CC BY
412
УДК 621.396
СИГМА ДЕЛЬТА МОДУЛЯТОР
Б.И. ШАХТАРИН, А. А. БЫКОВ
В данной статье рассматриваются структура и принципы работы устройств, построенных на базе сигма дельта модуляции. Приводятся математические модели, схемы, используемые для моделирования посредствам 8ішиІіпк. Также приводятся иллюстрации графиков, показывающие основные характеристики работы сигма дельта модуляторов.
Ключевые слова: сигма дельта модуляция, характеристика дескритизатора, гиперболический тангенс, численный метод, шумоформирующие свойства, спектральные характеристики, передискретизация, дробный, опорный (тактовый) сигнал.
Введение
Принципы сигма дельта модуляции известны еще с 80 годов прошлого века, однако наибольший интерес стали представлять в настоящее время. Одним из наиболее распространенных практических приложений сигма дельта модуляции используется в устройствах АЦП [1,2,4]. Устройства цифровой дискретизации сигналов, построенные по принципу сигма дельта модуляции, выгодно отличаются от других аналогичных устройств, в связи с простотой технической реализации, и меньшими шумовыми характеристиками. Тем не менее, практическое использование сигма дельта модуляторов не ограничивается только устройствами АЦП, известны и достаточно часто применяются модуляторы в синтезаторах частот для формирования дробного коэффициента деления частоты сигнала[3,5].
1. Сигма дельта модулятор первого порядка
Рассмотрим структурную схему сигма дельта модулятора приведенную на рис. 1. Модулятор состоит из интегратора, дискретизатора и включенного в обратной связи цифро-аналогового преобразователя.
ЦАП 1 шт
Рис. 1
Рассмотрим работу дискретизатора более подробно. В данной схеме дискретизатор представлен в виде тактируемого компаратора, который производит измерение не только по уровню компарирования, но и в момент прихода положительного импульса с тактируемого генератора. Как правило, частота импульсов тактирования в К раз превышает частоту измеряемого сигнала. Таким образом, К является показателем передискретизации входного сигнала.
Приведена характеристика дискретизатора на рис. 2
V
і
Как видно из рис. 2, уровень дискретизации составляет {-1,1}. Наиболее полно работу данного компаратора описывает функция гиперболического тангенса. Таким образом, рассмотрим математическую модель сигма дельта модулятора, представленного на рис. 3.
Рис. 3
- входной сигнал; - ошибка квантования; - сигнал с интегратора; 0 - шум
квантования; У - выходной сигнал.
Как видно из приведенного рисунка, выходной сигнал формируется с учетом шума квантования не идеального дискретизатора. Таким образом, получим
М ,
где М _ уровень квантования; Р - угол наклона характеристики дискретизатора (рис 2); ; - учет задержки на обратной связи
(1)
Ошибка квантования имеет вид Учитывая (1) и (2), получим
сіі
гіггСО
е(£) =---------
гіґ .
еЮ -
■ = ц(£) - Міапк-
(2)
(3)
'-г)
м
ахіО
іг^ = и(і)-Міапь^х'\. + О
_ ......... .. (4)
Решением данного дифференциального уравнения является сигнал с интегратора. Предполагая, что и(Ґ) является гармоническим сигналом, получим решение уравнения (4) посредством численного метода.
.0.02^
На рис. 4 представлен график
Рис. 5
На рис. 5 представлен график уСО.
Как видно, из приведенных рис. 5и 6, сигма дельта модулятор формирует сигналы на выходе системы, не только медленно изменяющиеся, но и сигналы высокоскоростные. Для анализа работы модулятора рассмотрим модель, получаемую для пакета разработки Бішиііпк. Данная модель представлена на рис. 6.
С о піі
Рис. 6
Рассмотрим процессы, получаемые в результате моделирования представленной модели с учетом постоянного шага интегрирования.
V-
Рис. 7
На рис. 7(а) представлен сигнал с интегратора, 7(б) - сигнал на выходе модулятора. Наибольший интерес представляет спектральная оценка выходного сигнала. Рассмотрим выходной спектр сигнала, изображенный на рис. 8.
ЕР- іо'
Рис. 8
На рис. 8 виден частотный спектр дискретизируемого сигнала частотой 15 Гц, и также виден смещенный в область высоких частот шум квантования. Таким образом, можно рассматривать сигма дельта модулятор, как шумоформирующий фильтр высоких частот, и низкочастотный фильтр для входного сигнала.
В данном разделе мы получили математическую модель и подробно рассмотрели основные свойства наиболее распространенной в литературе [1,2,3] модели сигма дельта модулятора первого порядка.
2. Сигма дельта модулятор п - го порядка
Анализ работы сигма дельта модулятора п-го порядка проведем, рассматривая математическую модель модулятора второго порядка. На рис. 9 математическая модель сигма дельта модулятора второго порядка.
U (t)
О
і
і
M tanh
Px0 (t -
M
T
Рис. 9
Как видно, в отличии от рис. 3 порядок модулятора определяется количеством интеграторов, включенных в структуру модулятора.
Рассмотрим выражения, описывающие работу приведенной схемы, с учетом (2) и (3) получим
(ш)
где напряжение после первого интегратора
(11)
где :їв(£) - напряжение после второго интегратора Тогда для модели п-го порядка получим выражение вида
(ІХпіі) _ МіаПк^*^~ ^
гії М (12)
т pr.jcf.-r)
Решение системы уравнений (10), (11) дает описание работы системы второго порядка, а решение системы уравнений (12), (13) дает описание работы системы п-го порядка.
Решение системы приведенных уравнений в данном разделе рассматривать не будем. Рассмотрим, как было выше указано, спектральную характеристику выходного сигнала модулятора второго порядка.
Для анализа частотных характеристик рассмотрим модель модулятора второго порядка,
используемую в среде 8іти1ипк.
С о пЕгЬа ггМ
Рис. 10
На рис. 10 изображена модель сигма дельта модулятора второго порядка. Рассмотрим спектральные характеристики выходного сигнала, представленные на рис. 11.
Как видно из рис. 11, спектральный всплеск дискретизируемого сигнала сужается, а шумовая полоса значительно больше расширяется, по сравнению с рис. 8. Таким образом, можно сделать вывод о улучшенном свойстве шумоформирования сигма дельта модулятора второго порядка, по сравнению с модулятором первого порядка. При этом частота дискретизируемого сигнала значительно увеличивается.
ю
:1=1=1:11 = = = = =1 = = =1 = =г=Ь=1=1 = М=1 = = = = =1= = =1==1=±=1=1=Ы=': ....... Ї
:=] ==^=ЕВ=;=;^ = :
і -- - -н - -н
Шиши
5^5Ї = = = = 5
ю
ю
10
1 о
10
Н2
Рис. 11
Сигма дельта модуляторы более высоких порядков обеспечивают свойства, значительно превосходящие показных для моделей первого и второго порядка.
3. Прикладные области применения сигма дельта модуляторов
Наиболее актуальным применением сигма дельта модуляторов является применение в синтезаторах частот с дробным коэффициентом деления. В литературе [4] рассматривается достаточно большое количество методик использования модуляторов в синтезаторах частот. Рассмотрим одно из них.
На рис. 12 представлена структурная схема синтезатора частот с дробным коэффициентом деления частоты. ОГ - опорный генератор, ИЧФД - импульсно частотный фазовый детектор; ФНЧ - фильтр низкой частоты; УГ - управляемый генератор; Д - делитель частоты.
Сигнал с выхода делителя является тактовым для сигма дельта модулятора, который в
свою очередь управляет коэффициентом деления N делителя. Сигнал с опорного генератора S0(f-1 сравнивается с сигналом sntf) в блоке ИЧФД, в результате чего формируется сигнал ошибки5е(0 С помощью фильтра сигнал ошибки усредняется и затем scbiO используется для управления циклической частотой управляемого генератора.
Заключение
Рассмотренные характеристики сигма дельта модуляторов показывают, что при увеличении порядка модулятора увеличиваются частотные свойства дискретизируемого сигнала (суживание спектра полезного выходного сигнала) и увеличивается шумоформирующее свойство модулятора. Однако, как видно, увеличение порядка не может быть бесконечным, так как значительно уменьшается устойчивость работы модулятора, за счет присутствия в системе интеграторов. В свою очередь, достаточно использовать модуляторы первых двух порядков для обеспечения работы делителя частоты в синтезаторе частот с дробным делителем частоты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sigma-Delta (S-D) A/D Converters//New Product Application - 1999, winter edition-Analog Devices, 1998.
2. Application Note AN-283: Sigma - Delta ADCs and DACs//Application Reference Manual - Analog Devices, 1993.
3. Швец В., Нищирет Ю. // Архитектура сигма-дельта АЦП и ЦАП // Chip News 1998. №2.
4. Шахтарин Б.И. и др. // Синтезаторы частот. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007.
5. Gary Ushaw//Sigma Delta Modulation of Chaotic Signal//The University of Edinburgh 1998.
SIGMA DELTA MODULATOR
Shakhtarin B.I., Bykov A.A.
In this article is shown a structure and principals of working devices, based on sigma delta modulator. Also, authors shown a mathematical models and schemes, is used for modeling in Simulink. There are graphs, that represent main characteristics of sigma delta modulators, obtained by modeling and computation in this article.
Key words: sigma delta modulation, discritization characteristics, hyperbolic tangent, computation method, noise forming properties, spectral characteristics, oversampling, n-fractional, base signal.
Сведения об авторах
Шахтарин Борис Ильич, 1933 г.р., окончил Ленинградскую военно-воздушную академию им. Можайского (1958) и ЛГУ (1968), профессор, доктор технических наук, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем МГТУ им. Н.Э. Баумана, лауреат государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники, автор более 250 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем обработки сигналов.
Быков Андрей Александрович, 1981 г.р., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана (2005), автор 6 научных работ, область научных интересов - помехоустойчивость систем передачи информации, в том числе системы синхронизации.
