Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй Текст научной статьи по специальности «Физика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№126

УДК 681.518.52.

АНАЛИЗ СИГМА-ДЕЛЬТА МОДУЛЯТОРА С ОДНОЙ ПЕТЛЁЙ

Б.И. ШАХТАРИН, А.А. ИВАНОВ

В работе методами математического моделирования исследован принцип работы сигма-дельта модулятора с одной петлёй. Найдены статистические характеристики ошибки квантования при постоянном входном воздействии. С помощью имитационной модели произведена проверка полученных результатов.

В настоящее время во многих областях техники [1,2] широкое распространение получила архитектура сигма-дельта модулятора (SDM ), основным достоинством которой является простая реализация. Подавляющее большинство SDM являются цифровыми устройствами в связи с особенностью их применения [3]. Например, подобные устройства используются в аналогоцифровых и цифро-аналоговых преобразователях (АЦП и ЦАП) для увеличения разрешающей способности путём передискретизации входного сигнала, в дробных синтезаторах частот для избавления от побочных гармоник путём рандомизации моментов переключения коэффициента деления, для точного и линейного преобразования ёмкости в код, а также для решения задач фильтрации, децимации и многих других. Однако, несмотря на многочисленные публикации по этой теме и широкое внедрение, исследованы лишь общие описательные принципы их работы [3], а доказательная сторона остаётся открытой.

В данной работе исследовано функционирование SDM применительно к задаче увеличения разрешающей способности, условием которой является превышение частоты дискретизации fa над верхней частотой спектра входного сигнала /. во много раз, т.е. fa >> f.. Смысл такого условия состоит в том, что при измерении одного и того же значения сигнала несколько раз среднее из измерений будет точнее каждого отдельного, если шум квантования является некоррелированным.

1. Математическая модель устройства квантования

В современной литературе существует несколько различных математических моделей устройства квантования [4]. Основная проблема в их использовании состоит прежде всего в том, что они нелинейные и описываются сложными аналитическими выражениями. А если в исследуемом устройстве есть обратные связи, то сложность резко возрастает. Например, в некоторых исследованиях устройство квантования заменяется идеальным реле [1-3]. Очевидно, что такое приближение является очень грубым и даёт достоверный результат только в ограниченном применении (при бинарном квантовании). Линеаризация также не является решением проблемы, потому что в реальном устройстве невозможно обеспечить бесконечно большое число уровней квантования. Однако выходом из положения может быть её применение при условии воздействий аддитивного равномерно распределённого белого шума [1,2]. Такое представление позволяет исследовать технические системы, содержащие устройство квантования, с помощью широко развитой линейной теории автоматического управления.

При этом необходимо выполнение следующих условий [4]:

1) Устройство квантования не переполняется, т.е. динамический диапазон входного сигнала не выходит за границы измерения, нет насыщения.

2) Устройство квантования содержит большое число уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования мало.

4) Совместная плотность распределения вероятности (ПРВ) пары любых двух отсчётов на входе устройства квантования есть гладкая функция.

При выполнении этих условий шум квантования является белым, однако, в реальных АЦП, особенно использующих передискретизацию, эти условия не выполняются, так как:

1) Заранее неизвестен динамический диапазон входного сигнала.

2) Устройство квантования обычно содержит лишь несколько уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования велико.

4) Вследствие влияния обратных связей совместная ПРВ отсчётов на входе устройства квантования не является гладкой функцией.

Одним из возможных методов анализа является разложение нелинейных элементов в ряд Фурье, т.е. гармонический анализ. При этом в случае периодической нелинейной зависимости можно получить довольно простые для анализа выражения, которые позволяют находить статистические моменты различных порядков исследуемой характеристики.

Поскольку распределение сигнала на входе устройства квантования заранее не известно, будем использовать равномерное распределение N уровней. Например, на рис. 1 изображена характеристика устройства квантования с равномерным распределением N = 8 уровней и расстоянием между уровнями А = 1, где и - вход, а ц (и) - выход.

Стоит отметить, что на его выходе всегда появляется значение уровня, наиболее близко расположенного к входному сигналу, т.е. происходит округление до ближайшего уровня. Таким образом, устройство квантования описывается в виде [4]

Я (и ) =

(к - 1)Л< и < кЛ, к є

и <

N „ N Л

— + 2;-1

22

(1)

причём ошибка квантования равна

<

е = д(и)-и . (2)

Ошибка квантования представляет наибольший интерес для анализа. С учётом (2) нормированная ошибка имеет вид

= е = и д (и)

тогда из (1), (2) получим

~Є Л Л Л ’

Ц( N - 1| - 1; и > ( N - 1|

Л Г 2 ) 2 Л ^ 2 )

*-(к-1)-2; (к- 1)£Л<к, кє

и - Г - N+1)+1; и < Г - N+1)

Л I 2 ) 2 Л I 2 і

N „ N ,

---+ 2;-1

22

(3)

Если динамический диапазон сигнала и находится внутри области квантования, т.е. если нет переполнения, то из (3) получим

-е = Л-(к -1)-1 при (к - 1)<и < к, к є

- N + 2; N - 1 2 2

(4)

Введём обозначение дёйствительного числа г = [г] + (г), где [г] - целая часть числа г, а мнимая, причём [г] < г , а 0 < (г) < 1.

Тогда из (4) получим

1

и и

е= _ Л _ + ( и)

2

(5)

При условии (к - 1) : образуется к виду

и

Л

которое следует из выражения (к -1)< —< к, формула (5) преЛ

е = 1 - ^ 2 \Л/

(6)

Очевидно, что в формуле (6) ошибка е (и) является периодической функцией с периодом А,

и ^ (N Л и ( N Л тт если не учитывать края диапазона, в которых а - I ~-1 I и а <I -^~ +1 I. На рис. 2 представ-

лена зависимость е (и

(и).

г

Стоит отметить, что поскольку переполнения не происходит, то можно вместо участков насыщения по краям на рис. 2 сделать периодическое продолжение. Т.к. входной сигнал и не достигает этих границ, то соответственно такое представление не внесёт изменений, однако заметно упростит аналитическое выражение е(и) в форме ряда.

Согласно [5] комплексный ряд Фурье для периодической функции е (и) с периодом А записывается в виде

t \ П=¥ (inpu ) 1 Р / Ч (-inpu ),

* (u ) = S cn exp I Т72 I , где cn =D J* (u) exp I ~rj2~ du • (7)

A/2J n AJ0 4 ' | A/2 J

u1

n=-¥ \ ^ у 0

пФ0

Поскольку на промежутке [0;А) функция принимает вид е(и) = -^+2^, тогда по (7) полу-

1 А ( и 1 ^ (-inpu V 1 _

чим с = — II-------+ — I exp I ----ии =------ при n ф 0, в чём нетрудно убедиться, причём

А 0 ^ А 2) ^ А/2 ) 2inp

Со = A JI -A + 2 Jdu = 0.

Тогда из (7) получим

*(u)= S^expI ^ )• (8)

n=-¥ 2inp | A /2,

пФ0

2. Статистические характеристики ошибки квантования

Для анализа мощности ошибки обычно используется квадрат ошибки [1-4], поэтому далее разложим на промежутке [0; Л) в ряд функцию е2 (и) = Г-Л +1) =~^^-Л) , тогда по (7) получим

1 f ( 2 a A2 )2 (-inpu) 1

С =—- I u - uA+-------exp I ------- Idu =------ при n Ф 0, в чем нетрудно убедиться, причем

n A3J1 4 J Я A/2 Г 2(np)2 Р р

2

c0 = -1 JI u2 -uA + —

0 A3 JI 4 У

Тогда из (7) получим

du = —. 12

* (u) = £+ exp|=il ]• (9)

n=-¥ .

пф0

2 / ч 1 %=¥ 1 (inpu

' (u ) =-----+ > -------------^exp I-

12 n=-¥ 2 (np )2 Ч А/2

пФ0 ;

С помощью зависимостей (8), (9) можно получить статистические характеристики ошибки. Поскольку устройство квантования является дискретным, то в выражениях (8), (9) необходимо перейти от непрерывного времени к дискретному, т.е. произвести замены вида e ® ек,

и ® ик, тогда

/ Ч ' 1 (inpuk ^ ЛЧ

ек (ик)= ехр| ~АТЛГ I, (10)

„tl2тп \ А/2 )

„ф0

К )=—+ £

-ехр

¡при

k

А/2

(11)

12 „=_¥ 2 ( пр)

п*0 '

Однако стоит отметить, что полученные ряды справедливы лишь для определённых классов входных воздействий и , а в некоторых особых случаях возможно их расхождение [4].

Введём оператор E (и), который означает среднее значение величины и . Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса по [4] соответственно имеют вид

Me = E (ei), De = E (е;). (12)

Автокорреляционная функция (АКФ) случайного процесса по [4] записывается в виде

Ке (k, к + т) = E(), (13)

при этом усреднение предполагается по множеству реализаций ошибки.

Поскольку в рассматриваемой работе наиболее интересен случай передискретизации, то при достаточно больших значениях отношения сигнал-шум (ОСШ) можно предположить условие квазистационарности входного воздействия. Предположим, что входное воздействие также обладает свойством эргодичности. Тогда из (10) можно сделать вывод, что процесс е также является квазистационарным и эргодическим, поэтому оператор усреднения можно заменить усреднением по одному ряду, т.е. E ® E, тогда по (12) получим

М _ М

Me = E (ek)=М1т£ ек, ^ = E (ek2) = £е,

k=1

к=1

а из (13) следует

Из (10), (14) получим

К (к, к+т)=Е (екек+т)=Ке (т) = 1;т £ еке>

к=1

М. = Е (е, ) = Е

£т,

2тр

ехР

три

к

А/2

п=¥ 1 _

£— Е

п=_¥ 2/пр

ехР

три

к

А/2

De = Е

ехР

три

— + £ —

12 п=_¥2(пр)2 Ч А/2

1 п=¥ 1 _ — + £----------------2 Е

12 п=_¥ 2 (пр)2

п *0 7

еХР

inpu

к

А/2

(14)

(15)

(16)

Из (10), (15) определим АКФ стационарного процесса

п=¥ I=

К (т ) = Е (екек+т )= £ £ —

1

1 -Е

п=_¥ I =-¥ п*0 I *0

2/пр 2//р

ехР

три

к

А/2

ехР

¡/ри

к+т

А/2

Из [4] определим характеристическую функцию СП и в виде

(/при

&и (¡п )= Е

ехР

А/2

(17)

(18)

где усреднение Е осуществляется по переменной и , тогда двумерная характеристическая функция определяется как

ехР

/при

к

А/2

ехР

¡/ри

к+т

А/2

(19)

Из (16), (18) получим

1

2

п=-¥

п=¥ 1 1 п=¥ 1

M = Z (in). D = - + Z —^и (in). (20)

n=-¥ 2тп 12 n=-¥ 2 (np)

n^0 n^0

Из (17), (19) получим

n=¥ l = ¥ 1 1

1 1 gM ,

(т) = - II 2— 2Рвит}{п И) • (21)

«=-¥;=-¥ 2пр 2/Р

и^0 / ^0

В качестве примера рассмотрим воздействие на устройство квантования константы ик = с. Очевидно, что при отсутствии шума на выходе также будет постоянная величина согласно (1).

При этом выполняется условие Ме = Е (ек ) = ек = — -/ —), причём

2 \А/

Д. = £ (e, )= е; = I - -(Д| , а К, (m) = £ (еЛ+„ ) = e,2 = Д..

Из примера видно, что при воздействии на устройство квантования медленно изменяющейся функции, что справедливо при передискретизации, ошибка также изменяется медленно. Таким образом, сигнал и шум квантования с большой вероятностью лежат в одной полосе частотной области, и их нельзя разделить методами фильтрации [6-8].

В работе [9] предложен метод, согласно которому перед квантованием к полезному сигналу vn добавляется белый шум wn, т.е. на входе смесь вида

un = vn + wn. (22)

В [10] доказано, что если характеристическая функция процесса wn равна нулю, то при отсутствии переполнения ошибка квантования en = q (vn + wn)- vn + wn не зависит от полезного сигнала vn, т.е. является белым шумом (БШ). Такой метод воздействия на ошибку называется размыванием. Если ошибка является БШ, то её мощность одинаково распределена по всёй частотной области от 0 до fa, а в случае передискретизации, т.е. при условии fa >> f., мощность

сигнала сосредоточена в области низких частот. Таким образом, с помощью фильтра низких частот (ФНЧ) можно заметно подавить шум дискретизации [6]. При этом необходимо правильно выбрать wn. Очевидно, что если мощность шума wn мала, то его мгновенные значения будут

локализованы в пределах одного уровня квантования и ошибка будет коррелированна с vn. Таким образом, мощность wn должна быть сравнима с мощностью en .

3. Модель SDM с одной петлёй

В предыдущем разделе была изложена идея добавления к входному сигналу белого шума, тем самым размывая спектр ошибки квантования по всему диапазону частот. В основе конструкции ХАМ лежит метод, согласно которому ошибку квантования, которая по предположению является БШ, добавляют к входному сигналу аналогично (22), тем самым обеспечивая её же размывание по частоте. Структурная схема подобной модели изображена на рис. 3. Элемент задержки введён в схему для того, чтобы она соответствовала работе реального АЦП, потому что это устройство является тактируемым. Изменение полярности ошибки применяется для удобства.

Из рис. 3 можно получить разностное уравнение

Un = xn-1 - еп-1 = xn-1 - \_q (ип-1)- ип-1 ] = ип-1 + xn-1 - q (^). (23)

На рис. 4 приведена наиболее распространённая структурная схема БАМ с одним кольцом, которая легко получается из схемы на рис. 3 с помощью преобразований сумматоров [4].

Рис. 3. Основа конструкции SDM

Рис. 4. Структурная схема SDM

На входе схемы расположен вычитатель квантованного сигнала q (un) из входного xn. После вычитателя расположен цифровой интегратор, выделенный штриховой линией. После интегратора сигнал подвергается квантованию и затем через кольцо обратной связи поступает на вычитатель.

Из (2) получим выражения

e = q (u)- un, en-i = q (un-i) - un-i. (24)

Тогда с помощью (23), (24) получим

q (un ) = xn-i +(en -en-i). (25)

Таким образом, на выходе SDM сигнал представляет собой смесь задержанного входного сигнала и разности ошибок квантования за текущий такт и предыдущий. Основная задача анализа уравнения (25) состоит в исследовании спектра ошибки, т.к. для её устранения необходима фильтрация.

При условии (6) с учётом (23) ошибка преобразуется к виду

•■-K-febbHH-Hx-'-). ‘’б’

Формула (26) представляет собой рекурсивное уравнение ошибки.

Обозначим начальные условия e0 -1 и сделаем замену

*-Ь-bt-'Mit-\+>n-)' (27)

Поскольку в определении уп участвует лишь дробная часть, т.е. ( ), то в скобках можно прибавить 1. Тогда из (27) получим

уп=Ч =ЙЧ+1+у~)=(т4+у4 (28)

При этом у0 = 0 .

Из (28) находим

n-1

Уп = Z

\к=0

+1 А 2

п 1 хк п

(29)

Ошибка квантования по (27), (29) имеет вид

--Ш4 (30)

Стоит отметить, что выражение (30) по своей структуре аналогично (6), поэтому, произведя замену

-1Й4 13и

получим аналог (6), т.е.

еп - |- М . (32)

При этом sn в SAM является аналогом ип в АЦП, т.е. SAM является интегратором суммы

1

входного сигнала и константы — .

2

4. Спектральные характеристики SAM при постоянном входном воздействии

Рассчитаем статистические характеристики сигнала ошибки еп при xn - x для п - 0..¥,

причём x не вызывает переполнения и в общем случае —- является иррациональным числом

A

m n x x 1

[6-8]. Стоит отметить, что в случае рационального ^, например 7=2", ошибка является периодической функцией с заранее известным периодом. Поскольку сигнал является медленно изменяющейся функцией, то условие передискретизации выполняется.

Из (31), (32) следует, что с каждым тактом дискретизации sn возрастает на величину

f x 1 Л

I —- — I, т.е. имеет место линейная зависимость I A 2 J

sn =bn> (33)

где ь=і а+21.

Тогда из (18) с учётом (33) получим характеристическую функцию сигнала sn в виде

1 N f ilPS Л , 1 N

es (и)- — I exp I-тNIexp (2nilbn). (34)

Поскольку для экспоненты справедливо равенство

exp (2pia) - exp (2pi [a] + 2m(a)) - exp (2pi (a)),

которое означает, что аргумент, кратный 2р, не влияет на результат вычисления, то из (34) получим

1 N

qs (И) = lim\NN£ exP (2pi (lbn)) • (35)

N

,{' [•>)

п=1

В работе [11] показано, что для интегрируемой функции g справедливо равенство

1 N 1

iim\N ®~Т7 i g aan+b)- j g(u Yu

N n-1 0

при условии, что a является иррациональным числом, а b - действительным. Такое равенство вполне понятно интуитивно, т.к. [an + b - генератор равномерно распределённой случайной

1N

величины (СВ) на интервале [0...1), а —£ g - математическое ожидание g на заданном ин-

N n-1

тервале.

Поэтому из (35) получим

, . 1 . Г 0 l ф 0

es (il)- J exp (2piu)du - < . (36)

0 I1 l - 0

Причём es (0) -1 можно найти из выражения (35).

Тогда из (20) для SAM получим

n=¥ 1 1 n=¥ 1 1

Me - I (in)-De - 7T + I —2 e (in)--. (37)

,--¥ 2mp 12 n--^ 2 (np) 12

.—¿л ' ’

ПФ0 ПФ0

Из (37) следует, что среднее значение и мощность ошибки SAM такие же, как у равномерно распределённой СВ, т.е. соответствуют характеристикам шума квантования в обычном устройстве квантования. Остаётся лишь найти её спектральные характеристики.

Из (19) находим

q m)( in, il ) = Ч, N ¿exp ( P) exp [ ^

1 N

qs(m) (n il) = lim\NN £ eXP ( 2pinsk + 2pilsk+m ) •

exp I---------k+m I, (38)

I I / • 1 I ' t f rs I

k=1

N

Тогда из (33) получим

1N

qfm) (in, il) = lim\N— £ exp (2pinbk + 2pilb (k + m))

k=1

N

1N

в|m) (in, il) = exp (2iplbm) lim\N~ £ exp (2pi fik (n +1))

1N

qfm) (in, il) = exp (2inlfim) lim\N — £ exp (2pi l^fik (n +1 )j). (39)

pm )lm\N~I exp 2Pi { pk (n -Таким образом выражение (39) преобразуется к виду

e'm)(in,il)-|exp(2iplbm) n. (40)

s v ’ [ 0 n Ф-l

С помощью (21) находим корреляционную функцию (КФ) ошибки SAM в виде

Re(m) = - £ £

і і k=¥ і

1 1 в”>(т, il ) = - £ 1

1

n=-¥ l =-¥

пф0 l ^0

t-¥ 2pn 2pl

k =-¥

k ^0

2pk 2pk

exp (2ipkfim).

k=¥

1

exp (2pikfim).

(41)

(42)

к=-¥ (2рк)

к *0 4 '

Как известно, по теореме Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности (СПМ) связаны парой преобразований Фурье, поэтому выражение (42) представляет собой синтез КФ по гармоникам с частотами /к = кЬ и мощностями согласно (7).

1

^2 к * 0 к = 0

(43)

(2рк)

0

Из (42) следует, что спектр ошибки является дискретным и периодическим.

Поскольку условие теоремы Котельникова не выполняется для спектра ошибки, т.е. имеет место перекрытие, то при рассмотрении области частот [0... /й) следует учитывать влияние копий спектра. Поэтому в заданном диапазоне гармоники находятся на частотах

fk = (kb) = (kf Х +1)/ при k ф 0 •

(44)

Таким образом, положение гармоник в спектре ошибки зависит только от амплитуды входного сигнала.

5. Моделирование работы SAM при постоянном входном воздействии

Для проверки состоятельности полученных результатов в системе Simulink 6.0 построена имитационная модель SAM, которая представлена на рис. 5. В качестве входного воздействия используется иррациональное число x - р » 3.1416, а расстояние между уровнями A -1.

На рис. 5 устройство квантования состоит из нескольких блоков, т.к. в стандартной библиотеке элементов нет нелинейных элементов с характеристикой, показанной на рис. 1. Устройства индикации представляют собой осциллограф и анализатор спектра.

На рис. 6. показана временная диаграмма ошибки квантования e ( n) в данных условиях.

Рис. 5. Имитационная модель SAM в системе Simulink 6.0

п

Рис. 6. Временная диаграмма ошибки квантования

Данные расчёта мощностей и частот по формулам (43), (44) представлены в таблице. На рис. 7 показана усреднённая периодограммная оценка спектра сигнала ошибки с использованием 4096-точечного преобразования Фурье на интервале частот [0.../а). При этом ось частот показана в линейном масштабе, а ось амплитуд - в линейном и логарифмическом. Сравнение результатов моделирования и табличных расчётов подтверждает состоятельность применения математического аппарата для анализа спектральных характеристик.

Рис. 7. Усреднённая периодограммная оценка спектра сигнала ошибки

Стоит отметить, что на рис. 7 помимо рассчитанных по таблице частот есть также зеркальные относительно частоты Найквиста составляющие, которые вызваны уже упомянутым ранее эффектом перекрытия копий спектра.

Из формул (43), (44), а также рис. 7 следует, что при постоянном входном воздействии ошибка квантования в SAM не является БШ, как предполагалось ранее, а представляет собой набор гармонических составляющих, положение которых определяется амплитудой входного сигнала.

Причём из (44) частота гармонической составляющей ошибки fk = ^ к ^ A + есть равно-

мерно распределённая СВ при к ф 0 во всём диапазоне частот \0...fa), однако, из (43) следует,

что мощность сигнала ошибки уменьшается обратно пропорционально квадрату её индекса k . При этом разность уровней первой и десятой гармоник составляет 20 дБ.

Поскольку априори х и соответственно fk неизвестны, то методами фильтрации трудно избавиться от ошибки e.

В связи с этим одной из перспективных задач является локализация гармоник с малыми индексами в области, расположенной вблизи частоты Найквиста, т.е. fk » “. Для SAM с одной

петлёй решение этой проблемы возможно при реализации одного из следующих методов: смещение входного сигнала на постоянную величину, использование адаптивной сетки квантования, применении цифровых фильтров более высоких порядков, чем интегратор, и др.

Таблица расчёта амплитуд и частот.

k

1

10

fk

3.1416 1

1

2

10

3.1416 1

-------1-

12

3.1416 1 1 + 2

3.1416 1

-------1-

12

3.1416 1

1 + 2

3.1416 1

1-------

12

3.1416 1

1-------

12

3.1416 1

1 + 2

3.1416 1

1-------

12

3.1416 1

1 + 2

i = 0.2832

i = 0.5664

i = 0.4912

i = 0.7743

= 0.4159

S. (k)

1

(2^)2 1

4 (2л)2 1

9 (2л)2 1

16 (2л)2 1

25 (2л)2 1

36 (2л)2 1

49 (2 л)2 1

64 (2л)2 1

81( 2л)2 1

100 (2л)2

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

ЛИТЕРАТУРА

1. Luckjif G., Dobson P.//Power spectrum of a sigma-delta modulator with hexagonal vector quantization and constant input// IEEE Trans. Commun. ,1999.

2. Robert M.G.//Spectral Analysis of Quantization Noise in a Single-Loop Sigma-Delta Modulator with dc Input// IEEE Trans. Commun., vol. 31, no. 6, june 1989

3. Brigati S., Francesconi F., Malcovati P., Tonietto D. Baschirotto A., Muloberti F.//Modeling sigma-delta modulator non-idealities in simulink// IEEE Trans. Commun., 1999.

4. Robert M.G.//Quantization Noise Spectra//IEEE Trans. Commun., vol. 36, no. 6, november 1990.

5. Письменский Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 2. - М.: Рольф, 2002.

6. Bae C.H., Ryu J.H. Lee K.W.//Suppression of Harmonic Spikes in Switching Converter Output using Dithered Sigma-Delta Modulation// IEEE Trans. Commun. ,2001.

7. Aziz P.M., Sorensen H.V., Spiegel J. V.//An Overview of Sigma-Delta Converters//IEEE signal processing magazine, january 1996.

8. Candy J. C. Benjamin O. J.//The structure of quantization noise from sigma-delta modulation//IEEE Trans. Commun., vol. COM-29, Sept. 1981.

9. Sripad A. B., Snyder D. L.//A necessary and sufficient condition for quantization errors to be uniform and white//IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Processing, vol. ASSP-25, oct. 1977.

10. Schuchman L.//Dither signals and their effects on quantization noise//IEEE Trans. Commun. Technol., vol. COM-12, Dec. 1964.

11. Petersen K. Ergodic Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1983.

ANALYSIS OF SINGLE-LOOP SIGMA-DELTA MODULATOR

Shakhtarin B.I., Ivanov A.A.

In work by means of mathematical modeling the principle of single-loop sigma-delta modulator functioning is investigated. Statistical characteristics of a quantization error are found at constant input. With the help of imitating model check of the results is made.

Сведения об авторах

Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую Военно-воздушную инженерную академию им. А.Ф. Можайского (1958) и ЛГУ (1968), доктор технических наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана, лауреат Государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники РФ, автор более 200 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов.

Иванов Андрей Андреевич, 1985 г.р., студент 6-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор 2 научных работ, область научных интересов - статистическое моделирование нелинейных систем управления.