Исследование процесса взаимодействия рабочего органа вибромашины для поверхностного/объёмного уплотнения бетонной смеси с обрабатываемой средой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 693.95 (075.8)

И.Н. СИВАК, Ю.В. ЧОВНЮК

Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины

В Т. КРАВЧУК

Киевский национальный университет строительства и архитектуры

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАБОЧЕГО ОРГАНА ВИБРОМАШИНЫ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОГО/ОБЪЁМНОГО УПЛОТНЕНИЯ БЕТОННОЙ СМЕСИ С ОБРАБАТЫВАЕМОЙ СРЕДОЙ

Предложена математическая модель, описывающая поведение динамической системы «вибрационная площадка - бетонная смесь», в которой бетонная смесь представлена в виде системы с распределёнными параметрами. Составлено волновое уравнение движения уплотняемой смеси. Определены граничные условия для случая, когда формование смеси осуществляется поверхностным/объёмным способом. Найдены аналитически значения волнового числа, коэффициента затухания возмущения в обрабатываемой среде, приведенная масса и коэффициент неупругого сопротивления бетонной смеси. Определён закон распространения волн возмущения в обрабатываемой среде.

Ключевые слова: вибрационная машина, бетонная смесь, поверхностное/объёмное уплотнение.

1.М. С1ВАК, Ю.В. ЧОВНЮК

Нацюнальний ушверситет бiоресурсiв i природокористування Украши

В.Т. КРАВЧУК

Кшвський нацюнальний ушверситет бущвництва i архггектури

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ ВЗАСМОДП РОБОЧОГО ОРГАНУ В1БРОМАШИНИ ДЛЯ ПОВЕРХНЕВОГО/ОБ'СМНОГО УЩГДЬНЕННЯ БЕТОННО СУМ1Ш1 З ОБРОБЛЮВАНИМ

СЕРЕДОВИЩЕМ

Запропонована математична модель, яка описуе поведтку динам1чно'1 системи «вгбрацшний май-данчик - бетонна сумгш», у котрш бетонна сумгш представлена у виглядг системи з розподшеними параметрами. Складене хвильове ргвняння руху ущшьнюваного середовища. Визначенг граничнг умови для випад-ку, коли формування сумшг здтснюеться поверхневим/об'емним способом. Знайдет аналгтично значення хвильового числа, коефщента затухання збурення у оброблюваному середовищг, приведеноï маси й коефщ-енту непружного опору бетонно'1' сумШг. Визначений закон розповсюдження хвиль збурення у оброблюваному середовищ1.

Ключовi слова: в1брацшна машина, бетонна сумш, поверхневе/об 'емне ущшьнення.

I.N. SIVAK, Y.V. CHOVNYUK

National University of Bioresources and Life Sciences of Ukraine

V.T. KRAVCHYUK

Kyiv National University of Constructions and Architecture

THE INVESTIGATION OF INTERACTION PROCESS OF THE WORKING ORGAN OF VIBROMACHINE FOR THE SURFACE/VOLUME COMPACTION OF CONCRETE'S MIXTURE WITH

A PROCESSABLE MEDIUM

The authors have suggested a new mathematical model describing the behavior of the dynamic system "vibration platform - concrete's mixture", where the concrete's mixture is represented as a system with a distributed parameters. Within the frame of research the wave equation of the compactable medium motion was complied and the boundary conditions were defined. As a result, it were analytically calculated such key parameters as values of the wave number, the perturbation attenuation coefficient in the processable medium, reduced mass, the coefficient of inelastic resistance of concrete's mixture and the law ofpropagation ofperturbations in the processable medium.

Key words: vibration machine, concrete's mixture, surface/volume compacting.

Постановка проблемы.

Современное строительное производство требует создания машин и виброформовочного оборудования с малой энергоёмкостью, обеспечивающих эффективное приготовление жёстких и сверхжёстких бетонных смесей (БС). Снижения энергоёмкости и повышения эффективности процесса приготовления БС можно достичь путём использования технологии, в которой на БС оказывается вибрационное воздействие (т.н. объёмное/поверхностное вибрационно-волновое формование/уплотнение смеси). При этом уменьшаются силы сопротивления перемешиванию за счёт уменьшения внутреннего коэффициента трения БС и её

коэффициента трения с корпусом вибрационной площадки. Одновременно ускоряется процесс приготовления БС и улучшается её качество за счёт виброактивации.

Таким образом, создание вибросистем для уплотнения БС, сочетающих в себе высокие показатели производительности и качества приготавливаемой смеси с их простотой конструкции и сравнительно малыми значениями металлоёмкости и энергоёмкости, является важной народнохозяйственной задачей. По мнению авторов данного исследования, моделирование процесса взаимодействия рабочего органа виброплощадки с обрабатываемой БС (например, поверхностным/объёмным способом) требует дальнейшего углублённого исследования, уточнения и совершенствования.

Анализ последних исследований и публикаций.

Уплотнение БС вибрационным воздействием (поверхностным/объёмным способом формования смеси) связано с переходом в состояние тиксотропии, в результате чего БС становится более подвижной, из неё удаляется большая часть воздуха, осуществляется обмазка минеральных частиц вяжущим, заполняются вяжущим мельчайшие трещины, разрушаются дефектные агрегаты смеси, происходит переориентация минеральных частиц с образованием более плотной упаковки [1-3].

Для определения технологических параметров вибрационного воздействия на уплотняемую БС и основных параметров вибрационной машины необходимо исследовать взаимодействие в вертикальном направлении формы с уложенной в неё БС. При этом указанное вибровоздействие может осуществляться на поддон формы с БС, а верхняя поверхность её - свободна (т.н. объёмное формование БС без пригруза), либо вибрация осуществляется на верхней поверхности через виброплиту, а нижняя поверхность БС - покоится на жёстком основании (т.н. поверхностное формование БС). БС в расчётной динамической системе можно представить реологической моделью [4-10]. Доказано [11-13], что наибольшую точность в описании взаимодействия рабочего органа с уплотняемой средой дают реологические модели, в которых уплотняемая БС представлена в виде системы с распределёнными параметрами [14,15], в виде дискретных моделей [16,17], либо в виде дискретно-континуальных моделей [18] (грунтов). Физико-механические характеристики указанных моделей найдены из выражений, полученных для описания закона распространения волн деформаций в уплотняемой среде при вибрационном воздействии. По мнению авторов [19-23], для определения основных параметров вибрационной площадки необходимо достаточно точно определить её силовое взаимодействие с БС.

Следует отметить, что ни в одной из цитированных выше работ нет исследований указанного силового взаимодействия виброплощадки с БС (при поверхностном/объёмном способе её формования), которые бы учитывали генерацию и влияние на это взаимодействие собственных форм колебаний БС. Если авторы [19-23] используют при таком анализе метод разделения переменных Фурье, то, по крайней мере, это сделано некорректно, поскольку для проведения такого динамического анализа согласно канонам математической физики [24] следует выполнить специальное преобразование искомого решения и представить его в виде суммы из двух составляющих (нельзя применять метод Фурье для подвижных граничных условий!). Именно данное исследование выполнено с учётом сказанного выше. Кроме того, в работах [19-23] встречаются многочисленные ошибки, описки, которые здесь исправлены и устранены.

Формулирование цели исследования.

Цель данной работы состоит в установлении основных закономерностей взаимодействия рабочего органа виброплощадки с БС в вертикальном направлении при поверхностном/объёмном её вибрационном формовании.

Изложение основного материала исследования.

Для исследования взаимодействия формы виброплощадки с БС в вертикальном направлении используем расчётную схему, представленную в [19,23].

Форма массой m, заполненная БС, установлена при помощи опор жёсткостью c и с коэффициентом демпфирования b на неподвижном основании. На форму снизу (при объёмном формовании БС) действует возмущение от вибровозбудителя направленных колебаний в виде вертикально направленной гармонической силы Q + • sin cot, где Q — амплитуда, со — частота (круговая) возбуждения, t — время. (Если формование осуществляется поверхностным способом, тогда сила Q • sin cot действует сверху через пригруз массы m на БС, а нижняя поверхность БС контактирует с неподвижным основанием). Если F — площадь днища формы (или днища пригруза при поверхностном уплотнении БС), тогда Q = q • F, где q — величина возмущающей силы, приходящаяся на единицу площади днища формы/пригруза.

БС будем рассматривать как систему с распределёнными параметрами. При этом зависимость между напряжением (ст) и деформацией представим в виде уравнения Ньютона [14], учитывающим и возможные пластические деформации в БС:

ди д2и ди и = E------+/Е--, (1)

dz dzdt dz

где E — динамический модуль упругой деформации БС; r¡ — коэффициент динамической вязкости, характеризующий внутреннее трение в БС; / — коэффициент сухого трения, позволяющий моделировать уплотне-

ния БС в процессе её пластической деформации; и, 2 — эйлерова и лагранжева координаты (в вертикальном направлении). Естественно, что напряжение, возникающее по высоте уплотняемого слоя БС с, как и перемещение уплотняемого слоя БС и являются функциями координаты 2 и времени t, т.е. с = с(2, »),

и = и( 2, »).

Дифференциальное уравнение движения уплотняемой БС в направлении координаты 2 будет иметь

вид:

ч д2и д3и

д 2и Л ,

(2)

дг2 " д22д» дГ где р — плотность БС.

Решение волнового уравнения (2) отыскиваем при граничных условиях, характерных для объёмно го/поверхностного способов формования. 1. Объёмное формование БС.

Рассмотрим вначале решение задачи для объёмного способа формования БС. Граничные условия в этом случае имеют вид:

при 2 = 0 —

д 2и(0,0 ди(0, t)

— ш-

— Ъ-

д» 2

дt

- — си(0,») + ГЕ

ди(0,»)

д 2и(0,»)

+ Гц

д2 д2д» при 2 = Н — Л

+ Г/Е

ди(0,») д2

= —Q • 8Ш с»,

.(3)

ЕГ диНА+пг ди( Н,») +ЕГ диНА = 0,

(4)

,2

д2 д2д» д2 где Н — высота формуемого изделия.

Если считать, что и(2,») можно записать в виде функции, пропорциональной ехр(/®»), 72 = —1, разыскивая, тем самым, только вынужденную составляющую решения задачи, тогда из (2) можно получить следующее дисперсионное соотношение, связывающее со с волновым вектором к :

Р

~2 2 к = с

[Е (1 + ц) + ¡цо]

(5)

Из (5) следует, что волновой вектор к — комплексная величина, а значит, её можно представить следующим образом:

1/2

~ с .

к =--¡а, а =

а

рсо1 д/ Е2 (1 + /)2 + п2с2 — Е (1 + /)

2 Е 2(1 + /)2 +п2с2

а =

Е 2(1 + /)2 +п1а>1

Р

Е (1 + /) + у1 Е 2(1 + /)2 +п2с2

1/2

(6)

С = к,

где а — коэффициент затухания возмущения, характеризующий уменьшение амплитуды колебаний в зависимости от расстояния до источника возмущения; а — фазовая скорость распространения возмущения в БС.

с

Используя граничные условия (3), (4) и запись к = — в виде:

а

к = с =

2

с рЕ(1 + /)

Е 2(1 + /)2 +п2с2

+ -

с2р

2^ Е 2(1 + /)2 +п2с2

(7)

получим решение уравнения (2) в комплексной форме, т.е. в виде закона движения уплотняемой БС в направлении координаты 2 за время » в зависимости от частоты и амплитуды возмущающей силы, физи-комеханических характеристик уплотняемой БС, толщины уплотняемого слоя БС Н и основных параметров вибростола:

и(2,») = -

Q • ск[(а + ¡к)• (Н — х)]• (с + с — д — шо^ )— ¡с(Ъ1 + Ъ)

2ек[(а + ¡к) • Н ]• 2 2 2 2 (с1 + с — д — шс ) + с (Ъ1 + Ъ)

ехр(с),

(8)

2

а

а

который лишь описывает возмущение в БС, вызванное внешней гармонической силой (Q ■ sin cot), т.е. вынужденное решение задачи. Здесь, в (8) введены обозначения:

aE(1 + /) ■ sh(2aH)

С1 = F •

bi = F

q — F •

[ch(2aH) + cos(2kH)]'

[aE (1 + /и) — kar¡\ sin(2kH) + [kE (1 + /) + r¡coa]sh(2aH)

c

[ch(2aH) + cos(2kH)] \kE (1 + /и) — kar¡\ sin(2kH) + [kr¡co — aE (1 + /)]• sh(2aH)

(9)

[еИ(2аИ) + ^(2АН)]

где С1, ¿1 — приведенные коэффициенты упругого и неупругого сопротивления БС.

Для нахождения истинного закона движения БС в объёмном случае её формования следует в выражении (8) найти мнимую составляющую.

Закон движения вибростола при х = 0 (в действительном виде) можно найти из соотношений:

Я

u(0, t) = A • sin(c — в), A —

Á

С + c — q — ma1)1 +c2(b1 + b)2)

в — arctg \

a(b1 + b)

(10)

c1 + c — q — ma

Сила инерции БС выражается следующим образом:

= 2 = [kE(1 + /и) — kr¡a\sin(2kH) + [r¡o — aE(1 + /)]• sh(2aH)

q — ^^n ' a , ^^n — f •

(11)

a2 [ch(2aH) + cos(2kH)] где mn — приведенная масса БС в вертикальном направлении.

Удельная приведенная масса m1z, коэффициенты сопротивления b1z и жёсткости c[z БС в вертикальном направлении определяются из соотношений (9), (11) путём деления mn, b1, c1 на площадь основания формуемого изделия F:

mn bi c

m1z —-П, b1z —-1, c1z —(12) F F F

Значения коэффициентов mn, b1, c1 существенно зависят от коэффициентов динамической вязкости r¡ и сухого трения /, динамического модуля упругости E БС, её плотности р, фазовой скорости распространения возмущения в уплотняемом слое a, коэффициента поглощения a, толщины уплотняемого слоя БС H, площади основания днища формы F и места приложения вибрационной нагрузки.

Собственные колебания столба БС высотой H для объёмного способа её формования получают следующий вид:

~ . 2Aa ^л

и(z,t) — Ъ

aH ,

J—1

(—1)J—1 — 1 + (—1)J • cosí

J

aH

H

. f irnat

• srn<! --

1 H

sin

jnz H

+ a

Тогда общее решение задачи (2) - (4) можно записать так:

и (г, t) = и( г, t) + и (г, t).

Из (13) следует, что на частотах, удовлетворяющих соотношению:

}па . -—-® / = -—, } = (1,да), } н

(13)

(14)

(15)

возможны резонансы собственных колебаний БС. 2. Поверхностное формование БС.

Рассмотрим теперь решение задачи для поверхностного способа формования БС. Граничные условия в этом случае имеют вид (3) при г = 0 (координата г в этом случае отсчитыва-ется от поверхности БС, на которую подаётся вибровозмущение), и условия при г = Н (нижняя поверхность формуемой смеси, контактирующая с неподвижным основанием):

и(Н, 0 = 0. (16)

a

2

2

Вынужденная составляющая решения и( 2,t) в этом случае приобретает вид: 8т[к(Н — 2)] Q • 8т(с» — ф)

и (2, t) = -

8т кН

с + ГЕ (1 + /)кс^ (кН) — шС

^ + [Ъа — Гг/ак^ (кН )]2

1/2

(17)

где ф — сдвиг фаз между перемещением и амплитудой возмущающей силы:

~ I Ъю — ГлаШ? (кН) I ф = аг^ \--^--- \.

| с + ГЕ(1 + /)кс^(кН) — шю2 При 2 = 0 выражения (17), (18) описывают колебания верхнего слоя уплотняемой БС и виброплиты:

и (0, t) = А • 8ш(ю» — ф),

где

Q

А = -

с + ГЕ (1 + /)к^ (кН) — шС

^ + [Ъа — Гг/ак^ (кН )]2

1/2 '

(18)

(19)

(20)

Анализ законов движения уплотняемой БС (17), (18) и вибрационной плиты (19), (20) (при поверхностном способе уплотнения) показывает, что выражение (20) служит для определения амплитуды вынужденных колебаний вибрационной плиты, а выражение:

~1 = ГЕ (1 + /)кс^ (кН) (21)

определяет жёсткость объёма уплотняемой БС.

Из выражения (21) находим удельное значение коэффициента жёсткости ~1 у = ~1 / Г, т.е.:

~1 у = Е (1 + /)кс^ (кН). (22)

На основании выражения (20) закон колебаний (вынужденных) объёма уплотняемой БС можно представить в виде:

ч ~ 81п[к(Н — 2)] . , ~ и (2, t) = А--\7тт1 п • 81П(ю» — ф).

(23)

8ш[кН ]

Общее решение задачи (2), (3), (16) можно записать так:

— _ *

и (2, t) = и (2, t) + и (2, t), (24)

*

где и (2, t) описывает собственные колебания уплотняемой БС, которые выражаются следующим соотношением:

*. . 2 А а ^ и (2,0 =

аН

} =1

(—1)

]—1

Н

+ а

• 81П

• 81П

1_ Н \ 1_ Н \

(25)

Выводы

1. Определены законы движения основания уплотняемого слоя БС и днища формы при объёмном способе её формования.

2. Определены законы движения виброплиты и уплотняемого слоя БС при поверхностном способе её формования.

3. Для объёмного способа уплотнения БС получены: закономерности изменения коэффициента присоединённой массы БС; амплитуды колебаний днища формы; коэффициента неупругого сопротивления БС в зависимости от толщины уплотняемого слоя. Определён характер взаимодействия виброплощадки с БС при вертикально направленных колебаниях, её основные конструктивные параметры и параметры вибрационного воздействия на уплотняемую БС, что позволяет разработать эффективную виброплощадку, обеспечивающую уплотнение жёстких и умеренно жёстких БС.

4. На основании волновой теории колебаний изучен процесс распространения волн деформации в уплотняемом слое БС (при её поверхностном способе формования), представленной, как и при объёмном уплотнении, в виде системы с распределёнными параметрами. Определён закон движения уплотняемой БС при вибрационном воздействии (поверхностном) в зависимости от физико-механических характеристик БС, толщины уплотняемого слоя, массы виброплиты, частоты, амплитуды вынуждающей силы, жёсткости и коэффициента неупругого сопротивления упругой подвески. Найдены изменения удельного коэффициента жёсткости БС.

2

2

5. Для обоих способов уплотнения БС (объёмного и поверхностного) определены законы движения, учитывающие возникновение колебаний собственных форм БС (при нулевых граничных условиях).

6. Полученные в работе результаты могут в дальнейшем служить для уточнения и совершенствования существующих инженерных методов расчёта вибросистем для объёмного/поверхностного способов уплотнения БС как на стадиях их проектирования/конструирования, так и в режимах реальной эксплуатации.

Список использованной литературы

1. Маслов А.Г. Теоретические основы вибрационного уплотнения цементно-бетонных смесей/А.Г. Мас-лов, А.Ф. Иткин//Вюник Кременчуцького державного полггехшчного ушверситету iменi Михаила Ос-троградського. - Кременчук: КДПУ. - 2004. - Вип. 5(28). - С. 45-49.

2. Саленко Ю.С. Горизонтальне бетоносмесители принудительного действия/Ю.С. Саленко. - Кременчук: ТОВ «Кременчуцька мюька друкарня», 2013. - 218с.

3. Волков С.А. Строительные машины/С.А. Волков, С.А. Евтюков. - СПб.: Издательство ДНК, 2012. -597с.

4. Руденко И.Ф. Формование изделий поверхностными виброустройствами/И.Ф. Руденко. - М.: Издательство литературы по строительству, 1972. - 104с.

5. Овчинников П.Ф. Виброреология/П.Ф. Овчинников. - К.: Наукова думка, 1983. - 272с.

6. Чубук Ю.Ф. Вибрационные машины для уплотнения бетонных смесей/Ю.Ф. Чубук, И.И. Назаренко, В.Н. Гарнец. - К.: Вища школа, 1985. - 168с.

7. Маслов А.Г. Вибрационные машины и процессы в дорожном строительстве/А.Г. Маслов, В.М. Пономарь. - К.:Будiвельник. 1985. - 128с.

8. Гарнець В.М. Прогресивш бетоноформуючi агрегати i комплекси/В.М. Гарнець. - К.: Будiвельник, 1991. - 144с.

9. Гусев Б.В. Вибрационная технология бетона/Б.В. Гусев, В.Г. Зазимко. - К.: Будiвельник, 1991. - 160с.

10. Назаренко И.И. Прикладные задачи теории вибрационных систем/И.И. Назаренко. - К.: 1СДО, 1993. -216с.

11. Иткин А.Ф. Вибрационные машины для формования бетонных изделий/А.Ф. Иткин. - К.: «МП Леся», 2009. - 152с.

12. Маслов А.Г. Вибрационные машины и процессы в дорожном строительном производстве/А.Г. Маслов, Ю.С. Саленко. - Кременчук: ПП Щербатих О.В., 2014. - 262с.

13. Иткин А.Ф. Сравнение теоретических и экспериментальных данных исследований виброплощадок с горизонтально направленными колебаниями/А.Ф. Иткин, А.Г. Маслов//Вюник Кременчуцького державного полггехшчного ушверситету iменi Михайла Остроградського. - Кременчук: КДПУ, 2007. -Вип. 1(42). Част. 2. - С. 14-18.

14. Маслов А.Г. Вибрационные машины для приготовления и уплотнения бетонных смесей/А.Г. Маслов, А.Ф. Иткин, Ю.С. Саленко. - Кременчуг: ЧП Щербатых А.В., 2014. - 324с.

15. Маслов А.Г. Исследование взаимодействия вибрирующей плиты с цементно-бетонной смесью/А.Г. Маслов, Ю.С. Саленко, Н.А. Маслова//Вюник Кременчуцького нацюнального ушверситету Тмеш Михайла Остроградського. - Кременчук: КрНУ, 2011. - Вип. 2(67). Част. 1. - С. 93-98.

16. Маслов А.Г. Исследование колебаний рабочего органа машины для уплотнения бетонных смесей в вибрационном рабочем режиме/А.Г. Маслов, Жанар Батсайхан//Вiсник Кременчуцького нацюнального ушверситету Тмеш Михайла Остроградського. - Кременчук: КрНУ, 2015. - Вип. 2(91). Част. 1. - С. 92-97.

17. Маслов А.Г. Исследование процесса уплотнения цементно-бетонных смесей на вибрационной площадке с жёстко-упругими ограничителями/А.Г. Маслов, А.Ф. Иткин//Вюник Кременчуцького державного полiтехнiчного ушверситету Тмеш Михайла Остроградського. - Кременчук: КДПУ, 2005. - Вип. 6(35). Част. 2. - С. 15-19.

18. Ловейшн В.С. Iдентифiкацiя мехашчних властивостей грунпв сшьськогосподарського призначення шляхом дослвдження коливань !х зразшв/В.С. Ловейшн, Ю.В. Човнюк, Л.А. Дяченко//Автоматизащя виробничих процеав у машинобудуванш та приладобудування. - ЛьвГв: Видавництво «ЛьвГвсью По-лггехшка», 2011. - Вип. 45. - С. 103-109.

19. Савелов Д.В. Исследования процесса уплотнения порошковой смеси на вибростоле с вертикально направленными колебаниями/Д.В. Савелов//Шсник Нацюнального техшчного ушверситету Украни «Кшвський полггехшчний шститут». Серiя: Машинобудування. - 2012. - №66. - С. 21-25.

20. Емельяненко Н.Г. Обоснование создания пневмовибрационных машин для формования бетонных из-делий/Н.Г. Емельяненко//Вюник Приазовського державного техшчного ушверситету. Серiя: Техшчш науки. - 2012. - Вип. 24. - С. 268-274.

21. Саленко Ю.С. Исследование процесса взаимодействия вибрационной заслонки бетоносмесителя с обрабатываемой средой/Ю.С. Саленко//Шсник Кременчуцького нацюнального ушверситету Тмеш Михайла Остроградського. - 2013. - Вип. 3(80). - С. 148-152.

22. Жанар Батсайхан. Исследование взаимодействия вибрационной плиты рабочего органа с уплотняемой средой/Батсайхан Жанар// Вюник Кременчуцького нацюнального унiверситету iменi Михайла Остро-градського. - 2015. - Вип. 1(90). Част. 1. - С. 92-97.

23. Маслов А.Г. Исследование взаимодействия виброплощадки с бетонной смесью/А.Г. Маслов, О.О. Колесник// Вюник Кременчуцького нацюнального ушверситету iменi Михайла Остроградського. - 2016. - Вип. 1(96). - С. 51-57.

24. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики/Н.С. Кошляков, Э.Б. Гли-нер, М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа. 1970. - 712с.