УДК 539.124.164
КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ПРОДУКТОВ /3-РАСПАДА И ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ ЭЛЕКТРОННОГО АНТИНЕЙТРИНО
Б. И. Горячев
Открытие аномальной резонансной структуры в ¡3-спектре трития (Ливермор, Троицк) интерпретируется как указание на конечное значение массы электронного антинейтрино. Предполагается, что часть нерелятивистских антинейтрино с орбитальным угловым моментом I = 1 образует кластер с ядром 3Не. Рассмотрена модель соответствующего квазистационарного состояния нейтрино и роль спин-орбитального взаимодействия в образовании такого кластера. Экспериментальные данные позволяют оценить в этом подходе массу электронного антинейтрино как т„с2 = 20 ± 5 эВ.
Наибольшие успехи в попытке измерить массу т„ электронного нейтрино (антинейтрино) получены при исследовании энергетического спектра электронов в /?-распаде трития
3Я-> 3Не + е~+ие. (1)
Распад (1) характеризуется экстремально низким энерговыделением <3 = 18.6 кэВ. В случае распада голого ядра дифференциальный энергетический спектр электронов N{E) в рамках статистического подхода теории Ферми выражается формулой
ЩЕ) = АР(г, Е)ре(Е + тес2)(Е0 - Е)[(Е0 - Е)2 - т2с4]1/2С(£, Я), (2)
где те и ре - масса и импульс электрона, Е(.£, Е) - функция Ферми. Фактор формы С(Е, Ъ) может быть выражен через приведенные матричные элементы /3-расПада и не зависит от £ и 2, если не учитывается вклад слабых мультипольных переходов. Экстраполированное значение граничной энергии спектра Ео (т.е. максимальное значение энергии электронов при ш„ = 0) равно в этом случае
Ео = $ — Е,
гес)
(3)
где Егес - энергия отдачи конечного ядра.
В реальных экспериментах тритий входит в состав молекул (например, газовые тритиевые источники содержат молекулы 3#2 и 3НН). Поэтому энергетический спектр электронов распада представляется суммой членов типа (2), каждый из которых входи т с соответствующим (расчетным) весовым фактором, причем в г-м члене Е0 заменяется величиной Ео,, уменьшенной по сравнению с (3) на значение "химического сдвига . и энергию возбуждения г-го состояния молекулы (см., например, [1]).
Полученный таким образом теоретический спектр после свертки с аппаратурной функцией отклика спектрометра дает модельный спектр, зависящий от ряда параметров. В результате фитирования экспериментального спектра находятся эти параметры, среди которых наиболее интересны "физические" параметры Е0 и ти. Здесь в настоящее время получены следующие результаты.
1. Величина Е0 может быть достаточно точно вычислена [1] и равна Е0 = 18570.4 ± 1.7 эВ. Работы, выполненные в последнем десятилетии, как правило, согласуются с этим значением в пределах экспериментальных ошибок.
2. При измерении т„ удается установить лишь верхний предел этой величины, который опустился до 2.5 эВ/с2 [2].
Следует подчеркнуть, что практически во всех работах фитирование дает отрица тельное значение гп2. Причины этого обсуждаются как самими экспериментатора м [2, 3], так и в аналитических работах [1]. По-видимому, можно считать установленным, что среди этих причин отсутствуют чисто аппаратурные факторы. Возможные неопределенности в спектре конечных молекулярных состояний также, скорей всего, не могут быть ответственны за наблюдаемые величины отрицательных значений тп^ !]. Высказывалось даже предположение, что электронные нейтрино являются тахионами и имеют поэтому мнимую массу [5].
Сам рецепт вычисления верхнего предела массы нейтрино (на данном уровне статистической значимости) не может считаться удовлетворительным, так как центральное значение тп1 имеет при этом нефизичное отрицательное значение.
Большой интерес представляет открытие в [3] и [6], отчасти подтвержденное в [7]. аномальной структуры в энергетическом спектре электронов от /3-распада трития вблп зи Ео- Эта структура проявляется как весьма слабый резонанс, ширина которого срав нима с энергетическим разрешением спектрометров. В теории /З-распада Ферми для
такой структуры нет места.
Попытка объяснить аномальную структуру сделана в работе [2], авторы которой связывают эту особенность с захватом нейтрино отрицательных энергий, образующих облако этих частиц вокруг Солнца. Таким образом авторы [2] пытаются объяснить наблюдаемое ими сезонное изменение положения экспериментального пика в энергетическом спектре электронов распада. Такое "объяснение", впрочем, не может базироваться на гипотезе, допускающей существование фона вырожденных космологических безмассовых нейтрино, так как предсказываемая плотность таких нейтрино в ~ 101'' раз меньше плотности, необходимой для появления аномалии [2].
Кроме того, для объяснения амплитуды изменения положения пика в /?-спектре необходимо постулировать "сильное" дальнодействующее взаимодействие, неизвестное современной физике [8].
Указанные трудности заставляют искать иные причины кажущегося сезонного изменения положения пика в спектре электронов. В [9] предложена модель, позволяющая в принципе объяснить такое изменение чисто аппаратурным эффектом - влиянием электрических утечек по поверхности изоляторов (высокое напряжение подается внутрь танка спектрометра с помощью высоковольтных разъемов). В этой работе, в частности, показано, что существует явная корреляция между разностью Ео—Ет, где Ет энергия, при которой в энергетическом спектре появляется аномальная особенность в данном экспериментальном сеансе, и средней относительной влажностью воздуха в течение этого сеанса. Коэффициент корреляции q между этими величинами равен q = —(0.52 ± 0.08), т.е. факт коррелированности (отличие q от нуля) можно зафиксировать на уровне достоверности, отвечающем "шести сигмам".
Если не прибегать к экзотическим гипотезам и не выходить за рамки теории ядерных реакций и распадов, можно попытаться искать объяснение аномальной структуры в /^-спектре трития, рассматривая мультипольные переходы, в которых орбитальный угловой момент лептонной пары I отличен от нуля.
Для разрешенных распадов таких, как (1), правила отбора требуют, чтобы изменение спина ядра \6J\ равнялось Ь = 0,1, а четность ядра не изменялась. Этим требованиям отвечает, в частности, значение / = 1,2 в мультипольных переходах. В [9] показано, что в рамках стандартной теории мультипольная коррекция не может приводить к формированию локальной структуры вблизи Ео■ Однако учет мультипольных переходов делает возможным подход, связанный с учетом кластеризации продуктов /3-распада. Распады (1), в которых проявляется такая кластеризация, должны описываться в рам-
ках двухчастичной кинематики. Это может приводить к формированию пика в спектре электронов /3-распада. В частности, можно рассмотреть переходы, вызванные " слабым магнетизмом", в которых нерелятивистские антинейтрино уносят орбитальным угловой момент 1и = 1. Такие переходы могут быть связаны с образованием кластера антинейтрино-ядро 3Не и появлением резонанса в энергетическом спектре электронов вблизи энергии Е0 [9].
Рассмотрим модель эффективного потенциала для нейтральной частицы, взяв в качестве начала координат центр тяжести распадающегося ядра. Решая уравнение Шредингера для радиального движения, можно получить радиальную волновую функ цию и(г) и оценить энергию квазистационарного уровня в эффективном потенциале (если уровень существует). Будем учитывать центробежный потенциал К(^) и спин-орбитальное взаимодействие.
Центробежная потенциальная энергия точечной частицы с массой т„ и I = 1 может быть записана как
К(г) = тУ ■ г~\ (4)
где безразмерная переменная г = г/Ас„, а АС1/ = Ь/т^с - комптоновская длина нейтрино.
Для частицы с массой т, спином и орбитальным моментом 1Р в поле, описываемое скалярным потенциалом У(г), спин-орбитальное взаимодействие может быть записано следующим образом:
Чтобы определить величину (зр1р), которая в рассматриваемом случае тождественна (вЛ^), воспользуемся соотношением
2(в1) = Ь{Ь + 1) - /(/ + 1) - 8{з + 1), (6)
где в, 1 и Ь есть соответственно спин, орбитальный момент и полный угловой момент лептонной пары.
Интенсивность /3-переходов определяется, в частности, коэффициентами формфак торов (п совпадает с номером коэффициента в разложении формфактора
по передаваемому 4-импульсу q), входящими в приведенные матричные элементы [10 Представляющие интерес /3-переходы, вызванные "слабым магнетизмом", связаны -^111 [9], т.е. модули угловых моментов в (6) равны Ь = I = з = 1. Отсюда, согласно (6), следует
(81) = -1. (7)
Поэтому, учитывая, что s = 2su, l = /„, т = mu и V(r) = К(г), получаем в соответствии с (5) и (7) для /^-переходов, обусловленных "слабым магнетизмом", следующее выражение для потенциала спин-орбитального взаимодействия:
XX, , ч ft2 1 dVJr)
- ■ -r^r- <8>
Производная dVc(r)/dr является отрицательной и спин-орбитальное взаимодействие WwM{r) обеспечивает для нейтрино силу притяжения к центру массы распадающегося ядра, т.е. практически к образовавшемуся ядру 3Не. Суммарный потенциал как функция переменной г равен:
V{f) = Vc{f) + WWm{?) = mwt?{f~2 - 0.5f-4). (9)
Выражение (9), описывающее потенциальный барьер с максимумом при г = 1 и сингулярную в нуле "яму", пригодно для точечной частицы.
Однако нейтрино как частица, испытывающая релятивистские дрожания, как бы "размазано" внутри сферы с эффективным радиусом Rq. Поэтому нейтрино будет чувствовать" более плавный эффективный потенциал Уе//(г), который может быть получен из (9) усреднением по г внутри шара с радиусом Rq.
Величину Rq можно оценить, предположив для простоты, что в процессе дрожаний внутри сферы реализуется однородное распределение плотности со среднеквадратич ным разбросом, определяемым выражением
(г2) = (3/5)Ä2. (10)
В то же время для релятивистских дрожаний частицы с массой ш„ справедливо соотношение
(г2)=Ы%. (11)
Сравнивая (10) и (11), получаем
Ro = y/5Xcu. (12)
Эффективный потенциал Ve/y(r), полученный усреднением выражения (9) для параметра До, определяемого формулой (12), представлен на рисунке. Другим параметром расчета является уровень обрезания Veut- Как известно, обрезание является одной из форм регуляризации сингулярных потенциалов, использовавшейся, в частности, в мезонно;1 теории ядерных сил. Изображенный на рисунке эффективный потенциал соответствус г Vcut = —173m„c2.
Рис. 1. Результаты расчета эффективного потенциала V = Уе{¡{г(сплошная кривая) и собственное значение энергии еГ в этом потенциале. Значения энергии даны в единицах тис2 (левая шкала ординат). Крестиками показаны (в относительных единицах) соответствующие значения квадрата модуля радиальной волновой функции \и(г 1~\с„)\2 (правая гикала ординат). Параметры расчета Я0 = у/Ъ\с„ и Vcut = — ^Зт^с2 (см. текст). Пунктиром изображен модельный потенциал со сферической прямоугольной ямой [9].
На том же рисунке пунктиром показан модельный потенциал У(г), эквивалентный сферической прямоугольной яме с радиусом Д0 и У(г) = при г > Д0 [9]. Оба
потенциала приводят к одинаковым значениям квазистационарного уровня энергии сг и, как видно из рисунка, близки друг к другу.
Уравнение Шредингера для частицы с массой движущейся в потенциале Ve//(r), решалось численным образом с помощью метода конечных разностей. Находилась радиальная волновая функция u{f ) и собственное значение ег. Величина |îi(f)|2 (в относительных единицах) и еТ также приведены на рисунке.
При г > 3.0 спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, и усредненный потенциал V(r) практически совпадает с Vc(r). Поэтому в этой области величина |u(r)|2 рассчитывалась по формулам, справедливым для частицы с I = 1:
uk(x) = £!(*) +¿ад, (13)
G\(x) = sinx -f- соэж/ж, (14)
F\(x) = sinz/я — cosz, (15)
где x = kr и k - волновой вектор частицы в области V(r) = 0. Собственное значение ет находилось из условия сшивки радиальных волновых функций (точнее |ы(г)|2) в точке г = 3.0. Для приведенного выше значения Veut
ет = 0.08ш^с2. (16)
Проницаемость потенциального барьера D определялась как отношение |и(г)|' при асимптотически больших г к максимальному значению |и(г)|2 (вблизи края эффективной потенциальной ямы). В рассматриваемом случае D = 0.5.
Если пику резонанса в /3-спектре отвечает энергия электронов Ет, то справедливо соотношение
Е0- Er = mvc2 +ет = muc2. (17)
Последнее приближенное равенство следует из (16). Однако неравенство ет <С mvc2 должно выполняться во всех "разумных" моделях. Поэтому для оценки muc2 в хорошем приближении можно пользоваться соотношением (17). В этом смысле такая оценка может считаться модельно независимой.
Экспериментальные данные работ, в которых имеется указание на существование аномальной структуры (линии) вблизи Е0, суммированы в таблице.
Таблица
Лаборатория Ео — Ег, э В КГ Гехр ^ 3В Ео, эВ
Ливермор [3] 23 ±5 (3.0 ±0.6)- ю-9 18 18568.5 ±2.0 -130 ±20
Троицк [2,6] ~ 20 ~б-ю-п ~ 8 18573.5 ±0.2 —12 ± 3
Майнц [7] ~ 18 ~ Ю-10 18574.8 ±0.6 ~ -10
Приведенная в таблице разность (Е0 — Ег) для эксперимента в Троицке характерна для сеансов с низкой относительной влажностью воздуха (другие детали см. в [9]).
Сравнение с экспериментом позволяет оценить массу электронного антинейтрино
как
т„с2 = 20 ±5 эВ. (18)
Ширину линии в /9-спектре можно оценить как:
г а Л/г, (19)
где т - время жизни уровня, причем в рассмотренной выше модели
г-1 - £(2(Сг - (Кя))/т1/)1/2, (20)
Ко
где (К//) - среднее значение эффективного потенциала внутри потенциальной ямы.
Согласно (19) и (20) получаем т = Ю-16 сек и Г = (3 4-4) эВ. Эта модельная оценка Г не противоречит экспериментальным значениям ГеЕр [2, 3], приведенным в таблице, поскольку, очевидно, должно выполняться неравенство Техр > Г, так как в Гехр даю 1 вклад аппаратурные факторы.
В таблице также приведены экспериментальные оценки кг - интегрального вклада линии (резонанса) в полный /?-спектр. Оценим кт в рассматриваемой модели. Для "слабого магнетизма" структура соответствующего коэффициента формфактора такова [10]:
Е£\ = (3/2)^2/3(к, - кп)(Хсп/Я) • =
-(3/2)^2/3(кр - кп)(Хсп/Я) ■ I а. (21)
Последнее выражение справедливо с учетом нерелятивистского характера движения нуклонов в ядре. В формуле (21) Хсп означает комптоновскую длину нуклона, R - радиус ядра, а кр и кп - аномальные магнитные моменты протона и нейтрона (в ядерных магнетонах) соответственно. Для обозначения матричных элементов используются стандартные символы (по Конопинскому и Уленбеку).
Оценим в рамках статистического подхода теории Ферми величину х(/ = 1) - относительную вероятность распада (1), связанного со "слабым магнетизмом", когда леп-тоны уносят орбитальный угловой момент 1=1. Можно написать [9]:
Х(/ = 1) = [у/У* ■ F$\ ■ (1/3) • (1 + Ё + 30]я/Соо, (22)
где £ = 1.18ZA-1/3 (Л и Z - массовое число и атомный номер конечного ядра соответственно), Ё — Е/тПеС2 и Соо - квадрат приведенного матричного элемента /3-распада нейтрона. С учетом слабой зависимости фактора формы Cwm{E, Z) от Е [9] получаем
Х(/=1) = 1(Г5. (23)
Искомую величину кт можно определить следующим образом:
«г .= Sr/S, (24)
где S - интеграл по энергии полного энергетического спектра электронов. Учитывая (23), можно ограничиться в S интегрированием по спектру N(E) согласно формуле (2), когда лептонная пара имеет 1 = 0.
Величину Sr естественно определить так
Sr = J X(l = 1),1(E)N(E)dE, (25)
где интегрирование проводится по области резонанса, %(/ = 1) — относительная веро ятность переходов, в которых лептонная пара уносит / = 1, функция rj(E) - отношение вероятностей резонансного и нерезонансного распадов для переходов с I = 1. Следуя [11], получаем
„т-2^ Г2/4
^Е) = Т~ • (Е-ЕгУ + Т*/4- (26)
С этой функцией и полученным ранее значением х(/ = 1) = 10~5 отношение (24) оказывается равным
кТ = Ю-10
(27)
Как видно из таблицы, эта оценка по порядку величины согласуется с экспериментальными значениями кТ.
Таким образом, рассматриваемая модель позволяет воспроизвести параметры линии аномальной структуры (Г и кГ). При этом Vcut является единственным свободным параметром модели.
Наблюдение резонансной структуры в энергетическом спектре /3-распада трития является первым экспериментальным эффектом в физике нерелятивистских нейтрино.
Автор благодарен Г. Т. Зацепину, О. Г. Ряжской, JI. И. Сарычевой, С. И. Свертилову за полезное обсуждение.
[1] Kaplan I. G. J.Phys.G: Nucl. Part. Phys., 23, 683 (1997).
[2] L о b a s h e v V. M., A s e e v V. H., В e 1 e s e v A. I., et al. Phys. Lett., B460, 227 (1999).
[3] S t о e f f 1 W., Deem an D.J. Phys. Rev. Lett., 75, 3237 (1995).
[4] Jonsell S., Monkhorst H. J. Phys. Rev. Lett., 76, 4476 (1996).
[5] E h г 1 i с h R. Phys. Lett., B493, 229 (2000).
[6] В e 1 e s e v A. I., Bleule A. I., Geraskin E. V., et al. Phys. Lett., B350, 263 (1995).
[7] Weinheimer Ch., Degenddag В., В 1 e i 1 e A., et al. Phys. Lett., B460, 219 (1999).
[8] Г о p я ч e в Б. И. Препринт НИИЯФ МГУ N 2002-20/704, Москва, 2002.
[9] Г о р я ч е в Б. И. Препринт НИИЯФ МГУ N 2001-41/681, Москва, 2001.
[10] Schopper Н. F. Weak interactions and nuclear beta decay, North-Holland publishing company. Amsterdam, 1966.
[11] Базь А. И., 3 e л ь д о в и ч Я. Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, гл. 7. Изд-во "Наука", Москва,
ЛИТЕРАТУРА
1971.
Научно-исследовательский институт ядерной физики
Московского государственного университета
Публикуется по рекомендации Нейтронно-физического отдела
Поступила в редакцию 20 мая 2003 г.