CC BY
22
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА
УДК 621.86
УДОСКОНАЛЕННЯ МАТЕМАТИЧНО1 МОДЕЛ1 РУХУ ДЛЯ ЗАДАЧ1 КЕРУВАННЯ П1ДЙОМНО-ТРАНСПОРТНИМИ МАШИНАМИ
О.В. Григоров, проф., д.т.н., А.О. Окунь, асист., Нац1ональний техн1чний ушверситет «Харкчвський пол1техн1чний шститут»
Анотаця. Стаття присвячена удосконаленню математичног модел1 руху системи «в1зок-вантаж» у задач1 керування кабельним краном. Отримат р1вняння руху можуть бути викори-стат для побудови фазових траекторт системи «в1зок-вантаж» та для знаходження керування кабельним краном.
Ключов1 слова: кабельний кран, система «в1зок-вантаж», керування, демпф1рування коливань, тдйомно-транспортт машини.
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПОДЪЁМНО-ТРАНСПОРТНЫМИ МАШИНАМИ
О.В. Григоров, проф. д.т.н., А.А. Окунь, ассист., Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт»
Аннотация. Статья посвящена усовершенствованию математической модели движения системы «тележка-груз» в задаче управления кабельным краном. Полученные уравнения движения могут быть использованы для построения фазовых траекторий системы «тележка-груз» и для нахождения управления кабельным краном.
Ключевые слова: кабельный кран, система «тележка-груз», управление, демпфирование колебаний, подъёмно-транспортные машины.
IMPROVEMENT OF THE «CARRIAGE-CARGO» SYSTEM MOTION MATHEMATICAL MODEL FOR SOLVING THE PROBLEM OF LIFTING AND
TRANSPORT MACHINES CONTROL
О. Hryhorov, Prof., D. Sc., A. Okun, National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute»
Abstract. The article deals with the study of a mathematical model that describes the cable crane «carriage-cargo» system motion, taking into account the carriage movement resistance, the wind strength and the friction forces. The obtained system equations can be used to build the controllability function for the «carriage-cargo» system and determine the cable crane control by minimizing the operation cycle time by cargo oscillation damping.
Key words: cable crane, «carriage-cargo» system, control, oscillation dumping, lifting and transport machines, wind resistance, operation cycle.
Вступ
Збшьшення продуктивное^ переробки ван-тажiв кранами можна досягти за рахунок тд-
вищення робочо! швидкосп та прискорення крана i його механiзмiв. Однак при збшь-шенш прискорення мехашзму пересування кранового вiзка шдвищуеться розгойдування
на гнучкому тдвю1 вантажу, якии перемщу-еться. Тому отримання оптимальних закотв керування основними мехатзмами крана, з урахуванням демпф1рування коливань вантажу в мющ Иого доставки, е актуальною задачею.
Шд час роботи кабельних кратв спостер^а-ються маятников1 коливання вантажу, як впливають на рух кранових в1зк1в та самих крашв; додатков1 навантаження на силов1 елементи кратв створюють незручност1 при 1х експлуатацп тощо. Таю коливання слщ враховувати при точних розрахунках руху в1зка кабельного крана.
перемщуеться на задану вщстань 1з демпфь руванням коливань.
Математична модель руху системи <^зок-вантаж»
Для розв'язання задач1 оптимального за швидкод1ею керування кабельним краном складаються ршняння руху системи «в1зок-вантаж» з урахуванням опору руху в1зка, а саме: сили виру, що д1е на вантаж, i втрати на тертя у тдшипниках колiс i на тертя ко-чення уздовж несучого каната. Також врахо-вуеться кривизна несучого каната И напря-мок руху вiзка уздовж нього.
Aналiз публiкацiй
Дослiдженню коливань вантажу тд час роботи пiдИомно-транспортних машин придь лялася значна увага в роботах багатьох авто-рiв [1—3]. У цих працях описуеться теорiя коливань вантажу при рiзноманiтних варiан-тах впливу на робочиИ орган, однак при цьо-му не придшяеться достатньо уваги тому факту, що коливання вантажу тд час роботи кабельного крана в кшцевш точщ повиннi наближатися до нуля, тобто бути демпфiру-ваними.
Мета i постановка завдання
У цш роботi розглядаеться задача оптимального за швидкодiею керування рухом системи <^зок-вантаж» кабельного крана, в результат чого вантаж на гнучкому пiдвiсi
Диференцiальнi рiвняння руху кабельного крана, розрахункову схему якого наведено на рис. 1, у формi ршнянь Лагранжа мають ви-гляд [4]:
d dT 3T дФ дР _
+ — + — = F (t) - Wsign (x);
dt dx дх дх dx
d DT DT дФ DP _
-----+-+ — = 0,
dt дф дф дер дф
де х - горизонтальна координата вiзка; ф -кут нахилу каната з вантажем до вертикалц T - кшетична енергiя системи; P - потенща-льна енергiя системи; Ф - дисипативна фун-кцiя системи; F - функцiя керування вiзком, що фактично являе собою рушшне зусилля; W - узагальнена сила опору, що враховуе втрати на тертя кочення уздовж несучого каната та у тдшипниках колю.
Рис. 1. Схема руху вiзка кабельного крана
У вказаному випадку кшетична енерг1я буде дорiвнювати
m V2 m V
T _ T + T — 1 BÍ3Ka , 2 вантажу
в1зка вантажу 2 2
де ^Взка? mb ^^зка? i Твантажу? m2? Vb
вантажу
- кше-
тичнi енергй, маси й абсолютш швидкостi (тобто у нерухомш системi координат x0y, рис. 1) вiзкa та вантажу вщповщно. Рух вiзкa вiдбувaeться уздовж несучого каната у пло-щиш x0y, тому можна записати
VL — x2 +
. dy x— v dx у
— x2
1 +
dy
Рис. 2. Схема маятникових коливань вантажу
Ейлеровi оператори вщ кiнетичноí енергй' будуть дор1внювати
де, згщно з [3], траектор1я руху вiзкa масою m1 дорiвнюe
d_ аг — d_
dt ax dt
(m1 + m2)
1 +
dy dx
x +
y ( x ) — xtgP +
x (L - 2 x )
2 H
£к + Q
x v
cos P L
, (1)
де у - крива провисання каната; в - кут нахи-лу мiж опорами; L - вщстань мiж опорами; Hx - горизонтальна складова натягу каната;
- сила погонно'' ваги каната; Q - повна сила ваги вiзкa. Дaлi Квантажу — ^зка + Vx , де
Vx - швидкiсть вантажу в переноснш системi
координат x10y1, пов'язанш з точкою пiдвiсу вантажу до вiзкa та нaведенiй на рис. 2. Тому
V2 — IV. + VI2 —
вантажу в1зка x
— (^в1зка C0S(V) + 1ФCos(ф))2 +
+ (^в1зка SÍn (i)- 1 ф SÍn (ф))' —
— VbL« + 2VBl^ l ф cos (у + ф) +12 ф2,
+ m„L 1 +
2
v dx у
/
+m2 L 1 +
ф cos( у+ ф)
У
(
(m1 + m2)
V dx у
v v у У
(ф cos( у + ф) - ф2 sin( у + ф)),
1+
dy
v dx у
cxc +
'd^2
v dx у
d_ T
dt аф
m2L 1 +
r dy"2 v dx у
x cos( у + ф) + m2l2 ф
— mdÁ 1 +
rdy^2 v dx у
(x cos( у + ф) -
-x ф sin( у + ф)) + m212 ф,
де у - кут нахилу дотично' до криво'' y(x) в точцi, в якiй перебувае вiзок, вiдносно осi 0x1. Отже, остаточно
T — m1 + m2 p 2
2
1 +
v dx у
+m21.
1 +
dy v dx у
+
m
Xф cos( у + ф) + ^ 12ф2.
аг
ax
— о,
аг
аф — - m2li1+
rdy"2 v dx у
xxcp sin( у + ф)
Тодi для потенщально'1 енергп, з урахуван-ням (1), отримуемо рiвняння
P — -m2 gl cos ф-
-(m1 + m2) g
tgP +
L - 2 x
2 H
^ + Q
x v
cos P L
уу
OP
-—= (m + тг) g ox
f
tgß+
L - 2 x
f
2 Я
g
к + £
cosß L
//
OP
5ф
= -m2gl sin ф.
1з [5] отримуемо узагальнену силу опору для вантажу з урахуванням сили виру та втрати на тертя у тдшипниках колю i на тертя ко-чення уздовж несучого каната
-0Ф = о,
оз
-°ф = -Ml (x + 1ф - V),
де ц - коефщент в'язкого тертя; V - швид-кiсть набiгаючого повiтряного потоку.
Задаш сили системи е потенщальними. Тому остаточно рiвняння Лагранжа набувають ви-гляду
^ + m2 )[1 + (fx ^ ^
v 4 y /
x + m2lt[
v 4 ' / f
1 + ' ~d\ (ФЗcos(Y + Ф)-ф2sin(Y + Ф))
-( mi + m2) g
tgß+
L - 2 x
f
2 Я
+£ cosß L
X\
= F (t)- Wsign ( x )
//
1 + () (33cos (Y + Ф) - -зфsin (Y + Ф)) + m2l2ф +
+m2l^
1 + (I"j ■x(Psin(Y + ф) + ц1 (x + 1ф - V) + m2glslnф = 0.
Отримана система рiвнянь являе собою удо-сконалену математичну модель руху для за-дачi керування кабельним краном.
Висновки
Отримано математичну модель руху системи <жзок-вантаж» кабельного крана з урахуванням опорiв руху вiзка. Це рiвняння можна використовувати (оскiльки воно дуже нель нiйне - швидше за все, тсля лшеаризацп) для визначення функцп керування F(t), зпд-но з якимось критерiем якостi.
Наприклад, можна використати цю систему для знаходження керування, яке переведе систему з початково! точки в кшцеву за оп-тимальний час так, щоб коливань вантажу в кшцевш точцi не було. Така задача е досить розповсюдженою на практищ [6], i у даному випадку теоретично може бути виршена з використанням принципу максимуму Понтрягша.
Лiтература
1. Лобов Н.А. Динамика грузоподъёмных
кранов / Н.А. Лобов. - М.: Машиностроение, 1973. - 244 с.
2. Куйбида Г.Г. Кабельные краны / Г.Г. Куй-
бида. - М.: Машиностроение, 1989. -288 с.
3. Дукельский А.И. Подвесные канатные до-
роги и кабельные краны / А.И. Дукельский. - М.-Л.: Машиностроение, 1966. -481 с.
4. Григоров О.В. Исследование функции со-
противления перемещению грузовой тележки кабельних кранов в задаче оптимального управления движением / О.В. Григоров, Е.В. Михеева // Вестник ХГПУ. - 1999. - № 48. - С. 71-72.
5. Григоров О.В. Учёт силы ветра в сопро-
тивлении перемещению груза кабельным краном / О.В. Григоров, Е.В. Михеева // Вестник ХГПУ. - 1998. - №11. -С.104-106.
6. Григоров О.В. Оптимальне керування
рухом механiзмiв вантажотдйомних машин: навч. пошбник / О.В. Григоров, В.С. Ловейюн. - К.: 1ЗМН, 1997. - 264 с.
References
1. Lobov N.A. Dinamika gruzopod'emnyh kranov [Dynamics of Lifting Cranes], Moscow, Mashinostroenie Publ., 1973, 244 p.
2. Kujbida G.G. Kabel'nye krany [Cable cranes],
Moscow, Mashinostroenie Publ., 1989, 288 p.
3. Dukel'skij A.I. Podvesnye kanatnye dorogi i
kabel'nye krany [Aerial Ropeways and Cable Cranes], Moscow - Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1966, 481 p.
4. Grigorov O.V., Miheeva E.V. Issledovanie
funkcii soprotivlenija peremeshheniju gru-zovoj telezhki kabel'nih kranov v zadache optimal'nogo upravlenija dvizheniem [Research of Carriage Resistance Movement Function of Cable Cranes for the Optimal
Motion Control Problem]. Vestnik HGPU, 1999, no. 48, pp. 71-72.
5. Grigorov O.V., Miheeva E.V. Uchjot sily vet-
ra v soprotivlenii peremeshheniju gruza kabel'nym kranom [Taking Account of the Wind Strength for the Cargo Movement Resistance of Cable Crane]. Vestnik HGPU, 1998, no. 11, pp. 104-106.
6. Hryhorov O.V., Loveykin V.S. Optymal'ne
keruvannya rukhom mekhanizmiv vanta-zhopidyomnykh mashyn [Optimal Motion Control of Hoisting Machine Mechanisms], Kyiv, IZMN Publ., 1997, 264 p.
Рецензент: €.С. Венцель, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
