Спектральные характеристики синтезатора частот с применением сигма-дельта-модулятора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

УДК 681.518.52

А. А. Иванов

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНТЕЗАТОРА ЧАСТОТ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИГМА-ДЕЛЬТА-МОДУЛЯТОРА

Разработаны математические модели структурных элементов синтезатора частот с сигма-дельта-модулятором, создана общая функциональная схема. Различными методами моделирования исследованы спектральные характеристики выходного сигнала синтезатора, проведен сравнительный анализ результатов. Ivanov.MGTU@mail.ru

Ключевые слова: синтезатор частот, сигма-дельта-модулятор.

В настоящее время синтезаторы частот с петлей фазовой автоподстройки (ФАП) применяются практически во всех системах связи для формирования стабильных частот. Поскольку уровень подобных систем непрерывно растет, возникла задача построения дробного синтезатора. Наиболее простым и эффективным решением задачи стало применение сигма-дельта-модулятора (SAM), который управляет коэффициентом деления в обратной связи петли. Основными достоинствами такого синтезатора являются малый шаг перестройки по частоте, т.е. высокое разрешение, а также отсутствие побочных спектральных компонентов, т.е. хорошие шумовые характеристики. Несмотря на широкое практическое применение, доказательная сторона вопроса о шумовых характеристиках синтезатора частот с SAM еще не достаточно исследована [1,2]. Этим и обусловлена попытка автора получить достоверные аналитические выражения спектра шума.

Структура синтезатора частот. На рис. 1 приведена структурная схема синтезатора частот [3-5], которая состоит из опорного генератора (ОГ), импульсного частотно-фазового детектора (ИЧФД), фильтра низких частот (ФНЧ), управляемого генератора (УГ), делителя (Д).

Рис. 1. Структурная схема синтезатора частот с EAM

лгг ЛЛ ^вых (&) ,

где — центральная частота УГ, а ^вых (t) = ----фаза, опре-

Сигнал с выхода делителя вД (t) является тактовым для SAM, который, в свою очередь, управляет коэффициентом деления N делителя. Сигнал с опорного генератора в0 (t) сравнивается с сигналом вд (t) в блоке ИЧФД и в результате формируется сигнал ошибки se (t), который с помощью фильтра усредняется и затем сигнал вф (t) используется для управления циклической частотой УГ по следующему закону:

^вых (t) = 2пКугвф (t);

здесь КУГ — коэффициент усиления, причем фаза УГ может быть записана в виде

^УГ (t) = ^цt + ^вых (t) ,

^вых (t) dt

деляемая напряжением на фильтре.

Сигнал вУГ (t) подается с УГ на вход делителя, и, как следствие, его частота уменьшается в N(t) раз, что определяется сигналом модулятора вм (t).

Математическое описание работы структурных компонентов.

Обозначим через tk момент переднего k-го фронта сигнала опорного генератора. Тогда момент переднего k-го фронта сигнала с выхода делителя составляет tk + Atk, где Atk — время отклонения (рис. 2).

На рис. 3 изображена типовая структурная схема ИЧФД [1], построенная на двух D-триггерах с асинхронным сбросом. Выход каждого триггера управляет ключом, который при положительном напряжении открывает источник постоянного тока I, и на выход поступает ток I в случае открытия верхнего ключа и ток — I, когда открыт нижний ключ. Принцип работы ИЧФД показан на рис. 2.

Согласно диаграмме на рис. 2 ток на выходе ИЧФД можно пред-

Рис. 2. Временная диаграмма работы ИЧФД

Рис. 3. Схема ИЧФД

ставить в виде последовательности к импульсов

к

¿е (г) = ^ [1а (г - кТ0) - 1а (г - кТ0 - А^к)];

n=1

¿е (г) = I^ [а (г - кТо) - а (г - кТо - А1к)],

п=1

где а (г) — функция включения, Т0 — период опорного сигнала.

Причем Агк может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от фазового рассогласования з0 (г) и £д (г). Поскольку полоса пропускания фильтра в несколько раз меньше частоты сравнения (в данном случае ), а ширина полосы импульса тока превышает частоту сравнения, то последовательность прямоугольных импульсов тока может быть заменена на последовательность дельта-импульсов тока [1, 3]. Таким образом,

ie (t) = I ^ Atk S (t - kTo).

n=1

Такой переход приведен на рис. 4. Нетрудно убедиться, что уровень спектра любого импульса на нулевой частоте по модулю равен Агк. Аппроксимация при этом будет тем точнее, чем уже полоса фильтра. Применив преобразование Лапласа, получаем

ie (s) = Atke

-skTo

n=1

Применив преобразование временного сдвига в фазовый:

^0 (кТ) - ^Д (кТ) = 0 - ^Д (кТ) = ^ (кТ) = ^ (к) = 2п

Atk

o

ie(t)

u u

^ft_П

ieif)

tk-l

h+\

Рис. 4. Переход от прямоугольных импульсов тока к дельта-импульсам тока той же площади

получаем

Формула представляет собой преобразование Лапласа. Поскольку сигнал фазовой ошибки дискретный, то спектр периодический,

где КИЧФд =--коэффициент усиления ИЧФД, а (з) — преобразование Лапласа непрерывного сигнала фазового рассогласования (£). Поскольку полоса пропускания ФНЧ намного уже ширины спектра ошибки (^), составляющие с ненулевыми индексами (к = 0 в формуле) будут отфильтрованы. Однако ранее упоминалось, что ширина спектра ошибки превышает частоту дискретизации, поэтому возникает эффект перекрытия спектров, причем не только соседних. Таким образом, "хвосты" от побочных спектров все равно проникают через ФНЧ. В появлении этого шума и состоит отличие ИЧФД от линейного фазового детектора. С учетом принятой аппроксимации

т.е. ИЧФД представлен в виде квазилинейного устройства с передаточной функцией Яичфд (з) = Кичфд = —.

Далее проанализируем работу делителя с переменным коэффициентом деления N (к). Поскольку сигнал с выхода делителя появляется только при изменении фазы управляемого генератора на величину Д^УГ (к) = 2пN (к), а переключение N происходит по фронту сигнала

поэтому

I

ie (s) = КичФД^e (s),

с выхода делителя, то справедливо равенство

^уг (¿к + Д4) - ^уг (¿к_1 + Д*к_1) = (к - 1).

Получаем

^УГ (¿к + Д^к) - ^уг (¿к_1 + Д4-1) =

= Шц [4 + Д^к — ¿к_1 - Д4_1] + ^вых (^к + Д4)-^вых (^к_1 + Д^к_0 .

Разность между передними фронтами соседних периодов ¿к — ¿к-1 = = Т0, при этом шцТ0 = 2п^ц, тогда

^уг (¿к + Д^) - ^уг (¿к_1 + Д4_0 =

= 2пЛц + Шц [Д^ - + ^вых (¿к + Д^к) - ^вых (¿к_1 + Д*к-1) .

Таким образом, имеем разностное уравнение

(к - 1) = 2п^ц + Шц [Д^к - Д^_1] +

+ ^ вых (¿к + Д^) ^вых

Шц [Д^ - Д4_1] + ^вых (¿к+Д4) -

- ^вых (¿к_1+Д^к_1) = 2п N (к - 1) -Лц] ,

проинтегрировав которое от начала работы до момента ¿к, получаем выражение

к к ^^ Шц [Д^ш - Д^ш_1] + ^ ] [^вых + Д^ш) - ^вых (^ш_1 + Д^ш_1)] =

m=1 m=1

В результате суммирования имеем

2п ^ [N (m - 1) - NJ.

m=1

Шц [Atfc - Д to] + ^вых (tk + Aífc) - ^вых (to + Дto) =

k

= 2п ^ [N (m - 1) - NJ.

m=1

При начальных условиях ^вых (t0 + Д^) = 0, а также при Д^ = 0 получаем

k

t^tk + ^вых (tk + Дtk) = 2п ^ [N (m - 1) - NJ,

m=1

2П

п (к) = N (к) — Nц, тогда, учитывая = — Nц = Nц,

Т0

к

^0NцД£к + ^вых (Ь + Д^к) = 2п п (т — 1).

т= 1

После подстановки выражение преобразуется к виду То к

-^0N^Д (k) TO + ^вых (tfc + Atfc) = 2п n (m - 1)

m= 1

k

-N^Д (k) + ^вых (tk + Atk) = 2n n (m - 1).

m=1

При условии ^вых (tk + Atk) - ^вых (tk) = ^вых (к) имеем

^Д (к) = NT ( ^вых (к) - ^ n (m - IM .

ц \ m=1 /

Поскольку уравнение получено для дискретной системы, то в г-области оно имеет вид

^Д (г) = -1 ( ^вых (г) — 2пп (г) г

N \ ^вых\~/ - z-1

k

Сумма n (m - 1) в z-области представляет собой последова-

m=1

1

тельное соединение накапливающего сумматора -- (интеграто-

1 - z-1

ра) и элемента задержки z-1.

Математическая модель SAM. На рис. 5 приведена наиболее распространенная структурная схема SAM с одним кольцом [6, 7].

Рис. 5. Структурная схема ЕДМ с одним кольцом

На входе схемы расположен вычитатель квантованного сигнала ( (ип) из входного хп. После вычитателя расположен цифровой интегратор, выделенный штриховой линией. После интегратора сигнал подвергается квантованию и затем через кольцо обратной связи поступает на вычитатель. В основе теории ЕДМ лежит теорема о независимости шума квантования еп = ((ип) - ип от входного воздействия хп. Таким образом, устройство квантования заменяется сумматором по схеме еп + пп = ( (мп) [5].

Такая замена позволяет исследовать ЕДМ методами теории автоматического управления. Из рис. 5 нетрудно найти передаточную функцию системы в ¿-области по отношению ко входу:

* м- Щ =

Она представляет собой элемент задержки на один такт, а передаточная функция системы по отношению к ошибке

*(2 >=Щ=1 -

представляет собой дифференциатор.

Аналогичные свойства имеют ЕДМ с двумя и тремя петлями.

Нетрудно убедиться, что передаточная функция системы по отношению ко входу

* (2) X (я) 2 ,

а по отношению к ошибке

Q (z) А -1\Р

* (2) = = ^ - 2

где р — число петель.

Выходной спектр ЕДМ при этом состоит из низкочастотной составляющей (полезный сигнал) и спектра ошибки, повторяющего форму дифференциатора.

Согласно данным работы [7] для ЕДМ с двумя и более петлями при постоянном входном воздействии шум квантования является белым (БШ) и имеет равномерное распределение. В работе [6] доказано, что в ЕДМ с одной петлей ошибка квантования не является БШ, а представляет собой набор гармонических составляющих, положение которых определяется амплитудой входного сигнала, а именно гармоники находятся на частотах

/к = (к(Д + 2)) при к = 0,

где Д — расстояние между уровнями, (х) — дробная часть x. При этом мощности составляющих

1 при k = 0,

Se (k)=< (2пк)2

0 при k = 0.

Таким образом, для формирования спектра ошибки целесообразно использовать ЕДМ с высокими порядками, однако при этом необходим анализ системы на устойчивость.

В соответствии с данными работы [1] для устойчивой работы ЕДМ порядка p при постоянном входном воздействии u достаточно выполнения неравенства

^ \hk| ^ v + 1 - (v - 1) |u|,

где hk — импульсная характеристика We (z); v — число уровней квантования, а расстояние между уровнями равно единице. В случае We (z) = (1 — z-1 )p справедливо равенство |hk | = 2p, тогда при условии v = 21 получаем

21 + 1 - 2p

|u| <

2l — 1

Поскольку для дробного синтезатора частот достаточно выполнения неравенства |u| ^ 0,5, то минимальная разрядность устройства квантования для ЕДМ с одной петлей составляет l = 1, с двумя петлями — l = 3, и, наконец, с тремя петлями — l = 4.

Исследование характеристик синтезатора частот. На данном этапе возможно построение полной математической модели синтезатора. На рис. 6 представлена структурная схема дробного синтезатора

в частотной области, в которой операторы T0 и — соответствуют пе-

T0

реходам от дискретного времени к непрерывному и наоборот.

Рис. 6. Структурная схема дробного синтезатора в частотной области

ie(t) Запишем частотную характеристику:

С. 4= "ф(0 Y j) = -H (¿ш,

* u ' 2п u 7 jwN '

с2=1= ||Ä

тогда в соответствии с рис. 6

D , п ЛХГ (■ \ ^ых (jw) Т АТ Y (jw) Рис.7. Принципиаль- W0 (jw) = - , = T0N

ная схема ФНЧ второ- (jw) Ц Y (jw) + 1'

го порядка

Wn (j-ш) = ^lM = 2nT0 j Y j)

(jw) 01 - e-jwT° Y (jw) + 1

На рис. 7 показана схема ФНЧ второго порядка, которая является типовой для такого рода синтезаторов [2, 8, 9].

Передаточную функцию ФНЧ можно записать как

1 Ti jw + 1

H (jw) =-—-,

jwci T2jw + 1

где Ti = R (ci + C2), а T2 = Rc2.

Устойчивость синтезатора. Для определения запасов устойчивости удобно использовать показатель колебательности М, определяемый по формуле

М = max (iw.

Согласно данным работ [2, 9] рекомендуется выбирать М = = [1,1;...; 1,7], т.е. в данном случае получилось приемлемое значение. В работе [9] приведены выражения, позволяющие найти параметры синтезатора при заданных значениях М и wс:

М М _2 М - 1

Ti = ^^М-ГУ; T2 = wс(М + 1); Ko = wс

где о;с = —--нормированная частота среза; K0 — коэффициент уси-

/0

Ti T2

ления; T = —; T2 = —. Система устойчива при K0 G (0 ... 2). T0 T0

Известно, что для устойчивой системы автоматического регулирования асимптота частотной характеристики разомкнутой петли в точке пересечения с единичным усилением должна иметь наклон не более 20дБ/дек [8]. Если приравнять полосу пропускания частоте среза wc, то получаем соотношение

irkYA wo

10 2° = -,

2wc

в котором ya — требуемый запас устойчивости по амплитуде, дБ. Запас по фазе можно найти из формулы

УМ2-!

COS =-М-. (1)

В работах [2, 9] найдены оптимальные значения параметров системы для режима фазовой автоподстройки. Согласно исследованиям необходимо обеспечить

YA > 10 дБ и > 30°, а M < —2.

Для расчета используем граничное значение M = \f2, потому что при малых значениях колебательный процесс становится апериодическим и быстродействие системы снижается.

По формуле (1) находим cos 7^ = —=, тогда 7^ = 45°. Поскольку

2

EAM создает дополнительные шумы, целесообразно увеличить запас

_ YA П

устойчивости до ya = 20 дБ, тогда шс = п10-= —. При этом Ti = 10,87; T2 = 1,87; K0 = 0,029.

Находим номиналы элементов по формулам из работы [9]:

Ci = T2^ = 138 нФ; R = To =65 Ом; C2 = = 29 нФ.

KoN

ci

R

Шумовые характеристики синтезатора. Для исследования шумовых характеристик необходимо определить спектральную плотность мощности шума (СПМ) на выходе УГ. Для этого запишем передаточную функцию фазы УГ по отношению к шуму квантования следующим образом:

Hn (jw) = = Wn (jw) W (z) =

E (jw)

= 2nTo

e

-JWTq

Y (jw)

1 - e-jwTQ Y (jw) + 1

(1 -

Hn (jw) = 2nToe

Y (jw) Y (jw) + 1

(1 - e-J-TQ)p-i

Тогда выражение для СПМ фазового шума УГ, вызванного шумом ЕДМ, имеет вид

S,BbIX (w) = Se (w) |Hn (jw)|2 = (22T)

Y (jw)

Y (jw) + 1

|1 - e

-J^Tq 12p-2

где СПМ равномерно распределенного БШ (ш) = —, а оператор

12

соответствует переходу к аналоговому сигналу.

2

1

o

Поскольку

1 - e-jwTo I = 11 - cos (wTq) + j sin (wTq) | = ^2 - 2cos(wTb) =

получаем

^вых (w) = (w) |H„ (jW)|2 = —3-0

= A/4sin

Y (jw)

2 wT0

2 sin

wT0

Y (jw) + 1

2 sin

wT0

2

2p-2

Найдем кусочно-линейную аппроксимацию функции f (—) =

= sin ——0. Заменим ее в опорных точках —i функцией f (—) = f (—^ + 2

+ f' (—i) [— - —i].

Нетрудно убедиться, что

,, , ч T0 wT0

/ (w) = у cos^~

Тогда в точке w = 0

п

/1 (w) = —w; w0

в точке w =

W0 4

, / 4 . w0 T0

/2 (w) = sin

8

, T0 w0T0 +T cos—

w

W0 4 J

= 1 T0 ^2 2 ^2

w

W0 4 J

= _1 T0 ^2 2 ^2 2п п w

w

w0

4 J

лД 8лД w^v/2 v^

пп 1 - - + — w

4 w0

/2 (w) « 0,15 +

п

w;

w0

л/2

в точке w =

w0 2

fs (—) = 1. Для ЕДМ второго порядка

4п2—0 Y (j—) 2

^вых (w) =

3

wT0

sin

2

у М + 1

как показано на рис. 8 в логарифмическом масштабе.

Для проверки результатов была построена имитационная модель синтезатора с ЕДМ. С ее помощью получен спектр (ш), который представлен на рис. 9 в логарифмическом масштабе. Наиболее

2

2

2

f

2

10 lg iS ф ВЬ1Х (со)

20 дБ/д 1 1 1 20 ДБ/д Ig^c / | 40 ДБ/д IgCöo / 1

ю2 ю3 ю4 ю5 'Тх lg 1. ю5 lg со /Т2

Рис. 8. Приближeнный спектр , вызванный шумом квантования ЕДМ второго порядка

101gS>BbixO)

/

г

\

lg ^ 0 .....

104 105 106 107 lg (О

Рис.9. Спектр #^вых, вызванный шумом квантования ЕДМ. График получен обработкой результатов имитационной модели

простой способ поиска $^вых (и), вызванного шумом квантования, — это проведение двух экспериментов: для дробного синтезатора и целочисленного, при этом необходимо обеспечить малую дробную часть коэффициента N. Разность спектров и есть $^вых (и), вызванный шумом квантования.

Стоит отметить, что наиболее удобный экспериментальный метод определения статистик фазового шума — исследование спектра на выходе УГ. Представим сигнал на выходе УГ в виде

Syr (t) = е^ц*+^вых№,

тогда автокорреляционная функция сигнала может быть рассчитана по формуле

Rsyr (т) = E [syr (t) syr (t + т )] = е^цTE е^вых(t+T> {е^вь,х(i)}

Рис. 10. Спектр SsУГ сигнала еов(шц4 + в логарифмическом масштабе по

оси ординат, полученный с помощью полунатурной модели

Согласно данным работы [10] при условии |Л^вых (т)| < |^вых (0)| <1 получаем

Л5уг (т) = е-^-(о)е^ВЫх) - е-**™(0) (1 + Л^вых (т)).

По теории Винера-Хинчина спектр сигнала имеет вид

£5уг(ш) = 8(ш - шц) + 5^Вых (ш - шц) .

С помощью спектроанализатора можно измерить спектр сигнала 53уг (ш), а значит, и найти 5^вых (ш).

На рис. 10 приведены показания спектроанализатора, полученные с помощью полунатурной модели, которые подтверждают существование и характер побочных спектральных составляющих, вызванных шумом ЕДМ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Advanced phase-lock techniques / CrawfordJ.A. - Norwood: Artech house, 2008.- 510 с.

2. Синтезаторы частот: Учебное пособие / Б.И. Шахтарин, Г.Н. Прохладин, А.А. Иванов и др. - М.: Горячая линия-Телеком, 2007. - 128 с.

3. Perrott M., T r o 11 M. and S o d i n i C. A modeling approach for SAM fractional-N frequency synthesizers allowing straightforward noise analysis. IEEE Journal of Solid State Circuits, 37(8):1028-1038. - Aug. 2002.

4. P e r r o 11 M. H. Fast and accurate behavioral simulation of fractional-N frequency synthesizers and other PLL/DLL circuits // Proc. Design Automation Conf. (DAC), June 2002. - P. 498-503.

5. Bornoosh B., Afzali-Kusha A., Dehghani R., Mehrara M., A t a r o d i S. M. and N o u r a n i M. Reduced complexity 1-bit high-order digital delta-sigma modulator for low-voltage fractional-N frequency synthesis applications // IEE Proc.-Circuits Devices Syst. - Vol. 152. No. 5. - October 2005.

6. ШахтаринБ.И.,ИвановА.А. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлей // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. Радиофизика и радиотехника. - 2008. -№ 126. - С. 74-86.

7. G г e y R. M. Quantization noise spectra // IEEE Trans. Commun. - Vol. 36. - № 6. - November 1990.

8. Левин В. А., Малиновский В. Н., Романов С. К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. - М.: Радио и связь, 1989.

9. Шахтарин Б. И., Прохладин Г. Н., Иванов А. А. Нелинейная динамика синтезатора частот с петлей ФАП // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2007. - № 9. Т. 12 - С. 39-47.

10. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации: Учебное пособие / Б.И. Шахтарин, А.А.Иванов, М.А.Рязанова и др. - М.: Гелиос АРВ, 2007. -256 с.

Статья поступила в редакцию 23.09.2008

Андрей Андреевич Иванов родился в 1985 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2008 г. Канд. техн. наук, преподаватель кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 20 научных работ в области систем синхронизации и статистического моделирования нелинейных систем управления.

A.A. Ivanov (b. 1985) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2008. Ph. D. (Eng.), the teacher of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Researcher of the Research Institute for Information Technology and Control Systems of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 20 publications in the field of systems of synchronization and statistical simulation of nonlinear control systems.