РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ ЗАДАЧИ КОШИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.6

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ

ЗАДАЧИ КОШИ

А. Ю. Карнаухов*, М. А. Аполонов

Научный руководитель - Н.Э. Лепп

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

*E-mail: moonlordgon@mail.ru

Представлено решение уравнения свободных колебаний в зависимости от начальных условий.

Ключевые: уравнение свободных колебаний, задача Коши.

SOLUTION OF THE EQUATION OF OSCILLATIONS IN VARIOUS STATEMENTS

OF THE CAUCHY PROBLEM

A. Yu. Karnaukhov*, M. A. Apolonov Scientific supervisor - N. E. Lepp

Reshetnev Siberian State University of Science and Tecnology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation *E-mail: moonlordgon@mail.ru

The solution of the equation of free vibrations depending on the initial conditions is presented.

Keywords: equation of free oscillations, Cauchy problem.

Эволюцию во времени многих систем в физике, химии, биологии и других науках при определенных предположениях можно описать одним и тем же дифференциальным уравнением (ДУ), которое в теории колебаний выступает в качестве основной модели.

Малые колебания маятника, малые колебания под действием силы тяжести груза, подвешенного на упругой пружине, электрические колебания в контуре, состоящем из емкости и индуктивности и др., в случае отсутствия внешних сил происходят по гармоническим законам [1,2]. ДУ второго порядка (1), (2) называют уравнениями свободных гармонических колебаний в дифференциальной форме.

d2 y 2

—f + ^2y = 0 (1)

dt2

d2 y dy 2

—f + 2^ + œ2y = 0 (2)

dt2 dt

Число ю называется частотой (собственной) колебаний, в - параметр, характеризующий потери энергии (трение в механической системе, сопротивление в контуре и т.п.), t — время. Общее решение однородного ДУ (1) имеет вид.

y(t ) = Qcos(^t ) + C2sin(^t ) (3)

Секция «Прикладная математика»

Общее решение однородного ДУ (2) известно - это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы. Если помимо уравнения определенным образом заданы начальное отклонение маятника уОя)=у0 и начальную скорость у'0ю)=Уо, - поставлена задача Коши, справедлива теорема о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий [3].

у(1) = Ле■ ^(азап I + а), где лзат. = ^2 "Р2 (4)

Амплитуда A и начальная фаза свободных колебаний находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний является параметром колебательной системы. Период колебаний T= 2п/ю не зависит от амплитуды.

Исследование решения при различных начальных условиях проводилось в двух вариантах: начальное положение маятника оставалось неизменным, а начальная скорость принимала разные значения, и другой вариант: начальное положение в различных точках, а начальная скорость неизменна.

Символьное решение ДУ колебаний выполнено в системе MathCad [4] с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. Для наглядного представления влияния начальных условий, на рис 2. приведены графики решений уравнения свободных колебаний (1) при ю=2. Начальное положение у(0)=0. Увеличение начальной скорости приводит к увеличению амплитуды колебаний при малых ю.

Рис. 1. Графики решений ДУ (1) при ю=2

При большей частоте собственных колебаний, увеличение начальной скорости приводит к незначительному увеличению амплитуды, пример решения при ю=6 представлен на рис. 2.

0.5т

Рис. 2. Графики решений ДУ (1) при ю=6

Если рассматривать различное положение частиц (точек) в начальный момент времени при одинаковой начальной скорости, то движение частиц происходит с амплитудой, зависящей от начального положения: амплитуда колебаний тем больше, чем больше отклонение от положения равновесия.

Также было найдено решение задачи Коши для уравнения (2), в системе происходит потеря энергии, присутствует сила внутреннего сопротивления. На рис. 3 изображены графики решений при значениях ю=2 и параметра Р=4. Увеличение начальной скорости проявляется в начальные моменты времени, затухание происходит к одному и тому же моменту времени.

t

Рис. 3. Графики решений ДУ (2)

Колебания при различных значениях собственной частоты колебаний ю и параметра ß затухают в разное время. Увеличение начальной скорости существенно проявляется в начальные моменты времени. Визуализация решений в задачах теории колебаний предоставляет возможность получить информацию о динамическом поведении системы.

Библиографические ссылки

1. Д. В. Сивухин. Механика. - М.: Наука, 1989. - 576. с.

2. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. 2: - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 544 с.

4. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad 15. СПб.: Питер, 2011. - 400 с.

© Карнаухов А. Ю., Аполонов М. А., 2022