Моделирование поведения груза после обрыва одной из ветвей каната крана мостового типа Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Вестник ХНАДУ, вып. 65-66, 2014

185

УДК 621.874

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ГРУЗА ПОСЛЕ ОБРЫВА ОДНОЙ ИЗ ВЕТВЕЙ КАНАТА КРАНА МОСТОВОГО ТИПА

А.С. Швачунов, асп., Н.Ю. Дорохов, доц., к.т.н., А.В. Периг, доц., к.т.н.,

А.Н. Стадник, доц., Донбасская государственная машиностроительная

академия, г. Краматорск

Аннотация. Решение обратной задачи динамики по определению вида относительной траектории груза в вертикальной плоскости колебаний и влияния ускорения Кориолиса на вид относительной траектории груза, раскачиваемого на канате. Рассматриваемая задача динамики поставлена как задача Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений как при отсутствии демпфирования, так и с учетом затухания.

Ключевые слова: мостовой кран, раскачивание груза, обрыв каната, уравнение Лагранжа ІІ, математическая модель, нелинейные дифференциальные уравнения.

МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ ВАНТАЖУ ПІСЛЯ ОБРИВУ ОДНІЄЇ З ГІЛОК

КАНАТА КРАНА МОСТОВОГО ТИПУ

О.С. Швачунов, асп., М.Ю. Дорохов, доц., к.т.н., О.В. Періг, доц., к.т.н.,

О.М. Стадник, доц., Донбаська державна машинобудівна академія, м. Краматорськ

Анотація. Роззв ’язання оберненої задачі динаміки з визначення виду відносної траєкторії вантажу у вертикальній площині коливань і впливу прискорення Коріоліса на вид відносної траєкторії вантажу, що розгойдується на канаті. Задачу динаміки, що досліджується, поставлено як задачу Коші для системи диференційно-алгебраїчних рівнянь як за відсутності демпфуван-ня, так і з урахуванням загасання.

Ключові слова: мостовий кран, розгойдування вантажу, обрив каната, рівняння Лагранжа ІІ, математична модель, нелінійні диференціальні рівняння.

THE SIMULATION OF LOAD HANDLING IN CASE OF ROPE BREAKAGE ON BRIDGE CRANES

A. Shvachunov, postgraduate, N. Dorokhov, Cand., Eng. Sc., A. Perig, Cand., Eng. Sc., A. Stadnik, Assoc. Prof., Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk

Abstract. The solution of the inverse dynamics problem to determine the type of load relative path in the vertical plane of vibrations and the influence of the Coriolis acceleration on the form of the relative trajectory of the load swinging on a rope has been offered. The considered task of dynamics is regarded as Cauchy problem for the system of differential and algebraic equation both under the absence of damping and taking damping into account.

Key words: bridge crane, load swinging, rope breakage, equation of Logranzha II, mathematical model, nonlinear differential equations.

Введение вершенствования математических моделей,

описывающих динамику как рабочих, так и Состояние развития подъемно-транспорт- экстремальных режимов работы в условиях

ного оборудования с наличием подвижных частичного обрыва тросового соединения.

тросовых систем требует дальнейшего со- Данные задачи возникают на производстве

186

Вестник ХНАДУ, вып. 65-66, 2014

при обрыве одной из ветвей каната, срабатывании уравнительного тормозного барабана и последующих колебаниях груза, висящего на оставшейся целой ветви каната. Решение указанных задач приводит к необходимости детерминированного динамического анализа движения груза, прикрепленного к А-звен-ному математическому маятнику, в вертикальной плоскости с нахождением собственных частот относительных колебаний. Расчетный анализ механической системы «материальная точка - удерживающие двусторонние голономные связи» позволяет получить инженерное приближенное решение задачи для натянутой тросовой системы.

Анализ публикаций

В мире существуют и разрабатываются различные системы, функционирование которых направлено на повышение безопасности эксплуатации кранов мостового типа. Задачи снижения раскачивания груза при обрыве каната также проанализированы в работах Семенюк В.Ф. и др. [і], Стукаленко А.М. и др. [2], Слободяник В.А. [3]. В исследовании Ловейкина В.С. и др. [4, 5] приведена функция Лагранжа и проанализированы уравнения движения груза на канате крана. Вместе с тем необходимо отметить, что в известных исследованиях недостаточно внимания уделяется динамическому описанию режимов обрыва тросовых систем в рамках постановки и решения дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), что и обуславливает актуальность данной работы, посвященной динамическому анализу относительных колебаний двузвенного математического маятника.

Цели и постановка задачи

Целью работы является установление влияния затухания на относительные колебания гибких натянутых звеньев двузвенного маятника в вертикальной плоскости.

Математическая модель

Расчетная схема обрыва одной ветви каната показана на рис. 1, где AD, DE и BE являются моделями натянутых невесомых тросовых звеньев, причем BE=l1 и DE=l2; а точечные массы тел составляют mE=m1 и mD=m2. В точках подвеса трение отсутствует. Для построения нелинейной математической ДАУ-

модели воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода [6]. В нашем случае в качестве обобщенных координат q и обобщенных скоростей dqjdt примем относительные углы отклонения натянутых нитей маятника а1 а2 (рис. 4) и относительные угловые скорости звеньев dа1 / dt; dа2 / dt (рис. 1-3).

Рис. 1. Модель процесса обрыва каната

Введем декартову систему координат Oxy, начало которой совпадает с точкой подвеса троса BE. Координаты колеблющихся масс определяются следующими соотношениями для голономных геометрических удерживающих связей в данной задаче

x1 = l1 sirnx1; x2 = l1 sin а1 +12 sin а2; (1)

y1 = -l1 cos а1; y2 = -l1 cos а1 -12 cos а2. (2)

Рис. 2. Характер изменения относительных угловых скоростей da 1 / dt ( );

dа2 / dt (--) звеньев системы без

демпфирования

Кинетическая Т и потенциальная V энергии маятников выражаются формулами

T = mi( *12 + yi2) + m2( * 22 + y 2). (3)

Вестник ХНАДУ, вып. 65-66, 2014

187

у = mi т + m т .

Тогда лагранжиан записывается в виде

L = T - у = Ti + T2 - (Уі + У2);

L = f( Щ + ti) + f( і 22 + У 22) -

-migyi - m2gy2 •

(4)

(5)

Следовательно, первое уравнение Лагранжа (ОДУ I) записывается как

d / \ 2 a 2 cos /

dt [ \mi + m2J l i ai + m2, a

-a2 )] + m2lil2 d ^x 2 sin( ai a2) +(

+m2 ) gli sin ОЦ = 0; ^

mi + m2) l2 2dx i + m2li l2 dx 2 cos( i

+m2 lil2 d 22 sin (ai -a2] 1 + (mi +

+m2 ) gli sin ai = 0.

(6)

Сокращая на l1 Ф 0, записываем ОДУ I как

(m1 + m2)lidi + m2l2dx2 cos^ -a2) +

+m2l2d2 sin(ai - a2) + (mi + m2)gsirnxi = 0.

Рис. 3. Затухающие колебания относительных угловых скоростей dai / dt ( );

da2 / dt (--) звеньев системы при

наличии демпфирования

Аналогично выведем второе дифференциальное уравнение (ОДУ II)

dm2l22a2 + m2lil2(ai cos(ai - a2 ) -

-m2lil2(x^x2 si^ai - a2) + m2gl2 sina2 = 0; (g) => m2l22dx2 + m2lil2ai cos(ai - a2) --m2lil2ai2 si^ai - a2) + m2gl2 sina2 = 0.

После сокращения на m2li ф 0 уравнение (ОДУ II) принимает такой вид (рис. 5)

l22dx2 + lidi cos (ai -a2)- liaj2

x srn

in(ai - a2) + gsi

srn a0

0.

(9)

Рис. 4. Затухающие колебания относительных углов раскачивания ai ( );

a2 (----) звеньев при наличии демпфи-

рования

Таким образом для относительного движения звеньев BE и ED двузвенного математического маятника (рис. i) имеет место следующая задача Коши, приводящая к необходимости численного интегрирования ДАУ системы (i) - (2), (7) и (9)

(mi + m2)lj2dxi + m2lil2dx2 cos^ -a2) +

+m2lil2d22 sin (ai -a2) + (mi +

+m2) gli sin ai = 0;

< l22dx2 + lidx^os(ai -a2) - lidi2si^ai - (i0)

-x 2) + g sin a2 = 0;

ai(0) = 4;a 2(0) =i; ai(0) = i; a2(0) = 0.

На рис. 2-5 приведены графики малых колебаний подвески после обрыва одной ветви каната для ДАУ-системы (i0), (i) в случае следующих численных значений параметров системы; li =i,2 м, l2 =0,25 м, g = 9,8i м/с2, wi=0,i кг, w2=i0 кг. Из рис. 2 видно, что в системе происходят биения относительных угловых скоростей звеньев маятника, при которых энергия циклически переходит от одного звена к другому при отсутствии демпфирования. Когда одно звено почти останавливается, другое раскачивается с максимальной амплитудой.

188

Вестник ХНАДУ, вып. 65-66, 2014

Рис. 5. Затухающие колебания относительных угловых ускорений d2оц / dt2 ( );

d2a2 / dt2 (-) звеньев системы при

наличии демпфирования

Выводы

Таким образом, применение данной методики расчета позволяет повысить точность определения динамических нагрузок, действующих на мостовой кран после обрыва каната в процессе подъема груза с основания «с подхватом», а также использовать их при проведении исследований как с целью повышения безопасности работы находящихся в эксплуатации мостовых кранов, так и с целью снижения металлоемкости вновь разрабатываемых их конструкций. Результаты аналитического исследования и проведенного физического моделирования обнаружили удовлетворительное согласование как по частотам, так и по амплитудам колебаний.

В данной работе построена и численно проанализирована нелинейная математическая модель двузвенного математического маятника, колеблющегося в вертикальной плоскости под действием сил тяжести. Рассматриваемая задача динамики поставлена как задача Коши для ДАУ-системы как при отсутствии демпфирования, так и с учетом затухания. Установлены фазовые портреты и временные диаграммы для характера изменения кинематических параметров системы в предположении наличия удерживающих го-лономных связей. К перспективам дальнейших исследований в данном направлении относятся; 1) увеличение числа звеньев маятника; 2) учет подвижности точки В закрепления (рис. 1); 3) учет веса реальной тросо-

вой системы BE - ED - DA; 4) учет влияния переменной и постоянной ветровой нагрузки на характер относительных колебаний звеньев маятника.

Литература

1. Семенюк В.Ф. Определение динамических

нагрузок в мостовом кране при обрыве каната / В.Ф. Семенюк, М.И. Стукален-ко, А.М. Стукаленко // Труды Одесского политехнического университета - 1997.

- Вып. 1. - С. 94-97.

2. Стукаленко М.И. Повышение надежности

удержания груза при обрыве каната в мостовом кране / М.И. Стукаленко // Безопасность труда в промышленности.

- 2009. - № 5. - С. 21—25.

3. Слободяник В.А. Повышение грузоподъ-

емности и надежности эксплуатации (при продлении срока службы) кранов с преднапряженной металлоконструкцией / В.А. Слободяник // Проблемы производства и безопасной эксплуатации подъемных сооружений в Украине и России; сб. тр. научно-практической конференции. — Одесса. — 2002. — С. 248— 250.

4. Ловейкин В.С. Динамическая оптимизация

подъемных машин / В.С. Ловейкин, А.П. Нестеров. — Луганск; Издательство СНУ, 2002. — 368 с.

5. Ловейкін В.С. Комплексний синтез опти-

мального керування рухом вантажопідйомного крана / В.С. Ловейкін, Ю.О. Ро-масевич // Автоматизація виробничих процесів у машинобудуванні та приладобудуванні; український міжвідомчий науково-технічний збірник. — 2011. — Вип. 45. — С. 385—399.

6. Шамолин М.В. Динамические системы с

переменной диссипацией; подходы, методы, приложения / М.В. Шамолин // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Вып. 3, Т. 14, — С. 32—37.

Рецензент; А.В. Полярус, профессор, д.т.н.,

хнаду.

Статья поступила в редакцию 26 мая 2014 г.