CC BY
264
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-040S
Анализ сигма-дельта модулятора 77-30569/307193
# 01, январь 2012
Шахтарин Б. И., Быков А. А., Ковальчук А. А.
УДК 621.396.662
МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected] nastia [email protected]
Введение
Принципы сигма-дельта модуляции известны еще с 80 годов прошлого века, однако наибольший интерес эта модуляция стала представлять в настоящее время. Одним из наиболее распространенных практических приложений сигма-дельта модуляции являются устройства АЦП [1, 2, 4]. Устройства цифровой дискретизации сигналов, построенные по принципу сигма-дельта модуляции, выгодно отличаются от других аналогичных устройств в связи с простотой технической реализации и лучшими шумовыми характеристиками. Тем не менее, практическое использование сигма-дельта модуляторов не ограничивается только устройствами АЦП. Известны и достаточно часто применяются модуляторы в синтезаторах частот для формирования дробного коэффициента деления частоты сигнала[3, 5]. Одним из преимуществ использования сигма-дельта модулятора является способность формировать шумовую полосу на высоких частотах. Посредством передискретизации с последующей децимацией выходного сигнала достаточно эффективно квантуется входной сигнал, при этом шумовая полоса достаточно просто удаляется посредствам фильтрации.
В современной литературе достаточно подробно рассматриваются принципы работы сигма-дельта модуляции [6], однако не рассматриваются математические модели модуляторов во временной области. Основой структуры рассматриваемых в данной статье модуляторов являются устройства с интеграторами без обратной положительной связи. Данные устройства являются физически реализованными [1, 2], но ранее они не были описаны с точки зрения математического моделирования. В разделах 1 и 2 приводится математическое описание работы модуляторов, как первого порядка, так и п - го порядка. Полученные модели описывают работу физически реализованных устройств. В разделе 3 представлена наиболее распространенная схема применения принципа работы сигма-дельта модулятора в синтезаторе частот.
1. Сигма-дельта модулятор 1-го порядка
Рассмотрим структурную схему сигма-дельта модулятора приведенную на рисунке 1. Модулятор состоит из интегратора, дискретизатора, и включенного в обратной связи цифро-аналогового преобразователя.
№) к/
Рис. 1. Структурная схема сигма-дельта модулятора
В данной схеме дискретизатор представлен в виде тактируемого компаратора, который производит измерение не только по уровню компарирования, но ив момент прихода положительного импульса с тактируемого генератора. Как правило, частота импульсов тактирования в К раз превышает частоту измеряемого сигнала. Таким образом, К является показателем передискретизации входного сигнала.
Как видно из рисунка 2, уровень дискретизации составляет {-1,1}. Наиболее полно работу данного компаратора описывает функции гиперболического тангенса.
Рис. 2. Характеристика дискретизатора
Рассмотрим математическую модель сигма-дельта модулятора представленного на рисунке 3.
Рис. 3. Математическая модель сигма-дельта модулятора
и{£) - входной сигнал; е (Г) - ошибка квантования; - сигнал с
интегратора; <3 - шум квантования; у (Г) - выходной сигнал.
Представленная на рисунке 3 структура сигма-дельта модулятора получила наибольшее распространение как схема, позволяющая описать работу сигма-дельта модулятора. С учетом сделанных ранее предположений получим математическое описание работы сигма-дельта модулятора первого порядка. Для этого рассмотрим выходной сигнал с устройства квантования в виде
где М - уровень квантования; р- угол наклона характеристики дискретизатора (рис. 2); т-
учет задержки на обратной связи. Предположим, что входной сигнал интегратора имеет вид
гСО-^Ц-, (1.2)
дг
ошибка квантования равна
= - у-;о. (1.3)
Учитывая (1.1) и (1.2), получим
кСО-л/Г.Ч^^. (1.4)
Решением данного дифференциального уравнения, является сигналом с интегратора. Предполагая, что является гармоническим сигналом, получим решение
уравнения (1.4) посредствам численного метода.
На рисунках 4 и 5 представлены графики работы сигма-дельта модулятора при гармоническом входном воздействии Наиболее полное представление о работе
сигма-дельта модулятора дает спектральный анализ выходного сигнала.
Рис. 4. График работы сигма-дельта модулятора X(1)
Рис. 5. График работы сигма-дельта модулятора
so
60
stf)
анализируемым входной си тал u(t)
40
шумовая полоса
20
0
0
100
200
300
400
500
ГЦ
Рис. 6. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора первого порядка
Как видно на рисунке 6 помимо ярко выраженного всплеска анализируемого входного гармонического сигнала Ii(t), видна шумовая составляющая. В литературе
принято рассматривать данную шумовую составляющую, как результат ошибки квантования в квантователе. Детально процесс формирования шумовой составляющей в выходном сигнале сигма-дельта модуляторе рассмотрен в литературе [1, 2, 6, 7, 8], где основной причиной указывается вносимый шум ошибки квантователя. Однако, для анализа были взяты математические выражение (1.1-1.4) не учитывающие аддитивный шум. Таким образом, можно утверждать, что представленный метод анализа работы сигма-дельта модулятора с учетом аддитивного шума не дает полной картины работы сигма-дельта модулятора.
Рассмотрим фазовый портрет сигма-дельта модулятора первого порядка (рис. 7).
0.2 0.15 0.1 0.05 Ф 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
Рис. 7. Фазовый портрет сигма-дельта модулятора первого порядка
Как видно на рисунке 7, циклы непрерывно разворачиваются по фазовому цилиндру. С учетом полученных результатов при анализе хаотических аттракторов в [9] можно утверждать, что представленный тип аттрактора является хаотическим.
Рассмотрим влияние постоянного входного воздействия на сигма-дельта модулятор. Получим спектр выходного сигнала. На рисунке 8 представлен спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора при постоянно входном воздействии. Очевидно, что при постоянном входном воздействии на выходе сигма-дельта модулятора возникает дробность частот. Данное свойство получило широкое распространение в современном мире при построении синтезаторов частот, использующих в своей структуре ФАП.
дробное / / ть частот
/ / / \
О 100 200 300 400 500
Рис. 8. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора при постоянно входном
воздействии
2. Сигма дельта-модулятор п - го порядка
Анализ работы сигма-дельта модулятора п - го порядка проведем на примере модулятора второго порядка. На рисунке 9 представлена структурная схема сигма-дельта модулятора второго порядка.
Рис. 9. Структурная схема сигма-дельта модулятора второго порядка
Как видно, в отличие от рисунка 1 порядок модулятора определяется числом интеграторов, включенных в структуру модулятора.
Рассмотрим математическую модель, описывающую работу модулятора второго порядка.
Рис. 1 0. Математическая модель работы модулятора второго порядка
В математической модели, представленной на рисунке 10, в отличие от модели, представленной на рисунке 3, не учитывается аддитивный шум квантования.
Рассмотрим выражения описывающие работу приведенной схемы, с учетом (1.2) и (1.3) получим
— = , (1.5)
где Х1 (Г)- напряжение после первого интегратора,
где Х0 (С) - напряжение после второго интегратора
Тогда для модели п - го порядка получим выражение вида
^Г-^Г.^^, (1.7)
Л; М
лДг ¡-Ж^^Ч (1.8)
йь м
Решение системы уравнений (1.5), (1.6) описывает работу системы второго порядка, а решение системы уравнений (1.7), (1.8) - работу системы п - го порядка.
Решение системы приведенных уравнений в данном разделе рассматривать не будем, рассмотрим, как было выше указано, спектральную характеристику выходного сигнала модулятора второго порядка.
Как видно на рисунке 11 шумовая полоса в сигма-дельта модуляторе второго порядка принимает равномерно распределение, в отличие от рисунка 6. Также, уровень шума заметно увеличивается, а всплеск анализируемого сигнала имеет заметно выраженный характер.
Рис. 11. Спектр выходного сигнала сигма-дельта модулятора второго порядка при
гармоническом входном воздействии
3. Прикладные области применения сигма-дельта модуляторов
Наиболее актуальным применением сигма-дельта модуляторов является применение в синтезаторах частот с дробным коэффициентом деления. В литературе [4] рассматривается достаточно большое число методик использования модуляторов в синтезаторах частот. Рассмотрим одно из них.
ОГ *о(0 —7> ИЧФД МО ФНЧ МО УГ
—?
8Д (0 д /V
ло
ТАМ
?
Рис. 12. Структурная схема синтезатора частот с дробным коэффициентом деления
частоты
На рисунке 12 представлена структурная схема синтезатора частот с дробным коэффициентом деления частоты. ОГ - опорный генератор, ИЧФД - импульсно частотный фазовый детектор, ФНЧ - фильтр низкой частоты, УГ - управляемый генератор, Д -делитель частоты.
Сигнал с выхода делителя £д(£) является тактовым для сигма-дельта модулятора, который в свою очередь управляет коэффициентом деления N делителя. Сигнал с опорного генератора 50(£) сравнивается с сигналом 5Д (£) в блоке ИЧФД, в результате чего формируется сигнал ошибки£е (Г) С помощью фильтра сигнал ошибки усредняется и затем 5'ф(£) используется для управления циклической частотой управляемого генератора.
Заключение
В данной статье рассмотрен сигма-дельта модулятор с обратной отрицательной связью. Получено математическое описание работы сигма-дельта модулятора во временной области. Также получены в графическом виде спектры выходных сигналов при различных входных воздействиях. Установлено, что возникновение шумовой полосы в
сигма-дельта модуляторе обусловлено тем, что модулятор представляет собой хаотический аттрактор. Рассмотрены математические модели без учета аддитивного шума, сделан вывод о влиянии порядка модулятора на уровень шумовой полосы в сторону увеличения. Также указана способность сигма-дельта модуляторов формировать дробность частот в выходном спектре. Приводятся графики основных характеристик работы сигма-дельта модуляторов при различных входных воздействиях.
Литература
1. Sigma-Delta (S-D) A/D Converters //New Product Application - 1999, winter editionAnalog Devices, 1998 pp 3-113-3-143
2. Application Note AN-283: Sigma - Delta ADCs and DACs // Application Reference Manual - Analog Devices, 1993, pp 20-3-20-18
3. Швец В., Нищирет Ю.// Архитектура сигма-дельта АЦП и ЦАП// Chip News 1998.№2. С. 211
4. Шахтарин Б.И. и др//Синтезаторы частот// -М.: Горячая линия -Телеком, 2007.-128с.
5. Gary Ushaw//Sigma Delta Modulation of Chaotic Signal// The University of Edinburgh 1998.
6. C.C. Cutler, «Transmission system employing quantization», US Patent N 2927962, March 8, 1960
7. H. Inose, Y. Yasuda, J. Murakami «A telemetring system by code modulation - Е-Д modulation» - IRE Trans. On Comm. Syst., pp 373-380, Dec 1962.
8. S.R Norsworthy, R. Schreider, G.C. Temes. Delta -Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. - NY: IEEE Press, 1997.
9. Чернобаев В.Г. « Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации» - диссертация МЭИ (ТУ), 2001.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL № KS 77 - 3Ü56'». .V;II421100025, ISSN 1994-jMOg_
Analysis of sigma-delta modulator 77-30569/307193 # 01, January 2012
Shahtarin B.I, Bykov A.A., Kovalchuk A.A.
Bauman Moscow State Technical University
[email protected] [email protected]
A sigma-delta modulator with negative feedback was considered in this article. The structure and working principles of devices built on the basis of sigma-delta modulation were presented. Application areas of the sigma-delta modulators were explored. Mathematical models of the sigma-delta modulator's operation in the time domain were described. Analysis of operation of the sigma-delta modulator of the first and the second orders was also presented in the article. It was determined that a noise band appeared in the sigma-delta modulator because modulator was a chaotic attractor. Sigma-delta modulator's ability to form the frequency fractionality in output spectrum was also indicated. Mathematical models without additive noise were considered; the conclusion on the influence of the modulator's order on the noise level. The graphics, which displayed basic characteristics of sigma-delta modulator's operation with different inputs were included.
Publications with keywords: spectral analysis, phase portrait, sigma-delta modulator, frequency synthesizer, sampler, noise bandwidth, quantization error
Publications with words: spectral analysis, phase portrait, sigma-delta modulator, frequency synthesizer, sampler, noise bandwidth, quantization error
Reference
1. Sigma-Delta (S-D) A/D Converters, New Product Application - 1999, winter edition - Analog Devices 3 (1998) 113-143.
2. Application Note AN-283: Sigma - Delta ADCs and DACs, Application Reference Manual - Analog Devices 20 (1993) 3-18.
3. Shvets V., Nishchiret Iu., The architecture of sigma-delta ADC and DAC, Chip News 2 (1998) 211.
4. Shakhtarin B.I., et al., Frequency synthesizers, Moscow, Goriachaia liniia -Telekom, 2007, 28 p.
5. Gary Ushaw, Sigma Delta Modulation of Chaotic Signal, The University of Edinburgh, 1998.
6. C.C. Cutler, US Patent N 2927962, Transmission system employing quantization, 08.03.1960.
7. H. Inose, Y. Yasuda, J. Murakami, A telemetring system by code modulation - E-A modulation, IRE Trans. On Comm. Syst. December (1962) 373-380.
8. S.R Norsworthy, R. Schreider, G.C. Temes, Delta -Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation, NY, IEEE Press, 1997.
9. Chernobaev V.G., Generators of chaotic oscillations based on systems of phase synchronization (Dissertation), MEI (TU), 2001.
