CC BY
26
УДК 621.313
Е. Н. Гаврилов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОДНОМАССОВОЙ ВИБРАЦИОННОЙ ТРАНСПОРТИРУЮЩЕЙ МАШИНЫ
Ключевые слова: математическая модель вибрационной системы, метод электромеханических аналогий.
В статье рассматривается задача расчета и нагрузки асинхронных дебалансных вибродвигателей в комплексе «вибротранспортирующая машина - нагрузка - двигатель».
Keywords: а mathematical model of the vibration system, the method of electromechanical analogies.
The article deals with the problem of calculating and asynchronous load unbalance in the complex vibro "vibratory conveying machine - load - the engine".
При расчете вибрационных машин имеют дело со сложным динамическим комплексом, включающим в себя колебательную систему, вибропривод и нагрузку. Все элементы комплекса взаимодействуют друг с другом и достоверные результаты в процессе расчета могут быть получены только при рассмотрении всей системы в целом с учетом взаимного влияния составляющих ее элементов. В связи с этим, в данной работе ставиться задача расчета и исследования нагрузки дебалансных вибродвигателей в комплексе «вибротранспортирующая машина-нагрузка-
двигатель».
Рассмотрим нагрузку АДВД на примере динамической одномассовой вибрационной системы направленных колебаний с двумя
вибродвигателями, представленными на рис. 1.
Уравнения движения представленной на рис. 2.2 вибрационной системы с учетом выражений (2.4-2.5) имеют вид:
\(т. + т-.(а>))х + Ьх(а>)х + кх(а>)х = т^о? ооз(а + Р)5т(о?) + Я; (1) Кт-. + т-.(а>))у + Ьу(а>)у + ку(ю)у = т0На>2 эт(а+ Р)5\п(а() + Л;
= мэм - МВИБР - . т0Яд ап(й*) - ММЕХ; (2)
О! 2
Уравнения (1) описывают движение грузонесущего органа согласно второму закону Ньютона, а уравнение (2) закону равновесия моментов на валу вибродвигателя. В уравнениях обозначено: а - угол наклона грузонесущего органа к горизонту; в - угол направления вынуждающей силы; т^ - масса грузонесущего органа с расположенными на нем двигателями; т1(ш) -масса груза, колеблющаяся в фазе с грузонесущим
органом, которая зависит от частоты; т0 — масса дебаланса; R - эксцентриситет дебаланса; д -ускорение свободного падения; у и х - смещение
грузонесущего органа по
(вибросмещение); y _ ^L и dt
осям . _ dx_ x _ dt
Y и Х - скорость
грузонесущего органа по осям Y и Х; y _
d 2 y dt2
и
x _-
d 2 x
dt2
- ускорение грузонесущего органа по осям
У и Х; Ьу(ш) и Ьх(ш) - коэффициенты сопротивления системы по осям У и X вызванные упругими элементами; ку(ш) и кх(ш) - жесткости упругих связей по осям У и X; J - приведенный момент инерции электродвигателя; МЭМ -
электромагнитный момент на валу электродвигателя; ММЕХ - момент сопротивления на валу электродвигателя, обусловленный
механическими потерями; МВИБР - вибрационный момент на валу электродвигателя; ш - частота
вращения вала
2
m0Rc2 COS(а + ^)sin(cot) -
силы дебалансов на ось Х; m0Ra>2 Sin(a + P)Sin(mt) -
силы дебалансов на ось Y;
электродвигателя; проекция центробежной
проекция центробежной 1
-m0Rg sin(ct) - моменты электродвигателя,
2
сопротивления на валу вызванный весом дебаланса.
При исследовании установившихся режимов работы рассматриваемого
вибровозбудителя полагаем, что скорость вращения вала двигателя постоянна и с учетом этого допущения возможно аналитически решить уравнение (1-2), то есть получить выражение, описывающее стационарные вынужденные колебания грузонесущего органа. При этом целесообразно использовать метод
электромеханических аналогий, который является наиболее наглядным методом рассмотрения механических систем, согласно которому можно найти электрическую схему, полностью эквивалентную заданной механической. А затем рассчитать требуемые параметры найденной электрической схемы. Под эквивалентностью понимается то, что обе системы, подчиняясь
дифференциальным уравнениям одного и того же вида, имеют равные периоды колебаний, одинаковые частотные характеристики и др.
На основании электромеханической аналогии первого рода построен электрический аналог механической системы (рис. 2).
Рис. 2 - Электрическая схема замещения вибрационной
Контуром 1 выделен источник энергии и его внутреннее сопротивление, а контур 2 характеризует параметры среды
Полученную электрическую схему достаточно просто решить, используя правила и законы электротехники, при этом необходимо представить мгновенные величины в комплексном виде и задать условие, согласно которому комплексное число представляет синусоидальное колебание, соответствующее его действительной части. Аналогичную схему можно построить для проекции на ось Х.
По схеме замещения определяем полное комплексное механическое сопротивление рассматриваемой вибросистемы, выражаем его модуль и фазу для осей X и У:
к х
¡ю
к у.
2х = Ь х + ¡а>т-\ + ¡ют\ + ——;
(3)
Ку = Ь у + ¡ютц + ¡ют^ +——;
¡ю
Ь х2 + (ют + ют\ - кх)2 ;
2 'к у 2
|Ку| = а¡Ь у + (ют1 + ют1--— )2 ;
1 1 " ю
(4)
Фх = вгЫд
Фу = вгЫд
ют^
+ а>т\ - к х /ю
Ь х
ют^ + ют^ - к у /ю
(5)
Ь
И после ряда преобразований получаем
следующие выражения:
I т-| + т\1 2 2 2 2 \2
^ = —1-Ч4Ьх ю2 + (юх2 -ю2)2; (6)
ю , (6)
ка=
т1 + т1 ГГ 2 Т~2 2\2~ —!-^4Ьут2 + (ау - ю )2 ;
Фх = вгЫд -
(7)
Фу = вгЫд-
2Ьую
где
Ь .
Ьу =
2(т^ + т^) Ьу ;
коэффициенты
2(т^ + т-\) демпфирования (затухания);
1
к .
т1 + т1
- собственная частота колебаний
к у ; у т1 + т-| ВТМ.
Решая представленную электрическую схему, получаем комплексное выражение для х и у (виброскорости):
т0Яю3 соэ(а + Р)
(т1 + т1 )^4Пх2ю2 + (юх2 -ю2)
т0Яю э1п(а + Р) (т1 + т1 )^4Ьу 2ю2 + (юу2 - ю2 )2
2 „2
2 „2\2
ге
i №-Фх);
У =
. (8)
\ ю-фу ).
Затем получаем выражение для мгновенных значений виброскорости:
х =
У =
m0Ra соэ(а + Р)
(т1 + т\)^4ЬхV + (юх2 -ю2)
m0R& э1п(а + Р) (т1 + т^2т2 + (юу2 -ю2)
э1п(ю^ - фх);
.(9
■э1п(ю^ - фу);
)
Выражение для мгновенных значений вибросмещения х и у получается путем интегрирования выражения (2.18) и имеет вид:
х =
у =
m0Rю2 cos(a + Р)
(т^ + т\ )^4Их2ю2 + (юх2 -ю2)2
гСоэ(ю^ - фх);
(10)
2
moRю Б1п(а + Р)
I 2 2 2 2 2
т + т^ ы4Пую + (юу -ю )
■cos(юt - фу);
у ш -г ^(¿у
Принимая во внимание тригонометрическое тождество:
2 2 0,
. , . ю - юу . . . , , 2Пую . cos(юt - вгЫд-—) = slп(юt - вгЫд-
22
22
ю - юу 2пую
cos(юt - аг^д-—) = sin(юt - вгctg —^—-);
(11)
и обозначив:
2Пую
2Ьхю ф = вСд х
22
юу -ю
Ф2 = вСд
2 2 1 юх - ю
2Ь,,ю
(12)
у и
22 юу - ю
запишем выражение, описывающее колебания вибротранспортера с нагрузкой, в виде:
2
2
х
2пхю
2
й)
Ьх =
х
г
х
(У
х
moRт2 соэ(а + р)
(т. + т. )д/4ьх2®2 + (тх2 - т2 )2 2
т^а>2 8т(а + р)
I 2 2 2 2 2 (т. + т. ы4Ьу т + (ту -т )
у =
8т(т! -ф.); ■8т(ю( -ф2);
(13)
у Ш -Г ^Шу
Параметр ф представляет собой значение угла, на который возмущающая сила опережает по фазе вибросмещение, позволяющий оценить, например, в системах автоматического управления, режим работы виброустановки: дорезонансный, резонансный или зарезонансный.
Мгновенное или текущее значение мощности, развиваемой источником колебаний, равно сумме квадратов произведений мгновенных значений вынуждающей силы и скорости колебаний:
' ' 2 , / г- \2
Р = А/РГ+Р2 ^ (ЯхХ )2 + (Яуу )2
откуда имеем:
ГРх
|Ру = Ртах у 8т(®! )эт(®! -фу);
Рх = Ртах х )8Ит -фх);
(14)
(15)
где Рт
и р
тах у
амплитудное значение
мгновенной мощности, определяемое выражениями:
Рт
Рт
m02R2®5 соэ2(а + р) (т. + т.^4Лх2®2 + (®х2 -т2)2 m02R 2®58т2(«+р)
(16)
тах у
(т. + т. )д^4Лу2т2 + (ту2 -т2)2
Для дальнейших расчетов в (16) подставляем переменную ф вместо фх и фу учитывая
соотношение:
ф -фх = я/2;
[фг - фу = я/ 2;
Рх = Ртах х Э'п(т! )соэ(®! -ф); Ру = Ртах у Э'П(т! )соэ(®!-ф2).
(17)
(18)
Применяя известное тригонометрическое соотношение, получаем следующее выражение для мгновенной мощности, в котором представлены постоянная и переменная её составляющие: Рт
Рх =-
2
-[в1п(ф1) + э1п(2т! - ф.)];
Ру
Рт
(19)
тах у 2
[в1п(ф2) + э1п(2т! - ф2 )]■
Итак, мгновенная мощность Р , развиваемая источником энергии, представляет собой синусоидальную функцию времени, изменяющуюся с частотой, в два раза большей частоты вынужденных колебаний системы, около среднего
значения
Рт
Р =
гсрх ~
Рт
2
-этф)
тах у . , . Рсру =-—31П(ф2).
сру
2
Поскольку
Рт
8т(ф) < . ,
и Ртах у
амплитуда колебаний мощности
2 2
превышает ее постоянную составляющую (среднее
значение). Благодаря этому мгновенная мощность представляет собой знакопеременную функцию, которая за период колебаний системы четыре раза изменяет свой знак. А это значит, что дважды за период колебаний системы энергия течет из источника в систему (когда мощность, развиваемая источником, положительна), и дважды она течет обратно из колеблющейся системы в источник энергии (когда мощность, развиваемая источником, отрицательна).
В работе [3] установлено, что при периодических колебаниях не требуется, чтобы в вынуждающем механизме развивалась мощность на преодоление сил инерции и сил упругости или иных потенциальных сил (речь идет о средней мощности, а не о мгновенных значениях ее). Следовательно, мощность необходима только для преодоления диссипативной силы. Из этого следует, что для выбора мощности приводных двигателей вибрационных установок необходимо
ориентироваться на активную мощность вибрационного источника колебаний Ракт.
Средняя мощность, развиваемая источником энергии, называется активной мощностью Ракт (по аналогии с электрической активной мощностью Р = и! со8(ф)) и имеет вид:
Р_ =-
^т(ф) =
т02Кгюъ ^г(а + Р) 2(т1 + т.)^4кх гтг + (тх 2-т2):
^(ф^; (2
т02К2т5 sin2(a + P)
Ра,шу = sin(ф2) =
2(т1 + т[)^4ку V + (ту 2-т2)2
0)
а реактивная мощность Рреакт определяется как
со8ф.) =- I 2 , 2 , ,со8ф) (2
2(т. + т. Ц4Ьх2т2 + (т/ -т2)2 (2
□ _ ' тахх
преактх~ ~
-со8ф>2) =
т0^2т58т2(а+р)
2(т. + т)^4Иу2т2 + (ту2 - т2)2
со8ф).
1)
Отсюда амплитудное значение полной мощности в :
)2 = Р .(22) > "тах 4 '
в л 1и 1Рактх + Рреактх ) + (уРакту + Рреакту
Важное значение при проектировании вибромашин имеет определение вибрационного момента сопротивления, приложенного к валу двигателя. В случае системы с двумя степенями свободы вибрационный момент ¡-го вибродвигателя имеет две составляющие:
1. мвиБР/У = ■ у - составляющая, обусловленная наличием смещения системы по оси У и проекции центробежной силы ¡-го дебалансного вибродвигателя на ось X, где определяется по формуле:
2
= со8(а + р)8т{т!).
(23)
2. мВИБРх = ■ х - составляющая, обусловленная наличием смещения системы по оси X и проекции центробежной силы -го дебалансного вибродвигателя на ось У , где я.
х =
2
Р
2
и
определяется по формуле:
о
= sin(a + Р^т(ю/0. (24)
Результирующее выражение вибрационного момента, приложенного к валу /-го вибродвигателя, определится формулой:
МВИБР1 = • у + Еу! • х . (25)
Рассматриваемая система имеет две степени свободы, поэтому вибрационный момент, приложенный к валу электродвигателя, имеет две составляющие по осям X и У. Выражение для него имеет вид:
МвИБР = m0Rm2((cos(a + Р)siп(aít)y + sin(a + Р^т(ю)х) .(26) Далее, с учетом формулы (26), а также некоторых тригонометрических тождеств получаем формулу для вибрационного момента, приложенного к валу двигателя, содержащего постоянную и переменную составляющие:
\МВ
ВИБРх - МВИБР max x
[cos(p ) - cos(2mf - p2 )];
(27)
[МВИБРу = МВИБРmax y [COS(^ ) - COS(2®f - q>i)]; где МВИБР max - амплитудное значение вибрационного момента, определяемое по формуле:
M.
ВИБР max х
m02R2m4 COS(a + P)sin( + P)
M
ВИБР max y
2(m1 + mi)^4hx2m2 + (mx2 -m2)2 224
m0 R2®4sin(a+P)cos(a + P) 2(m1 + mi)^4hy2m2 + (my2 -m2)2
(28)
Из (28) легко определить постоянную и переменную составляющие вибрационного момента:
МВИБР = МПОСТ + МПЕР , (29)
2 2 4
m0 R2m4COs(a + P)sin(a + P) „ , Мпостх -—-^====^cos(p2);
M,
ПЕР x ■
2(mi + m'i 4hXm2 + (mi2 - m2 )2
224
m0 R m cos( + P)sin(a + P) 2(m! + m' 4hXm2 + (m^ - m2 )2
(30)
cos(2mt - P2);
mh2R2m4sin(a+P)cos(a+P) . . MnocTy —S-r=====cos(p);
2(m-| + m'i U4hpm2 + (mp -m2)2
(31)
224
mo R m sin(a+P)cos(a+P) _ . MnEPy —5-, , , , ^ cos(2mi - p|);
2(m1 + rri\ty4hpm2 + (mp -m2)2
MB
-M
ВИБР --\lM ВИБРх + МВИБРу
(32)
приходим к выводу, что вибрационный момент имеет две составляющие: постоянную и переменную. Причем переменная составляющая представляет собой косинусоиду, колеблющуюся с двойной частотой источника возмущающей силы. По аналогии с мощностью, вибрационный момент четыре раза за период колебаний меняет свой знак, являясь то движущим, то тормозящим. При этом основной нагрузкой для двигателя будет являться постоянная составляющая вибрационного момента МПОСТ, которая зависит от режима работы вибропривода и имеет выраженный резонансный характер.
Выводы
Из материала, представленного выше, можно заключить, что дифференциальные уравнения описывают поведение вибрационной системы в динамических режимах. Поэтому их можно использовать при исследовании переходных процессов системы. Уравнения, полученные с помощью метода электромеханических аналогий для расчета мощности и характера нагрузки на вибродвигатель в рабочих режимах, могут быть применены при расчетах установившихся режимов вибрационной системы.
Литература
1. Спиваковкий А.О., Гончаревич И.Ф. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомогательные устройства. -М.: Машиностроение, 1972. - 328с.
2. Дмитриев В.Н. Разработка и исследование синхронных двигателей для сейсмических вибраторов: дис. канд. тех. наук: спец. 05.09.03 / В.Н. Дмитриев. - Томск, 1975. -211с.
3. Быховский И.И. Основы теории вибрационной техники / И.И. Быховский. - М.: Машиностроение, 1968. - 362 с.
4. Сорокин А.Г., Горбачевский Н.И., Мифтахова Л.Х. Методы моделированием электромагнитных и тепловых полей системы индукционного нагрева для технологических комплексов производства пластмассы. Вестник КГТУ, 2014, т.17, №.1 - с.111-114.
5. Козловский В.Н., Горбачевский Н.И., Сорокин А.Г., Кислинский В.Б., Мифтахова Л.Х. Аналитический комплекс прогнозирования надежности электромобилей и автомобилей с комбинированной силовой установкой. Вестник КГТУ, 2014, т.17, №.3 -с.227-230.
Анализируя полученные выражения, © Е.Н. Гаврилов - доцент кафедры ЭТЭОП НХТИ КНИТУ, aep-nk@mail.ru.
© E. N. Gavrilov - assistant professor of electrical engineering and energy companies Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology, KNRTU, aep-nk@mail.ru.
