперименты подтвердили большинство положений как квантовой электродинамики (КЭД), так и квантовой теории поля [4,5]. Тем не менее, бесспорная справедливость основ релятивистской квантовой теории не всегда приводит к столь же успешному применению в практике физико-химических исследований [6]. Причина, как представляется, кроется не в недостатке вычислительных возможностей, а в некоторой перегруженности фундаментальных уравнений (например, релятивистского гамильтониана [7]), что исключает аналитические решения без применения приближений [8]. Благодаря трудам Паули, Дирака, Швин-гера и их последователей ни у кого не вызывает сомнений наличие глубокой связи между квантовыми явлениями и релятивистскими эффектами. Поэтому представляется целесообразным сформулировать решенную задачу иным образом. Не содержится ли в положениях специальной теории относительности (СТО) информации о возможной дискретности наблюдаемых величин? Уточнение данного вопроса могло бы привести к упрощению аппарата релятивистской квантовой теории. В свою очередь, это позволило бы избавиться от ряда приближений (к примеру, изобилующих в квантовой химии [9]), которые не позволяют в должной мере воспользоваться достижениями квантово-механического описания.

Вообще, для достижения лоренц-инвариантности не обязательно вводить мнимые оси. Для доказательства этого утверждения рассмотрим ортонормирован-ный базис в тетрамерном эвклидовом пространстве. Положение частицы определено четырьмя линейно независимыми координатами:

э = w + г (х, у, = w + х + у + ъ, (1)

три из которых пространственные (x, y, z), а w -скрытая, обладающая свойствами местного времени частицы. Опыты Майкельсона и Морли, нашедшие свое отражение в постулате о постоянстве скорости света могут быть сформулированы в виде принципа постоянства перемены положения (модуля полного дифференциала координаты)

ds2 = dw2 + dx2 + dy2 + dz2 = const. (2)

Указанный скаляр (квадрат перемены положения) принимается инвариантом для любой из частиц, рассматриваемых в указанной системе отсчёта. Равномерное перемещение частицы может быть определено как постоянство перемены положения (вектора ds). Выбор системы отсчета, связанный с равномерно перемещающейся материальной точкой, представляет собой ортогональное преобразование осей координат WXYZв такие WXYZ', что ось W'коллинеарна вектору dS. Вводя импульсы, сопряженные координатам как величины, пропорциональные их переменам (полным дифференциалам), в силу постулата об эквивалентности равномерно перемещающихся систем отсчета можно записать

P2 = P2

(3)

где Р - полный (релятивистский) импульс частицы, Р0 - скрытый импульс, ортогональный всем трём компонентам кинетического импульса Рх, Ру и Р2. Очевидно, что выражение (3) соответствует основному релятивистскому уравнению

E 2

= P2 + Py2 + P2 + (mc )2,

(4)

где т - инвариантная масса частицы, если ее полную энергию Е принять равной Рс, а Р0 = тс. Из постулата о постоянстве инвариантной массы следует, что

P0 = const.

(5)

В этом случае координата ш, сопряжённая с импульсом Р0 является циклической, что справедливо в отсутствие взаимодействий. Уравнения (1)-(3) и (5) полностью согласуются с кинематическими уравнениями, вытекающими из СТО. Следует подчеркнуть,

z

2

c

что метрический тензор пространства, где соблюдаются указанные уравнения, соответствует символу Кро-некера

= ■ (6)

Для установления первых интегралов f в данном базисе достаточно, чтобы было соблюдено равенство:

*Р0 + *РХ + £Р + = 0 ■ (7)

ох оу 02

Один из первых интегралов очевиден. Для этого можно воспользоваться утверждением Ланцоша [10], сделанным на основании вариационных принципов в применении к релятивистской механике. «Наличие скаляра потенциальной энергии эквивалентно увеличению массы частицы на величину потенциальной энергии, отнесенной к квадрату скорости света». Таким образом, если и - потенциальная энергия частицы, то выражение (3) преобразуется к виду

и 2

Рх2 + Ру2 + Р2 + 2 ти + — = /,

у с

(8)

что в классическом пределе (с - достаточно велико) соответствует закону сохранения энергии. Уравнение (3) дает еще одно важное следствие. Полный дифференциал релятивистского импульса сР, отнесенный к модулю перемены положения Сб (являющегося инвариантом), связан с самим значением Р линейным косо-симметричным оператором Ж <Р

= ЖР'

<¿5

где матрица оператора Ж имеет вид:

Ж =

0 - № 10 - № 20 - №

10 0 —№ 21 —№

20 № 21 0 —№

30 № 31 № 32 0

30

31

32

(9)

(10)

В применении к задаче электродинамики три пространственные компоненты указанной величины в (9) пропорциональны силе, действующей на заряд е в электромагнитном поле

^ СР

у

-=е е-

Сг(X, у, 2)

Н

(11)

СР^

Ся СЯ Ся

где Е и Н - экспериментально наблюдаемые значения напряженностей электрического и магнитного полей, сСи - модуль дифференциала по скрытой координате. Учитывая пропорциональность импульсов переменам по сопряженной координате, выражения для матричных элементов оператора Ж имеют следующий вид:

10

21 ■

еЕх

сРо

еИ

: 20

_еЕу сРо

сР0

еИу

№ 31 =-У

0

сР0

30

32

.еЕ.

сР0 еИ

(12)

сР0

0

где Po - модуль импульса Р0. Условие существования оператора, обратного Ж состоит в неравенстве нулю определителя матрицы оператора Ж

ёй Ж = -

'' (Е, Н)2

с2 р2

ф 0'

(13)

При соблюдении данного условия имеет место следующее равенство

р =

сР

-0 ^Р,

г(Е, Н ) Л

(14)

где Ш - линейный кососимметричный оператор, матричные элементы которого имеют вид:

'10

= НX

= -Е,

'20 = Ну

= Е„

30

= Н

(15)

= -Е„

0 21 =-Е2 0 31 = Еу 0 32'

Согласно предположению о существовании тэ-травектора A(A0, А, Ay, Az) электромагнитного поля [11], выражение (14) можно представить в следующем виде

ь

(Е. Н)

СРо

^ .V, А

С?

ср0/

/ сЪ

д/

/ дw

Ао

сР

]

сР

сР

'¿к

'дх

'С-

ду

/ сЪ

д /д2

А,

.(16)

Знаком «набла» обозначен тетрамерный дифференциальный оператор

„ д . д . д . д, , (17)

У=—И + —1 +—3 + —к' ^ '

дw дх ду д2

где И, ¡, j и к - единичные орты осей ш, х, у и 7. соответственно. Компоненты вектора А связаны с напря-женностями Е и Н следующими из (14)-(16) соотношениями

Н (, Н,, Н

У'

,) = го? (Аг (Ах, Ау, Аг))

(18)

Е

(Ех. Еу,Е ) = ёга<*А Аг (Ах' АУ'А)

Отличие от общепринятой записи [11] заключается в знаке + перед градиентом скалярного потенциала тэтравектора А. Однако, с учетом калибровочной инвариантности уравнений электромагнитного поля, это различие не является противоречием. Принципиально важным следствием из уравнения (16) является факт ортогональности полного импульса и указанного дифференциального оператора (17)

УР = аълг (Рх, Ру, Р2) + = 0. (19)

Данное равенство представляет собой не что иное, как условие непрерывности потока [11]. Таким образом, предложенная динамическая модель СТО в тетрамерном эвклидовом пространстве в ряде принципиальных моментов согласуется с представлением в виде пространства-времени Минковского.

Для поиска квантовых условий в базисе (1) целесообразно рассмотреть линейный оператор И такой, что

в = ЕР. (20)

Нетрудно показать, что матрица указанного оператора имеет вид

Е =-

' а -^10 -^20 - ¿30 '

1 ¿10 а - ¿21 -¿31

Р2 ¿20 ¿21 а - ¿32

ч ¿30 ¿31 ¿32 а )

(21)

где Q - скалярное произведение (5,Р), а Ц - определители, составленные из циклических перестановок компонент координат и импульсов, являющиеся со-

гласно условию (7) первыми интегралами, если импульсы явно не зависят от координат

L0 = xP0 - wPx ¿20 = Ур0 - wPy ¿30 = zP0 - wPz .(22)

¿21 = ypx - xPy L3\ = zPx - xPz ¿32 = zPy - ypz

При вещественных и хотя бы одном ненулевом Lj (далее это условие называется как общий случай) найдутся корни характеристического многочлена оператора И - комплексные. Это является необходимым и достаточным условием несамосопряженности оператора И. Сам по себе этот факт в эвклидовых пространствах ничего не несет, но позволяет обосновать использование унитарного пространства вместо эвклидова в целях нахождения квантовых условий. Следует отметить, что ниже эта замена проводится исключительно в целях удобства. Исследование оператора И в эвклидовом пространстве точно так же приводит к принципу, носящему имя Вернера Гейзенберга. Однако необходимость рассматривать бивектора вместо векторов и матрицы 2x2 вместо скалярных собственных чисел лишает этот путь некоторой наглядности.

Далее приводится не везде строгое рассуждение. Для несамосопряженного (неэрмитова) оператора И в унитарном пространстве в общем случае

(EP,P) ф (P,EP), (23)

в эвклидовых пространствах равенство имеет место всегда вне зависимости от вида оператора. Кроме того, необходимым и достаточным условием несамосопряженности оператора в унитарном пространстве является наличие мнимой составляющей

Im(EP,P) ф 0. (24)

Можно показать, что в унитарном пространстве для неэрмитова оператора в общем случае соблюдается

Re [(EP, P) - (P, EP)] = 0, (25)

что по форме совпадает с перестановочными отношениями Борна - Йордана

(s, P) - (P, s) = i ■ const. (26)

Комплексную ось в тетрамерном унитарном пространстве, следуя Минковскому, можно определить осью w. Выбор скрытой оси в качестве комплексной целиком оправдан, т.к. нет очевидных оснований применять мнимые величины для пространственных координат. По правилу скалярного произведения в унитарном пространстве коммутатор (26) преобразуется к виду (черта над символом обозначает комплексное сопряжение)

(s,P) - (P,S) = 2i(Pr - wRPQI), (27)

где wR и w/ - вещественная и мнимая компоненты координаты w, P0R и P0/ - вещественная и мнимая компоненты импульса Р0. Следует обратить внимание, что в пространстве Минковского, где нет вещественной компоненты по временной координате, перестановочные отношения будут тождественны нулю. Утверждение того, что коммутатор (27) является интегралом движения, имеет следующее обоснование. Ориентация базиса вещественной и мнимой осей относительно координаты и импульса может быть произвольной. Таким образом, вещественные и мнимые компоненты векторов w и Р0 должны быть инвариантны относи-

тельно групп вращений координат, что влечет за собой постоянство определителя в правой части (27). Установленный факт свидетельствует об отсутствии линейной независимости между вещественной и мнимой осями скрытой координаты ш. Кроме того, для коммутатора (27) не выполняются условия Коши - Ри-мана в теории функций комплексной переменной. Следовательно функция вида (27) не аналитическая. Это означает, что операция дифференцирования по скрытой координате не определена.

Для соблюдения уравнения (20) в унитарном пространстве вид оператора И будет изменен в связи с тем, что квадрат релятивистского импульса как инвариант в уравнении (3) будет представлять собой произведение сопряженных величин

Е =

(P,P)

Q - ¿10 —¿20 - ¿30

¿10 Q - ¿21 - ¿31

¿20 ¿21 Q - ¿32

¿30 ¿31 ¿32 Q

Л

(28)

Опираясь на теорему о единственности сопряженного оператора, можно сделать следующее предположение. Частицы, у которых оператор преобразования импульса в координату из (28) неэрмитов являются фермионами, а у которых оператор из (28) эрмитов - бозонами. Следует отметить, эрмитовость оператора И приводит к равенству нулю определителя в правой части (27). Это может быть достигнуто двумя путями. Равенством по модулю нулю Р0 (фотон вне взаимодействий) и линейной зависимостью ш и Р0 (нейтральные частицы).

Предлагаемая схема вывода квантовых условий из СТО является развитием концепции Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии [12]. В настоящем виде эта концепция рассматривается более широко. Вне полей нет квантов. Скрытые координаты и импульсы либо чисто мнимые (пространство Минков-ского), либо строго вещественные (эвклидово пространство). Оператор преобразования импульса в координату из (20) всегда самосопряженный. Наблюдаемые величины могут принимать непрерывный спектр значений. В присутствии прочих тел потенциальная энергия реализуется как кинетическая по скрытой координате. Вещественное в явном виде обратимо заменяет вещественное в скрытой форме. Таким образом, и импульс, и координата (уже не всегда циклическая) из мнимых преобразуются в комплексные. Оператор И может быть неэрмитовым, перестановочные отношения имеют место.

Возможно, приведенная формулировка квантовых условий найдет свое место в трактовке ЭПР-парадоксов. Свободные частицы вне полей (вне измерений) не подчиняются квантовым законам. Для них сохраняются классические интегралы движения. Сам по себе процесс измерения - есть взаимодействие. Следовательно, частица попадает в действие поля. В поле измерительного прибора возникают дополнительные квантовые условия, что не отменяет соблюдение законов сохранения.

Литература

1. Бьёркен, Дж. Д. Релятивистская квантовая теория / Дж. Д. Бьёркен, С. Д. Дрелл. - М. : Мир, 1978. Т. 1, - 296с.

1

2. Ахиезер, А. И. Квантовая электродинамика / А. И.

Ахиезер, В. Б. Берестецкий - М. : Наука, 1981. -432с.

3. Уравнения квантовой электродинамики / И. В. По-

лубаринов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2003. - Т. 34. - с. 737.

4. Тейлор, Б. Фундаментальные константы и кванто-

вая электродинамика / Б. Тейлор, В. Паркер, Д. Лангерберг. - М. : Атомиздат, 1972. - 324с.

5. Фундаментальные физические константы: роль в

физике и метрологии и рекомендованные значения / С.Г. Каршенбойм // Успехи физических наук. - 2005. Т. 175. - с. 271.

6. Квантово-химические модели / Попл Дж.А. // Успехи физических наук. - 2002. - Т. 172. - с. 349.

7. Кемпфер, Ф. Основные положения квантовой меха-

ники. / Ф. Кемпфер. - М. : Мир, 392 с.

8. Унитарные преобразования в релятивистской кван-

товой теории поля / А.В Шебеко, М. И. Широков // Физика элементарных частиц и атомного ядра-2001. Т. 32. - С. 31.

9. Майер, И. Избранные главы квантовой химии. / И.

Майер. - М. : БИНОМ, 2006. - 384с.

10. Ланцош, К. Вариационные принципы механики. / К.

Ланцош. - М. : Мир, 1965. - 408с.

11. Ландау, Л.Д., Е.М. Теоретическая физика. Т. II.

Теория поля. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1988. - 512с.

12. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой

связи. / Г. Герц. - М. : Изд-во АН СССР, 1959. 387с.