CC BY
39
Dr Dragoslav Ugarak,
pukovnik, dipl. inž.
Tehnički opitni centar, Beograd
Rezime:
PRAĆENJE CILJA POMOĆU VIDEO SENZORA PRIMENOM ESTIMATORA SA VIŠE MODELA
UDC: 623.4.023 : 621.397] : 519.87
U radu je opisan matematički model praćenja cilja na osnovu određivanja uglova i da-Ijine cilja obradom video snimaka u toku praćenja. Izvršena je sinteza višemodelskog (MM) estimatora stanja na bazi Kalmanovih filtera i utvrđena tačnost estimacije i predikcije kreta-nja cilja na konkretnom primeru.
Ključne reči: praćenje cilja, estimacija i predikcija cilja, modeli kretanja cilja i multimodel-ski estimator.
TARGET TRACKING BY VIDEO SENSOR WITH MULTIPLE MODEL APPROACH
Summary:
This paper presents mathematical model of target tracking based on angle and target range determination by analyzing video frames during the tracking. The multiple model approach is performed using Kalman filter, and estimation and target motion prediction accuracy is determined using concrete example.
Key words: target tracking; models, estimation and prediction of target motion, and multiple model estimator.
Uvod
Automatsko praćenje ciljeva podra-zumeva prikupljanje i obradu informacija o kretanju cilja bez neposrednog učešća čoveka. Takav vid upravljanja zahteva istraživačke rezultate koji su vezani za mnoge naučne oblasti, pre svega mate-matike, mehanike, optoelektronike, auto-matskog upravljanja i drugih. Integraci-jom tih rezultata razvijen je niz mo del a automatskog praćenja cilja video-siste-mima, koji se mogu svrstati u dve osnov-ne grupe, a to su:
- sistemi za praćenje na osnovu od-stupanja karakteristika koje su izdvojene
iz slike cilja u odnosu na osu uređaja za praćenje,
- sistemi za praćenje na osnovu estimacije i predikcije pozicije cilja i para-metara u odnosu na uređaj za praćenje.
Video-sistemi za praćenje ciljeva ra-de na bazi optoelektronskih kamera ose-tljivih na delove optičkog spektra elek-tromagnetnog zračenja. Po spektralnoj osetljivosti dele se na senzore vidljivog spektra ili televizijske kamere (TV) i senzore IC spektra ili termovizijske kamere (TTV). Ovi senzori formiraju svoje opservacije u vidu video signala dvodi-menzionalnih slika registrovanih u regu-larnim vremenskim intervalima (obično
280
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
40 ms). Analizom formirane slike dobija-ju se informacije o obeležjima cilja, kao što su vrsta cilja, srednji osvetljaj, boja, površina, dimenzije, dužina obvojnice (perimetar) cilja, koordinate karakteri-stičnih tačaka cilja i drugi parametri.
Obradom signala sa senzora detek-tuje se cilj u vazdušnom prostoru i meri njegova pozicija. Izmereni položaj cilja sam po sebi ne određuje buduće kretanje cilja. Da bi se odredili parametri kretanja neophodno je da se pretpostavi ili detek-tuje način njegovog kretanja i matematič-ki opišu procesi merenja i kretanja cilja. To predstavlja osnovu za matematički postupak određivanja parametara kretanja cilja i dovoljno precizno predviđanje njegovog budućeg položaja radi obezbe-đivanja uslova za efikasno gađanje.
Praćenje cilja na osnovu
estimacije stanja
Problem praćenja može se definisati kao problem određivanja parametara kretanja objekta u prostoru. Za realizaciju zadatka praćenja neophodno je ostvariti informacionu vezu sa objektom praćenja. To se ostvaruje sistemom senzora pomo-ću kojih se mere dostupni parametri. Da bi se u toku praćenja ostvarila neprekid-na veza sa ciljem potrebno je vršiti usme-ravanje vidnog polja senzora ka objektu praćenja. To znači da se praćenje sastoji od estimacije parametara kretanja cilja i od upravljanja kretanjem senzora radi usmeravanja ka objektu praćenja. Šemat-ski prikaz postupka praćenja cilja na bazi estimacije njegovog stanja prikazan je na slici 1.
parametri
zračenje izmerene kretanja
cilja veličine cilja
ocenjivanje i predviđanj e |
položaja cilja
upravljanje
------- kretanj em -------
senzora
Sl. 1 - Strukturna šema sistema praćenja cilja
Matematički model praćenja cilja sastoji se od jednačine kretanja cilja i jednačine merenja. Priroda kretanja cilja i procesa merenja je takva da su modeli (jednačine) kretanja cilja i merenja uvek nelinearni, bez obzira na izbor vektora stanja i koordinatnih sistema u kojima se problem rešava. Matematički modeli kretanja cilja i merenja zajedno predstavlja-ju model praćenja cilja i dati su jednači-nama:
*(0 = f(x(t), t) + g (x(t), t)v(t) (1)
z(t) = h( x(t), t) + w(t) (2)
gde je x(t) - vektor stanja dimenzije nx, a z(t) - vektor merenja dimenzije nz.
Vektor stanja x(t) je slučajni vektor za koji se pretpostavlja da ima početnu vrednost x(0) koja predstavlja Gausov proces sa poznatom srednjom vrednosti i kovarijansnom matricom:
E[ x(0)] = xo (3)
E[(xo - xo)(xo - xo)T] = Po
Vektor šuma procesa v(t) dimenzije nx, je beli Gausov proces sa nultim mate-matičkim očekivanjem i kovarijansnom matricom:
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
281
E[v(t)] = 0 (4)
E[(v(t)v(t)t ] = Q(t)5(t -t)
Vektor šuma merenja w(t) dimenzi-je nz je beli Gausov proces sa nultim ma-tematičkim očekivanjem i kovarijansnom matricom:
E[ w(t)] = 0 (5)
E[(w(t) w(r)T ] = R(t )A(t - t)
Jednačine (1) i (2) ne predstavljaju opšti oblik modela praćenja cilja, jer sa-drže hipoteze o aditivnosti šuma procesa i šuma merenja i o Gausovom karakteru šumova i početnog stanja, što a priori ni-je slučaj. Primena datih jednačina zahte-va upotrebu metoda nelinearne estimaci-je koje su veoma složene i čija on-line primena nema praktičnog opravdanja. Zato se uvek pribegava linearizaciji modela praćenja, koja se vrši linearizacijom nelinearnih funkcija f, g i h.
Savremeni postupci praćenja zasni-vaju se na upotrebi digitalnih računara, pa se model kretanja cilja i model merenja definišu u diskretnom vremenskom dome-nu. Cilj tokom vremena menja karakter svog kretanja pa se mora menjati i model njegovog kretanja ili parametri modela. To je postupak adaptacije modela kretanja cilja po kojem se realizuje praćenje.
Primer merenja pozicije cilja
sa video-snimaka
Izvršeno je praćenje putanje borbe-nog aviona G2, koji je u toku leta sniman televizijskom kamerom. Merenje putanje
cilja ovom prilikom izvršeno je pomoću dva teodolita sa automatskim praćenjem u toku leta da bi se dobila referentna pu-tanja. Putanja aviona predstavlja let sa manevrom propinjanja u vertikalnoj rav-ni (slika 2).
BOD
Sl. 2 - Putanja aviona G2 snimljena sa dva teodolita
Obradom snimaka sa TV kamere jednog teodolita koji je pratio let aviona, dobijene su vrednosti ugaonih odstupanja centra cilja od optičke ose teodolita i da-ljine cilja. Na osnovu koordinata karakte-ristične tačke cilja u ravni slike određuju se uglovna odstupanja azimuta i elevacije cilja u odnosu na optičku osu senzora, a pomoću tri ili više tačaka cilja poznatih dimenzija može se odrediti daljina cilja.
Uglovi linije viziranja cilja mere se tako što ugrađeni davači u uređaju za praćenje mere uglove azimuta (as) i elevacije (Ps) nosača senzora koji ujedno predstavljaju uglove optičke ose video senzora. Uglovi azimuta (as) i elevacije (Ps) ose senzora mere se preciznim ugao-nim davačima, obično apsolutnim optič-kim enkoderima, u koordinatnom siste-mu uređaja za praćenje cilja. Obradom video slike određuju se uglovi azimuta (Aa) i elevacije (ДР) linije viziranja cilja u odnosu na optičku osu senzora. Za ka-
282
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
rakterističnu tačku viziranja cilja obično se bira težište (centar) cilja, jer je ono od najvećeg interesa za gađanje cilja, slika 3. Ugaona odstupanja centra cilja Да i ДР od optičke ose senzora srazmerna su odstupanjima centra cilja v i u od centra kadra C.
Sl. 3 - Položaj cilja u koordinatnom sistemu snimka
Za određivanje lokalnih uglova azi-muta i elevacije linije viziranja cilja kori-ste se sledeće jednačine [1]:
a = as + Да
s (6)
P=PS + Дв
Određivanje daljine cilja na osnovu poznavanja veličine cilja i koordinata ka-rakterističnih tačaka (dna, vrha i krajeva krila) izvršeno je metodom lokacije trou-gla poznatih dužina stranica [2]. Prome-na daljine cilja u zavisnosti od vremena prikazana je na slici 4.
Vrednosti uglova azimuta i elevacije, dobijene očitavanjem snimaka, zbog malih vrednosti standardnih odstupanja, koriste se za estimaciju i predikciju kre-tanja cilja bez prethodnog uravnavanja. Za uravnavanje daljine cilja primenjen je
Sl. 4 - Daljina cilja određena sa snimaka TV kamere
Kalmanov filter sa kinematskim mode-lom približno konstantnog ubrzanja i adaptacijom na promene šuma procesa [3]. Nakon estimacije znatno je smanjena greška ocene daljine cilja, što se vidi sa slike 5.
Sl. 5 - Greška estimacije daljine cilja
Skoro svi noviji postupci za ocenji-vanje stanja koriste diskretni Kalmanov filter. On daje najpreciznije ocene stanja, pod uslovom da model cilja tačno opisu-je njegovo kretanje, kao i da šumovi pri-sutni u modelima cilja i merenja predsta-vljaju bele šumove. Važna osobina Kal-manovog filtera je rekurzivnost koja omogućava racionalno korišćenje raču-narske memorije i kratko trajanje prora-čuna. To ga, ujedno, čini pogodnim za primenu u sistemima za upravljanje va-trom [4, 5, 6].
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
283
Model kretanja cilja i model merenja
Na osnovu podataka o uglovnoj po-ziciji i daljini cilja, dobijenih obradom vi-deo-snimaka, kao u prethodnom primeru, za potrebe praćenja i gađanja cilja potreb-no je izvršiti estimaciju i predikciju njego-vog kretanja. Iskustva pokazuju da su estimacija metodom najmanjih kvadrata i Kalmanov filter [5, 6] opšteprihvaćene i uobičajene metode estimacije u savreme-nim sistemima za praćenje ciljeva. Poseb-no je pogodna primena sofisticiranih me-toda Kalmanovog filtera na probleme pra-ćenja visokomanevrišućih ciljeva.
Primena Kalmanovog filtera zahte-va poznavanje modela kretanja cilja. Ši-roko korišćeni su kinematski modeli iz-vedeni iz prostih jednačina kretanja sa konstantnom brzinom i konstantnim ubr-zanjem [6]. Diskretna dinamička jednači-na sistema je:
x(k +1) = F (к) x(k) + Г( к )v( к) (7)
Jednačina diskretnih merenja glasi: z( к) = H (к) x( к) + w( к), k = 1, 2,... (10)
Ovde je H(k) matrica merenja, a w(k) je šum merenja, sekvenca belog Ga-usovog šuma sa nultom sredinom i kova-rijansom:
Е[^(к) w( j )T ] = R( к б (11)
gde je бкЈ Kronekerova (diskretna) delta funkcija:
бкј =
1
0
к = j
к * j
(12)
Ako se u toku praćenja cilja meri samo njegova pozicija, matrica merenja H glasi:
h =
100000000
000100000
000000100
(13)
Ovde je x(k) vektor stanja čiji ele-menti su pravougle koordinate, kompo-nente brzine i ubrzanja cilja:
x = [ x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 ]T = = [ X X y y y z Z Z]
(8)
a v(k) je skalarna veličina šuma procesa, bela Gausova sekvenca nulte sredine, sa kovarijansom:
Е[у(к) v( j)T ] = Q(h )бј (9)
Za usvojeni model kretanja cilja ma-trice F(k), r(k) i Q(k) su poznate i kasnije će biti prikazane za pojedine modele.
Pozicija cilja meri se u sfernim ko-ordinatama (a, p, d), koje se nakon urav-navanja prevode u pravougle koordinate (Л У, z).
Vektor merenja u sfernom koordi-natnom sistemu i kovarijansna matrica grešaka merenja sfernih koordinata su:
am
z = Prr, (14)
dm _
0 0 "
R = 0 "1 0 (15)
0 0 .
284
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
Greške merenja sfemih koordinata su međusobno i vremenski nekorelisani beli Gausovi šumovi nultih matematičkih očekivanja.
U primeru određivanja putanje cilja obradom video-snimaka izvršeno je uravnavanje daljine cilja pomoću Kalma-novog filtera sa dva kinematska modela, pri čemu je dobijeno da je tačnost određi-vanja daljine:
_d = 10 m (16)
Utvrđeno je da varijanse merenja ugaone pozicije cilja iznose:
с1* = + _L =10-6 rad 2 =1mrad 2
_в = _в* + _2в = 10-6 rad2 = 1mrad2
(17)
Matrica kovarijansi merenja sfernih koordinata u datom primeru ne zavisi od vremena i iznosi:
Greške određivanja koordinata (x, y, z) mogu se, razvojem jednačina (19) u Tejlorov red, dobiti u vidu linearne zavi-snosti od grešaka merenja polarnih koordinata (а, в, d). Za određivanje matrice kovarijansi grešaka merenja u pravou-glim koordinatama može se tada upotre-biti relacija:
Rx = D R DT (20)
gde su:
Rx
D =
2 2 2
_ _ _
x xy xz
2 2 2
_ _ _
У yz
xz yz y
dx dx дx
да дв дd
д( x, y, z) dy dy дy
д(а,в, d) да дв дd
dz дz дz
да дв дd
(21)
(22)
"i0-6 0 0 "
R = 0 10-6 0 (18)
0 0 102
Greške merenja sfernih koordinata su međusobno i vremenski nekorelisani beli Gausovi šumovi nultih matematičkih očekivanja.
Pravougle koordinate putanje cilja u lokalnom zemaljskom koordinatnom si-stemu date su jednačinama:
Rešavanjem matrične jednačine (22) dobija se:
_ = z _
Х2У2 __2
_в'
,2 _d
_У = (x 2 + z 2)_в + _2
2 2 2
2 22 У Z 2 Z 2
_z = X _а + x2 + z2 _в+ d7 _d
2 2 Xy 2
_xy = - ХУ_в+ dT _d
(23)
х = d cosficosa y = d sin в z = d cos esin а
(19)
_
2 У
- xz_a + xz
х2 + z2 в
-yz_P ■
yz _2
J2 _d
2
2
d
V OJNOTEHNIČKIGLASNIK 3/2006.
285
Greške određivanja pravouglih ko-ordinata su beli Gausovi šumovi nultih matematičkih očekivanja koji nisu vre-menski korelisani, ali jesu međusobno. Varijanse i kovarijanse pravouglih koor-dinata date su jednačinama (23), kao funkcije merenih pravouglih koordinata (xm, ym, zm) i varijansi merenih sfernih koordinata.
Predikcija kretanja cilja i ocena efikasnosti praćenja
Rešavanje problema estimacije sta-nja objekta praćenja odnosi se na objekte poznatih manevarskih sposobnosti. Nje-govo kretanje opisuje se stohastičkim di-ferencijalnim jednačinama, čime je obu-hvaćeno delovanje slučajnih ili organizo-vanih smetnji. Polazeći od diskretnih sto-hastičkih merenja jednog broja veličina stanja objekta praćenja potrebno je, u re-alnom vremenu, odrediti vektor stanja objekta praćenja. Pored toga, potrebno je predvideti buduće ponašanje objekta pra-ćenja (predikcija stanja).
Predikcija je estimacija stanja u tre-nutku m posle raspoloživog intervala po-dataka k<m. U sistemima upravljanja va-trom PVO primenjuje se predikcija kretanja cilja u pokretnoj tački koja je za L koraka posle trenutne tačke merenja k, pri čemu veličina intervala L odgovara vremenu preticanja cilja:
X(k + L / к)
L -1
П F (k + L -1 - j)
x(k / к)
u toku praćenja, da bi se sprečio prekid pra-ćenja, estimacija vektora stanja zamenjuje se predikcijom. Dakle, kada privremeno iz-ostane merenje pozicije cilja, praćenje kretanja cilja odvija se na osnovu predikcije njegove pozicije koja se računa korak po korak, do ponovnog uspostavljanja merenja.
Izlazna veličina postupka praćenja ili estimacije kretanja cilja je ocena vektora stanja koja sadrži ocene koordinata cilja, komponenti brzine i ubrzanja. Te veličine koriste se za predviđanje položaja cilja, odnosno tačke susreta projektila i cilja. Verovatnoća pogađanja cilja zavisi od tačnosti ocena navedenih kinematskih ve-ličina. Za ocenjivanje efikasnosti praćenja cilja mogu se posmatrati sledeće veličine:
1. Greška ocene pozicije cilja:
epOZ (t) =
yfrxft) - X(t)]2 + [(t) - y(t)]2 + [z(t) - z(t)]2
(25)
2. Greška predikcije cilja:
epre (t) = * 26 27
•J[ x(t) - Xp (t)J+[ y(t) - yp (t )J+[ z(t)-Zp (t) ]2
(26)
3. Standardno odstupanje pozicije
cilja:
1 N 2
N-jS [epoz (t) - epozsr (t)]
(27)
4. Standardno odstupanje predikcije
cilja:
(24)
°pre (t)
U slučaju povremenih prekida merenja, na primer zbog trenutnog gubljenja cilja
I—it [<
N -11=1 [
pre
(t)
- e
presr
(28)
286
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
U datom primeru srednja daljina aviona je 2,5 km, čemu odgovara vreme leta projektila oko 3 s. Zato će predikcija vektora stanja biti određena za L=75 ta-čaka. Standardna odstupanja ocene pozi-cije cilja i predikcije pozicije cilja biće određena za sredinu intervala od N=100 tačaka, koji će biti pomeran za po jednu tačku unapred u toku praćenja cilja.
Hipoteze o kretanju cilja
Najsloženije kretanje ciljeva koji lete izvode avioni. Ono je složena funkcija per-formansi letelice, veštine pilota, taktike na-pada, slučajnih poremećaja i slično. Zato je nemoguće precizno opisati proizvoljno kretanje cilja bez poznavanja veličine upra-vljačkih parametara, aerodinamičkih i po-gonskih parametara letelice, stanja atmosfe-re i dejstva slučajnih poremećaja. Međutim, postoje posebni slučajevi leta cilja koji se mogu precizno matematički opisati uproš-ćenim modelima u kojima se ne pojavljuju nepoznate veličine. To su ustaljeni režimi leta koji se primenjuju tokom većeg dela vremena leta aviona, dok se promena nači-na kretanja vrši u neustaljenom režimu leta, takozvanim manevrom. Na osnovu toga uvode se sledeće hipoteze o kretanju cilja:
- hipoteza o pravolinijskom letu konstantnom brzinom;
- hipoteza o letu sa konstantnim vektorom ubrzanja;
- hipoteza o neustaljenom režimu leta.
Ove hipoteze omogućavaju da se
uvedu sledeći matematički modeli kreta-nja cilja:
- model približno konstantne brzine (NCV);
- model približno konstantnog ubr-zanja (NCA):
- model eksponencijalno korelisa-nog ubrzanja (ECA).
Prva dva modela predstavljaju usta-ljeno kretanje cilja i omogućavaju precizno praćenje i predviđanje tačke susreta cilja i projektila. Treći model predstavlja neustaljeno kretanje cilja (manevar) i omogućava precizno pozicioniranje sen-zora i stabilno praćenje cilja, ali manje precizno predviđanje tačke susreta.
Režimi kretanja cilja su procesi slu-čajnog karaktera, tako da je neizvesno ko-liko vremena i po kojoj od datih hipoteza će se cilj kretati. Osnovni problem jeste da se u toku praćenja odredi po kojoj hi-potezi se odvija kretanje cilja. To se reša-va određivanjem verovatnoće tačnosti po-jedinih hipoteza kretanja cilja u toku pra-ćenja i primenom najverovatnijeg modela.
Model približno konstantne brzine
Model približno konstantne brzine podrazumeva da su male promene brzine kretanja cilja date kao beli šum procesa sa nultom srednjom vrednosti u toku pe-rioda uzorkovanja T. Jednačina stanja modela približno konstantne brzine za jednu koordinatu prikazana je u [3]. Pro-širivanjem tih jednačina na tri koordinate dobijaju se sledeće matrice:
"l T 0 0 0 0 0 0 0"
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 T 0 0 0 0
F = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (29)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
220 0 0 0 0 0 1 T 033
20 0 0 0 0 0 0 1 03
0 0 0 0 0 0 0 0 0
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
287
Q=Sv
Sv z
- T4 4 T3 2 0 0 0 0 0 0 0
T3 2 T2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 T T3 2 0 0 0 0
0 0 0 T3 2 T2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 4 T3 2 0
0 0 0 0 0 0 T3 2 T2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 (
J2x 0 0 0 0 0 0 0 0
0 a 2x 0 0 0 0 0 0 0
0 0 a Vx 0 0 0 0 0 0
0 0 0 < 0 0 0 0 0
0 0 0 0 a2y 0 0 0 0
0 0 0 0 0 a2y 0 0 0
0 0 0 0 0 0 a2z 0 0
0 0 0 0 0 0 0 a2z 0
0 0 0 0 0 0 0 0 a2z
(30)
(31)
Varijanse šuma procesa o2^ ,G2vy i
a2z određuju se saglasno veličini kompo-nenti srednjeg ubrzanja po koordinatama:
AY
a
(x y.z)
sr (x, y, z)
T
(32)
Nakon inicijalizacije Kalmanovog filtera usvaja se niža vrednost šuma а^( x yz) = 1, a zatim se posle izračunava-
nja prve vrednosti komponenti srednjeg ubrzanja, u kliznom prozoru od 50 tača-ka, uvodi nova vrednost za varijansu šu-ma procesa po obrascu:
<r2( ) = 10a ( ) (33)
v (x, y, z ) sr (x, y, z)
Ove vrednosti se neprestano određu-ju pomeranjem kliznog prozora korak po korak do kraja praćenja, tako da se nivo šuma procesa, koji se definiše pomoću varijansi, neprekidno prilagođava prome-nama ubrzanja cilja. Faktor uvećanja srednjeg ubrzanja od 10 puta u formuli
(33) određen je eksperimentalno, tako da se dobije najmanja greška estimacije i predikcije cilja. Veće uvećanje varijanse šuma povećava oscilatornost procesa i uvećava grešku predikcije. Smanjenje ni-voa šuma (vrednosti varijanse) smanjuje oscilatornost procesa, ali uvećava greške estimacije i predikcije. Početne vrednosti varijansi od <j2v{ xyz} = 1 ne utiču bitno
na greške estimacije i predikcije u toku praćenja i neznatno utiču na prelazni pro-ces u početku rada estimatora.
Model približno konstantnog ubrzanja
Ovaj model podrazumeva da se u toku perioda uzorkovanja T ubrzanje cilja uvećava za vrednost šuma procesa v(t), koji je beli šum sa nultom srednjom vrednosti. Jednačine ovog modela za jed-nu koordinatu izvedene su u [3], a proši-rivanje modela na kretanje cilja u prosto-ru 3D može se ostvariti uvođenjem sle-dećih vrednosti matrica:
-1 T T2 /2 0 0 0 0 0 0 '
0 1 T 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 T T 2/2 0 0 0 (34)
F = 0 0 0 0 1 T 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 03
0 0 0 0 0 0 1 T T2 /2
0 0 0 0 0 0 0 1 T33
0 0 0 0 0 0 0 0 1
288
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
Q = Sv
Ц T3 T2 0 0 0 0 0 0 Model sa promenljivim
4 T3 2 2 ubrzanjem
2 T2 T 0 0 0 0 0 033
T2 T 1 0 0 0 0 0 033 Prethodni modeli dobro aproksimi-
2 t 4 T3 T2 (35) raju ustaljene režime kretanja cilja sa
0 0 0 4 2 2 0 0 033 konstantnom brzinom ili ubrzanjem, ali
0 0 0 T3 T2 T 0 0 033 ne mogu dobro da aproksimiraju neusta-
2 T2 ljeno kretanje kada cilj vrši manevar. Za
0 0 0 2 T 1 0 0 033 ciljeve koji manevrišu obično se koristi
0 0 0 0 0 0 T4_ T3 T2 model sa eksponencijalno korelisanim
4 T3 2 233 ubrzanjem [5, 6]. Kretanje cilja sa mane-
0 0 0 0 0 0 2 T2 T33 vrom u prostoru 3D može se modelirati
0 0 0 0 0 0 T2 2 T 1 uvođenjem sledećih vrednosti matrica:
Ovde je Sv matrica varijansi šu-mova procesa po koordinatama Sv=f( C, aVy, &Vz) data relacijom (31).
Vrednosti varijansi šuma procesa određuju se saglasno promeni kompo-nenti srednjeg ubrzanja Aasr(x,y,z) koje se određuju prema [3]. Pri tome se varijanse računaju kao:
c ( ) = 0,001Aa ( )
V(x,y,z) V, w л. J-Жx*sr(x,y,z)
(36)
F =
Vrednosti za priraštaj ubrzanja Aasr(x,y,z) neprestano se računaju u po-kretnom kliznom prozoru od 50 tača-ka. Vrednost konstante kojom se mno-ži prirast ubrzanja od 0,001 određena je eksperimentalno, tako da se dobijaju najmanje greške estimacije i predikcije pozicije cilja. Usvojeno je da početna vrednost varijanse šuma iznosi 0,01. Uticaj promene vrednosti varijansi šu-ma procesa na tačnost estimacije i predikcije sličan je kao u prethodnom slu-čaju.
"1 T T2/2 0 0 0 0 0 0 "
0 1 T 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 033
0 0 0 1 T T2/2 0 0 033
0 0 0 0 1 T 0 0 033
0 0 0 0 0 1 0 0 03
220 0 0 0 0 0 1 T T2/2
220 0 0 0 0 0 0 1 T33
0 0 0 0 0 0 0 0 1
"t 5 20 T 4 8 T3 6 0 0 0 0 0 0
T 4 8 T3 3 T2 2 0 0 0 0 0 0
T3 6 T2 2 T 0 0 0 0 0 0
0 0 0 T5 20 T 4 8 T3 6 0 0 0
Sv 220 0 0 T 4 8 T3 3 T2 2 0 0 0
220 0 0 T3 6 T2 2 T 0 0 0
220 0 0 0 0 0 T5 20 T4 T3 86
220 0 0 0 0 0 T 4 8 T 3 T 2 3 2
0 0 0 0 0 0 T3 6 T2 T 2
(37)
(38)
Ovde je Sv matrica varijansi šumova procesa po koordinatama Sv = f (c2vx, c2vy,
C), data relacijom (31).
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
289
Vrednosti varijansi šuma procesa kod ovog modela određuju se proporcio-nalno sa kvadratom ubrzanja, tako da je:
(x, у, z) = 0,15^asr(x, y, z) (39)
Vrednosti za priraštaj ubrzanja Aasr(x,y,z) neprestano se računaju u pokret-nom kliznom prozoru od 50 tačaka. Fak-tor proporcionalnosti 0,15 određen je eksperimentalno. Usvojeno je da početna vrednost varijanse šuma iznosi 0,15. Uti-caj promene vrednosti varijansi šuma procesa na tačnost estimacije i predikcije sličan je kao u prethodnim slučajevima.
Ovde je x(k) stanje sistema, a vj(k) su Gausovi beli šumovi procesa sa kova-rijansama Qj(k).
Hipoteza da se sistem u nekom tre-nutku ponaša prema j-tom modelu ozna-čava se sa Mj. Verovatnoća da je hipote-za tačna iznosi:
Mj (k) = Pr {МП1к} (41)
gde je Zk realizovana vremenska sekven-ca merenja do trenutka tk=kT:
Zk = {z (0), z (1),..., z (k)} (42)
Estimacija primenom
više modela
U ovom pristupu sistem se ponaša po jednom od konačnog broja modela. Pri tome se koristi Bajesova formula za određivanje verovatnoće modela. Na osnovu Bajesovih rezultata svaki model startuje sa apriornom verovatnoćom, a odgovarajuće posteriorne verovatnoće iz-računavaju se pri svakom koraku rada estimatora.
Ovde će se primeniti statički slučaj, kada je ponašanje pojedinih estimatora nezavisno od rezultata drugih estimatora, a rezultujuća izlazna estimacija dobija se kao suma pojedinih estimacija pomnože-nih sa njihovim verovatnoćama.
Sistem u toku vremena može da me-nja model ponašanja, ali se u svakom tre-nutku ponaša po jednom od n poznatih modela:
x(k +1) = F (k)x(k) + Гj (k)v] (k),
J J J (40)
J = 1, 2,.., n
Merenja su definisana opservacio-nim modelom:
z(k) = H (k) x( к) + w( к) (43)
gde je w(k) Gausov beli šum kovarijanse
R(k).
Početna verovatnoća da je tačna hi-poteza Mj, iznosi:
Mj (0) = Pr {MJ | Z0} (44)
Pri tome je očigledno da važi:
Ž Mj (0) = 1 (45)
j=1
Primenom Bajesove formule [6] uslovna verovatnoća da je hipoteza Mj tačna može se izraziti u sledećem obliku:
k ч лj (k)M(k -1)
Mj(k) = ~nr-----------
£Лг (kM (k -1)
i=1
(46)
290
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
Ovde je Лј(к) funkcija verodostoj-nosti modela Mj u trenutku tk, koja je za linearni Gausov model data sa:
Л, (k) = f (z(k) | Zk-1,Mj)
= f (У, (k)) = N{y, (k );0, Sj (k)}
(47)
gde su yj i Sj inovacija i njena kovarijan-sa za filter koji odgovara modelu Mj, a f(.) je funkcija gustine raspodele inovaci-je, koja ima normalnu raspodelu.
Rekurzivno izračunavanje verovat-noće modela počinje sa datom početnom verovatnoćom (44), za koju se obično uzi-ma da iznosi 1/n, i nastavlja se pomoću (46) za k=1, 2,... Pri tome se funkcija ve-rodostojnosti određuje pomoću formule:
л (k) = exp 0-0,5y, (k)T Sj (k)^ y, (k) ]
' {(2n)nz det[Sj (k)]}
(48)
Izlaz svakog filtera je modelom uslovljena ocena stanja X, (k / k) sa ko-varijansom Pj(k/k) i funkcijom verodo-stojnosti Aj(k).
Pod pretpostavkom da je funkcija gustine raspodele verovatnoća stanja si-stema Gausova miksovana od n izlaza:
f (x(k )|Zk) =
= Ž Џ j (k )N {x(k); у, (k / k), Pj (k / k)}
,=i
(49)
kombinacija modelom uslovljenih ocena stanja i matrica kovarijansi kombinovane ocene iznosi:
x( k / k) = ^ j, (k) xj (k / k) (50)
,=i
P(k / k) = £j (k) {Pj (k / k) +
,=i
[ x, (k / k) - X(k / k)][ У, (k / k) - (51)
- X(k / k ]T}
Dati izrazi su tačni pod pretpostav-kama da se tačan model nalazi unutar skupa razmatranih modela i da su od po-četnog vremena na snazi isti modeli. Pr-va pretpostavka je razumljiva aproksima-cija, dok druga nije tačna za promenljive modele, jer kada počne manevar dolazi do promene modela i tada se javljaju skokovi sa modela na model. U slučaju prebacivanja modela mogu se uvesti veš-tačke verovatnoće modela po određenom kriterijumu.
Ovaj pristup daje konzistentne esti-macije ako skup modela uključuje pravi model, tako da nema skokova sa modela na model. Tada verovatnoća tačnog modela konvergira ka jedinici.
Primenom izložene metode urađen je MM estimator sa kinematskim modelima približno konstantne brzine (NCV), pribli-žno konstantnog ubrzanja (NCA) i ekspo-nencijalno korelisanog ubrzanja (ECA), sa prethodno usvojenim parametrima koji se ne menjaju u toku praćenja cilja.
Primer estimacije kretanja cilja
sa više modela
Pri kretanju cilja, u opštem slučaju, dolazi do slučajne promene režima leta. Pri tome se u svakom trenutku cilj kreće po jednom od opisanih ustaljenih režima
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
291
ili po neustaljenom režimu. Modeli pribli-žno konstantne brzine i približno kon-stantnog ubrzanja dovoljno precizno opi-suju ustaljeno kretanje cilja, dok model eksponencijalno korelisanog ubrzanja pri-bližno opisuje neustaljeno kretanje cilja. Da bi praćenje cilja bilo stabilno, a njego-va predikcija pozicije što tačnija, uvek ka-da promeni način kretanja mora se prome-niti i model koji opisuje kretanje cilja. Po-stoji više načina prilagođavanja modela praćenja kretanja cilja. To su promena pa-rametara jedinstvenog modela cilja ili promena modela i parametara praćenja. U opštem slučaju, promena načina kretanja cilja nije poznata, pa se pribegava istovremenoj primeni više modela kretanja cilja paralelnom upotrebom više Kal-manovih filtera. To su takozvani estimato-ri sa više modela (MM - multimodel), statičkog ili dinamičkog tipa, koji određu-ju verovatnoću za svaki paralelno spreg-nuti model sa kojom modeli aproksimira-ju trenutno kretanje cilja. Izlazne estima-cije stanja i kovarijanse kod MM estima-tora su sume estimacija pojedinih modela, pomnožene njihovim verovatnoćama.
Za eksperiment praćenja aviona, ob-rađen kroz primere u ovom radu, radi prikaza mogućnosti estimacije i predikci-je kretanja cilja za potrebe praćenja i pre-ticanja, urađen je statički multimodel estimator sa paralelno spregnuta tri Kal-manova filtera na osnovu prethodno opi-sanih modela (NCV, ACV i ECA). Kod statičkog MM estimatora nakon inicijali-zacije filteri rade paralelno sa svojim je-dinstvenim estimacijama stanja cilja. Ve-rovatnoće da se cilj kreće saglasno ne-kom od primenjenih modela određuju se primenom Bajesove teoreme pomoću
funkcija verodostojnosti (46). Izlazne vrednosti ocene vektora stanja i odgova-rajuće kovarijanse dobijaju se sabiranjem ocena veličina stanja ili kovarijansi poje-dinih filtera pomnoženih sa verovatnoća-ma njihove realizacije, kao što je dato jednačinama (50) i (51).
Rezultati paralelnog proračuna za sva tri modela prikazani su u vidu dija-grama na slici 6, koji prikazuju greške estimacije i greške predikcije pozicije cilja u odnosu na referentnu putanju. Na slici 7 dati su dijagrami greške estimacije i predikcije pozicije i standardna odstu-panja za MM estimator i verovatnoće modela. Vidi se da je najverovatniji model približno konstantne brzine, što od-govara prirodi kretanja cilja u datom pri-meru.
Sl. 6 - Greške estimacije i predikcije pozicije za tri modela kretanja cilja
Rezultati paralelnog proračuna za sva tri modela prikazani su u vidu dijagra-ma na slici 6, koji prikazuju greške estimacije i greške predikcije pozicije cilja u odnosu na referentnu putanju. Na slici 7 dati su dijagrami greške estimacije i predikcije pozicije i standardna odstupanja za MM estimator i verovatnoće modela. Vidi
292
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
se da je najverovatniji model približno konstantne brzine, što odgovara prirodi kretanja cilja u datom primeru.
Sl. 7 - Greške estimacije i predikcije pozicije i standardna odstupanja za MM estimator
Zaključak
U radu je izvršena sinteza estimatora za estimaciju i predikciju kretanja cilja na osnovu obrade podataka praćenja cilja po-moću video senzora. Pri tome su primenje-na tri modela kretanja cilja, sa približno konstantnom brzinom (NCV), približno konstantnim ubrzanjem (NCA) i model sa eksponencijalno korelisanim ubrzanjem (ECA), koji predstavlja manevrišući cilj. Kao konačno rešenje predložen je višemo-delski (MM) estimator od tri paralelna Kal-manova filtera (NCV, NCA i ECA) sa kombinovanim izlaznim estimacijama i predikcijama kretanja cilja. Usvojeni su
modeli sa devet veličina stanja, po tri pra-vougle koordinate cilja, komponente brzine i ubrzanja. Merene veličine su pravou-gle koordinate cilja, koje se dobijaju iz fil-triranih sfernih koordinata, na osnovu suk-cesivne obrade video snimaka cilja. Ekspe-rimentalni rezultati pokazuju da se greške estimacije pozicije cilja kreću u granicama do 10 m na daljini do 5 km, a da se sa pri-bližavanjem cilja smanjuju na 2 do 3 m. Greške predikcije su nešto veće na početku praćenja, kada iznose do 20 m singularno, da bi se sa približavanjem cilja smanjivale na 2 do 5 m.
Može se konstatovati da je ostvaren doprinos u postavci nove metode praće-nja ciljeva, zasnovane isključivo na pri-meni video senzora. Pasivni video senzo-ri se redovno primenjuju u sistemima PVO, uz upotrebu aktivnih senzora za određivanje daljine cilja. Mogućnosti nji-hove primene proširene su postavljanjem nove metode određivanja daljine cilja i novog modela njegovog praćenja. Pri tome je izvršen optimalni izbor modela i parametara adaptacije paralelno prime-njenih Kalmanovih filtera u višemodel-skom estimatoru. Rezultatima sprovede-nih eksperimentalnih istraživanja uspeš-no je potvrđen izbor optimalnih rešenja adaptacije estimatora i mogućnosti prak-tične primene nove metode u sistemima upravljanja vatrom PVO. Poseban značaj ostvarenog naučnog doprinosa ogleda se u univerzalnosti postavljene metode i mogućnosti mnogo šire primene u oblasti automatizacije i robotike.
Dalja istraživanja potrebno je usmeriti ka unapređivanju postupaka obrade slike, merenja i estimacije pozicije objekata, kao i izučavanju mogućnosti primene metode za rešavanje specifičnih problema
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
293
Literatura:
[1] Ugarak, D.; Milinović, M.: Error and noise analyses and their influence on the air target tracking and coordinates estimation, Scientific Tehnical Review, Vol LIII, No.1, 2003.
[2] Ugarak, D.: Određivanje daljine cilja pomoću video senzora
i analiza uticaja grešaka i šuma merenja, OTEH Vojna akademija, Beograd, 2005.
[3] Ugarak, D.: Ocena daljine cilja u toku praćenja video sen-
zorima, OTEH Vojna akademija, Beograd, 2005.
[4] Milinović, M.: Modeliranje sistema upravljanja vatrom i praćenja vazdušnih ciljeva, Mašinski fakultet, Beograd 2002.
[5] Blackman, S.: Design and Analysis of Modern Tracking
Systems, Norwood, MA:Arteach House, 1999.
[6] Bar-Shalom, Y.: Estimation With Applications to Tracking
and Navigation, John Wily & Sons, New York, 2001.
294
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2006.
