АНАЛОГИ ГИПОТЕЗЫ БИБЕРБАХА ДЛЯ КЛАССОВ СПИРАЛЕОБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЯХ РЕЙНХАРТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛОГИ ГИПОТЕЗЫ БИБЕРБАХА ДЛЯ КЛАССОВ СПИРАЛЕОБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ В

ОБЛАСТЯХ РЕЙНХАРТА

Султыгов М.Д.

профессор кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВО «Ингушский государственный университет», г. Магас

Вазиева Л. Т.

кандидат физико-математических наук, доцент, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (ГТУ), Владикавказ

ANALOGS OF THE BIEBERBACH CONJECTURE FOR CLASSES OF SPIRAL FUNCTIONS IN

REINHART DOMAINS

Sultygov M.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor,

Ingush State University.

Vasieva L.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, North - Caucasian mining and metallurgical Institute (state technical University), Vladikavkaz

Аннотация

Предметом исследования данной статьи являются X - спиралеобразные функции порядка а, Щ < ~,0 < о <1 и класса р - спиралеобразных функций порядка а, 0 < а < 1 для всех действительных р.

Вкладом авторов в исследовании является тот факт, что коэффициенты Тейлора получены в некоторых областях Рейнхарта, которые совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы. В исследовании применяется метод дифференциального подчинения в виде многомерного аналога гипотезы Бибер-баха в областях Рейнхарта. Выявлены особенности эффективных оценок коэффициентов Тейлора в специфической логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp q Е (Т). Основными выводами в работе являются попытка устранить пробел в свете решения гипотезы Бибербаха в многомерном случае для функций голоморфных функций в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp q Е (Т) .

Abstract

He subject of this paper is the A-helical functions of order а, Щ <-,0 < a < 1 and the class of ^-helical functions of order a,0 < a < 1 for all real p. The authors ' contribution to the study is the fact that the Taylor coefficients are obtained in some Reinhart domains that coincide with the class of convex bounded complete doubly circular domains centered at the origin, whose boundaries are twice continuously differentiable. He study uses the method of differential subordination in the form of a multidimensional analogue of the Bieberbach hypothesis in Reinhart domains. The features of effective estimates of the Taylor coefficients in a specific logarithmically convex bounded complete bicircular domain Dp q Е (T)) are revealed. The main conclusions in this paper are an attempt to eliminate the gap in the light of the solution of the Bieberbach hypothesis in the multidimensional case for functions of holomorphic functions in a logarithmically convex bounded complete doubly circular domain Dp,q Е (T)

Ключевые слова: Логарифмически выпуклые области, радиусы параметризации, точные оценки сумм, непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, коэффициенты Тейлора, аналог гипотезы Бибербаха.

Keywords: Logarithmically convex domains, parametrization radii, exact estimates of sums, continuously differentiable and analytically convex from the outside, Taylor coefficients, an analogue of the Bieberbach conjecture.

1. Введение. Целью статьи является приведение аналогов гипотезы Бибербаха [1;2] для X - спиралеобразных функций порядка а и класса @ - спиралеобразных функций порядка а функций нескольких комплексных переменных в областях

оР,ч е (т).

Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхарта выделим класс Т, который

совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы [3;с.6].

По критерию принадлежности к классу Т ограниченной области О

(О е (Т)) существует единственная система положительных вещественных непрерывных функций Г1 = ъ(т*), I = 1,... п; т* е А* , таких, что

D

-l>

6Cn:|Zi|<ri(r*),i = 1.....n]

= П

т*6д* v n

6 cr

T —

N <1}

где Д*= (т* = (тх, ..., ти-1): 0 < ^ < 1,0 < Т2 < 1 - Т1, ... ,0 < т„-1 <1--Т1-, ..., -т„-2},

Ти = 1 — Т1-, ..., —Ти-1.

Функции Г;(т*) называются радиусом параметризации области Д.

В [4; с.71] показано, что если Б 6 (Г) и Я ^ (г 6 С": |г„| < .....|г„_1|),0 < |г£| < Д

< ТО, [ = 1, ... ,п}, г„ = ^(г1, ...,гп-1) 6 С2(Д), то радиусы параметризации 71, ...,гп-1 области Ае (Г) удовлетворяют соотношениям:

п_1

1 дг„ ^ Т; дг; . 5г„

—= - / -,7 = 1, ...,п - 1; —

Г„ Т„Г; 5г,- 37}

1 — 1 ^

Т£ Гп ^ _ ^

,,п- 1.

В частности, при п = 2 отсюда получаем ра-

72 Т Г-,

венство — =--1

72 1—Т Г!

а

fei

f feig ^ Р Vfciq + fc2^ Vfei

d

fei,fe;

fe2P

-) 4 , считая 00 = 1 [7; с.42] .

Ранее в [8; с.49] нами был изучен класс Я - спиралеобразных функций порядка с, |Я|<^,0< ст < 1. 2

Определение 1. Множество функций /(г) 6 Я(0 с С"), удовлетворяющих условиям /(0) = 1 и

е'я!1/(г) + [(1 - 2а)со5Я - ¿5тЯ]/(г) < ^ (1) обозначим через 5С(1,Я, а, с), где 0 < ст < 1. Теорема 1. Для функций /(г1,г2) 6 (1, Я, а, ст) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области эффективные оценки аналогов гипотезы Бибербаха имеют вид:

к^С/^м)!

П

У + 1

где т 6 (0,1), 7^(0) = 0,г1(1) < то,г1'(т) > 0 , г2(1) = 0 впервые введено

в [5; с.977] при описании областей класса (Т). Исследования в работе будут производиться в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

= {(^1,^2) 6 С2: + |г2|« < 1;р = ->1,т,п,а6 Ш.

и J

В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы точные оценки сумм [6; с.29]:

В работе [9; с.49] сформулированы достаточные условия принадлежности и доказаны критерии принадлежности голоморфных функций к подклассам (а) и ( а) класса @ - спиралеобразных функций порядка а и Мс(а) р -выпуклых функциях порядка а для всех действительных р и 0 < а < 1.

Теорема 2. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1, г2) 6 (а) в логарифмически выпуклой ограниченной полной дво-якокруговой области эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

fei,fe:

feig+fe2P

, (1-11- 2g|) • (feig + fe2p) «p

fei

a,0 < а < 0,5 , 1 - а,0,5 < а < 1.

|Zi|

2(fei—fe:)

k2|

2fe

„^fei —fe2Z2A

В/сД^ = ^р |Е(с1=о для всех (г1,г2) ейс С2, содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов функций из рассматриваемых классов. Эти коэффициенты оцениваются через характеристики

^(Л^) = sup(|zl|fel|z2|fe2,(zl,z2) ей с С2} .

Вычисление величин входящих в

оценки коэффициентов Тейлора представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей Ае (Г). Для области 6 (Г) радиусы параметризации г1 (т) и г2 (т) имеют вид

(1-т)Ч

Теорема 3. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1,г2) 6 ( а) в

логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

<

(1-|1-2ae—i^|)-(feiq + fe2p)"

4P

Теорема 4. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1, г2) 6 (а) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоя-кокруговой области эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

гЛт) =

rq + (1 — т)р

,Г1«(т) =

rq + (1 — т)р'

|afei,fe2(/:öp,4)| <

feig+fe2P 4P

(1 —|1 —2a|)-(feiq + fe2p)

'Ч "-2

(feiq)P -fop)* ■Zffe|=i|fe|{||fe|—a|}

Г a, 0 < ; {1 — a, 0,

a, 0 < a < 0,5 , a, 0,5 < a < 1.

Т*6Д

z

1=1

2

fe

fe

Список литературы

1. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln // S.- B. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl. - 1916. -pp. 940-955.

2. De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math. - №154 - 1985. pp 137-152.

3. Темляков А.А. Интегральные представления // Ученые записки МОПИ им. Н.К. Крупской. -1960.-вып.6.Матанализ. - Т.96.- С.3-14.

4. Ионин Л.Д. Круговые и кратно круговые выпуклые полные ограниченные области в Сп,п > 2 и соответствующие им нормы // Мат анализ и теория функций. - М.-1980.-С.69-73.

5. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады АН СССР. - Т.120.-№5.-1958.- С.976-979.

6. Султыгов М.Д. Эффективность коэффициентов Тейлора в некоторых областях Рейнхарта // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук № 9 (80). - 2015.- С 28-31.

7. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных. - М.-1976.-99 с.

8. Султыгов М.Д. Класс спиралеобразных функций SD (1, X, а, а) многих комплексных переменных // Colloquium-journal. №1 (12) ч. 1, 2018. Poland. http://www.colloquium-journal.org/ru/. Стр.4954.

9. Султыгов М.Д. О некоторых критериях и достаточных условиях для подклассов спиралеобразных функций // Colloquium-journal. №7 (18) (2018), часть.4. Poland. http://www.colloquium-jour-nal.org/ru/ Warszawa.- С.37-41.