CC BY
2
Секция
«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
УДК 517.6
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫНУЖДАЮЩИХ СИЛ
М. А. Аполонов*, А. Ю. Карнаухов Научный руководитель - Н.Э. Лепп
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
*E-mail: apolonovmaksim9@gmail.com
Представлено решение уравнения вынужденных колебаний в зависимости от частоты внешнего воздействия.
Ключевые: уравнение вынужденных колебаний, частота
ANALYSIS OF THE SOLUTION OF THE NEWTON EQUATION DEPENDING OF THE CHARACTERISTICS OF THE DRIVING FORCES
M. A. Apolonov*, A. Yu. Karnaukhov Scientific supervisor - N. E. Lepp
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
*E-mail: apolonovmaksim9@gmail.com
The solution of the equation of forced oscillations depending on the frequency of external action is presented.
Keywords: forced oscillation equation, frequency.
Функционирование машин, механизмов, аппаратов и сложных технических систем, отвечающих современным требованиям, в большей степени определяется структурными и динамическими свойствами, которые определяют характер и уровень передачи вибрационной энергии между элементами системы. Колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы называют вынужденными. Колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля, колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки и т.д. примеры выынужденных колебаний. Так в линейных колебательных системах при появлении внешнего воздействия в системе одновременно возникают свободные (или собственные) колебания и вынужденные.
Характер вынужденных колебаний определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой системы. После постепенного затухания свободных колебаний в системе остаются только установившиеся вынужденные колебания. [1,2]
Неоднородные дифференциальные уравнения (ДУ) второго порядка с правой частью Fcos(rot) называют уравнениями Ньютона (1), (2). Они описывают колебания материальной
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2022. Том 2
точки под действием внешней периодическом силы, частота которой ю, сила, действующая на единицу массы Б. В уравнении (2) в системе присутствует внутреннее сопротивление.
й2 у
dt
2 + С0 У
F cos cot
d2 У ^ndy 2 —f + 2B — + cn y dt2 И dt 0 '
F cos cot
(1) (2)
Общее решение неоднородного ДУ- это уравнение затухающих колебаний. Если ю0^ ю, то общее решение уравнения имеет вид [3].
F
y(t) = C1 cos c01 + C2 sin c01 +-2-7cos Ct (3)
2 2 c - c
В работе рассмотрены случаи различных сочетаниях собственной частоты колебаний и частоты вынуждающей силы. Численное решение ДУ колебаний выполнено методом Рунге-Кутты четвертого порядка в системе МаШСаё [4]. Для наглядного представления полученных результатов на рис. 1 показан график решения ДУ у=уО) с частотой свободных колебаний Юо=3 и частотой внешней силы ю =3.5, Б=3. На графике также показана скорость р=у'(0 изменения полученного решения
у р
Рис. 1. Геометрическая интерпретация решения ДУ (1)
При приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает — наступает резонанс. На рис. 2 показан график решения ДУ с частотой свободных колебаний ю0=2 и частотой внешней силы ю =2, Б=1, резонансный случай. На рис. 3 показан график решения ДУ с частотой свободных колебаний ю0=6 и частотой внешней силы ю =4, Б=10 и фазовый портрет системы.
Также было найдено решение для уравнения (2), если в системе присутствует сила внутреннего сопротивления. При малых значениях параметра в, характеризующего затухание, амплитуда вынужденных колебаний существенно зависит от соотношения между частотой действующей силы и частотой собственных колебаний системы. В реальных
Секция «Прикладная математика»
системах всегда происходит потеря энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся.
ЗОг
зо1-
Рис. 2. Геометрическая интерпретация решения ДУ(1), случай резонанса
Рис. 3. Геометрическая интерпретация решения ДУ(1) при ю0=6, ю =4, Б=10
Анализ решений с помощью численного эксперимента дает возможность получить информацию о динамическом поведении системы. Графическое представление решений в задачах теории колебаний, может быть полезно при расчете вибрационных воздействий, исследовании надежности механических систем.
Библиографические ссылки
1. Д. В. Сивухин. Механика. - М.: Наука, 1989. - 576. с.
2. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. 2: - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 544с.
4. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в МаШсаё 15. СПб.: Питер, 2011. - 400 с.
© Аполонов М. А., Карнаухов А.Ю., 2022
