CC BY
22
Mr Zvonko Radosavljević,
dipl. inž.
Vojnotehnički institut, Beograd
ANALIZA PRIMENE IMM ALGORITMA ZA PRAĆENJE MANEVRI[UĆIH CILJEVA
UDC: 621.396.969.3 : 004.421.6
Rezime:
U radu je analizirana primena IMM algoritma sa tri modela Kalmanovih filtara, za praćenje cilja pomoću osmatrackog radara. Prvi Kalmanov filtar podešen je da prati ciljeve koji se kreću po pravolinijskoj trajektoriji bez ubrzanja, drugi prati ciljeve koji se kreću ubr-zano i vrše blag manevar, a treći je namenjen za praćenje ciljeva koji se kreću ubrzano i vrše oštar manevar. Dat je opis algoritma kao i vrednosti odgovarajućih parametara i matrica prelaza za Kalmanove filtre, kao i uporedna analiza algoritma u odnosu na standardan Kalmanov filtar šestog reda. Prikazani rezultati srednje kvadratne greške praćenja po x i y koor-dinati pokazuju opravdanost izbora predložene metode praćenja.
Kljucne reci: praćenje manevrišućih ciljeva, teorija estimacije, Kalmanov filtar.
ANALYSIS OF IMM ALGORITHM FOR MANOEUVRING TARGET TRACKING
Summary:
This paper considers comparative analysis the problem of manoeuvring target tracking to IMM algorithm with 3 standard Kalman filters and same standard Kalman filter 6. order, using data from TWS radar. The first Kalman filter from IMM algorithms is tuned for tracking of target moving along the rectilinear trajectory without acceleration, the second tracks the targets with acceleration and gentle maneuver, and the third Kalman filter tracks the target with acceleration and sharp maneuver. The mathematical model of algorithm and values of appropriate parameters and Kalman filter matrices, are presented. The results of RMSE of tracking in x and y coordinates, show the validity of the proposed method.
Key words: target tracking, theory of estimation, Kalman filter.
Uvod
Za pra}enje manevri{u}ih ciljeva po-mocu osmatrackih TWS (Track While Scan) radara, koji hipoteticki mogu da se kre}u po trajektorijama sa velikim mogu}-nostima manevra, pocev od pravolinijskog kretanja do ubrzanog kretanja sa o{trim manevrom, koristi se IMM (Interactive Multipl Model) algoritam. Ovaj algoritam omogu}ava pra}enje ciljeva koji se kre}u
na tri nacina: pravolinijski bez ubrzanja, ubrzano sa blagim manevrom i ubrzano sa o{trim manevrom, interaktivno pobolj{ava-ju}i karakteristike pra}enja u zavisnosti od gre{ke koju cini svaki od filtara.
Za razumevanje rada ovog algoritma neophodno je poznavati pojam „pro-zora“. Pod pojmom prozora podrazume-va se odgovaraju}i kružni, elipticki ili pravougaoni prostor oko predviđenog položaja traga iz prethodnog skena. Sva
280
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.
merenja koja se nalaze unutar prozora razmatraju se u procesu ažuriranja traga.
Osnova IMM algoritma predstavlja paralelno kori{}enje filtara za razlicite modele kretanja cilja. Karakteri{e ga re-kurzivnost, modularnost i konstantni zah-tevi u pogledu racunskih operacija tokom jednog ciklusa izvr{avanja.
Dvodimenzionalni osmatracki radari daju podatke u polarnim koordinatama, a pra}enje se vr{i u Dekartovom koordinat-nom sistemu. Zato je potrebno re{iti problem usklađivanja koordinatnih sistema. Prelazak iz sfernog u Dekartov koordinat-ni sistem uzrok je međusobne korelisano-sti koordinata. U slucaju opisanom u radu pojavljuje se međusobna korelisanost koordinata. Zbog toga je potrebno prona}i matematicka ocekivanja složene funkcije dve međusobno korelisane promenljive preko odgovaraju}ih Jakobijan matrica. U literaturi [1] prikazan je model proracuna parametara pra}enja manevri{u}ih ciljeva, pri cemu se model kretanja cilja može aproksimirati modelima kretanja u slucaju prikazanom u ovom radu.
Opis IMM algoritma
Osnovu predloženog algoritma cini N - Kalmanovih filtra, po jedan za svaki od ocekivanih modela kretanja. U predlože-nom modelu za simulaciju usvojena je kon-figuracija sa tri Kalmanova filtra koja se u literaturi pokazala optimalnom za primenu u radarskom pra}enju vazdu{nih manevri-{u}ih ciljeva. Na osnovu literature [2, 3 i 4] obrađena je problematika određivanja efika-snosti pra}enja cilja odabranom metodom, i dati su modeli proracuna kovarijacione ma-trice {uma merenja R i procesa Q. U op{tem slucaju, ove matrice su nestacionarne u vre-
menu. Problem određivanja elemenata ma-trice R svodi se na problem poznavanja pa-rametara senzora, dok je definisanje eleme-nata matrice Q povezano sa poznavanjem dinamike kretanja cilja.
U literaturi [4 i 5] dat je opis IMM algoritma. Polazi se od jednacina za sta-cionarni diskretni linearni sistem sa po-znatim parametrima [4]:
xt+1 = Fxt + Qt (1)
yt = Htxt + Rt (2)
gde je:
xt+1 - vektor stanja sistema u trenutku t + 1,
yt - vektor merenja u trenutku t,
F - matrica prelaza stanja,
Ht - matrica merenja u trenutku t + 1.
Posle inicijalizacije parametara i matrice prelaza iz pojedinih hipoteza izracunavaju se kovarijacione matrice šuma procesa i merenja i uslovne Baje-sove verovatnoće. Ako je za n-dimenzi-oni slucajni vektor gausovski raspode-ljen, tada je združena funkcija gustine verovatnoće u trenutku t za j-ti model filtra data na sledeći nacin [4]:
Лt (3) = [(2n)n det(S(3})]1/2 eXP
1 ^3)
[--(rl-' ))T (sy))-1 r (. j)]
pri cemu su reziduali u trenutku t za j-ti model filtra r(t j):
rt3) = yt - Hxr(|j)-°1 (4)
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
281
odnosno kovarijaciona matrica reziduala:
Sj ’ = H,P,-H + R (5)
koja se izra~unava kao gre{ka estimacije budu}ih stanja kretanja cilja gde je:
Rt - matrica {uma merenja u trenutku t, Pt-I - kovarijaciona matrica {uma merenja u trenutku t— 1.
IMM algoritam se opisuje u nekoli-ko koraka [8].
Prvi korak: ciklus po~inje izra~una-vanjem združenih verovatno}a џt-l(i, j), kori{}enjem uslovne verovatno}e da model M(i) u trenutku t -1 prede u model M(1) u trenutku t,
Mt-1 (i.1
p(i, j) Mi-1 (i)
c(j)
i, j = 1,..., N (6)
pri ~emu je:
Tre}i korak: izra~unavanje združenih gustina verovatno}a za j = 1,..., N filtara:
Лt(j) =-----------1—(.) ... exp
[(2n)n det(S(1 ))]1/2 ! (10) [-.( r(1 ))T (S1 ))-1 rt (1)]
gde je:
- rezidual,
rt 1) = yt - HX(| jt-1 (11)
- n dimenzija merenja,
- St1) matrica kovarijanse sekvence inovacija u filtru sa modelom Mi.
Cetvrti korak: ažuriranje težinskih koeficijenata:
Mt ‘ > = i Л (1 > ?j> (12)
c(j)
Z p(i, j) Mt(^1 j = 1,..., N
i=1
(7)
Drugi korak: kombinovanjem inici-jalnih združenih uslova stanja i kovarija-cione matrice (sa indeksom 0) za svaki od j = 1,...,N filtara, dobija se:
pri ~emu je:
j=1
(13)
Peti korak: zavr{ni korak predstavlja ponovno kombinovanje estimacija i ko-varijacionih matrica, ali sa ažuriranim te-žinskim koeficijentima:
N
(J20 = Z x<(-1 Mt-^, j)
i=1
N
P -jX0 =ZMi‘-V
j )
i=1
P(i) + (X() - £( 1 ),0)(X() - X 1 )’0) 11-1 ^ vxt-\ xt-\ Axt-1 xt-\ )
(i) _£(j),0 \/£(i) _£(jX0y
(9)
N
(8) xt =Z •xt( 1 )Mt
j=1
(j)
(14)
N
p = ZmI 1)[ p 1+(1) - x) (1 - x)]
1=1
(15)
282
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
Definisanje parametara i matrica IMM algoritma
Prema prethodnom opisu, formiraju se tri Kalmanova filtra, saglasno odabiru tri hi-poteze o kretanja cilja. U ovom radu to su hipoteze za tri naj~e{}a modela kretanja: ravnomerno pravolinijsko kretanje bez ubr-zanja, ubrzano kretanje cilja sa blagim ma-nevrom i ubrzano kretanje cilja sa o{trim manevrom. Zatim se defini{u matemati~ki modeli za tri vrste kretanja i formiraju ula-zne procene. Matrice prelaza za pomenute hipoteti~ke Kalmanove filtre za IMM algo-ritam date su pomo}u izraza (16) i (17) [1]:
1 T 0 о о 0
0 1 0 о о 0
0 0 0 о о 0
0 0 0 1 T 0 (
0 0 0 0 1 0
0 0 0 о о 0
1 T T2 /2 0 0 0
0 1 T 0 0 0
0 0 1 0 0 0
F3 =
0 0 0 1 T T2/2
0 0 0 0 1 T
0 0 0 0 0 1
(17)
gde je T perioda uzimanja opservacija.
U postupku kreiranja IMM algoritma, važnu ulogu ima izbor težinskih koeficijenata uz parametre koji se ažu-riraju u svakoj periodi okretanja antene radara. Matrica prelaza stanja spregnu-ta je sa modelom kretanja cilja, i nepro-menljiva je tokom rada algoritma.
Matrica Mt zavisi od uticaja okoline na senzor i parametara senzora, odnosno, radara kojim se vr{i pra}enje. U slu~aju TW S radara ova matrica }e imati slede}i oblik [7]:
Pll P12 P13 "0,7 0,2 0,1'
ыг = P 21 P 22 P23 = 0 0,8 0,2
_ P31 Рз2 P33 _ 0,2 0,2 0,6_
(18)
Smanjenje periode skeniranja radara dovodi do pove}anja koeficijenata na di-jagonali i smanjenja koeficijenata van di-jagonale.
U odnosu na izbor koordinatnog si-stema postoje dva tipa Kalmanovih filta-ra - standardni i pro{ireni. Ukoliko su podaci sa senzora dati u Dekartovim pra-vouglim koordinatama (x, y), koristi se standardni Kalmanov filtar. U slu~aju pra}enja pomo}u osmatra~kog radara sa kojeg stižu podaci o azimutu i rastojanju, koriste se jedna~ine pro{irenog Kalma-novog filtra. Tada kovarijaciona matrica {uma merenja R ima dimenziju 2x2, i iz-ra~unava se preko odgovaraju}ih Jakobi-jana, kako je prethodno opisano, na osnovu [2] i [4] na slede}i na~in:
Jl2t =
cos et - sin et sin 0t cos в,
R =
0
Rt = Jl2tRoJl2t
(19)
gde je: в - azimut,
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
283
ar - standardna devijacija po daljini, ag - standardna devijacija po azimutu [4].
Treba uociti da se kod prosirenog Kalmanovog filtra (EKF - Extended Kalman Filter) matrica Ro ažurira u svakoj sekvenci. Na slican nacin, na osnovu [1] i [8], kao primer data je kovarijaciona matrica suma procesa, Q, za Kalmanov filtar definisan preko ubrzanja:
0 0 0
Qo = 0 0 0
0 0 б2 a _
"1 T T 2/2
Q = FQo FT = 0 1 T
0 0 1
"0 0 0 ' - 1 0 0"
0 0 0 T 1 0
0 0 б^2 _ T 2/2 T 1
(20)
(21)
pri cemu su koeficijenti neodredenosti za sve tri vrste kretanja S2x , б^ i 32a respek-tivno 0,005; 0,008 i 0,04 [1].
75 70 Б5 60 I 55 50 45 40 Putanja manewisuceg cilja
~”25 30 35 40 45 50 55 X [km]
Sl. 1 — Prikaz putanje praćenja cilja
U predloženoj primeni, s obzirom na to da su podaci dati u dvodimenzio-nalnim Dekartovim koordinatama, koristi se standardni Kalmanov filtar.
Rezultati simulacije
Simulacija sprovedena radi kompa-rativne analize predloženog algoritma i standardnog Kalmanovog filtra sestog re-da uradena je za dva slucaja: bez uticaja suma i u prisustvu suma. Cilj se kreće br-zinom od 260 m/s, vrseći naizmenicno cetiri vrste manevra sa opterećenjima g,
Sl. 2 — Raspodela te'inskih koeficijenata u slučaju praćenja cilja: a) sa šumom, b) bez suma
284
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
Sl. 3 — Srednja kvadratna greška (RMSE) rastojanja u slučaju praćenja cilja: a) sa šumom, b) bez šuma
2g, 4g i 2g, koji se pojavljuju u intervali-ma između 10-28, 37-45, 55-58 i 65-73 skena respektivno, u trajanju od 78 ske-nova [11], sa periodom od T = 5 s. Funk-ciji radijusa dodat je {um u iznosu 1% od aktuelne vrednosti rastojanja, kreiran po-mo}u generatora slu~ajnih brojeva sa normalnom raspodelom, ~ija je srednja vrednost nula, a standardna devijacija 1.
Na slici 2a i 2b prikazana je raspo-dela težinskih koeficijenata pojedinih hi-poteza za slu~aj dve simulacione putanje. Na njima se mogu uo~iti o{tri prelazi te-žinskih koeficijenata u trenucima kada cilj menja vrstu manevra.
Rezultati simulacije predstavljeni su srednjom kvadratnom gre{kom (RMSE -Root Mean Squer Error) pra}enja po x i y koordinatama, koja je dobijena na osno-vu simulacije Monte Karlo u 70 ta~aka [8], i prikazani na slikama 3a i 3b.
Radi kvantitativnog određivanja smanjenja gre{ke pra}enja prikazan je komparativni grafikon srednje kvadratne gre{ke po rastojanju, u slu~aju predlože-nog IMM algoritma i Kalmanovog filtra. Pored toga, pove}anje gre{ke u intervali-ma izvođenja manevra potvrđuje dobru
detekciju i daje mogu}nost za klasifikaci-ju manevra [11], odnosno za klasifikaciju vojnih i civilnih vazduhoplova.
U tabeli su data izmerena vremena trajanja simulacija koje su rađene u pro-gramskom paketu MATLAB 6.5, na ra-~unaru P III koji radi na frekvenciji pro-cesora 1200 MHz u slu~aju oba kompa-rativna algoritma. Ovi rezultati potvrđuju potrebu za dužim vremenom procesiranja kod IMM algoritma.
Izmerena vremena trajanja simulacije
Testirana metoda Vreme (s)
Kalmanov filtar 70,6
IMM filtar 137,1
Zaključak
U radu je prikazana komparativna analiza primene IMM algoritma sa tri mo-dela filtra za osmatra~ki radar sa periodom okretanja antene od pet sekundi, u odnosu na standardni Kalmanov filtar {estog reda. Prednost predložene metode za estimaciju stanja ogleda se u mogu}nosti rekurzivnog uzimanja procene stanja sva tri Kalmanova filtra i izbor filtra koji za posmatrani mane-var daje najbolje rezultate.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
285
Dokazano je kvantitativno poboljsa-nje praćenja u odnosu na standardni Kal-manov filtar preko srednje kvadratne gre-ske pozicije po obe koordinate.
Analiziran je scenario kretanja jednog cilja bez uticaja suma i u prisustvu generi-sanog suma. Parametri senzora kojim se prati cilj imaju veliki uticaj na koeficijente IMM algoritma (npr. kovarijacionih matri-ca suma merenja), a dobijeni razultati po-tvrduju pravilan izbor ovih parametara.
Pored toga, potrebno je napomenuti da interaktivnost predložene metode, ko-ja se ogleda u ažuriranju težinskih koefi-cijenata i kovarijacione matrice greske predikcije u svakoj sekvenci, cine ovu metodu manje osetljivom na izbor pocet-nih parametara.
Osnovni nedostatak ove metode su složena matematicka izracunavanja koja angažuju veće racunarske kapacitete u odnosu na standardni Kalmanov filtar, tako da je opravdano korisćenje samo u slucajevima praćenja ciljeva sa sirokom paletom manevra. Problem se znatno usložava uvođenjem klatera [10], pa se
uvodi pojam konstante manevra. Ova problematika je interesantna za buduća istraživanja iz ove oblasti.
Literatura:
[1] Eiserloh, P. P.: An Introduction to Kalman Filters and Applications, Electronic Combat Range, Naval Air Warfare Centar, China Lake, CA, USA, January 2002.
[2] Dikić, G.: Izbor koordinatnih sistema za praćenje ciljeva u multisenzorskom okruženju, Vojnotehnicki glasnik, Beograd, 3/2002.
[3] Đurović Z.; Kovacević, B.; Stanković, S.: Praćenje Vise Pokretnih Ciljeva Pomoću Osmatrackog Radara, Naucni Tehnicki Pregled, Vol. XLI, 1991, br. 7-8.
[4] Kovacevic, B.; Đurović, Z.: Fundamentals of Stochastic Signals, Systems and Estimation Theory with Worked Examples, Academic Mind, Beograd 1999.
[5] Li, X., Bar Shalom, Y.: Design of Interacting Multiple Model Algorithm for Air Traffic Control Tracking, IEEE Transactions on Control Systems Technology, 186-194, September 1993.
[6] Blackman, S.: Multiple-Target Tracking with Radar Applications, Artech House, Dedham 1986.
[7] Wang, X. Challa, S.: Augmented State IMM-PDA for OOSM Solution to Maneuvering Target Tracking in Clutter, IEEE 2003, 479-485.
[8] Karlsson, R.: Simulation Based Methods For Target Tracking, Linkoping Studies in Science and Technology, Thesis No. 930, Department of Electrical Engineering, Linkoping 2002.
[9] Simeonova, I.; Semerdjiev T.: Specific Features of IMM Tracking Filter Design, Information and Security Vol. 9, 2002, pp. 154—165.
[10] Bar-Shalom, Y.: Multitarget multisensor tracking: Advanced applications (Norwood, MA, Artech House, 1990).
[11] Angelova, D.; Mihaylova, L.: Sequential Monte Carlo Al-gorthms for Joint Target Tracking and Classification Using Kinematic Radar Information.
286
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3—4/2005.
Sl. 1 — Prikaz putanje praćenja cilja
a)
b)
Sl. 2 — Raspodela te'inskih koeficijenata u slučaju praćenja cilja: a) sa šumom, b) bez šuma
Sl. 3— Srednja kvadratna greška (RMSE) rastojanja u slučaju praćenja cilja: a) sa šumom b) bez šuma
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.
287
